3 Đại c-ơng về phép tính vi phân
3.5 Bài tập ch-ơng 3
1. Giả sử f là ánh xạ từ một lân cận U của điểm a ∈ E vào F. Đặt g(x) = f(x+a)−b.Chứng minh rằng g xác định tại lân cận V =U −a của 0; và: a) f(a) = bkhi và chỉ khi g(0) = 0;
b) f khả vi tại a khi và chỉ khi g khả vi tại 0; trong tr-ờng hợp này thì
f0(a) =g0(0).
2. Cho H, E, F, G là các không gian định chuẩn, f là ánh xạ từ tập mở U của
E vào F và h∈L(H;E), g ∈L(F;G).Đặt ϕ=g◦f ◦h. Chứng minh rằng
ϕxác định trên tập mở h−1(U) và
a) nếu f khả vi tại x0 ∈ U thì ánh xạ ϕ khả vi tại mọi y0 ∈ h−1(x0) và
Dϕ(y0) =g◦Df(h(y0))◦h;
b) nếu ϕkhả vi tại y0 ∈h−1(U) vàh ∈Isom(H;E), g ∈ Isom(F;G), thì f
khả vi tại x0 =h(y0) và Df(x0) =g−1◦Dϕ(h−1(x0))◦h−1.
3. Giả sử f là ánh xạ từ tập mở U chứa0∈E, vào U.Chứng minh rằng: nếu f
lớpC1 và f0(0) = id thì cór >0 sao cho với mọi x, y∈Br0 ta đều có
1
2kx−yk ≤ kf(x)−f(y)k ≤2kx−yk.
4. Giả sử f là song ánh từ tập mở U ⊂ E vào tập mở V ⊂ F, sao cho có
a∈ U để f0(a)∈Isom(E;F).Chứng minh rằng f−1 khả vi tại b= f(a) và
Df−1(b) = Df(a)−1
.
5. Giả sử f là một ánh xạ đều từ khoảng conpact I = [a;b] vào không gian Banach F. Chứng minh rằng: với mọi ε > 0, đều có δ > 0 sao cho với mọi dãy hữu hạn, tăng
a=x0 ≤t0 ≤x1 ≤. . .≤xn−1 ≤tn−1 ≤xn =b; sup 0≤m≤n−1 {xm+1−xm} ≤δ ta đều có Z b a f(t)dt− n−1 X m=0 f(tm)(xm+1−xm) ≤ε.
6. Giả sử f là một ánh xạ đều từ khoảng conpact I = [a;b] vào không gian Banach F. Chứng minh rằng: với mọi ε > 0, đều có ánh xạ g: I → F liên tục, sao cho
Z b a
7. Giả sử E không gian các ánh xạ đều từ khoảng conpact I = [a;b]vào không gian Banach F, với chuẩnsup. Đặtint:E →F, int(f):=
Z b a
f(t)dt.Chứng minh rằng:
a) E là không gian Banach;
b) int là ánh xạ tuyến tính liên tục (do đó liên tục đều) trênE;
c) nếu F =R thì intlà hàm số đơn điệu tăng.
8. Giả sử I = [a;b] là khoảng compact của R, U là tập mở của không gian Banach E, f là ánh xạ liên tục từIìU vào không gian Banach F. Đặt
g(x) = Z b a f(t, x)dt . Chứng minh rằng: a) ánh xạ g là liên tục trên U;
b) nếu D2f là liên tục trênIìU, thì ánh xạ g là khả vi liên tục trênU và
Dg(x) =
Z b a
D2f(t, x)dt.
9. Giả sử I = [a;b] là khoảng compact của R, U là tập mở của không gian Banach E; f là ánh xạ liên tục từ I ìU vào không gian Banach F; α, β là các ánh xạ liên tục từ U vào I. Đặt g(x) = Z β(x) α(x) f(t, x)dt . Chứng minh rằng: a) ánh xạ g là liên tục trên U;
b) nếu D2f là liên tục trên IìU và α, β là các ánh xạ khả vi liên tục trên
U thì ánh xạ g khả vi liên tục trên U vàg0 là ánh xạ v → Z β(x) α(x) D2f(t, x)dt (v) + (β0(x)(v))f(β(x), x)−(α0(x)(v))f(α(x), x).
10. Giả sử f, g là các ánh xạ từ tập mở U vào F vàt là l-ợng vô h-ớng. Chứng minh rằng: nếu f, g khả vi đến cấp p tại x0 ∈U thì f +g và tf cũng khả vi đến cấp p tại x0 và
11. Giả sử fi: U →Fi, 1 ≤i≤n vàf = (f1, . . . , fn) là ánh xạ từU của E vào
F =F1ì ã ã ãFn. Chứng minh rằng: f có đạo ánh đến cấp p tại x0 ∈ U khi và chỉ khifi có đạo ánh đến cấp p tại x0 với mọii,1≤i ≤n. Trong tr-ờng hợp này ta có:
f(p)(x0) = (f1(p)(x0), . . . , fn(p)(x0)).
12. Giả sử U là tập mở của E, f: U → F khả vi đến cấp p tại x0 ∈ U, và
v2, . . . , vp ∈ E. Chứng minh rằng: ánh xạ x → f(p−1)(x)(v2, . . . , vp) khả vi tại x0 và đạo ánh của nó tại điểm này là ánh xạ
v1 →f(p)(x0)(v1, v2, . . . , vp).
13. Giả sửU là tập mở củaE, f:U →F khả vi đến cấpptạix0 ∈U.Chứng minh rằng ánh xạ(v1, . . . , vp)→f(p)(x0)(v1, . . . , vp) là p−tuyến tính đối xứng. 14. Giả sử U là tập mở của E1 ìE2 và f là C2−ánh xạ từ U vào không gian
BanachF. Chứng minh rằng với mọi x∈U ta đều cóD1,2f(x) =D2,1f(x).
15. Giả sử U là tập mở của E1 ì ã ã ã ìEn và f:U →F là Cp−ánh xạ. Chứng minh rằng với mọi x∈U : Di1,...,imf(x) =Diσ(1),...,iσ(m)f(x) với mọi m ≤p;
1≤i1, . . . , im ≤n và mọi hoán vị σ của tập {1, . . . , m}.
16. Chou∈L(E;F).Chứng minh rằngu0(x) =uvới mọix ∈E;suy rau(n)= 0
với mọin≥2.
17. Chou∈L(E1, E2;F).Với(x1, x2)∈E1ìE2,hãy chứng tỏu0(x1, x2)là ánh xạ(v1, v2)→u(x1, v2) +u(v1, x2). Tính u00(x1, x2);từ đó suy ra u(n) = 0 với
n≥3.
18. Cho u ∈ L(E1, . . . , Ep;F). Hãy chỉ ra u0(x1, . . . , xp). Hãy đ-a ra công thức chou(n)(x1, . . . , xp) khi n≤p. Chứng minh u(n)(x1, . . . , xp) = 0 khi n > p.
19. Giả sửE, F là các không gian Banach sao cho Isom(E;F)6=∅.Chứng minh rằng ánh xạu →u−1 khả vi mọi cấp trên Isom(E;F).
20. Cho đa thức Lagrange bậc n : Pn(t) = 1 2nn!D (n) (t2−1)n . Chứng minh rằng: a) Z 1 −1
tmPn(t)dt= 0 với mọi m < n; suy ra(Pn)n là một hệ trực giao trong không gian tiền HilbertCC(I);
b) (1−t2)P00
n(t)−2tP0
n(t) +n(n+ 1)Pn(t) = 0 với mọi t.
21. Giả sử f là ánh xạ C∞ từ Rn vào không gian Banach F.
a) Chứng tỏ rằng có các C∞−ánh xạ fi:Rn−i+1 →F, 1≤i≤n, thoả mãn f(x1, . . . , xn) =f(0,0, . . . ,0) + n X i=1 xifi(xi, . . . , xn);
b) Chứng tỏ rằng với p >0, luôn có các C∞− ánh xạ fα để f(x) = X |α|≤p xα1 1 . . . xαn n fα(x).
22. Giả sử A là tập mở bị chặn của không gian hữu hạn chiều E; f là hàm số thực khả vi trên A, liên tục trênA vàf(x) =b với mọix∈∂A.Chứng minh rằng tồn tại c∈A để f0(c) = 0.
Tài liệu
[1] Conway J.B., A Course in Functional Analysis. Second Edition, Springer, 1989.
[2] Dieudonne J., Cơ sở giải tích hiện đại: Tập I. Bản dịch Tiếng Việt, NXB Đại học & trung học chuyên nghiệp, Hà nội, 1978.