Trong phần này, chúng ta luôn giả sử E là không gian Banach trên tr-ờng Φ (là tr-ờng số thực hoặc tr-ờng số phức) vàu là toán tử compact trênE.
Sốα ∈Φđ-ợc gọi là một giá trị riêng của toán tử u nếu cóx∈E, x6= 0 sao cho
u(x) = α x; trong tr-ờng hợp này ta nói x là một véc tơ riêng (của u) t-ơng ứng với giá trị riêng α.
Với mỗi số nguyên d-ơng n và toán tử v trên E, để cho gọn, chúng ta ký hiệu vn
thay cho v◦n. Nếu 06=α∈Φ,dễ dàng thấy rằng(u−α id)n= (−α)n(id−α−1u)n
là toán tử Fredholm. Nh- Hệ quả 2.19.1, ta có ind(u−α id)n = 0; hay nói cách khác là
dimker(u−α id)n = dimcoker(u−α id)n.
Phổ của toán tửulà tậpSp(u):={α∈Φ :u−α id không là tự đồng phôi củaE }.
Định lý 2.20 Giả sử α là số khác không. Thế thì: hoặc (u−α id) là đồng phôi, hoặc α là giá trị riêng của u. Nói cách khác, các phần tử khác 0 của phổ chính là các giá trị riêng. Nếu E vô hạn chiều thì phổ chứa 0.
Chứng minh.
Theo Hệ quả 2.19.1, nếu ker(u−α id) ={0} thì (u−α id) là đồng phôi; còn nếu có 06=x∈ker(u−α id) thì u(x) =α x, do đó α là giá trị riêng.
Nếu0∈/ Sp(u) thìu là đồng phôi. Do đó B0 đồng phôi với u(B0); suy ra hình cầu đóng đơn vị là compact và nh- vậy E là hữu hạn chiều theo Định lý 2.9.
Trong lý thuyết không gian véc tơ hữu hạn chiều, nếu u là một tự đồng cấu trên không gian véc tơ V thì chúng ta có thể phân rã V thành tổng trực tiếp
V =N1⊕. . .⊕Nm
trong đó mỗi Ni t-ơng ứng với giá trị riêng αi, đều có số nguyên ri thoả mãn
(u−αiid)riNi = 0.
Trong tr-ờng hợp này ta nóiu−αiidlà luỹ linh trênNi.Đối với các toán tử compact
u trên E, chúng ta cũng có cách phân rã không gian E thành trực tổng các không gian con.
Bổ đề 2.1 Giả sửα 6= 0, là một giá trị riêng củau. Thế thì tồn tại số nguyênr >0
sao cho
ker(u−α id)n=ker(u−α id)r
với mọi n≥r.
Đặt v=α−1u, ta có v là compact. Chúng ta chỉ cần chứng tỏ có số nguyên r > 0
sao cho ker(id−v)r =ker(id−v)r+1.Đặt T =id−v;Hn =kerTn.Dễ dàng thất rằng Hn ⊂Hn+1 và T(Hn+1)⊂ Hn. Giả sử là không có số r để Hr = Hr+1. Thế thì ta có dãy
H1 (H2 (. . .(Hn (. . .
Do Định lý 1.34, ta có dãy xn ∈ Hn,kxnk = 1, d(xn, Hn−1) ≥ 1−ε. Với mọi
m < nta đều có
kv(xn)−v(xm)k=kxn−T(xn)−xm+T(xm)k ≥1−ε.
Bất đẳng thức trên mâu thuẫn với tính compact của v.
Số nguyên d-ơng nhỏ nhất r trong bổ đề trên, đ-ợc gọi là bậc của α.
Định lý 2.21 Giả sửα là giá trị riêng khác không của u vàr là bậc của α.Khi đó chúng ta có phân rãE thành trực tổng tôpô của ker(u−α id)r và im(u−α id)r :
E =ker(u−α id)r⊕im(u−α id)r,
hơn nữa, các không gian con đóng ker(u−α id)r và im(u−α id)r là bất biến đối vớiu. Nếuβ 6=α cũng là một giá trị riêng khác không của u vàs là bậc của β thì
ker(u−β id)s⊂im(u−α id)r.
Chứng minh.
Đặt T = (u−α id)r, ta có T là toán tử Fredholm. Vậy H :=kerT và G = imT
là các không gian con đóng; chúng bất biến đối với u vì (u−α id)(H) = H và
(u−α id)(G)⊂ G. Nếu y∈ H ∩G thì có x ∈E để y= T(x) và T(y) = 0. Vậy
x ∈ kerT2 = kerT; suy ra y = 0. Do indT = 0 và H ∩G ={0}; ta suy ra E là trực tổng tô pô của H vàG.
Bây giờ giả sử β 6= α cũng là một giá trị riêng khác không của u và s là bậc của
β.Đặt S= (u−β id)s, ta thấyS◦T =T ◦S. Do đó kerT và imT cũng là S−bất biến. Nếu x∈kerS, thì x có biểu diễn duy nhất: x=y+z, với y∈H và z ∈G.
Do 0 =S(x) =S(y) +S(z) vàH, G là S−bất biến nên S(y) = 0. Do có λ, à ∈Φ
để λ S+à T =id. Suy ra 0 = id(y) = y; kéo theo x =z ∈G. Ta đã chứng minh xong kerS ⊂imT.
Suy ra0 =id(y) =y; kéo theo x=z ∈G. Ta đã chứng minh xong kerS ⊂imT.
Định lý 2.22 Tập Sp(u) là không quá đếm đ-ợc. Nếu Sp(u) là đếm đ-ợc thì
Chứng minh.
Để chứng minh Sp(u) là tập không quá đếm đ-ợc ta chỉ cần chứng minh tập
{α ∈ Sp(u) : |α| ≥ 1/n} là hữu hạn với mọi số nguyên d-ơng n. Giả sử trái lại, có n0 để tập {α ∈ Sp(u) : |α| ≥ 1/n0} là vô hạn. Lấy dãy (αn) các phần tử đôi một khác nhau của {α ∈Sp(u) :|α| ≥1/n0}. Nh- vậy, ta có dãy (an) các véc tơ riêng t-ơng ứng. Tr-ớc hết chúng ta chứng tỏ bằng qui nạp rằng hệ (ai)n
i=1 là độc lập tuyến tính. Nếu n ≥ 2 và Pn
i=1λiai = 0, ta cũng có Pn
i=1λiαiai = 0; suy ra
Pn
i=2λi(1−αi/α1)ai = 0.Theo giả thiết qui nạp, suy ra λ2 =. . .=λn = 0; do đó ta cũng cóλ1 = 0.
Với mọi n, gọi Hn là không gian con sinh bởi hệ (ai)n
i=1. Theo Định lý 1.34, ta có dãy xn ∈Hn,kxnk= 1 và d(xn, Hn−1) ≥1−ε. Ta viết xn =Pn
i=1λiai, trong đó λn 6= 0. Khi đó với mọi y ∈ Hn−1 ta đều có kλnan −yk ≥ 1−ε; suy ra
kλnαnan−yk ≥(1−ε)/n0. Suy rad(u(xn), Hn−1)≥(1−ε)/n0. Vớim < nta có
ku(xn)−u(xm)k ≥d(u(xn), Hm)k ≥(1−ε)/n0;
mâu thuẫn với tính compact của toán tử u.
Khi Sp(u) là đếm đ-ợc thìE là vô hạn chiều, theo Định lý 2.20 thì0∈Sp(u). Từ tính hữu hạn của mỗi tập {α∈Sp(u) :|α| ≥1/n} ta suy ra Sp(u) có điểm tụ duy nhất là0.
Giả sử dãy các giá tri riêng đ-ợc sắp theo thứ tự |αi| > |αi+1| và rn là bậc của
αn. Theo Định lý 2.21, ta có phân rã E thành trực tổng tôpô E = H1 ⊕G1, trong đó H1 = ker(u−α1id)r1 và G1 = im(u−α1id)r1 là các không gian con đóng
u-bất biến. Do hạn chế của u trên G1 là compact, nên ta có G1 = H2 ⊕G2, trong đó H2 =ker(u−α2id)r2 vàG2 =im(u−α1id)r1 ◦(u−α2id)r2. Bằng qui nạp ta có định lý sau đây:
Định lý 2.23 (Định lý phổ). Ta có phân rãE thành trực tổng tôpô:
E =Hn⊕Gn,
trong đóHn=ker(u−α1id)r1⊕. . .⊕ker(u−αnid)rn,là dãy tăng các không gian con hữu hạn chiều;Gn=im(u−α1id)r1◦. . .◦(u−αnid)rn,là dãy giảm các không gian con đóng.
2.5 Bài tập ch-ơng 2
1. Giả sử f là ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F. Chứng minh rằng: nếu f liên tục tại điểm a nào đó, thì f là liên tục đều trên E.
2. Giả sử f là ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩnF.Chứng minh rằng: nếudimE <+∞thìf là liên tục. Kết luận có còn đúng ? nếu thay "dimE <+∞ " bởi "dimF < +∞".
3. Giả sử f là ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F. Chứng minh rằng: f liên tục khi và chỉ khi có B0(a;r) ⊂ E, B0(b;s)⊂F sao cho f(B0(a;r))⊂B0(b;s).Khi đó ta có kfk ≤2r−1s.
4. Giả sử E, F là các không gian Banach sao choIsom(E;F)6=∅.Chứng minh rằng ánh xạ u → u−1 liên tục trên Isom(E;F); suy ra ánh xạ u → u−1 là một đồng phôi từ Isom(E;F)lên Isom(F;E).
5. Ta nói ánh xạ tuyến tính f từ không gian định chuẩnE vào không gian định chuẩn F, là ánh xạ compact nếuu ảnh qua f của mỗi tập bị chặn đều là tập compact t-ơng đối. Chứng minh rằng: mọi ánh xạ compact đều là liên tục. 6. Chứng minh rằng: f ∈L(E;F)là ánh xạ compact khi và chỉ khi ảnh của một
hình cầu nào đó qua f là compact t-ơng đối.
7. Chứng minh rằng: nếu f ∈ L(E;F) và F hữu hạn chiều thì f là ánh xạ compact.
8. Giả sử F là không gian con của không gian định chuẩn E vàf là ánh xạ ánh xạ tuyến tính liên tục từ F vào không gian Bananh G. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất f ∈L(F;G), là suy rộng của f; hơn thế nữakfk=kfk.
9. Giả sử E là không gian định chuẩn phức và f là một ánh xạ từ E vào C.
Chứng minh rằng:
a) f là tuyến tính khi và chỉ khiRef là tuyến tính, trong tr-ờng hợp này thì
f(x) =Ref(x)−iRef(ix);
b) ánh xạ f →Ref,từ L(E;C) vào L(E;R), là đẳng cự tuyến tính.
10. (Nguyên lý bị chặn đều). Giả sử E là không gian Banach và (fi)i∈I là họ các phần tử trong L(E;F). Nếu dãy (fi(x))i∈I bị chặn với mọi x ∈ E thì dãy
(fi)i∈I là bị chặn.
11. Giả sử (fn) là dãy các phiếm hàm trên không gian định chuẩn E. Khi có phiếm hàm f trên E sao cho limnfn(x) = f(x), với mọi x ∈ E; ta nói dãy
(fn) hội tụ yếu∗ về f. Chứng minh rằng: mọi dãy bị chặn (fn) các phiếm hàm, đều có dãy con hội tụ yếu∗.
12. Giả sử (fn) là dãy trongL(E;F)sao cho với mọi x∈E đều tồn tại giới hạn
limnfn(x).Đặtf(x) = limnfn(x). Chứng minh rằng: f là ánh xạ tuyến tính; nếu dãy (fn) là bị chặn thì f ∈L(E;F)và kfk ≤lim supnkfnk.
13. Giả sử x0 là véc tơ khác không của không gian định chuẩn E. Chứng minh rằng tồn tại phiếm hàm f trên E sao cho f(x0) =kx0k và kfk= 1.
14. Giả sử x1 6=x2 là hai véc tơ của không gian định chuẩn E. Chứng minh rằng tồn tại phiếm hàmf trênE sao cho f(x1)6=f(x2).
15. Giả sử F là không gian véc tơ con đóng của không gian định chuẩn E và
x∈ E \F. Chứng minh rằng tồn tại phiếm hàm f trên E sao cho f(x) = 1
vàf(F) ={0}.
16. Giả sửx1, . . . , xnlàn véc tơ độc lập tuyến tính của không gian định chuẩnE.
Chứng minh rằng trênE,tồn tạinphiếm hàmf1, . . . , fnthoả mãnfi(xj) =δij.
17. Giả sử E, F là các không gian Banach và f ∈L(E;F) sao cho có ε >0 để
kf(x)k ≥ εkxk, với mọi x ∈ E. Chứng minh rằng f là một đẳng cấu tôpô tuyến tính từE lên không gian con đóng f(E) củaF.
18. Giả sửE, F là các không gian Banach vàf ∈L(E;F)là một toàn ánh. Chứng minh rằng tồn tại số c >0 sao cho kf(x)k ≥cãd(x,kerf), với mọix∈E.
19. Giả sử F là không gian con đóng của không gian Hilbert E và PF là phép chiếu trực giao từ E lênF. Chứng minh rằng PF là liên tục; suy ra E là trực tổng tôpô của F vàF⊥.
20. Chứng minh rằng: nếuF là không gian con đóng, có đối chiều hữu hạn trong không gian Banach E; thì F là một thành phần trực tiếp tôpô.
21. Giả sử E, F là các không gian Banach và f ∈ L(E;F). Chứng minh rằng: nếu f(E) có đối chiều hữu hạn thì f(E) là không gian con đóng của F.
22. Giả sử f ∈L(E;F), u∈L(F;G), g ∈L(G;H). Chứng minh rằng: nếu u là compact thì các ánh xạ u◦f vàg◦u cũng là compact.
23. Giả sử E là không gian Hilbert vô hạn chiều với (un)n là một hệ trực chuẩn toàn vẹn; (αn)n là một dãy các l-ợng vô h-ớng, hội tụ về 0. Với mỗi x∈E,
đặt f(x) =X n αn< x, un> un. Chứng minh rằng: a) f ∈L(E;E) vàkfk= sup{|αn|: n∈N}; b) f là toán tử compact; c) Sp(f) ={0} ∪ {αn:n ∈N}.
24. Cho I = [0; 1]là khoảng compact; (C(I),k.k∞)là không gian Banach các hàm số (thực) liên tục trên I với chuẩn sup; K là hàm số cho bởi:
K(t, s) =
t(1−s) nếu 0≤t ≤s≤1,
s(1−t) nếu 0≤s ≤t≤1.
Với mỗi hàm số x∈C(I), ta xác định hàm số u(x)∈C(I),cho bởi
u(x)(t) =
Z b a
K(t, s)x(s)dx.
a) Chứng minh rằng ulà toán tử conpact trên C(I);
b) Với α∈ R vàx ∈C(I);chứng minh rằng α x(x) =x khi và chỉ khi x có đạo hàm cấp hai trên khoảng (0; 1) thoả mãnx00+α x= 0, x(0) =x(1) = 0; c) Tìm phổ của toán tử u.
3
Đại c-ơng về phép tính vi phân
Trong toàn bộ ch-ơng này, các không gian đ-ợc nhắc tới đ-ợc hiểu là các không gian Banach trên cùng một tr-ờng số(R hoặc C).
3.1 Đạo ánh
3.1.1 Đạo ánh và đạo ánh riêng
Giả sử f và g là các ánh xạ từ tập mở chứa điểm x0 của không gian BanachE vào không gian Banach F. Ta nói rằng f tiếp xúc vớig tạix0 ∈ E nếuu
lim
x→x0,x6=x0
kf(x)−g(x)k kx−x0k = 0.
Dễ dàng thấy rằng: quan hệ tiếp xúc tại x0, là một quan hệ t-ơng đ-ơng. Cũng thấy rằng: không có quá một u∈ L(E;F) để ánh xạ x→ f(x0) +u(x−x0) tiếp xúc vớif tạix0; trong tr-ờng hợp có ánh xạ unh- vậy, ta nói: ánh xạf khả vi tại điểm x0, ulà đạo ánh(đạo hàm) của f tại x0. Đạo ánh củaf tại x0 th-ờng đ-ợc ký hiệu là f0(x0), hoặc Df(x0).
Dễ dàng thấy rằng: ánh xạ f là khả vi tại x0 khi và chỉ khi cóu∈L(E;F)sao cho
f(x0+h)) = f(x0) +u(h) +◦(h) với lim
h→0,h6=0
◦(h)
khk = 0.
Chú ý rằng: tính khả vi của ánh xạ f: E → F, không phụ thuộc vào các chuẩn t-ơng đ-ơng trong mỗi không gianE, F.
Ví dụ 3.1.1 Hàm hằng từ E vào F, là khả vi tại mọi điểm và đạo ánh của nó tại điểm bất kỳ đều là ánh xạ 0∈L(E;F).
Ví dụ 3.1.2 Nếu u∈L(E;F) thì u khả vi tại mọi điểm x∈E vàDu(x) =u.
Ví dụ 3.1.3 Nếu u ∈ L(E, F;G) thì u khả vi tại mọi điểm (x, y) ∈ E ì F và
Khi f:U →F, có mở rộng là ánh xạ khả vi tại mọi điểm của một tập mở chứa U,
ta nói f khả vi trên tập U; trong tr-ờng hợp này: nếu ánh xạ x7→f0(x) liên tục, ta nói: f:U → F khả vi liên tục (f thuộc lớp C1, hay: f là C1−ánh xạ).
Bây giờ chúng ta đ-a ra khái niệm về đạo ánh riêng. Mối liên hệ giữa đạo ánh và đạo ánh riêng sẽ đ-ợc xét tới ở phần tiếp theo.
Giả sử f là ánh xạ từ tập mở U1 ìU2 chứa điểm (a1, a2) của không gian Banach
E1 ìE2 vào không gian Banach F. Nếu ánh xạ x1 → f(x1, a2) (từ U1 vào F) là khả vi tại a1, ta ký hiệu đạo ánh tại điểm này là D1f(a1, a2) và gọi nó là đạo ánh riêng theo biến thứ nhất của f tại điểm (a1, a2). T-ơng tự, D2f(a1, a2) là đạo ánh riêng theo biến thứ hai tại(a1, a2) của f.
3.1.2 Một số qui tắc tính đạo ánh
Định lý 3.1 (Quy tắc đạo hàm hàm hợp). Giả sử f là ánh xạ từ một tập mở chứa điểm x0 của không gian Banach E vào không gian Banach F và g là ánh xạ từ tập mở chứa điểmy0 =f(x0)của không gian BanachF vào không gian BanachG. Khi đó ta có: nếuf khả vi tại điểmx0 vàg khả vi tại điểm y0 thì ánh xạ h=g◦f xác định tại một lân cận của điểm x0, khả vi tại x0 và
h0(x0) =g0(y0)◦f0(x0).
Chứng minh.
Với 0< ε < 1, cór >0 sao cho khi ksk ≤r,ktk ≤r ta có
f(x0+s) =f(x0) +f0(x0)(s) +◦1(s), g(y0+t) =g(y0) +g0(y0)(t) +◦2(t), vớik ◦1(s)k ≤εksk và k ◦2(t)k ≤εktk. Do f0(x0) ∈ L(E;F), g0(y0) ∈ L(F;G) nên ta đặt a =kf0(x0)k và b= kg0(y0)k. Khi ksk ≤r/(a+ 1) ta có kf0(x0)(s) +◦1(s)k ≤(a+ 1)ksk ≤r, do đó k ◦2(f0(x0)(s) +◦1(s))k ≤εkf0(x0)(s) +◦1(s)k ≤ε(a+ 1)ksk và kg0(y0)(◦1(s))k ≤bk ◦1(s)k ≤b εksk. Thành thử (g◦f)(x0+s) = g(f(x0+s)) =g(y0+f0(x0)(s) +◦1(s)) = =g(y0) +g0(y0)(f0(x0)(s) +◦1(s)) +◦2(f0(x0)(s) +◦1(s)) = =g(f(x0)) +g0(y0)(f0(x0)(s)) +g0(y0)(◦1(s)) +◦2(f0(x0)(s) +◦1(s)) = = (g◦f)(x0) + (g0(y0)◦f0(x0))(s) +◦3(s); với k ◦3(s)k=kg0(y0)(◦1(s)) +◦2(f0(x0)(s) +◦1(s))k ≤(b+a+ 1)εksk.
Định lý 3.2 Giả sử F = F1 ì ã ã ã ìFm là tích của các không gian Banach và
f = (f1, . . . , fm) là ánh xạ từ một tập mở chứa x0 của không gian Banach E vào
F. Để f khả vi tại x0, điều kiện cần và đủ là các ánh xạ fi khả vi tại x0; khi đó
f0(x0) = (f10(x0), . . . , fm0 (x0)) (ở đây L(E;F) đ-ợc đồng nhất với tích các không gian L(E;Fi)).
Chứng minh.
Vì mỗi ánh xạ u từ E vào F đều đ-ợc viết một cách duy nhất d-ới dạng u = (u1, . . . , um), trong đó mỗi ui là một ánh xạ từ E vào Fi. Ta thấy u ∈ L(E;F)
khi và chỉ khi các ui ∈L(E;Fi); điều này cho phép ta đồng nhất L(E;F) với tích
L(E;F1)ì ã ã ã ìL(E;Fm). Từ định nghĩa đạo ánh ta suy rau là đạo ánh củaf tại
x0 khi và chỉ khi mỗi ui là đạo ánh của fi tại x0.
Định lý 3.3 Giả sử f và g là các ánh xạ từ một tập mở chứa x0 của không gian Banach E vào các không gian Banach t-ơng ứng F1 và F2; u ∈ L(F1, F2;G). Nếu
f vàg khả vi tại x0 ∈E thì ánh xạ u(f, g):E →G, x→u(f(x), g(x)), khả vi tại
x0 và
Du(f, g)(x0) =u(f0(x0), g(x0)) +u(f(x0), g0(x0));
trong đó ánh xạ ở vế phải đ-ợc hiểu là