Giả sử v là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩnF.Chúng ta nóivlàtoán tử Fredholmnếuuv−1(0)hữu hạn chiều, v(E)
đóng và có đối chiều hữu hạn. Chúng ta ký hiệu tập tất cả các toán tử Fredholm từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F là F red(E;F).
Định lý 2.18 NếuE là không gian Banach và u ∈K(E;E) thì v=id−u là toán tử Fredholm.
Chứng minh.
Để chứng tỏv−1(0) hữu hạn chiều, nh- trong chứng minh Định lý 2.9, chúng ta chỉ cần chứng minh B0 = {x ∈ E : kxk ≤ 1} ∩(id−u)−1(0) là tập compact. Hiển nhiên B0 =u(B0). Nh-ng do B0 là tập đóng và giới nội, nên B0 = B0 = u(B0) là tập compact do u là toán tử compact.
Bây giờ chúng ta chứng tỏ rằng v(E)là đóng. Theo Định lý 2.10, giả sử Glà phần bù tôpô của v−1(0) :
E =v−1(0)⊕G.
Chúng ta thấy ánh xạv|G là đơn ánh liên tục vàv(E) =v(G).Vậy v|G:G→v(G)
là song ánh. Để chứng tỏv(E)đóng ta chỉ cần chứng tỏ ánh xạ(v|G)−1 :v(G)→G
là liên tục; hay (v|G)−1 là liên tục tại 0. Giả sử rằng nếu có dãy (xn) trong G sao cho dãy v(xn)→0 nh-ng dãy(xn)không hội tụ đến 0. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử có r > 0 và dãy (xn) thoả kxnk ≥ r với mọi n. Vì dãy (1/kxnk)
giới nội nên dãy v(xn/|xn|) cũng có giới hạn0. Do xn/kxnkluôn có chuẩn bằng 1
vàu compact nên ta giả sử dãy con u(xnm/kxnmk)m có giới hạn z. Từ
v( xnm
kxnmk) = xnm
kxnmk −u( xnm
kxnmk)
ta suy ra dãy (xnm/kxnmk)m cũng có giới hạn z. Suy ra z ∈G,kzk= 1, v(z) = 0;
vô lý với v−1(0)∩G={0}.
Cuối cùng, giả sử v(E)không có đối chiều hữu hạn. Bằng qui nạp, chúng ta có dãy các không gian con đóng v(E) =H0 ⊂H1 ⊂ ã ã ã ⊂Hn⊂ ã ã ã ,sao cho Hn là đóng và có đối chiều bằng1trong Hn+1. Do Định lý 1.34, bằng qui nạp chúng ta có dãy các phần tử xn∈Hn, kxnk= 1 vàd(xn, Hn−1)≥1−ε. Khi đó với mọi m < n ta đều cóku(xn)−u(xm)k=kxn−v(xn)−xm+v(xm)k ≥1−ε. Suy ra dãy (u(xn))
không có dãy con hội tụ; theo Định lý 1.20, điều này mâu thuẫn với tính compact của toán tửu.