Slides Đại số bài 4 Cấu trúc đại số và số phức Đại học Bách Khoa Hà Nội, Giới thiệu về cấu trúc đại số Khi xem xét về các phần tử của tập hợp trong thực tế, ta nhận thấy rằng luôn có tác động qua lại giữa các phần tử để tạo ra các phần tử khác. Qua đó hình thành trong chúng ta tư duy về các phép toán trên tập hợp. Khi các phép toán mà đủ tốt thì các tập hợp được trang bị phép toán sẽ gọi là các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường,
Giới thiệu cấu trúc đại số Khi xem xét phần tử tập hợp thực tế, ta nhận thấy ln có tác động qua lại phần tử để tạo phần tử khác Qua hình thành tư "phép toán" tập hợp Khi phép tốn mà "đủ tốt" tập hợp trang bị phép toán gọi cấu trúc đại số nhóm, vành, trường, Mục tiêu - Kiến thức: Sinh viên hiểu cấu trúc đại số, nhìn nhận cấu trúc đại số kiến thức biết môi trường xung quanh, xây dụng trường số phức - Kĩ năng: Thao tác xem xét tính chất phép tốn hai ngơi, kiểm tra câu trúc xem xét vấn đề trường số phức Nội dung bao gồm: 4.1 Phép toán hai ngơi 4.2 Nhóm 4.3 Vành 4.4 Trường 4.5 Trường số phức (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 1/12 2023 / 12 4.1 Phép tốn hai ngơi Cho X tập khác rỗng Một phép toán hai tập X, ký hiệu ∗, quy tắc biến đổi phần tử (x, y) ∈ X thành phần tử z ∈ X cho z = x ∗ y Nói cách khác, phép toán ∗ ánh xạ: ∗ : X2 → X (x, y) 7→ x ∗ y Xét số ví dụ sau đây: Xét tập số tự nhiên N, số nguyên Z, số hữu tỷ Q, số thực R, phép tốn + phép tốn thơng thường phép tốn hai ngơi tập đó; Phép chia thơng thường khơng phải phép tốn hai ngơi tập số tự nhiên N, số nguyên Z, số hữu tỷ Q, số thực R, khơng tồn phép chia cho số 0; Xét tập hợp R, ta định nghĩa phép toán x ∗ y = xy + x + y Cho trước tập hợp X, ta xét P (X) = A|A ⊂ X Trên P (X) phép tốn giao tập hợp, hợp tập hợp, hiệu tập hợp phép tốn hai ngơi Tập A tập tất mệnh đề Khi đó, phép hội ∧, phép tuyển ∨, phép kéo theo →, phép cần đủ ↔ phép toán hai tập A; Câu hỏi: Phép trừ tập số tự nhiên N có phải phép tốn hai ngơi hay khơng? (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 2/12 2023 / 12 4.1 Tính chất phép tốn hai ngơi Cho tập X phép tốn hai ngơi ∗ Phép tốn ∗ có tính chất kết hợp khi: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) Phép toán ∗ có tính chất giao hốn khi: a∗b=b∗a với a, b, c ∈ X với a, b ∈ X Phần tử e ∈ X gọi phần tử trung hịa phép tốn ∗ nếu: a∗e=e∗a=a với a ∈ X Khi e phần từ trung hịa phép tốn ∗ x ∈ X, phần tử x′ thỏa mãn x.x′ = x′ x = e gọi phần tử đổi xứng x Trong số tình huống, phần tử trung hịa đơi cịn gọi phần tử không, phần tử đơn vị, tương ứng phần tử đối xứng gọi phần tử đối, phần tử nghịch đảo (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 3/12 2023 / 12 4.1 Ví dụ minh họa tính chất phép tốn hai ngơi Một số ví dụ Các tập số quen thuộc (N, ∗), (Z, ∗), (Q, ∗), (R, ∗), ∗ phép tốn + phép tốn thơng thường có tính chất kết hợp, tính chất giao hốn, phần tử trung hịa phép cộng số 0, phần tử trung hòa phép nhân số 1; Trên tập (Z), phép trừ khơng có tính chất kết hợp, khơng có tính chất giao hốn, khơng có phần tử trung hịa Câu hỏi: Trên tập hợp R, phép tốn x ∗ y = xy + x + y có tính chất gì? (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 4/12 2023 / 12 4.2 NHÓM Cho tập X khác rỗng với phép tốn ∗, đại số hai ngơi (X, ∗) lập thành nhóm thỏa mãn ba tiền đề sau: Tính chất kết hợp: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), với a, b, c ∈ X; Tồn phần tử trung hòa e ∈ X cho a ∗ e = e ∗ a = a, với a ∈ X; Với a ∈ X, tồn phần tử đối x′ ∈ X cho x ∗ x′ = x′ ∗ x = e Nhóm X gọi nhóm giao hốn nhóm Abel a ∗ b = b ∗ a, với a, b ∈ X Một số ví dụ: Tập số tự nhiên N với phép cộng thông thường nhóm khơng tồn phần tử đối; (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 5/12 2023 / 12 4.2 NHÓM Cho tập X khác rỗng với phép tốn ∗, đại số hai ngơi (X, ∗) lập thành nhóm thỏa mãn ba tiền đề sau: Tính chất kết hợp: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), với a, b, c ∈ X; Tồn phần tử trung hòa e ∈ X cho a ∗ e = e ∗ a = a, với a ∈ X; Với a ∈ X, tồn phần tử đối x′ ∈ X cho x ∗ x′ = x′ ∗ x = e Nhóm X gọi nhóm giao hốn nhóm Abel a ∗ b = b ∗ a, với a, b ∈ X Một số ví dụ: Tập số tự nhiên N với phép cộng thơng thường khơng phải nhóm khơng tồn phần tử đối; Tập số nguyên Z, tập số hữu tỷ Q, tập số thực R với phép cộng + thơng thường nhóm giao hốn Nhận xét: Cho (X, ∗) nhóm, đó: Phần tử trung hịa nhóm nhất, e e′ hai phần tử trung hịa X e′ = e′ ∗ e = e ∗ e′ = e; Trong nhóm, phần tử tồn phần tử đối (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 5/12 2023 / 12 4.3 VÀNH Cho tập X khác rỗng, X trang bị hai phép tốn + Khi (X, +, ) lập thành vành thỏa mãn tiền đề sau: (X, +) nhóm Abel; (a.b).c = a.(b.c), với a, b, c ∈ X; Phép tốn phân phối hai phía phép toán +, nghĩa a.(b + c) = a.b + a.c (b + c).a = b.a + c.a với a, b, c ∈ X Phần tử trung hịa phép tốn ” + ” thường ký hiệu 0, gọi phần tử trung hòa vành Phần tử trung hịa đối vói phép tốn ”.”, thường ký hiệu 1, gọi phần tử đơn vị vành (để phân biệt với phần tử trung hịa phép +); Nếu phép tốn ”.” vành có tính chất giao hốn gọi vành giao hoán; Nếu phép toán ”.” vành có đơn vị gọi vành có đơn vị Một số ví dụ: Tập số nguyên Z, tập số hữu tỷ Q, tập số thực R với phép cộng phép nhân thông thường vành giao hốn có đơn vị, phần tử trung hòa số phần tử đơn vị số 1; Tập N với phép toán cộng phép tốn nhân thơng thường khơng phải vành (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 6/12 2023 / 12 4.4 TRƯỜNG Cho tập X khác rỗng, xác định hai phép tốn ” + ” ”.” Khi (X, +, ) trường nếu: (X, +, ) vành giao hốn có đơn vị phép tốn ”.”; Với a ∈ X cho a ̸= 0, (ở phần tử trung hịa phép tốn ” + ”), ln tồn phần tử nghịch đảo a, ký hiệu a−1 , cho a.a−1 = a−1 a = Một số ví dụ: Tập số hữu tỷ Q, tập số thực R với phép tốn cộng phép tốn nhân thơng thường trường với phần tử trung hòa phép cộng số 0, phần tử đơn vị phép nhân số Tập số nguyên Z với phép tốn cộng phép tốn nhân thơng thường trường Câu hỏi: Tập P (X) với phép tốn ∩,∪ có phải trường khơng? Vì sao? Câu bỏi: Tập Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} với phép toán cộng, nhân modulo có phải trường khơng? (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 7/12 2023 / 12 4.5 XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ PHỨC Cho tập số thực R Xây dựng tập C = R2 = {(a; b)|a ∈ R, b ∈ R} Xét hai phần tử x = (a; b), y = (c; d) ∈ C Khi quan hệ x = y C a = c b = d Trên C định nghĩa phép toán cộng ” + ” phép toán ”.” (ký hiệu x.y = xy) sau: x + y = (a + c; b + d) xy = (ac − bd; ad + bc) (x + y) + z = x + (y + z), với x, y, z ∈ C; Phần tử trung hòa 0∗ = (0; 0) ∈ C thỏa mãn x + 0∗ = 0∗ + x = x, với x ∈ C; Với phần tử x = (a; b), tồn phần tử đối x′ = (−a; −b) thỏa mãn x + x′ = 0∗ ; x + y = y + x, với x, y ∈ C; (xy)z = x(yz), với x, y, z ∈ C; (x + y)z = xz + yz x(y + z) = xy + xz, với x, y, z ∈ C; Phần tử đơn vị 1∗ = (1, 0) phép tốn nhân có tính chất x1∗ = 1∗ x = x, với x ∈ C; xy = yx, với x, y ∈ C; a Với x = (a; b) ̸= 0∗ = (0; 0), tồn phần tử nghịch đảo x−1 = ( a2 +b 2, −1 −1 xx = x = 1∗ −b ) a2 +b2 ∈ C thỏa mãn Do C phép toán ” + ” phép toán ”.” trường, gọi trường số phức (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 8/12 2023 / 12 4.5 XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ PHỨC Xét tập R∗ = {(x, 0)|x ∈ R} Tập R∗ ⊂ C R∗ trường Xây dựng ánh xạ f : R → R∗ x 7→ (x, 0) Dễ dàng kiểm tra ánh xạ f song ánh Do có quan hệ − trường số thực R trường R∗ , hay tập số thực R tập tập số phức C Khi số phức (x; 0) tương ứng số thực x; số 0∗ = (0; 0) số thực số 1∗ = (1; 0) số thực Đặt i = (0; 1), số phức z = (a; b) biểu diễn dạng z = (a; b) = (a; 0) + (0; b) = a(1; 0) + (b; 0)(0; 1) = a + bi a gọi phần thực số phức z, ký hiệu Rez; b gọi phần ảo số phức z ký hiệu Imz Số phức viết dạng z = a + bi gọi dạng tắc số phức z Lưu ý: Cho hai số phức z1 , z2 ∈ C, z1 = z2 Rez1 = Rez2 Imz1 = Imz2 ; i2 = (0; 1)(0; 1) = (−1; 0) = −1 (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 9/12 2023 / 12 4.5 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC VÀ DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, số phức z = a + bi biểu diễn điểm M (a; b), nghĩa điểm mặt phẳng biểu diễn số phức tương ứng trường số phức Mặt phẳng gọi mặt phẳng −−→ phức Độ dài véc tơ OM gọi mô đun số phức z, ký hiệu |z| p −−→ |OM | = |z| = a2 + b2 = r −−→ Góc φ tạo véc tơ OM trục Ox xác định cosφ = a a2 + b2 sinφ = b a2 + b2 gọi argument số phức z, ký hiệu Argz Với ký hiệu bên trên, số phức z biểu diễn dạng z = r(cosφ + isinφ) gọi dạng lượng giác số phức z Ví dụ: Dạng lượng giác số số phức: √ z1 = + 3i = 2(cos( π3 ) + isin( π3 )); √ z2 = − 8i = 2(cos(− π ) + isin(− π )); 4 (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 10/12 2023 10 / 12 4.5 CÁC PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC Cho hai số phức dạng tắc z1 = a1 + b1 i z2 = a2 + b2 i Phép cộng, phép trừ z1 ±2 = (a1 ± a2 ) + (b1 ± b2 )i Phép nhân z1 z2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i Đặc biệt: z1 z1 = |z1 |2 = a21 + b21 Phép chia (a1 a2 + b1 b2 ) + (−a1 b2 + a2 b1 )i z1 z2 z1 = = z2 z2 z2 a22 + b22 , z2 ̸= 0; Các phép toán số phức dạng lượng giác Cho hai số phức dạng lượng giác z1 = r1 (cosφ1 + isinφ1 ) z2 = r2 (cosφ2 + isinφ2 ) Phép nhân z1 z2 = r1 r2 (cos(φ1 + φ2 ) + isin(φ1 + φ2 )); Phép chia (HUST) z1 r1 = (cos(φ1 − φ2 ) + isin(φ1 − φ2 )) z2 r2 MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI , z2 ̸= 0; 11/12 2023 11 / 12 4.5 SỐ PHỨC LIÊN HỢP Cho số phức z = a + bi Số phức liên hợp số phức z, ký hiệu z = a − bi Ở dạng lượng giác, số phức liên hợp số phức z = r(cosφ + isinφ) số phức z = r(cosφ − isinφ) Một số hệ thức số phức liên hợp Cho z1 , z2 số phức z1 + z2 = z1 + z2 z1 z2 = z1 z2 z1 z1 = z2 z2 Cho số phức z = a + bi z=z z + z = 2a = 2Rez z.z = a2 + b2 = |z|2 z = z |z| |z| = |z| (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 12/12 2023 12 / 12