Đang tải... (xem toàn văn)
Slides Đại số Bài 1 Logic Đại học Bách Khoa Hà Nội Chương 1 giới thiệu cho các bạn sinh viên các kiến thức nền tảng của toán học nói chung và môn học Đại số nói riêng. Các bạn sinh viên đã được biết đến các kiến thức này trong chương trình toán ở bậc phổ thông. Tuy nhiên kiến thức của chương sẽ cung cấp lại một cách hệ thống và đầy đủ hơn.
Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI 2023 (HUST) MI1141-CHƯƠNG 1-BÀI 1/16 2023 / 16 Chương Chương giới thiệu cho bạn sinh viên kiến thức tảng tốn học nói chung mơn học Đại số nói riêng Các bạn sinh viên biết đến kiến thức chương trình tốn bậc phổ thơng Tuy nhiên kiến thức chương cung cấp lại cách hệ thống đầy đủ Nội dung Chương bao gồm: Logic Tập hợp Ánh xạ Các cấu trúc đại số số phức (HUST) MI1141-CHƯƠNG 1-BÀI 2/16 2023 / 16 Logic Logic sở tất suy luận toán học, có nhiều ứng dụng thực tế tốn học, khoa học máy tính lĩnh vực nghiên cứu khác Kiến thức logic trang bị cho sinh viên lực phân tích suy luận có hiệu lực suy luận ngụy biện để người ta phân biệt luận hợp lý luận có chỗ khơng hợp lý Mục tiêu - Kiến thức: Sinh viên hiểu khái niệm mệnh đề, suy luận logic Liên hệ khái niệm với kiến thức thực tế sống xung quanh - Kĩ năng: Thao tác xem xét giá trị chân lý mệnh đề, tương đương logic, phát biểu mệnh đề, mệnh đề chứa biến qua phép tốn Các nội dung gồm: 1.1 Mệnh đề giá trị chân lý 1.2 Phép toán mệnh đề, biểu thức mệnh đề bảng giá trị chân lý 1.3 Tương đương logic luật logic 1.4 Hàm mệnh đề (HUST) MI1141-CHƯƠNG 1-BÀI 3/16 2023 / 16 1.1.Mệnh đề giá trị chân lý Mệnh đề toán học khẳng định toán học sai, khơng thể nhập nhằng tính sai Mỗi mệnh đề tốn học có hai giá trị chân lý Mệnh đề có giá trị chân lý mệnh đề đúng, có giá trị chân lý mệnh đề sai Người ta thường dùng ký hiệu A, B, C, để ký hiệu cho mệnh đề, V (A), V (B), ký hiệu cho giá trị chân lý mệnh đề Một số ví dụ - "Hà Nội thủ đô Việt Nam" mệnh đề - "Hãy chạy đi!" mệnh đề - "1+1=3" mệnh đề sai - "Hôm thứ mấy" mệnh đề Một số lưu ý - Khẳng định "hôm trời mưa" có phải mệnh đề khơng? Đây khơng phải mệnh đề khẳng định chưa rỏ ràng địa điểm thời điểm nên tính sau bị nhập nhằng - Khẳng định "Tồn sống ngồi trái đất" có phải mệnh đề khơng? Đây mệnh đề tính sai khơng nhập nhằng hạn chế thông tin hiểu biết nên đến thời điểm tính sai cịn tranh cãi Các tình khoa học thường gọi vấn đề mở hay giả thuyết (HUST) MI1141-CHƯƠNG 1-BÀI 4/16 2023 / 16 1.2 Phép toán mệnh đề Các mệnh đề phức tạp toán học mệnh đề tạo thành từ mệnh đề đơn giản nhờ vào liên kết logic hay gọi phép toán logic Phép phủ định Phủ định mệnh đề A mệnh đề, ký hiệu A, nhận giá trị chân lý A sai sai A Bảng giá trị chân lý A (HUST) MI1141-CHƯƠNG 1-BÀI phép phủ định A 5/16 2023 / 16 1.2 Phép toán mệnh đề Phép hội Cho hai mệnh đề A, B Hội hai mệnh đề A, B mệnh đề, đọc A B, ký hiệu A ∧ B, nhận giá trị chân lý hai mệnh đề A, B có giá trị sai trường hợp lại Bảng giá trị A 1 0 (HUST) chân lý phép hội B A∧B 1 0 0 MI1141-CHƯƠNG 1-BÀI 6/16 2023 / 16 1.2 Phép toán mệnh đề Phép tuyển Cho hai mệnh đề A, B Tuyển hai mệnh đề A, B mệnh đề, đọc A B, ký hiệu A ∨ B, nhận giá trị chân lý sai hai mệnh đề A, B có giá trị sai trường hợp lại Bảng giá trị chân lý phép tuyển A B A∨B 1 1 1 0 (HUST) MI1141-CHƯƠNG 1-BÀI 7/16 2023 / 16 1.2.Phép toán mệnh đề Phép tuyển Cho hai mệnh đề A, B Tuyển hai mệnh đề A, B mệnh đề, đọc A B, ký hiệu A ∨ B, nhận giá trị chân lý sai hai mệnh đề A, B có giá trị sai trường hợp lại Bảng giá trị chân lý phép tuyển A B A∨B 1 1 1 0 (HUST) MI1141-CHƯƠNG 1-BÀI 8/16 2023 / 16 1.2 Phép toán mệnh đề Phép kéo theo Cho hai mệnh đề A, B Khi A kéo theo B mệnh đề, ký hiệu A → B, nhận giá trị sai A B sai, trường hợp lại Bảng giá trị chân lý phép kéo theo A B A→B 1 1 0 1 0 Phép kéo theo A → B phát biểu theo ngôn ngữ thông thường "từ A suy B", "nếu có A có B" Ngồi mệnh đề phát biểu dạng: "Có B có A" "Có A có B" Khi ta nói "A điều kiện đủ để có B" "B điều kiện cần A" (HUST) MI1141-CHƯƠNG 1-BÀI 9/16 2023 / 16 1.2 Phép toán mệnh đề Phép tương đương Cho hai mệnh đề A, B Khi A tương đương B mệnh đề, ký hiệu A ↔ B, nhận giá trị A B nhận giá trị chân lý, sai trường hợp lại Bảng giá trị chân lý phép tương đương A B A↔B 1 1 0 0 Nếu mệnh đề A ↔ B nhận giá trị đúng, ta nói hai mệnh đề tương đương A cần đủ với B A có B, A với B (HUST) MI1141-CHƯƠNG 1-BÀI 10/16 2023 10 / 16 1.2 Biểu thức mệnh đề (công thức) Cho mệnh đề A, B, , biểu thức mệnh đề công thức tạo thành từ mệnh đề A, B, phép toán logic Khi mệnh đề A, B, chứa biểu thức mệnh đề chúng gọi biến mệnh đề Ví dụ Một số biểu thức mệnh đề (A → B) ∨ (C ↔ D) (A → B) ∧ C Bảng giá trị chân lý biểu thức mệnh đề Một biểu thức mệnh đề P, tạo thành từ biến mệnh đề A, B, , nhận giá trị chân lý xác định giá trị chân lý biến mệnh đề Nếu P nhận giá trị chân lý nhận giá trị chân lý với giá trị chân lý có biến mệnh đề có có mặt P, P gọi biểu thức hẳng biểu thức sai tương ứng (HUST) MI1141-CHƯƠNG 1-BÀI 11/16 2023 11 / 16 1.2 Biểu thức mệnh đề (công thức) Ví dụ Cho P, Q mệnh đề biểu thức mệnh đề (P → Q) ∧ P P ∧ Q Lập bảng giá trị chân lý hai mệnh đề trên: P 1 0 (HUST) Q 1 P →Q 1 (P → Q) ∧ P 0 MI1141-CHƯƠNG 1-BÀI P ∧Q 0 12/16 2023 12 / 16 1.3 Tương đương logic Lưu ý: Trong trình xem xét biểu thức mệnh đề, sử dụng khái niệm tương đương logic ⇔ thay cho khái niệm "bằng nhau" biểu thức Hai biểu thức gọi tương đương logic giá trị chân lý hai biểu thức giống tình Ta có số tương đương logic sau: Phủ định phủ định: A⇔A Tính chất giao hốn: A∧B ⇔B∧A A∨B ⇔B∨A Tính chất kết hợp (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) Tính chất phân phối A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) Tính chất phép kéo theo A→B ⇔A∨B (HUST) MI1141-CHƯƠNG 1-BÀI 13/16 2023 13 / 16 1.3.Tương đương logic Tính chất phép tương đương A ↔ B ⇔ (A → B) ∧ (B → A) Tính lũy đẳng A∧A⇔A A∨A⇔A Tính chất phép tương đương A ↔ B ⇔ (A → B) ∧ (B → A) Luật De Morgan A∨B ⇔A∧B A∧B ⇔A∨B 10 Đẳng thức với A∧0⇔0 , A∧1⇔A A∨1⇔1 , A∨0⇔A A ∧ A ⇔ (Luật mâu thuẫn) A ∨ A ⇔ (Luật trung ) (HUST) MI1141-CHƯƠNG 1-BÀI 14/16 2023 14 / 16 1.4 Hàm mệnh đề Một phát biểu P (x) biến x gọi hàm mệnh đề vị từ với giá trị x = x0 , x0 nằm miền xác định A P (x0 ) mệnh đề Ví dụ P (x) : 2x − > 0, x ∈ R Mệnh đề phát biểu "Tập số thực x thỏa mãn điều kiện 2x − > " Với số thực x thỏa mãn điều kiện x ≤ mệnh đề P (x) sai, số thực x thỏa mãn điều kiện x > mệnh đề P (x) (HUST) MI1141-CHƯƠNG 1-BÀI 15/16 2023 15 / 16 1.4 Lượng từ tồn lượng từ phổ biến Cho hàm mệnh đề P (x) xác định miền M Trong thực tế, cần phát biểu mệnh đề có dạng "Với x ∈ M có tính chất P (x)" Khi đó, mệnh đề quy ước ký hiệu sau: ∀x ∈ M, P (x) ký hiệu ∀ gọi lượng từ phổ biến hay lượng từ toàn thể Tương tự, có mệnh đề có dạng "Tồn x ∈ M có tính chất P (x)" Khi đó, mệnh đề quy ước ký hiệu sau: ∃x ∈ M, P (x) ký hiệu ∃ gọi lượng từ tồn Phép phủ định lượng từ phổ biến lượng từ tồn cho công thức tương ứng sau: ∀x, P (x) ⇔ ∃x, P (x) ∃x, P (x) ⇔ ∀x, P (x) Ví dụ Cho mệnh đề P : ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x + 2y = Phủ định mệnh đề là: P : ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + 2y ̸= (HUST) MI1141-CHƯƠNG 1-BÀI 16/16 2023 16 / 16