3 Đại c-ơng về phép tính vi phân
3.1.2Một số qui tắc tính đạo ánh
Định lý 3.1 (Quy tắc đạo hàm hàm hợp). Giả sử f là ánh xạ từ một tập mở chứa điểm x0 của không gian Banach E vào không gian Banach F và g là ánh xạ từ tập mở chứa điểmy0 =f(x0)của không gian BanachF vào không gian BanachG. Khi đó ta có: nếuf khả vi tại điểmx0 vàg khả vi tại điểm y0 thì ánh xạ h=g◦f xác định tại một lân cận của điểm x0, khả vi tại x0 và
h0(x0) =g0(y0)◦f0(x0).
Chứng minh.
Với 0< ε < 1, cór >0 sao cho khi ksk ≤r,ktk ≤r ta có
f(x0+s) =f(x0) +f0(x0)(s) +◦1(s), g(y0+t) =g(y0) +g0(y0)(t) +◦2(t), vớik ◦1(s)k ≤εksk và k ◦2(t)k ≤εktk. Do f0(x0) ∈ L(E;F), g0(y0) ∈ L(F;G) nên ta đặt a =kf0(x0)k và b= kg0(y0)k. Khi ksk ≤r/(a+ 1) ta có kf0(x0)(s) +◦1(s)k ≤(a+ 1)ksk ≤r, do đó k ◦2(f0(x0)(s) +◦1(s))k ≤εkf0(x0)(s) +◦1(s)k ≤ε(a+ 1)ksk và kg0(y0)(◦1(s))k ≤bk ◦1(s)k ≤b εksk. Thành thử (g◦f)(x0+s) = g(f(x0+s)) =g(y0+f0(x0)(s) +◦1(s)) = =g(y0) +g0(y0)(f0(x0)(s) +◦1(s)) +◦2(f0(x0)(s) +◦1(s)) = =g(f(x0)) +g0(y0)(f0(x0)(s)) +g0(y0)(◦1(s)) +◦2(f0(x0)(s) +◦1(s)) = = (g◦f)(x0) + (g0(y0)◦f0(x0))(s) +◦3(s); với k ◦3(s)k=kg0(y0)(◦1(s)) +◦2(f0(x0)(s) +◦1(s))k ≤(b+a+ 1)εksk.
Định lý 3.2 Giả sử F = F1 ì ã ã ã ìFm là tích của các không gian Banach và
f = (f1, . . . , fm) là ánh xạ từ một tập mở chứa x0 của không gian Banach E vào
F. Để f khả vi tại x0, điều kiện cần và đủ là các ánh xạ fi khả vi tại x0; khi đó
f0(x0) = (f10(x0), . . . , fm0 (x0)) (ở đây L(E;F) đ-ợc đồng nhất với tích các không gian L(E;Fi)).
Chứng minh.
Vì mỗi ánh xạ u từ E vào F đều đ-ợc viết một cách duy nhất d-ới dạng u = (u1, . . . , um), trong đó mỗi ui là một ánh xạ từ E vào Fi. Ta thấy u ∈ L(E;F)
khi và chỉ khi các ui ∈L(E;Fi); điều này cho phép ta đồng nhất L(E;F) với tích
L(E;F1)ì ã ã ã ìL(E;Fm). Từ định nghĩa đạo ánh ta suy rau là đạo ánh củaf tại
x0 khi và chỉ khi mỗi ui là đạo ánh của fi tại x0.
Định lý 3.3 Giả sử f và g là các ánh xạ từ một tập mở chứa x0 của không gian Banach E vào các không gian Banach t-ơng ứng F1 và F2; u ∈ L(F1, F2;G). Nếu
f vàg khả vi tại x0 ∈E thì ánh xạ u(f, g):E →G, x→u(f(x), g(x)), khả vi tại
x0 và
Du(f, g)(x0) =u(f0(x0), g(x0)) +u(f(x0), g0(x0));
trong đó ánh xạ ở vế phải đ-ợc hiểu là
v→u(f0(x0)(v), g(x0)) +u(f(x0), g0(x0)(v)).
Chứng minh.
Đặt h= (f, g).Theo qui tắc đạo hàm hàm hợp, ta có
Du(f, g)(x0) =u0(f(x0), g(x0))◦h0(x0) =u0(f(x0), g(x0))◦(f0(x0), g0(x0)). Nh- vậy, ta có Du(f, g)(x0)(v) =u0(f(x0), g(x0))(f0(x0)(v), g0(x0)(v)). Theo Ví dụ 3.1.3, ta lại có u0(f(x0), g(x0))(f0(x0)(v), g0(x0)(v)) =u(f0(x0)(v), g(x0)) +u(f(x0), g0(x0)(v)).
Định lý 3.4 Nếuf là ánh xạ từ một tập mở chứax0 vào không gian BanachF, khả vi tại x0 và u∈L(F;G) thìu◦f cũng khả vi tại x0 và (u◦f)0(x0) =u◦f0(x0).
Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập.
Định lý 3.5 Giả sửf, glà các ánh xạ từ một tập mở chứax0 vào không gian Banach
F vàc là một l-ợng vô h-ớng. Nếu f vàg khả vi tại x0 thì f +g vàcf cũng khả vi tại x0; hơn nữa ta có
(f +g)0(x0) =f0(x0) +g0(x0) và(cf)0(x0) =cf0(x0). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh.
Theo Định lý 3.2, h = (f, g) là ánh xạ khả vi tại x0 và h0(x0) = (f0(x0), g0(x0)).
Phép cộng trongF là phần tử của L(F ìF;F). Theo Định lý 3.4, ta có ngay
(f +g)0(x0) =f0(x0) +g0(x0).
Đọc giả hãy tự chứng minh tr-ờng hợp còn lại của định lý.
Định lý 3.6 Giả sửf là ánh xạ từ tập mởU1ìU2 của không gian Banach E1ìE2 vào không gian BanachF.Để f là khả vi liên tục, điều kiện cần và đủ là: f khả vi theo biến thứ nhất, khả vi theo biến thứ hai và các ánh xạ (x1, x2)→ D1f(x1, x2), (x1, x2) → D2f(x1, x2) là liên tục. Trong tr-ờng hợp này, với mọi (x1, x2) ∈
U1 ìU2,(v1, v2)∈E, ta đều có:
Df(x1, x2)(v1, v2) =D1f(x1, x2)(v1) +D2(x1, x2)(v2)
Chứng minh.
00 ⇒ .00 Với (a1, a2) tuỳ ý của U; lấy i1 : U1 → E, i1(x1) = (x1, a2) và i2 :U2 →
E, i2(x2) = (a1, x2). Ta có Di1 = (idE1,0) và Di2 = (0, idE2)là các hằng ánh. Vì ánh xạ x1 →f(x1, a2) là hợp củaf vài1,còn ánh xạ x2 →f(a1, x2)là hợp của f
vài2, nên tồn tại D1f(a1, a2) vàD2f(a1, a2). Hơn nữa, ta có
D1f(a1, a2) =Df(a1, a2)◦(idE1,0) và D2f(a1, a2) =Df(a1, a2)◦(0, idE2).
Từ hệ thức trên ta suy ra tính liên tục của D1f và D2f;hơn nữa
Df(a1, a2)(v1, v2) =Df(a1, a2)(v1,0) +Df(a1, a2)(0, v2) = =D1f(a1, a2)(v1) +D2f(a1, a2)(v2).
00⇐ .00 Với ε > 0. Theo định nghĩa của đạo ánh và Định lý 3.11, cór > 0 sao cho khi kh1k ≤r,kh2k ≤r,thì
và
kf(a1 +h1, a2 +h2)−f(a1+h1, a2)−D2f(a1+h1, a2)(h2)k ≤ ≤ kh2k sup
0≤t≤1
kD2f(a1+h1, a2+th2)−D2f(a1+h1, a2)k.
Do D2f liên tục nên có r0>0, r0≤r sao cho khi kh1k ≤r0, kh2k ≤r0, thì
kD2f(a1+h1, a2+h2)−D2f(a1, a2)k ≤ε. Thế thì kf(a1+h1, a2+h2)−f(a1, a2)−D1f(a1, a2)(h1)−D2f(a1, a2)(h2)k ≤ ≤ kf(a1+h1, a2+h2)−f(a1+h1, a2)−D2f(a1+h1, a2)(h2)k+ +kf(a1+h1, a2)−f(a1, a2)−D1f(a1, a2)(h1)k+ +k(D2f(a1+h1, a2)−D2f(a1, a2))(h2)k ≤ ≤ε(kh1k+ 3kh2k).
Định lý 3.7 Giả sửf làC1−ánh xạ từ tập mởU1ì. . .ìUm của không gian Banach
E1ì. . .ìEm vào không gian Banach F;V là tập mở của E vàg = (g1, . . . , gm),
vớigi:V →Ui là các C1−ánh xạ. Thế thìf ◦g:V →F là C1−ánh xạ và D(f ◦g) = m X i=1 (Dif)◦g◦Dgi. Chứng minh.
Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập.