Lý thuyết giải tích 1 đại học bách khoa hà nội Chương 3 : Giải tích hàm hai biến slides dùng cho chương trình chuẩn Ngay khi vào năm nhất thì combo Giải tích I + Đại số là hai môn toán đầu tiên trong chặng đường toán học đầy chông gai trong 45 năm tại Bách Khoa mà hầu hết các sinh viên đều phải trải quaqua. Đây là lỗi ám ảnh của bao thế hệ sinh viên Bách Khoa, đấy là lời đồn trên Facebook thế thôi chứ mình thấy các bạn A, A+ đầy ra. Về cơ bản thì mình thấy là giải tích I là giống so với toán cấp III, tuy nhiên mọi thứ đều được nâng cao lên rất nhiều. Ví dụ, cấp III chúng ta chỉ được giới thiệu công thức rồi áp dụng làm bài tập thì giải tích I sẽ giải thích, chứng minh cho ta thấy là tại sao lại có những công thức này. Hay là một bài toán cấp III về tích phân chỉ đến dạng này, nhưng giải tích I sẽ đề cập tới những dạng khác nữa, nâng cao hơn nữa rất nhiều. Thế nên, các bạn muốn được điểm cao ( hay là qua môn đi nữa) thì vẫn phải học, làm bài tập chứ không thể sử dụng kiến thức của cấp III để giải quyết mọi vấn đề được.
Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Ngày tháng năm 2023 Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 1/48 Ngày tháng năm 2023 / 48 Nội dung Giới hạn hàm số nhiều biến số Đạo hàm vi phân hàm số nhiều biến số Đạo hàm riêng Vi phân toàn phần Đạo hàm hàm số hợp Đạo hàm vi phân cấp cao Hàm ẩn - Đạo hàm hàm số ẩn Cực trị hàm số nhiều biến số Cực trị tự Cực trị có điều kiện Giá trị lớn - Giá trị nhỏ Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 2/48 Ngày tháng năm 2023 / 48 Hàm số nhiều biến số Cho M (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , N (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn Ký hiệu d(M, N ), khoảng cách M N , số thực tính theo công thức v u n p uX d(M, N ) = (y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 + · · · + (yn − xn )2 = t (yi − xi )2 i=1 Với M0 (x01 , x02 , , x0n ) ∈ Rn ε > 0, tập B(M0 , ε) = {M ∈ Rn : d(M0 , M ) < ε} gọi ε− lân cận lân cận bán kính ε M0 hình cầu mở tâm M0 bán kính ε Cho E ⊂ Rn Điểm M gọi điểm E tồn ε > cho B(M, ε) ⊂ E Điểm N ∈ Rn gọi điểm biên E với ε > 0, tập B(N, ε) chứa điểm thuộc E điểm không thuộc E Tập E gọi mở điểm điểm trong, gọi đóng chứa điểm biên Tập E ⊂ Rn gọi bị chặn hay giới nội tồn số N > cho E ⊂ B(0, N ) Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 3/48 Ngày tháng năm 2023 / 48 Định nghĩa Cho D ⊂ Rn Gọi ánh xạ f : D → R, quy tắc cho tương ứng M (x1 , x1 , , xn ) với u = f (M ) = f (x1 , x1 , , xn ), hàm số n biến số xác định D Tập D gọi gọi miền xác định (hoặc tập xác định) hàm f x1 , x1 , , xn biến số độc lập Nếu cho hàm số u = f (M ) mà khơng nói tập xác định ta hiểu tập xác định D hàm số tập điểm M cho f (M ) có nghĩa Lúc đó, B = {f (M ) : M ∈ D} gọi miền giá trị hàm số f Ví dụ 1.1 Tìm miền xác định miền giá trị hàm số sau a) u = b) u = ln(x + y) p − x2 − y Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 4/48 Ngày tháng năm 2023 / 48 a Tập xác định hàm số D = {(x, y) ∈ R2 : − x2 − y ≥ 0} hay D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y ≤ 4} Vậy, tập xác định hàm số hình trịn tâm bán kính Dễ thấy miền giá trị hàm số B = [0, 4] b Tập xác định hàm số D = {(x, y) ∈ R2 : x + y > 0} hay D = {(x, y) ∈ R2 : y > −x} Vậy, tập xác định hàm số nửa mặt phẳng có biên đường thẳng y = −x miền giá trị hàm số B = R Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 5/48 Ngày tháng năm 2023 / 48 Giới hạn hàm số nhiều biến số Định nghĩa Cho hàm số f (M ) xác định B(M, ε) \ {M0 } Hàm số f (M ) có giới hạn L M → M0 nếu: ∀ε > 0, ∃δ > : < d(M, M0 ) < δ |f (M ) − L| < ε Một cách tương đương, với dãy điểm Mn thuộc B(M, ε) \ {M0 } dần đến M0 ta có lim f (Mn ) = L n→+∞ Khi ta viết lim f (M ) = L M →M0 Khái niệm giới hạn vô hạn định nghĩa tương tự Các định lý giới hạn tổng, hiệu, tích, thương hàm số biến số cho hàm số nhiều biến số Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 6/48 Ngày tháng năm 2023 / 48 Giới hạn hàm số nhiều biến số Hàm số biến số: − Khi x → x0 , có hai hướng x → x+ x → x0 Hàm số nhiều biến số: Khi (x, y) → (x0 , y0 ), có vơ số hướng khác Hệ Muốn tồn giới hạn hàm số nhiều biến số việc khơng dễ phải lim f (x, y) = L theo hướng (x, y) → (x0 , y0 ) (x,y)→(x0 ,y0 ) Trong thực hành, muốn tìm giới hạn hàm số nhiều biến số, phương pháp chứng minh chủ yếu đánh giá hàm số để dùng nguyên lý giới hạn kẹp, đưa giới hạn hàm số biến số Ví dụ 1.2 a) lim (x,y)→(0,0) 2x4 + 4y , x2 + 4y Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) b) Tính CHƯƠNG lim (x,y)→(0,0) x cos y x 7/48 Ngày tháng năm 2023 / 48 a) Do ≤ x2 2x4 ≤ 2x2 , + 4y lim (x,y)→(0,0) 0≤ x2 4y ≤ y sử dụng nguyên lý giới hạn kẹp, ta có + 4y 2x4 + 4y 2x4 4y = lim + lim = + = 2 2 (x,y)→(0,0) x + 4y (x,y)→(0,0) x + 4y x + 4y y a) zx′ = x+ √1 x2 +y 1+ p x x2 + y b) zx′ = y cos xy ; zy′ = 2y sin c) zx′ = y xy d) u′x = y z xy −1 z x y ! = √ x2 +y ; zy′ = x+ √1 x2 +y − x cos xy p y = √ y2 2 x x +y +x +y x2 + y ; zy′ = 3y xy ln x −1 z z ; u′y = xy ln x zy z−1 ; u′z = xy ln x y z ln y Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 18/48 Ngày tháng năm 2023 18 / 48 Đạo hàm riêng Ví dụ 2.2 Cho hàm số f (x) = Tính Ta có ∂f ∂f (0, 0), (0, 0) ∂x ∂y (x2 + 2y ) sin 0 x2 + 2y x2 + y 6= 0, x2 + y = f (∆x, 0) − f (0, 0) ∂f =0 (0, 0) = lim = lim ∆x sin ∆x→0 ∆x→0 ∂x ∆x ∆x2 f (0, ∆y) − f (0, 0) ∂f = (0, 0) = lim = lim 2∆y sin ∆y→0 ∆y→0 ∂y ∆y 2∆y Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 19/48 Ngày tháng năm 2023 19 / 48 Vi phân toàn phần Ta xét hàm số hai biến, (tương tự cho hàm số nhiều biến hơn) Định nghĩa Cho hàm số f (x, y) xác định lân cận (x0 , y0 ) Nếu biểu diễn số gia toàn phần dạng △f = f (x0 + △x0 , y0 + △y0 ) − f (x0 , y0 ) = A △ x + B △ y + α △ x + β △ y A, B số, α, β → (x, y) → (x0 , y0 ) ta nói hàm số z khả vi (x0 , y0 ) df (x0 , y0 ) = A △ x + B △ y gọi vi phân toàn phần z = f (x, y) (x0 , y0 ) Định lý 2.1 Nếu hàm số f (x, y) có đạo hàm riêng lân cận (x0 , y0 ) đạo hàm riêng liên tục (x0 , y0 ) f (x, y) khả vi (x0 , y0 ) df (x0 , y0 ) = fx′ (x0 , y0 ) △ x + fy′ (x0 , y0 ) △ y Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 20/48 Ngày tháng năm 2023 20 / 48 Vi phân toàn phần Đặc biệt, với x, y biến số độc lập dx = ∆x, dy = ∆y Lúc đó, ta có df (x0 , y0 ) = ∂f ∂f (x0 , y0 )dx + (x0 , y0 )dy ∂x ∂y Ví dụ 2.3 Vi phân toàn phần hàm số z = ex +y dz = 2ex +y (xdx + ydy) Hàm số nhiều biến số: 6⇐ Khả vi ⇒ Có đạo hàm riêng Hàm số biến số: Khả vi ⇔ Có đạo hàm Ví dụ 2.4 Hàm số f (x, y) = xy x2 + y 0 (x, y) 6= (0, 0), (x, y) = (0, 0) có đạo hàm riêng (0, 0) không liên tục, khơng khả vi (0, 0) Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 21/48 Ngày tháng năm 2023 21 / 48 Vi phân tồn phần Xuất phát từ cơng thức f (x0 + △x0 , y0 + △y0 ) − f (x0 , y0 ) = A △ x + B △ y + o(△x) + o(△y) dẫn tới cơng thức tính gần Ứng dụng vi phân để tính gần f (x0 + △x, y0 + △y) ≈ f (x0 , y0 ) + fx′ (x0 , y0 ) △ x + fy′ (x0 , y0 ) △ y Ví dụ 2.5 Tính gần q a) A = (1, 04)3 + (2, 03)2 + Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) b) B = ln CHƯƠNG √ 1, 02 + √ 0, 99 − 22/48 Ngày tháng năm 2023 22 / 48 a) Xét hàm f (x, y) = p x3 + y + 3; ∆x = 0, 04; ∆y = 0, 03; x0 = 1; y0 = Ta có fx′ = (x3 + y + 3)2/3 3x2 ; fy′ = (x3 + y + 3)2/3 2y Khi A =f (1 + ∆x, + ∆y) ≈ f (1, 2) + fx′ (1, 2) ∆x + fy′ (1, 2) ∆y 1 =2 + 0, 04 + 0, 03 = 2, 02 b) Xét hàm f (x, y) = ln √ x+ Ta có fx′ = √ x+ √ y − ; x0 = 1; y0 = 1; ∆x = 0, 02; ∆y = −0, 01 √ Khi đó, ta có 1 ; fy′ = √ √ y − 3x 23 x + y − 4y 43 B = f (1 + ∆x, + ∆y) ≈ f (1, 1) + fx′ (1, 1) ∆x + fy′ (1, 1) ∆y 1 = + 0, 02 + (−0, 01) ≈ 0, 004 Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 23/48 Ngày tháng năm 2023 23 / 48 Đạo hàm hàm số hợp Cho F (x, y) = f (u(x, y), v(x, y)) Đạo hàm hàm số hợp ∂F ∂f ∂u ∂f ∂v ∂x = ∂u ∂x + ∂v ∂x ∂F ∂f ∂u ∂f ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y Cơng thức viết dạng ma trận sau Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) ∂F ∂x ∂F ∂y CHƯƠNG = ∂f ∂u ∂f ∂v ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y 24/48 Ngày tháng năm 2023 24 / 48 Đạo hàm hàm số hợp ∂u ∂x Ma trận ∂v ∂x ∂u ∂y gọi ma trận Jacobi, định thức ma trận gọi định thức Jacobi ∂v ∂y D(u, v) kí hiệu D(x, y) Ví dụ 2.6 a) Tìm đạo hàm hàm số hợp sau z = eu −2v , u = cos x, v = b) Cho f hàm số khả vi R, z(x, y) = f (x2 − y ) Tính p x2 + y A = yzx′ + xzy′ Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 25/48 Ngày tháng năm 2023 25 / 48 a) zx′ = zu′ u′x + zv′ vx′ = −2eu −2v u sin x − 4eu −2v v√ x x2 +y b) Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp, ta có zx′ = 2xf ′ (x2 + y ), zy′ = −2yf ′ (x2 + y ) Vì vậy, A = yz ′ + xzy′ = 2xyf ′ (x2 + y ) − 2yxf ′ (x2 + y ) = Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 26/48 Ngày tháng năm 2023 26 / 48 Đạo hàm vi phân cấp cao Cho hàm số hai biến số z = f (x, y) Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp tồn gọi đạo hàm riêng cấp hai ′ ′ ′′ (fx )x = fxx (x, y) ′′ (f ′ )′ = f (x, y) x y xy ′′ (fy′ )′x = fyx (x, y) ′′ ′ ′ (fy )y = fyy (x, y) Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp hai, tồn tại, gọi đạo hàm riêng cấp ba, Ví dụ 2.7 Tính đạo hàm riêng cấp hai z = Ta có ( p zx′ = x x2 − y p zy′ = −y x2 − y Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) q (x2 + y )3 p 2x 2x2 − y ′′ = p zxx = x2 − y + x p x2 − y x2 − y p 2y 2y − x2 ′′ ⇒ zyy = − x2 − y + y p = p x2 − y x2 − y −xy −2xy ′′ zxy = p = p x2 − y x2 − y CHƯƠNG 27/48 Ngày tháng năm 2023 27 / 48 Đạo hàm vi phân cấp cao Định lý 2.2 (Schwarz) ′′ ′′ Nếu z = f (x, y) có đạo hàm riêng fxy , fyx liên tục lân cận M ′′ ′′ fxy (M ) = fyx (M ) Định nghĩa Xét hàm số z = f (x, y) a) df = fx′ dx + fy′ dy, tồn tại, hàm số hai biến số b) Vi phân toàn phần df , tồn tại, gọi vi phân toàn phần cấp hai z kí hiệu d2 f , ′′ ′′ ′′ d2 f = fxx dx2 + 2fxy dxdy + fyy dy Ví dụ 2.8 Vi phân toàn phần cấp hai hàm số z = x2 y d2 z = 2y dx2 + 12xy dxdy + 6x2 ydy Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 28/48 Ngày tháng năm 2023 28 / 48 Đạo hàm vi phân cấp cao Định nghĩa Cho hàm số z = f (x, y) Ta định nghĩa dn f = d(dn−1 f ), ≤ n ∈ N Cơng thức tính vi phân cấp cao Nếu x, y biến độc lập ta có dn f = Viện Tốn ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG ∂ ∂ dx + dy ∂x ∂y n f 29/48 Ngày tháng năm 2023 29 / 48 Công thức Taylor-Maclaurin Định lý 2.3 Cho f (x, y) có đạo hàm riêng cấp n + liên tục lân cận điểm (x0 , y0 ) Khi đó, với ∆x, ∆y đủ nhỏ, tồn θ ∈ (0, 1) cho f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (x0 , y0 ) + n X dk f (x0 , y0 ) dn+1 f (x0 + θ∆x, y0 + θ∆y) + k! (n + 1)! k=1 Công thức gọi công thức khai triển Taylor cấp n Số hạng cuối gọi số dư khai triển Khi (x0 , y0 ) = (0, 0), khai triển Taylor trở thành khai triển Maclaurin: f (∆x, ∆y) = f (0, 0) + n X dk f (0, 0) dn+1 f (θ∆x, θ∆y) + k! (n + 1)! k=1 Ví dụ 2.9 a) Tìm khai triển Taylor hàm số f (x, y) = x2 + 2y − 3xy + 6x + 6y − lân cận điểm (−1, 2) b) Tìm khai triển Maclaurin f (x, y) = ex sin y đến bậc Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 30/48 Ngày tháng năm 2023 30 / 48 a) Ta có ( Do đó, fx′ (x, y) = 2x − 3y + ⇒ fx′ (−1, 2) = −2 fy′ (x, y) = 4y − 3x + ⇒ fy′ (−1, 2) = 17 df (−1, 2) = fx′ (−1, 2)(x + 1) + fy′ (−1, 2)(y − 2) = −2(x + 1) + 17(y − 2) ′′ ′′ ′′ Ta có, fxx (x, y) = 2, fyy (x, y) = 4, fxy (x, y) = −3 Do đó, d2 f (−1, 2) = 2(x + 1)2 − 6(x + 1)(y − 2) + 4(y − 2)2 dn f (−1, 2) = 0, ∀n ≥ Như vậy, khai triển Taylor f (x, y) lân cận điểm M (−1, 2) d2 f (−1, 2) = 14 − 2(x + 1) + 17(y − 2) + (x + 1)2 − 3(x + 1)(y − 2) + 2(y − 2)2 f (x, y) = f (−1, 2) + df (−1, 2) + Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 31/48 Ngày tháng năm 2023 31 / 48 b) Ta có khai triển Maclaurin hàm g(x) = ex h(y) = sin y đến bậc g(x) = + x + x3 y3 x2 + + o(x3 ), h(y) = y − + o(y ) 6 Do đó, khai triển Maclaurin hàm f (x, y) đến bậc f (x, y) = y + xy + y3 x2 y − + o (x2 + y )3/2 Trong công thức trên, o(x2 + y )3/2 vô bé bậc cao (x2 + y )3/2 , nghĩa lim ∆x→0,∆y→0 Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG o(x2 + y )3/2 = (x2 + y )3/2 32/48 Ngày tháng năm 2023 32 / 48