Slides Đại số Bài 2 Tập hợp Đại học Bách Khoa Hà Nội,Khái niệm tập hợp là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học và không thể định nghĩa bằng những khái niệm đã biết. Ngành toán học nghiên cứu về tập hợp gọi là lý thuyết tập hợp. Khái niệm tập hợp là nền tảng để xây dựng các khái niệm khác như số, hình, hàm số... trong toán học.
Trang 12 TAP HOP ‘ SAMI Khái niệm tập hợp là một trong những khái niệm cơ ban nhât của tốn học và khơng thể định nghĩa bằng những khái niệm đã biêt Ngành toán học nghiên cứu về tập hợp gọi là lý thuyêt tập hợp Khái niệm tập hợp là nên tảng đề xây dựng các khái niệm khác như sô, hình, hàm sô trong toán học
Mục tiêu
- Kiên thức: Sinh viên hiểu được khái niệm về tập hợp và các phép toán trên tập hợp Liên hệ các khái niệm
với kiên thức thực tê ở cuộc sông xung quanh
Trang 22.1 Khái niệm tập hợp ° cy SAMI
Tập hợp tuy không được định nghĩa một cách rõ ràng, nhưng chúng cũng được mô tả qua các ví dụ cụ thể Một tập hợp được hiểu như là một tụ tập, một nhóm các đôi tượng nào đó Một vài ví dụ về tập hợp như: lập hợp quận huyện của Hà Nội; tập hợp các sô thực Trong toán học, một tập hợp thường được ký hiệu bởi các chữ cái A,B,
Cho tập hợp 4 (sau này có thé goi tat ld tap A) C4c đối tượng nằm trong tập 4 được gọi là các phần tử của tap A Phan tử thường được ký hiệu là ø,b, Phần tử a thuộc tập A duoc ký hiệu là ø € 4; ngược lại nêu
phần tu a không thuộc tập A được ký hiệu là a ý 4 Một tập hợp thường được thường được cho thông qua liệt kê hoặc các phần tử có cùng tính chất nào đó Ta thường dùng biểu đồ Venn (khoanh vùng thay cho tập hợp, châm nhỏ thay cho phần tử) để biểu diễn các tập hợp và phần tử
Trang 32.1 Tập hợp con, tập hợp bằng nhau a
Khi có các tập hợp, ta có một sô môi liên hệ giữa các tập hợp như sau:
Tập con
@ Tập A được gọi là tập con của tập B va ký hiệu là A C Ö, nêu như mọi phần tử của 4 đều là phần tử của
B Khi tập 4 là tập con của ta cũng có thể việt là ö 5 4 Quy ước tập rông là tập con của tập bât kỳ
@ Ví dụ NC ZcC QC R ;
Tap hop bang nhau
@ Hai tập hợp được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng các phần tử
@ Để chứng minh hai tập bằng nhau A = 7Ø, chúng ta cần chứng minh 4C Ö và BC A, nghĩa là A=Be (AC Bvà BC AI)
© Vi du: A = {1,2,3},B = {z e Ñ|0 < x” < 10}
Trang 42.2 Các phép toán trên tập hợp cy SAMI Cho trước các tập hợp A, B, X, chung ta có các phép toán sau trên tập hợp
Phép giao G¡ao của hai tap A và B, ký hiệu bởi 41”, là tập hợp chứa các phân tứ thuộc cả A va B An B=tz|z€ A và z€ B} Phép hợp Hợp của hai tập A và Ø, ký hiệu bởi AU Ö, là tập hợp chứa các phần tử hoặc thuộc 4 hoặc thuộc ØÖ AUB= tz|z€ A hoặc z€ } Phép lây hiệu Hiệu của hai tập hợp A và Ö, ký hiệu là A \ Ö, là tập hợp gồm các phần tử thuộc A ma không thuộc ÿ A\XNB=tz|zece A và z ÿ£ B}
Hiệu đôi xứng Hiệu đôi xứng của hai tập A va B, ký hiệu bởi AAB, là tập hợp được xác định như sau AAB = (A\ B)U(B\ A)
Phần bù Cho hai hợp 4 và X Nêu 4C X thì hiệu X \ A được gọi là phần bù của A trong X và được ký hiệu
Trang 52.2 Tính chât của các phép toán trên tập hợp cy SAMI @ Tinh chat giao hodn
AUB=BUA, ANB=BQNQA, AAB = BAA
@ Tinh chat két hop
(AUB)UC = AU(BUC), (ANB)NC =AN(BNC),
(AAB)AC = AA(BAC)
@ Tinh chat phan phôi
AN(BUC) =(AUB)N (AUC), AN(BUC) =(AUB)N (AUC)
Trang 62.3 Tích Đề Các của các tập hợp cy SAMI Cho hai tập hợp A va B Tich Đề Các (Descartes) của hai tập hợp A và B, dugc ky hiéu bdi A x B, la mot tap hợp bao gồm các phần tử có thứ tự (ø,b) với ø€ A va b € B Nhu vậy
AxB-=t(a,b)ìlacAAbc BỊ
Ví dụ 1
Cho A = {1;2;3} và B = {a;b}, khi đó
AxB= {1(1;4),(2;a), (3;a), (1;0), (2;0), (8; b)}
Bx A= {(a;1), (6; 1), (a; 3), (b; 2), (a; 3), (bị 3)} 4
Tích Đề Các của một họ các tập 4i, 4s, , 4„, được ký hiệu là A: x 4s x x 4„, là một tập hợp bao gồm
các phân tử có thứ tự (ai,da, , 6x), với ø¿ € 4;, V¿ € |1 n| Như vậy
Ai x Aox X An = { (a1, @2, ., An) ai EA, Vt € I1 n|}