Lý thuyết giải tích 1 đại học bách khoa hà nội Chương 2 : Giải tích tích phân hàm một biến slides dùng cho chương trình chuẩn Ngay khi vào năm nhất thì combo Giải tích I + Đại số là hai môn toán đầu tiên trong chặng đường toán học đầy chông gai trong 45 năm tại Bách Khoa mà hầu hết các sinh viên đều phải trải quaqua. Đây là lỗi ám ảnh của bao thế hệ sinh viên Bách Khoa, đấy là lời đồn trên Facebook thế thôi chứ mình thấy các bạn A, A+ đầy ra. Về cơ bản thì mình thấy là giải tích I là giống so với toán cấp III, tuy nhiên mọi thứ đều được nâng cao lên rất nhiều. Ví dụ, cấp III chúng ta chỉ được giới thiệu công thức rồi áp dụng làm bài tập thì giải tích I sẽ giải thích, chứng minh cho ta thấy là tại sao lại có những công thức này. Hay là một bài toán cấp III về tích phân chỉ đến dạng này, nhưng giải tích I sẽ đề cập tới những dạng khác nữa, nâng cao hơn nữa rất nhiều. Thế nên, các bạn muốn được điểm cao ( hay là qua môn đi nữa) thì vẫn phải học, làm bài tập chứ không thể sử dụng kiến thức của cấp III để giải quyết mọi vấn đề được.
Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Ngày tháng năm 2023 Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 1/67 Ngày tháng năm 2023 / 67 Nội dung Tích phân bất định Tích phân xác định Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng với cận vơ hạn Tích phân suy rộng hàm số khơng bị chặn Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối bán hội tụ Các tiêu chuẩn hội tụ Các tiêu chuẩn hội tụ Các ứng dụng tích phân xác định Tính diện tích hình phẳng Tính độ dài đường cong phẳng Tính thể tích vật thể Tính diện tích mặt trịn xoay Viện Tốn ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 2/67 Ngày tháng năm 2023 / 67 Nguyên hàm hàm số Định nghĩa Cho hàm số f (x) xác định khoảng (a, b) Hàm số F (x) gọi nguyên hàm hàm số f (x) khoảng (a, b) F ′ (x) = f (x), ∀x ∈ (a, b) Định lý 1.1 Nếu F (x) nguyên hàm hàm số f (x) khoảng (a, b), thì: a) Hàm số F (x) + C nguyên hàm hàm số f (x), b) Ngược lại, nguyên hàm hàm số f (x) viết dạng F (x) + C, C số Định nghĩa Tích phân bất định hàm số f (x) họ nguyên hàm F (x) + C, với x ∈ (a, b), FZ(x) nguyên hàm hàm số f (x) C số TPBĐ hàm số f (x) ký hiệu f (x)dx Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 3/67 Ngày tháng năm 2023 / 67 Các tính chất tích phân bất định a) Nếu hàm số f (x) liên tục (a, b) tồn b) c) Z Z f (x)dx ′ Z f (x)dx (a, b), = f (x) F ′ (x)dx = F (x) + C Z Z d) af (x)dx = a f (x)dx, (a số khác 0) Z Z Z e) [f (x) + g(x)] dx = f (x)dx + g(x)dx Hai tính chất cuối tính chất tuyến tính tích phân bất định, ta viết chung Z Z Z [αf (x) + βg(x)] dx = α f (x)dx + β g(x)dx, α, β số khơng đồng thời Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 4/67 Ngày tháng năm 2023 / 67 Một số cơng thức tích phân thơng dụng a) b) c) d) e) xα+1 + C, (α 6= −1), α+1 Z xα dx = Z sin xdx = − cos x + C, Z Z Z dx = ln |x| + C, x cos xdx = sin x + C, dx = − cot x + C, sin2 x Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG Z dx = tan x + C, cos2 x Z ax g) ax dx = + C, (0 < a 6= 1), ln a Z h) ex dx = ex + C, Z dx = arctan x + C, i) + x2 Z dx √ = arcsin x + C j) − x2 f) 5/67 Ngày tháng năm 2023 / 67 Các phương pháp tính tích phân bất định Phương pháp đổi biến t = ψ(x) Nếu f (x) = g [ψ(x)] ψ ′ (x) đặt t = ψ(x), Z Z Z f (x)dx = g [ψ(x)] ψ ′ (x)dx = g(t)dt Nếu hàm số g(t) có nguyên hàm hàm số G(t) I = G [ψ(x)] + C Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 6/67 Ngày tháng năm 2023 / 67 Ví dụ 1.1 Tính tích phân Z a) x(1 − x2 )2023 dx b) Z xx+1 + + ln x dx x Z d) xx−1 − + ln x dx x c) ex dx ex + Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG Z 7/67 Ngày tháng năm 2023 / 67 a) Z x(1 − x2 )2023 dx Z b) Z x(1 − x2 )2023 dx = Z −(1 − x2 )2023 d(1 − x2 ) = − (1 − x2 )2024 + C 4048 ex dx +1 ex Z Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) ex dx = x e +1 CHƯƠNG Z d(ex + 1) = ln(ex + 1) + C ex + 8/67 Ngày tháng năm 2023 / 67 Các phương pháp tính tích phân bất định Xét tích phân I = Z f (x)dx Để tính tích phân này, ta tìm cách chuyển sang tính tích phân khác hàm số khác phép đổi biến x = ϕ(t) cho biểu thức dấu tích phân biến t tìm ngun hàm cách đơn giản Phương pháp đổi biến x = ϕ(t) Z f (x)dx = Z f [ϕ(t)] ϕ′ (t)dt Nếu hàm số g(t) = f [ϕ(t)] ϕ′ (t) có nguyên hàm hàm G(t), t = h(x) hàm số ngược hàm số x = ϕ(t) Z I = g(t)dt = G(t) + C = G [h(x)] + C Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 9/67 Ngày tháng năm 2023 / 67 Ví dụ 1.2 Z √ Tính − x2 dx √ Lời giải: Đặt x = cos t với ≤ t ≤ π Khi dx = −2 sin tdt − x2 = sin t Nên Zp Z Z sin(2t) − cos t(2t) t t sin t cos t − x2 dx = − sin2 tdt = − =− + +C =− + 2 2 √ arcsin x x − x2 =− + + C 2 Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 10/67 Ngày tháng năm 2023 10 / 67 π/3 π/2 Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) π/3 CHƯƠNG π/3 33/67 Ngày tháng năm 2023 33 / 67 Các phương pháp tính tích phân xác định Đổi biến t := ϕ(x) Giả sử tích phân cần tính có dạng I = Zb f [ϕ(x)].ϕ′ (x)dx Trong ϕ(x) biến thiên đơn điệu ngặt có đạo Zb f [ϕ(x)].ϕ′ (x)dx = a hàm liên tục [a, b] Khi đó: a ϕ(b) Z f (t)dt ϕ(a) Sử dụng phép truy hồi, quy nạp Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 34/67 Ngày tháng năm 2023 34 / 67 Ví dụ 2.2 Tính π Z2 sin x cos2 xdx Lời giải: Có π π Z2 Z2 sin x cos2 xdx = Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG − cos2 xd cos x = − π cos3 x = 35/67 Ngày tháng năm 2023 35 / 67 Ví dụ 2.3 Tính π Z2 cosn x cos nxdx Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 36/67 Ngày tháng năm 2023 36 / 67 Một số đẳng thức tích phân quan trọng Đẳng thức Chứng minh f (x) liên tục [a, b] thì: Zb f (x)dx = a Zb f (a + b − x)dx a Áp dụng, tính π Z2 π √ sin x √ dx, √ sin x + cos x Z2 √ 2017 √ 2017 sin x dx, √ sin x + 2017 cos x Zπ x sin3 xdx Đẳng thức Za f (x)dx = −a Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) Za f (x) hàm số lẻ [−a, a] f (x)dx f (x) hàm số chẵn [−a, a] CHƯƠNG 37/67 Ngày tháng năm 2023 37 / 67 Một số đẳng thức tích phân quan trọng Đẳng thức Cho f (x) liên tục, chẵn [−a, a], chứng minh Za f (x)dx = + bx −a Za f (x)dx với ≤ b 6= Áp dụng tính Z1 π π dx, (x2 + 1)(ex + 1) −1 Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) Z2 −π CHƯƠNG 2x cos 2x dx, 2002x + 2x Z2 x2 | sin x | dx + 2x −π 38/67 Ngày tháng năm 2023 38 / 67 Nội dung Tích phân bất định Tích phân xác định Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng với cận vơ hạn Tích phân suy rộng hàm số khơng bị chặn Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối bán hội tụ Các tiêu chuẩn hội tụ Các tiêu chuẩn hội tụ Các ứng dụng tích phân xác định Tính diện tích hình phẳng Tính độ dài đường cong phẳng Tính thể tích vật thể Tính diện tích mặt trịn xoay Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 39/67 Ngày tháng năm 2023 39 / 67 Tích phân suy rộng với cận vơ hạn Giả sử f (x) hàm số xác định khoảng [a, +∞), khả tích đoạn hữu hạn [a, A] Định nghĩa a) +∞ Z f (x)dx = a lim A→+∞ ZA f (x)dx a +∞ Z f (x)dx hội tụ b) Nếu giới hạn tồn hữu hạn ta nói tích phân suy rộng a c) Ngược lại, ta nói tích phân phân kỳ Ví dụ 3.1 Xét hội tụ tính giá trị tích phân I = +∞ Z Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG dx , J= + x2 +∞ Z dx xα 40/67 Ngày tháng năm 2023 40 / 67 Tích phân suy rộng với cận vơ hạn Tương tự ta định nghĩa tích phân hàm số f (x) khoảng (−∞, a] (−∞, +∞) công thức sau +∞ Za Z Za ZA f (x)dx = lim f (x)dx f (x)dx = lim f (x)dx A→−∞ A −∞ Ta viết A→+∞ A′ →−∞A′ −∞ +∞ +∞ Z Za Z f (x)dx + f (x)dx f (x)dx = −∞ a −∞ hai tích phân sau hội tụ Ví dụ 3.2 Tính giá trị tích phân I = Z0 xex dx −∞ Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 41/67 Ngày tháng năm 2023 41 / 67 Tích phân suy rộng hàm số khơng bị chặn Giả sử f (x) hàm số i) xác định khoảng [a, b), ii) khả tích đoạn [a, t], (t < b bất kỳ), iii) lim f (x) = ±∞ x→b− Điểm x = b gọi điểm bất thường (điểm kỳ dị) hàm số f (x) Định nghĩa a) Zb a f (x)dx = lim t→b− Zt f (x)dx a b) Nếu giới hạn vế phải tồn tại, ta nói tích phân suy rộng hội tụ c) Ngược lại, ta nói tích phân phân kỳ Viện Tốn ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 42/67 Ngày tháng năm 2023 42 / 67 Tích phân suy rộng hàm số không bị chặn Tương tự ta định nghĩa tích phân suy rộng hàm số f (x) khơng bị chặn khoảng (a, b] (a, b) nhận x = a x = b làm điểm bất thường Zb f (x)dx = lim t→a+ Zb f (x)dx t a Zb f (x)dx = lim Zt′ f (x)dx Z2 √ t→a+ , t′ →b− t a Đối với tích phân có hai điểm bất thường x = a, x = b, ta viết Zb f (x)dx = a Zc f (x)dx + a Zb f (x)dx, c hai tích phân sau hội tụ Ví dụ 3.3 Xét hội tụ tính giá trị tích phân I = Z1 Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG dx , J= xα Z1 ln xdx, K = dx 2x − x2 43/67 Ngày tháng năm 2023 43 / 67