3 Đại c-ơng về phép tính vi phân
3.1.4 Một số ứng dụng của định lý giá trị trung bình
Định lý 3.9 Nếuf0 bằng 0 trên tập mở liên thôngU của không gian BanachE thì
f là hằng ánh trên U.
Chứng minh.
Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập. H-ớng dẫn: hãy chứng minh tập {x ∈ U :
f(x) = f(x0)} vừa đóng vừa mở trong U.
Định lý 3.10 Giả sử f là ánh xạ liên tục từ khoảng I ⊂ R vào không gian Banach
F.Nếu có tập đếm đ-ợc D ⊂I sao cho f0(t) = 0 với mọi t∈I\D,thì f là hằng. Chứng minh.
Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập.
Định lý 3.11 Giả sử U là tập mở chứa x0. Nếu đoạn thẳng S nối x1 với x2, nằm trongU và f:U →F khả vi liên tục thì kf(x1)−f(x2)−f0(x0)(x1−x2)k ≤ kx1−x2ksup x∈S kf0(x)−f0(x0)k. Chứng minh.
Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập. H-ớng dẫn: áp dụng Hệ quả 3.8.2 cho ánh xạ
x→f(x)−f0(x0)(x).)
Định lý 3.12 Giả sửU là tập mở liên thông trong không gian BanachE và(fn)là dãy các ánh xạ khả vi từU vào không gian Banach F. Giả thiết rằng:
1) có x0 ∈U sao cho dãy (fn(x0))hội tụ;
2) với mọi x∈U,đều tồn tại hình cầu B(x)tâm x,sao cho dãy (fn0)hội tụ đều trênB(x).
Thế thì: với mọi x ∈ U, dãy (fn) hội tụ đều trên B(x). Hơn nữa, với mọi x ∈ U,
nếu đặtf(x) = limn→∞fn(x)thì f0x) = limn→∞f0
n(x)
Chứng minh.
Giả sửr là bán kính của hình cầuB(a).Thế thì với mọi x, y∈B(a)ta đều có
kfn(x)−fm(x)−(fn(y)−fm(y))k ≤ kx−yk sup
z∈B(a)
kfn0(z)−fm0 (z)k.
Từ bất đẳng thức trên và do kx− yk ≤ 2r và dãy (f0
n) hội tụ đều trên B(a),
ta suy ra: nếu dãy (fn(x)) hội tụ tại một điểm nào đó x ∈ B(a) thì nó cũng hội tụ trên B(a) (và thực chất là hội tụ đều trên B(a)). Do đó tập điểm hội tụ
D ={x∈U :dãy(fn(x))hội tụ} là vừa đóng vừa mở trong U;suy ra D =U.
Đặtg(x) = limn→∞f0
n(x).Bây giờ chúng ta chứng minh rằng: g(a) = f0(a)với bất kỳ a ∈ U. Giả sử kfn0(z)−fm0 (z)k ≤ ε với mọi n, m≥ n0 và mọi z ∈B(a). Thế thì: khi kx−ak ≤r vàm ≥n0, ta có
kg(a)−fm0 (a)k ≤ε vàkf(x)−fm(x)−(f(a)−fm(a))k ≤εkx−ak.
Mặt khác, với m≥n0, ta có r0 ≤r sao cho: nếu kx−ak ≤r0 thì
kfm(x)−fm(a)−fm0 (a)(x−a)k ≤εkx−ak.
Suy ra: khikx−ak ≤r0 thì
kf(x)−f(a)−g(a)(x−a)k ≤εkx−ak.
Định lý 3.13 Giả sửI là một khoảng trong Rvà với mỗin, Dn là một tập con đếm đ-ợc của I.Giả thiết là với mọin, gn(t)là đạo hàm tại t∈I\Dn của hàm liên tục
fn và
1) có t0 ∈I sao cho dãy(fn(t0)) hội tụ;
2) với mọi t ∈ I, tồn tại khoảng mở V(t) tâm t, sao cho dãy (gn) hội tụ đều trên V(t).
Khi đó với mọi t ∈I, dãy (fn) hội tụ đều trên V(t). Hơn nữa, với mọi t ∈I, nếu đặt f(t) = limn→∞fn(t), g(t) = limn→∞gn(t) vàD =∪∞n=1Dn thì
f0(t) =g(t) với mọi t∈I\D.
Chứng minh.
Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập. H-ớng dẫn: chứng minh t-ơng tự Định lý 3.12.
3.2 Định lý ánh xạ ng-ợc, ánh xạ ẩn3.2.1 Định lý ánh xạ ng-ợc