3 Đại c-ơng về phép tính vi phân
3.1.1 Đạo ánh và đạo ánh riêng
Giả sử f và g là các ánh xạ từ tập mở chứa điểm x0 của không gian BanachE vào không gian Banach F. Ta nói rằng f tiếp xúc vớig tạix0 ∈ E nếuu
lim
x→x0,x6=x0
kf(x)−g(x)k kx−x0k = 0.
Dễ dàng thấy rằng: quan hệ tiếp xúc tại x0, là một quan hệ t-ơng đ-ơng. Cũng thấy rằng: không có quá một u∈ L(E;F) để ánh xạ x→ f(x0) +u(x−x0) tiếp xúc vớif tạix0; trong tr-ờng hợp có ánh xạ unh- vậy, ta nói: ánh xạf khả vi tại điểm x0, ulà đạo ánh(đạo hàm) của f tại x0. Đạo ánh củaf tại x0 th-ờng đ-ợc ký hiệu là f0(x0), hoặc Df(x0).
Dễ dàng thấy rằng: ánh xạ f là khả vi tại x0 khi và chỉ khi cóu∈L(E;F)sao cho
f(x0+h)) = f(x0) +u(h) +◦(h) với lim
h→0,h6=0
◦(h)
khk = 0.
Chú ý rằng: tính khả vi của ánh xạ f: E → F, không phụ thuộc vào các chuẩn t-ơng đ-ơng trong mỗi không gianE, F.
Ví dụ 3.1.1 Hàm hằng từ E vào F, là khả vi tại mọi điểm và đạo ánh của nó tại điểm bất kỳ đều là ánh xạ 0∈L(E;F).
Ví dụ 3.1.2 Nếu u∈L(E;F) thì u khả vi tại mọi điểm x∈E vàDu(x) =u.
Ví dụ 3.1.3 Nếu u ∈ L(E, F;G) thì u khả vi tại mọi điểm (x, y) ∈ E ì F và
Khi f:U →F, có mở rộng là ánh xạ khả vi tại mọi điểm của một tập mở chứa U,
ta nói f khả vi trên tập U; trong tr-ờng hợp này: nếu ánh xạ x7→f0(x) liên tục, ta nói: f:U → F khả vi liên tục (f thuộc lớp C1, hay: f là C1−ánh xạ).
Bây giờ chúng ta đ-a ra khái niệm về đạo ánh riêng. Mối liên hệ giữa đạo ánh và đạo ánh riêng sẽ đ-ợc xét tới ở phần tiếp theo.
Giả sử f là ánh xạ từ tập mở U1 ìU2 chứa điểm (a1, a2) của không gian Banach
E1 ìE2 vào không gian Banach F. Nếu ánh xạ x1 → f(x1, a2) (từ U1 vào F) là khả vi tại a1, ta ký hiệu đạo ánh tại điểm này là D1f(a1, a2) và gọi nó là đạo ánh riêng theo biến thứ nhất của f tại điểm (a1, a2). T-ơng tự, D2f(a1, a2) là đạo ánh riêng theo biến thứ hai tại(a1, a2) của f.