MỤC LỤC CHƯƠNG I: H À M NHIỀU BIẾ N SỐ ..................................................................7 I. Bài toán tìm giới hạn của hàm nhiều biế n số: .............................................7 II. Bài toán khảo sát tính liên tục củ a hàm nhiều biến số: ...........................14 III. Các bài toán về đ ạ o hàm riêng: ...............................................................16 1. Tính đ ạ o hàm riêng của hàm bị gãy khúc: ............................................18 2. Tính đ ạ o hàm riêng của hàm số hợp: .....................................................19 3. Đạo hàm riêng cấp hai: ............................................................................20 4. Tính đ ạ o hàm riêng của hàm số hợp gián tiếp qua hàm tích phân:.....21 5. Tính đ ạ o hàm riêng của hàm ẩn: ............................................................23 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong tại một đ i ể m cho bở i hàm ẩn rút ra từ
BÁCH KHOA-ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI TÀI LIỆU MÔN HỌC GIẢI TÍCH II Người biên soạn: Phạm Thanh Tùng (Tự Động Hóa – ĐHBKHN) Hà Nội, Tháng năm 2021 MỤC LỤC CHƯƠNG I: HÀM NHIỀU BIẾN SỐ I Bài tốn tìm giới hạn hàm nhiều biến số: .7 II Bài toán khảo sát tính liên tục hàm nhiều biến số: 14 III Các toán đạo hàm riêng: .16 Tính đạo hàm riêng hàm bị gãy khúc: 18 Tính đạo hàm riêng hàm số hợp: .19 Đạo hàm riêng cấp hai: 20 Tính đạo hàm riêng hàm số hợp gián tiếp qua hàm tích phân: 21 Tính đạo hàm riêng hàm ẩn: 23 Viết phương trình tiếp tuyến đường cong điểm cho hàm ẩn rút từ 𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝟎 24 Tìm điểm kì dị đường cong: .25 Một số tập tổng hợp: 26 IV Khảo sát tính liên tục đạo hàm riêng: .27 V Bài tốn sử dụng vi phân tính gần đúng: 28 VI Bài tốn tính vi phân tồn phần: 29 VII Bài tốn tìm cực trị hàm nhiều biến (khơng có điều kiện): 31 VII Bài tốn cực trị có điều kiện ràng buộc 𝐱 𝐲: 35 VIII Bài toán khai triển Taylor điểm hàm nhiều biến số: 38 IX Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: 39 Bài toán: 39 Cách làm tổng quát: 39 CHƯƠNG I: CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN .44 I Trong hình học phẳng (Oxy) 44 II Trong hình học khơng gian (Oxyz): 47 III Bài toán liên quan đến đường cong cho dạng giao tuyến mặt cong: 50 IV Bài tốn tìm hình bao họ đường cong phụ thuộc vào tham số: .51 1 Định nghĩa: 51 Các bước tìm hình bao: 52 V Hàm vecto: 54 CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI 56 §2.1: TÍCH PHÂN KÉP 56 I Các cơng thức tính bản: 56 Dạng 1: Miền 𝐃 miền hình chữ nhật: 56 Dạng 2: Miền D miền có dạng hình thang cong: .58 Dạng 3: Miền 𝐃 có dạng hình thang cong: 62 II Bài tốn đổi thứ tự lấy tích phân: 64 Bài toán: 64 Phương pháp: 65 III Các phép đổi biến số tích phân kép: 71 Phép đổi biến tọa độ Đề-các: 71 Phép đổi biến số tọa độ cực: 73 Phép đổi biến số tọa độ cực suy rộng: 84 IV Tích phân kép có miền lấy tích phân đối xứng: 87 V Tích phân kép có dấu giá trị tuyệt đối: .89 VI Dạng kết hợp phương pháp đổi biến số: 93 VII Dạng sử dụng tọa độ cực để giải tích phân có miền 𝐃 đặc biệt: 93 VIII Bài tập tự luyện: .97 §2.2: TÍCH PHÂN BỘI BA .98 I Sơ lược tích phân bội ba: .98 II Một số dạng bản: 102 Dạng 1: 102 Dạng 2: 102 Dạng 3: 103 Dạng 4: 104 III Đổi biến số tích phân bội ba: .110 Phép đổi biến số tọa độ trụ: 110 Phép đổi biến số tọa độ trụ suy rộng 115 Phép đổi biến số tọa độ cầu: 116 Phép đổi biến số tọa độ cầu suy rộng: 122 Phép đổi biến số tọa độ Đề-các: 130 IV Tích phân có miền đối xứng: 132 V Một số dạng đặc biệt: 135 Tọa độ trụ có sử dụng hình chiếu miền 𝐕 lên 𝐎𝐱𝐳 𝐎𝐲𝐳: .135 Đổi thứ tự lấy tích phân: 136 Đổi vai trò 𝐱, 𝐲, 𝐳 .137 Dạng tổng hợp: .139 Sử dụng đổi biến số tọa độ cầu để tính tích phân bội ba có miền phức tạp: 140 VI Bài tập tự luyện: .142 §2.3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI 143 I Tính diện tích hình phẳng 143 II Tính diện tích mặt cong: 148 III Tính thể tích vật thể: 150 CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 156 §3.1: Tích phân xác định phụ thuộc tham số 156 I Khái niệm: 156 II Các tính chất tích phân xác định phụ thuộc tham số: 156 Tính liên tục: 156 Tính khả vi: .158 Tính khả tích: 162 III Tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi: 163 Tính liên tục: 163 Tính khả vi: .165 Tính khả tích: 166 §3.2: TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ 167 I Khái niệm: 167 II Các tính chất: .168 Tính liên tục: 168 Tính khả vi: .169 Tính khả vi: .173 III Một số tích phân quan trọng: 177 §3.3: TÍCH PHÂN EULER .178 I Hàm Gamma: .178 II Hàm Beta: 180 CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 183 §4.1: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I .183 I Cơng thức tính: 183 Dạng 1: 184 Dạng 2: 184 Dạng 3: 184 Dạng 4: 184 II Ứng dụng tích phân đường loại I: .192 III Tích phân đường loại I khơng gian 𝐎𝐱𝐲𝐳: 194 §𝟒 𝟐: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II 197 I Cơng thức tính: 197 Dạng 1: 197 Dạng 2: 197 Dạng 3: 198 II Công thức Green: 201 III Điều kiện để tích phân khơng phụ thuộc vào đường đi: .208 Định lí mệnh đề tương đương: 208 Bài tốn tích phân khơng phụ thuộc vào đường đi: 209 IV Ứng dụng tích phân đường loại II: 215 Tính diện tích hình phẳng: 215 Tính công lực thay đổi làm dịch chuyển chất điểm từ vị trí A đến vị trí B: 215 CHƯƠNG V: TÍCH PHÂN MẶT .217 §5.1: TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I 217 I Cơng thức tính: 217 II Ứng dụng tích phân mặt loại I: 223 §5.2: TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 226 I.Tích phân mặt loại II: 226 II.Công thức Ostrogradsky: 231 III.Công thức Stoke: 239 IV.Cơng thức liên hệ tích phân mặt loại I tích phân mặt loại II: 240 CHƯƠNG VI: LÝ THUYẾT TRƯỜNG 243 §6.1: TRƯỜNG VƠ HƯỚNG 243 I Định nghĩa: 243 II Đạo hàm theo hướng: 243 Cơng thức tính: .243 Tính chất: 243 III Gradient: 244 §6.2: TRƯỜNG VECTO 247 I Định nghĩa: 247 II Dive, trường ống: .247 III Trường thế, hàm vị: 247 Vecto xoáy (𝐫𝐨𝐭𝐅): 247 Trường thế, hàm vị: 247 IV Thông lượng: 249 Cơng thức tính: .249 Các ví dụ minh họa: .249 V Lưu số (Hoàn lưu): 255 Cơng thức tính: .255 Các dạng chính: 255 TÀI LIỆU THAM KHẢO: 260 CHƯƠNG I: HÀM NHIỀU BIẾN SỐ TỔNG HỢP CÁC DẠNG BÀI TRONG HÀM NHIỀU BIẾN I Bài tốn tìm giới hạn hàm nhiều biến số: − Tính chất giới hạn: + + lim (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) lim 𝑘𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 lim (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) [𝑓(𝑥, 𝑦) ± 𝑔(𝑥, 𝑦)] = (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) lim (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) Tính chất thứ hai áp dụng 𝑓(𝑥, 𝑦) ± lim (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) Nếu hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục điểm (𝑥0 ; 𝑦0 ) thì: lim (𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 ) lim (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑥, 𝑦) lim (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑔(𝑥, 𝑦) hữu hạn 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) − Dạng 1: Sử dụng định lí kẹp (với có giới hạn 0) 𝑔(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ ℎ(𝑥, 𝑦) lim 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑐 Định lí kẹp: { (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) ⇒ lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) lim ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑐 (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) ❖ Trong tập, phán đoán giới hạn dụng định lí kẹp sau: lim (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) tiến đến 0, sử Có: ≤ |𝑓(𝑥, 𝑦)| ≤ |𝑔(𝑥, 𝑦)| Vế trái của |𝑓(𝑥, 𝑦)| kẹp số 0, nhiệm vụ tìm hàm 𝑔(𝑥, 𝑦) thỏa mãn lim 𝑔(𝑥, 𝑦) = Để làm việc đánh giá, (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) tác động lên hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) cách bớt tử, mẫu hay sử dụng bất đẳng thức Cauchy, sử dụng |sin 𝑥|, |cos 𝑥| ≤ … Sau tìm hàm 𝑔(𝑥, 𝑦) phù hợp, sử dụng định lí kẹp ⇒ (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) lim lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = |𝑓(𝑥, 𝑦)| = ⇒ (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑥 sin 𝑦 VD1: Tính lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 Giải: 𝑥 sin 𝑦 Sử dụng máy tính nhập hàm , (𝑥, 𝑦) → (0,0), ta CALC 𝑥 = 10−6 , 𝑦 = 10−6 𝑥 + 𝑦2 thu kết gần ⇒ dự đoán 𝑥 sin 𝑦 = ⇒ Sử dụng định lý kẹp (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 𝑥 sin 𝑦 𝑥 sin 𝑦 Ta có: ≤ | | = |sin 𝑦| | ≤ | 𝑥 + 𝑦2 𝑥2 Mà |sin 𝑦| = |sin 0| = ⇒ lim (𝑥,𝑦)→(0,0) VD2: Tìm Giải: lim 𝑥 sin 𝑦 = (định lý kẹp) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 lim 2𝑥 ln 𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,1) 𝑥 + (𝑦 − 1)2 lim 2𝑥 ln 𝑦 Nhập hàm nhập 𝑥 = 10−6 tiến sát 0, nhập 𝑦 = + 10−6 tiến sát 𝑥 + (𝑦 − 1)2 thu kết số nhỏ tiến đến ⇒ dự đốn ⇒ dùng định lí kẹp 2𝑥 ln 𝑦 =0 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + (𝑦 − 1)2 lim 2𝑥 ln 𝑦 2𝑥 ln 𝑦 |≤| Ta có: ≤ | | = |2𝑥 ln 𝑦| 𝑥 + (𝑦 − 1)2 𝑥2 2𝑥 ln 𝑦 Mà lim |2𝑥 ln 𝑦| = |2.0 ln 1| = ⇒ lim = (Định lý kẹp) (𝑥,𝑦)→(0,1) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + (𝑦 − 1)2 VD3: Tìm Giải: (sin 𝑥)3 (𝑥,𝑦)→(0,0) (sin 𝑥)2 + (cos 𝑦)2 lim Dùng máy tính, dự đốn (sin 𝑥)3 = ⇒ dùng định lí kẹp (𝑥,𝑦)→(0,0) (sin 𝑥)2 + (cos 𝑦)2 lim (sin 𝑥)3 (sin 𝑥)3 | = |sin 𝑥| | ≤ | Ta có: ≤ | (sin 𝑥)2 (sin 𝑥)2 + (cos 𝑦)2 Mà lim |sin 𝑥| = |sin 0| = ⇒ (𝑥,𝑦)→(0,0) (sin 𝑥)3 = (Định lý kẹp) (𝑥,𝑦)→(0,0) (sin 𝑥)2 + (cos 𝑦)2 lim VD4: Tìm Giải: 𝑥4 + 𝑦4 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 lim Dùng máy tính, dự đốn 𝑥4 + 𝑦4 = ⇒ dùng định lí kẹp (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 lim Ở VD để nguyên bớt mẫu số VD trước chưa thể sử dụng định lí kẹp, chia 𝑥4 𝑦4 𝑥4 + 𝑦4 = lim lim + (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 lim 𝑥4 𝑥4 0≤| | ≤ | | = |𝑥 | 𝑥4 𝑥 𝑥 + 2𝑦 Ta có: { ⇒ lim = (Định lý kẹp) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 2 lim |𝑥 | = Ta có: ⇒ 0≤| { (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑦4 𝑦2 𝑦4 | | ≤ | | = | 𝑦4 𝑥 + 2𝑦 2𝑦 ⇒ lim = (Định lý kẹp) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 𝑦2 lim | | = (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥4 + 𝑦4 𝑥4 𝑦4 = + lim lim =0 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 lim 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 VD5: Tính lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 Giải: Dùng máy tính, dự đoán 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 = ⇒ dùng định lí kẹp (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 lim Thấy xuất thừa số 𝑥𝑦, 𝑥 , 𝑦 ⇒ liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy Ta có: |𝑥 + 𝑦 | ≥ |2𝑥𝑦| ⇒ ⇒0≤| Mà 𝑥 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 ≤ | = | − 2𝑦| ⇒ | | ≤ | 2 2 |𝑥 + 𝑦 | |2𝑥𝑦| 𝑥 +𝑦 2𝑥𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 | = | − 2𝑦| | ≤ | 2 2𝑥𝑦 𝑥 +𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 | − 2𝑦| = | − 2.0| = ⇒ lim =0 (𝑥,𝑦)→(0,0) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 2 lim −160𝑥 −320𝑦 −480𝑧 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢 = ( ) , , 𝑔𝑟𝑎𝑑 2 2 2 2 (1 + 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 ) (1 + 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 ) (1 + 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 )2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢(𝐴) = ( ⇒ 𝑔𝑟𝑎𝑑 −5 −5 15 −5 −5 15 , , )⇒𝑙=( , , ) 4 4 Vậy theo nhiệt độ tăng nhanh theo hướng 𝑙 = ( −5 −5 15 , ) , 4 − Bài tốn: Góc tạo hai gradient + Gradient vecto, muốn tính góc tạo hai gradient sử dụng cơng thức tính góc hai vecto ⃗ 𝑣 + Cơng thức tính góc hai vecto 𝑢 𝑢 ⃗ 𝑣 𝑢 ⃗ 𝑣 ̂ ̂ cos(𝑢 ⃗ , 𝑣) = ⇒ (𝑢 ⃗ , 𝑣) = arccos ( ) |𝑢 |𝑢 ⃗ | |𝑣| ⃗ | |𝑣| VD: Tính góc vecto ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑧 hàm 𝑧1 = √𝑥 + 𝑦 , 𝑧2 = 𝑥 − 3𝑦 + √3𝑥𝑦 𝑀(3,4) Giải: 𝑧1 = √𝑥 + 𝑦 ⇒ ′ 𝑧1𝑥 = { ′ 𝑧1𝑦 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧1 (𝑀) = ( , ) ⇒ 𝑔𝑟𝑎𝑑 5 𝑧2 = 𝑥 − 3𝑦 + √3𝑥𝑦 ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧2 (𝑀) = (2, ⇒ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑥 √𝑥 + 𝑦 ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑧1 = ( 𝑦 √𝑥 + 𝑦 ′ 𝑧2𝑥 = 1+ ′ 𝑧2𝑦 { −9 ) 𝑥 , 𝑦 √𝑥 + 𝑦 √𝑥 + 𝑦 ) √3𝑦 √3𝑦 √3𝑥 √𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧2 = (1 + ⇒ 𝑔𝑟𝑎𝑑 , −3 + ) √3𝑥 √𝑥 2√𝑦 = −3 + 2√𝑦 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧1 (𝑀), 𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧2 (𝑀)) = ⇒ cos (𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧1 (𝑀) 𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧2 (𝑀) −12 𝑔𝑟𝑎𝑑 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧1 (𝑀)| |𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧2 (𝑀)| 5√145 |𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧2 ) ≈ 1,77 (radian) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧1 , 𝑔𝑟𝑎𝑑 ⇒ (𝑔𝑟𝑎𝑑 246 §6.2: TRƯỜNG VECTO I Định nghĩa: ⃗ xác định với − Với 𝑀 ⊂ 𝑅 , hàm vecto 𝐹 = 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘 (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑀 là trường vecto 𝑀 II.Dive, trường ống: − Dive 𝐹 (kí hiệu 𝑑𝑖𝑣𝐹 ) tính theo cơng thức: 𝑑𝑖𝑣𝐹 = 𝑃𝑥′ + 𝑄𝑦′ + 𝑅𝑧′ − Trường vecto 𝐹 gọi trường ống 𝑑𝑖𝑣𝐹 = với 𝑥, 𝑦, 𝑧 ⃗ với 𝑚 tham số thực Tìm 𝑚 để 𝐹 trường ống VD: Cho 𝐹 = 𝑥 𝑦𝑧𝑖 + 3𝑥𝑦 𝑧𝑗 + 𝑚𝑥𝑦𝑧 𝑘 Giải: 𝑃𝑥′ = 2𝑥𝑦𝑧 𝑃 = 𝑥 𝑦𝑧 Đặt { 𝑄 = 3𝑥𝑦 𝑧 ⇒ { 𝑄𝑦′ = 6𝑥𝑦𝑧 ⇒ 𝑑𝑖𝑣𝐹 = 𝑃𝑥′ + 𝑄𝑦′ + 𝑅𝑧′ = (8 + 2𝑚)𝑥𝑦𝑧 𝑅𝑧′ = 2𝑚𝑥𝑦𝑧 𝑅 = 𝑚𝑥𝑦𝑧 Để 𝐹 trường ống ⇔ 𝑑𝑖𝑣𝐹 = ⇔ 𝑚 = −4 III.Trường thế, hàm vị: ⃗ ): 1.Vecto xốy (𝒓𝒐𝒕𝑭 − Cơng thức tính: 𝑖 𝜕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹 = || 𝑟𝑜𝑡 𝜕𝑥 𝑃 𝑗 𝜕 𝜕𝑦 𝑄 ⃗ 𝑘 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕| ⃗ ( − ) | = 𝑖 ( 𝜕𝑦 − 𝜕𝑧 ) + 𝑗 ( 𝜕𝑧 − 𝜕𝑥 ) + 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑅 − Những điểm khơng xốy 𝑀 trường vecto 𝐹 điểm thỏa mãn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑜𝑡𝐹 (𝑀) = 2.Trường thế, hàm vị: − 𝐹 trường ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑜𝑡𝐹 = ⃗0 với 𝑥, 𝑦, 𝑧 − Nếu 𝐹 trường hàm vị 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) tính theo cơng thức: 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝑢 = ∫ 𝑃(𝑡, 𝑦0 , 𝑧0 )𝑑𝑡 + ∫ 𝑄(𝑥, 𝑡, 𝑧0 )𝑑𝑡 + ∫ 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑡)𝑑𝑡 + 𝐶 247 Với 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 số tự chọn (thường chọn 𝑥0 = 𝑦0 = 𝑧0 = 0) ⃗ trường thế, tìm hàm VD: Chứng mimh 𝐹 = (3𝑥 + 𝑦𝑧)𝑖 + (6𝑦 + 𝑥𝑧)𝑗 + (𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑒 𝑧 )𝑘 vị Giải: Đặt 𝑃 = 3𝑥 + 𝑦𝑧, 𝑄 = 6𝑦 + 𝑥𝑧, 𝑅 = 𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑒 𝑧 𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹 = || 𝜕 𝑟𝑜𝑡 𝜕𝑥 𝑃 ⃗ 𝑘 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕| ⃗ | = ( 𝜕𝑦 − 𝜕𝑧 ) 𝑖 + ( 𝜕𝑧 − 𝜕𝑥 ) 𝑗 + ( 𝜕𝑥 − 𝜕𝑦 ) 𝑘 𝜕𝑧 𝑅 𝑗 𝜕 𝜕𝑦 𝑄 𝜕𝑅 𝜕𝑄 − =𝑥−𝑥 =0 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑃 𝜕𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹 = (0,0,0) ⇒ 𝐹 trường = 𝑦 − 𝑦 = ⇒ 𝑟𝑜𝑡 − 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑄 𝜕𝑃 − =𝑧−𝑧 =0 { 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Hàm vị 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝑢 = ∫ 𝑃(𝑡, 𝑦0 , 𝑧0 )𝑑𝑡 + ∫ 𝑄(𝑥, 𝑡, 𝑧0 )𝑑𝑡 + ∫ 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑡)𝑑𝑡 + 𝐶 Chọn 𝑥0 = 𝑦0 = 𝑧0 = 𝑦 𝑥 𝑧 ⇒ 𝑢 = ∫ 3𝑡 𝑡 + ∫ 6𝑡 𝑑𝑡 + ∫(𝑡 + 𝑥𝑦 + 𝑒 𝑡 )𝑑𝑡 + 𝐶 = 𝑡3 | 𝑥 0 + 2𝑡 | = 𝑥 + 2𝑦 + 𝑦 0 𝑧 𝑡3 𝑧3 + ( + 𝑥𝑦𝑡 + 𝑒 𝑡 ) | + 𝐶 = 𝑥 + 2𝑦 + + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑒 𝑧 − + 𝐶 3 𝑧3 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑒 𝑧 + 𝐶 Vậy hàm vị 𝑢 = 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧3 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑒 𝑧 + 𝐶 248 IV Thơng lượng: 1.Cơng thức tính: ⃗ Thông lượng 𝐹 qua mặt Cho trường vecto 𝐹 = 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘 cong 𝑆 tính theo cơng thức: Φ = ∬ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 2.Các ví dụ minh họa: ⃗ qua mặt cầu 𝑆: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = VD1: Tính thơng lượng 𝐹 = 𝑥𝑖 + (𝑦 + 2𝑧)𝑗 + (3𝑥 𝑧 − 𝑥)𝑘 hướng Giải: 𝑧 𝑦 𝑥 Đặt 𝑃 = 𝑥, 𝑄 = 𝑦 + 2𝑧, 𝑅 = 3𝑥 𝑧 − 𝑥 Thơng lượng cần tính là: Φ = ∬ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑦 + 2𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑥 + (3𝑥 𝑧 − 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 Mặt 𝑆 mặt cong kín giới hạn miền (𝑉) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ hướng pháp tuyến 249 𝑃𝑥′ = 1, 𝑄𝑦′ = 3𝑦 , 𝑅𝑧′ = 3𝑥 liên tục với 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 Áp dụng công thức Ostrogradsky: Φ = ∭(1 + 3𝑥 + 3𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭(3𝑥 + 3𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑉(𝑉) = 𝐼 + 𝑉(𝑉) 𝑉 𝑉 0≤𝑟≤1 𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑 Đặt { 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑 Miền (𝑉): { ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 |𝐽| = 𝑟 sin 𝜃 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 2𝜋 𝜋 2𝜋 𝜋 𝐼 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑑𝜃 ∫ 3𝑟 (sin 𝜃)2 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑟 = ∫ 𝑑𝜑 ∫(sin 𝜃)3 𝑑𝜃 = 𝜋 5 0 0 44 𝜋 ⇒ Φ = 𝐼 + 𝑉(𝑉) = 𝜋 + 𝜋 = 15 ⃗ qua 𝑆 mặt 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 , 𝑧 ≤ 4, VD2: Tính thơng lượng 𝐹 = 𝑥𝑦 𝑖 − 𝑧𝑒 𝑥 𝑗 + (𝑥 𝑧 + sin 𝑦)𝑘 hướng Giải: 𝑧=4 𝑧 𝑦 𝑥 Thơng lượng cần tính: Φ = ∬ 𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑧𝑒 𝑥 𝑑𝑧𝑑𝑥 + (𝑥 𝑧 + sin 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 Bổ sung thêm mặt 𝑆 ′ : { 𝑆 𝑧=4 hướng lên 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 250 Mặt 𝑆 ∪ 𝑆′ mặt cong kín, hướng pháp tuyến ngồi giới hạn miền (𝑉): 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ Đặt 𝑃 = 𝑥𝑦 , 𝑄 = −𝑧𝑒 𝑥 , 𝑅 = 𝑥 𝑧 + cos 𝑦 ⇒ 𝑃𝑥′ = 𝑦 , 𝑄𝑦′ = 0, 𝑅𝑧′ = 𝑥 liên tục với 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 Ta có: Φ = ∯ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∬ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐼1 − 𝐼2 𝑆∪𝑆 ′ Áp dụng công thức Ostrogradsky cho 𝐼1 , ta có: 𝑆′ 𝐼1 = ∭(𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 Hình chiếu 𝑉 lên 𝑂𝑥𝑦 là𝐷: 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 0≤𝑟≤2 Đặt { 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 𝐽 = 𝑟 Miền (𝑉): { ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 𝑧=𝑧 𝑟2 ≤ 𝑧 ≤ 2𝜋 2𝜋 ⇒ 𝐼1 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑑𝑟 ∫ 𝑟 𝑟𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟 (4 − 𝑟 )𝑑𝑟 = 𝑟2 0 32 𝜋 𝑧 = ⇒ 𝑑𝑧 = Mặt 𝑆 ′ : { , (𝑛⃗, 𝑂𝑧) < 𝜋/2, hình chiếu 𝑆 ′ lên 𝑂𝑥𝑦 𝐷: 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦2 ≤ ⇒ 𝐼2 = ∬(𝑥 𝑧 + sin 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬(4𝑥 + sin 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 4𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆′ 2𝜋 𝐷 𝐷 2𝜋 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟 (cos 𝜑)2 𝑟𝑑𝑟 = 16 ∫ (cos 𝜑)2 𝑑𝜑 = 16𝜋 0 (∬ sin 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = tính chất đối xứng miền 𝐷, hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) = sin 𝑦 lẻ với 𝑦) 𝐷 ⇒ Φ = 𝐼1 − 𝐼2 = −16 𝜋 251 ⃗ qua phía mặt nón 𝑧 = VD3: Tính thơng lượng 𝐹 = (𝑥 − 2𝑦 + 𝑧)𝑖 − (𝑧 + 2𝑥𝑦)𝑗 + 𝑥𝑘 + √𝑥 + 𝑦 cắt hai mặt phẳng 𝑧 = 2, 𝑧 = Giải: 𝑧 𝑦 𝑥 Thơng lượng cần tính: Φ = ∬(𝑥 − 2𝑦 + 𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧 − (𝑧 + 2𝑥𝑦)𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 Bổ sung thêm hai mặt: 𝑆 𝑧=2 𝑧=5 𝑆′ : { hướng lên trên, 𝑆 ′′ : { hướng xuống 𝑥 + 𝑦2 ≤ 𝑥 + 𝑦 ≤ 16 2 Mặt 𝑆 ∪ 𝑆 ′ ∪ 𝑆 ′′ mặt cong kín, hướng pháp tuyến trong, giới hạn miền 𝑉: {𝑧 ≥ + √𝑥 + 𝑦 2≤𝑧≤5 Đặt 𝑃 = 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧, 𝑄 = −(𝑧 + 2𝑥𝑦), 𝑅 = 𝑥 ⇒ 𝑃𝑥′ = 2𝑥, 𝑄𝑦′ = −2𝑥, 𝑅𝑧′ = liên tục Φ= ∯ … − ∬ … − ∬ … = 𝐼1 − 𝐼2 − 𝐼3 𝑆∪𝑆 ′ ∪𝑆 ′′ 𝑆′ 𝑆 ′′ 252 Áp dụng công thức Ostrogradsky cho 𝐼1 ⇒ 𝐼1 = − ∭(2𝑥 − 2𝑥 + 0)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑉 𝑧 = ⇒ 𝑑𝑧 = Mặt 𝑆 ′ : { , (𝑛⃗, 𝑂𝑧) < 𝜋/2, hình chiếu 𝑆 ′ lên 𝑂𝑥𝑦 𝐷′ : 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦2 ≤ ⇒ 𝐼2 = ∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 = (Dùng tính chất đối xứng) 𝑆′ Mặt 𝑆 ′′ : { 𝐷 𝑧 = ⇒ 𝑑𝑧 = , (𝑛⃗, 𝑂𝑧) > 𝜋/2, hình chiếu 𝑆 ′′ lên 𝑂𝑥𝑦 𝐷′′ : 𝑥 + 𝑦 ≤ 16 𝑥 + 𝑦 ≤ 16 ⇒ 𝐼3 = ∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 = (Dùng tính chất đối xứng) 𝑆 ′′ 𝐷 Vậy Φ = 𝐼1 − 𝐼2 − 𝐼3 = ⃗ qua S mặt miền VD4: Tính thơng lượng trường vecto 𝐹 = 2𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 − 𝑧 𝑘 giới hạn 𝑦 = 0, 𝑦 = √1 − 𝑧 , 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝑥 Giải: 𝑥=2 𝑧 𝑦 253 Thông lượng cần tính là: Φ = ∬ 2𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑧 − 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 Mặt 𝑆 kín giới hạn miển 𝑉: ≤ 𝑦 ≤ √1 − 𝑧 , ≤ 𝑥 ≤ 2, hướng pháp tuyến Đặt 𝑃 = 2𝑥 , 𝑄 = 𝑦 , 𝑅 = −𝑧 ⇒ 𝑃𝑥′ = 4𝑥, 𝑄𝑦′ = 2𝑦, 𝑅𝑧′ = −2𝑧 liên tục Áp dụng công thức Ostrogradsky: Φ = ∬ 2𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑧 − 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∭(4𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑆 𝑦 = 𝑟 cos 𝜑 0≤𝑟≤1 Đặt { 𝑧 = 𝑟 sin 𝜑 , 𝐽 = 𝑟 ⇒ Miền 𝑉: {−𝜋/2 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋/2 𝑥=𝑥 0≤𝑥≤2 𝜋 𝜋 2 𝑉 Φ = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑑𝑟 ∫(2𝑥 + 𝑟 cos 𝜑) 𝑟𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝜑 ∫(4𝑟 + 2𝑟 cos 𝜑)𝑑𝑟 = ⋯ = 4𝜋 + −𝜋 −𝜋 0 𝑧 ⃗ qua 𝑆 biên ngồi miền VD5: Tính thơng lượng trường vecto 𝐹 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑘 𝑉: |𝑥 − 𝑦| ≤ 1, |𝑦 − 𝑧| ≤ 1, |𝑧 + 𝑥| ≤ Giải: Thơng lượng cần tính 𝑧2 Φ = ∬ 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑧 + 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 Mặt 𝑆 kín giới hạn miển 𝑉: |𝑥 − 𝑦| ≤ 1, |𝑦 − 𝑧| ≤ 1, |𝑧 + 𝑥| ≤ hướng pháp tuyến Đặt 𝑃 = 𝑥 , 𝑄 = 𝑦 , 𝑅 = 𝑧 /2 ⇒ 𝑃𝑥′ = 3𝑥 , 𝑄𝑦′ = 2𝑦, 𝑅𝑧′ = 𝑧 liên tục Áp dụng công thức Ostrogradsky: Φ = ∭(3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 254 𝑥 = (𝑢 + 𝑣 + 𝑤)/2 𝑢 =𝑥−𝑦 Đặt { 𝑣 = 𝑦 − 𝑧 ⇒ {𝑦 = (𝑣 + 𝑤 − 𝑢)/2 , 𝐽 = 1/2 𝑤 =𝑧+𝑥 𝑧 = (𝑤 − 𝑢 − 𝑣)/2 Miền 𝑉𝑢𝑣𝑤 : −1 ≤ 𝑢 ≤ 1, −1 ≤ 𝑣 ≤ 1, −1 ≤ 𝑤 ≤ ⇒Φ= 𝑤−𝑢−𝑣 3(𝑢 + 𝑣 + 𝑤)2 + (𝑣 + 𝑤 − 𝑢) + ] 𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤 = ⋯ = ∭[ 2 𝑉𝑢𝑣𝑤 V Lưu số (Hoàn lưu): Cơng thức tính: ⃗ 𝐶 đường cong Cho trường vecto 𝐹 = 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘 khơng gian (có thể kín khơng kín), lưu số 𝐹 dọc theo đường cong 𝐶 tính theo tích phân đường loại hai không gian 𝐶 = ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 𝐶 Các dạng chính: a 𝑪 đường thẳng, đường cong không gian (không kín) − Cách làm: B1: Biểu diễn đường thẳng, đường cong 𝐶 theo phương trình tham số B2: Tính tích phân đường theo công thức với dạng đường thẳng theo phương trình tham số VD1: Cho trường vơ hướng 𝑢 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 Tính lưu số trường vecto ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 dọc theo đoạn thẳng nối từ 𝐴(−1, −1, −1) đến 𝐵(2,4,1) Giải: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢 = (𝑢𝑥′ , 𝑢𝑦′ , 𝑢𝑧′ ) = (𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑧)𝑖 + (𝑥 + 𝑧)𝑗 + (𝑥 + 𝑦)𝑘 ⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 Đoạn 𝐴𝐵: { 𝑥+1 𝑦+1 𝑧+1 vecto phương ⃗⃗⃗⃗⃗ AB = (3,5,2) ⇒ 𝐴𝐵: =𝑡 = = qua A(−1, −1, −1) 𝑥 = 3𝑡 − ⇒ 𝐴𝐵: {𝑦 = 5𝑡 − với 𝑡 chạy từ đến 𝑧 = 2𝑡 − 255 Lưu số cần tìm: 𝐶 = ∫ (𝑦 + 𝑧)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑧)𝑑𝑦 + (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑧 𝐴𝐵 = ∫[(5𝑡 − + 2𝑡 − 1) + (3𝑡 − + 2𝑡 − 1) + (3𝑡 − + 5𝑡 − 1) 2]𝑑𝑡 = 11 b 𝑪 đường cong kín khơng gian: − Phương pháp: B1: Sử dụng công thức Stoke để đưa biểu thức lưu số từ tích phân đường loại II khơng gian tích phân mặt loại II B2: Sử dụng cơng thức liên hệ để đưa tích phân mặt loại II tích phân mặt loại B3: Tính biểu thức tích phân mặt loại I để kết Đặc biệt: Nếu biểu thức tích phân mặt loại II B1 khơng phức tạp, tính trực tiếp ln, khơng cần thơng qua B2,B3 − Cơng thức Stoke: Cho 𝑆 mặt cong trơn, có biên đường cong kín 𝜕𝑆 𝑃, 𝑄, 𝑅 có đạo hàm riêng liên tục, ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 = ± ∬(𝑅𝑦′ − 𝑄𝑧′ )𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑃𝑧′ − 𝑅𝑥′ )𝑑𝑧𝑑𝑥 + (𝑄𝑥′ − 𝑃𝑦′ )𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑆 𝑆 • Tích phân mang dấu " + " 𝜕𝑆 chiều dương 𝑛⃗ hợp với trục tương ứng góc < 𝜋/2 • Tích phân mang dấu " − " 𝜕𝑆 chiều âm 𝑛⃗ hợp với trục tương ứng góc > 𝜋/2 − Cơng thức liên hệ tích phân mặt loại I loại II: ∬ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬(𝑃 cos 𝛼 + 𝑄 cos 𝛽 + 𝑅 cos 𝛾)𝑑𝑆 𝑆 𝑆 cos 𝛼 , cos 𝛽 , cos 𝛾 cosin phương (tọa độ) vecto pháp tuyến đơn vị mặt 𝑆 ⃗ dọc theo đường tròn 𝐶: 𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑧 = giới hạn VD1: Tính lưu số 𝐹 = 𝑥 𝑦 𝑖 + 𝑗 + 𝑧𝑘 mặt cầu 𝑧 = √1 − 𝑥 − 𝑦 Giải: 256 𝑧 Lưu số cần tính là: 𝑂 𝑥 𝑦 𝐶 = ∮ 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑧𝑑𝑧 𝐶 Đường cong 𝐶 giới hạn phần mặt cầu 𝑆: 𝑧 = √1 − 𝑥 − 𝑦 hướng lên (Đề khơng nói chiều hiều đường cong cho chiều dương) Áp dụng công thức Stoke: 𝐶 = ∬ −3𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 Hình chiếu mặt 𝑆 lên 𝑂𝑥𝑦 𝐷: 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 0≤𝑟≤1 Đặt { 𝑦 = sin 𝜑 , 𝐽 = 𝑟 ⇒ 𝐷: { ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 2𝜋 ⇒ 𝐶 = ∬ −3𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = −3 ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟 sin2 𝜑 𝑟 cos 𝜑 𝑟𝑑𝑟 = ⋯ = 𝑆 2 0 −𝜋 ⃗ dọc theo đường VD2: Tính lưu số 𝐹 = (𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 3𝑦 + 𝑧)𝑖 − (𝑥𝑒 𝑥𝑦 + 𝑦 − 5𝑧)𝑗 + (1 + 2𝑥)𝑘 2 cong 𝐿 giao mặt 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = mặt 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ chiều dương trục 𝑂𝑧 Giải: Lưu số cần tính là: 257 𝐶 = ∮ (𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 3𝑦 + 𝑧)𝑑𝑥 − (𝑥𝑒 𝑥𝑦 + 𝑦 − 5𝑧)𝑑𝑦 + (1 + 2𝑥)𝑑𝑧 𝐿 Đường cong kín 𝐿 chiều dương giới hạn phần mặt phẳng 𝑆: 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = nằm cầu, mặt hướng lên, có vecto pháp tuyến hợp trục 𝑂𝑧 < 𝜋/2 𝑧 𝑦 𝑥 Áp dụng công thức Stoke: 𝐶 = ∬ 5𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑑𝑧𝑑𝑥 − 3𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 Vecto pháp tuyến 𝑆 𝑛⃗ = (1, −1,1) ⇒ cos 𝛼 = ⇒ 𝐶 = ∬ (5 𝑆 (𝑆 hình trịn qua tâm cầu) √3 + 1 √3 − 1 √3 , cos 𝛽 = −1 √3 , cos 𝛾 = √3 ) 𝑑𝑆 = √3 ∬ 𝑑𝑆 = √3𝑆𝑆 = 4√3𝜋 √3 258 𝑆 ⃗ dọc theo đường cong 𝐶 VD2: Tính lưu số 𝐹 = (𝑦 + 𝑧 )𝑖 + (𝑥 + 𝑧 )𝑗 + (𝑥 + 𝑦 )𝑘 2 𝐶 giao mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = mặt nón 𝑧 = −√𝑥 + (𝑦 − 1)2 với hướng chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc O Giải: Lưu số cần tính: 𝐶 = ∮ (𝑦 + 𝑧 )𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑧 )𝑑𝑦 + (𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑧 𝐶 Đường cong kín 𝐶 chiều âm biên phần mặt cong cầu nằm nón 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ hướng xuống theo chiều âm 𝑂𝑧 𝑆: { 𝑧≤0 Áp dụng công thức Stoke: 𝐶 = − ∬(2𝑦 − 2𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (2𝑧 − 2𝑥)𝑑𝑧𝑑𝑥 + (2𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 Vecto pháp tuyến mặt 𝑆 𝑛⃗ = −(2𝑥, 2𝑦, 2𝑧) ⇒ |𝑛⃗| = √(2𝑥)2 + (2𝑦)2 + (2𝑧)2 = (Dấu " − " (𝑛⃗̂ , 𝑂𝑧) > 𝜋/2) ⇒ cos 𝛼 = −2𝑥 −𝑥 −2𝑦 −𝑦 −2𝑧 −𝑧 = = = , cos 𝛽 = , cos 𝛾 = 4 2 Áp dụng cơng thức liên hệ tích phân mặt loại II tích phân mặt loại I: 𝑥 𝑦 𝑧 ⇒ 𝐶 = ∬ [ (2𝑦 − 2𝑧) + (2𝑧 − 2𝑥) + (2𝑥 − 2𝑦)] 𝑑𝑆 = 2 𝑆 259 TÀI LIỆU THAM KHẢO: − Bài giảng mơn Giải tích II, thầy Bùi Xn Diệu − Bài tập giải sẵn Giải tích (Tóm tắt lý thuyết chọn lọc), thầy Trần Bình − Bài tập Tốn học cao cấp, tập hai: Giải tích, GS.TS Nguyễn Đình Trí (chủ biên), PGS.TS Trần Việt Dũng, PGS.TS Trần Xuân Hiền, PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo − Bộ đề cương Giải tích II, Viện Tốn ứng dụng Tin học − Bộ đề thi Giữa kì Cuối kì mơn Giải tích II Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội Tài liệu biên soạn dựa kinh nghiệm cá nhân, dù cố gắng hạn chế định kiến thức kĩ chắn tồn lỗi sai tính tốn, lỗi đánh máy, …mọi ý kiến góp ý bạn đọc vui lòng gửi qua link fb “fb.com/tungg810” email: tungcrossroad@gmail.com để kiểm tra, hồn thiện tài liệu Xin chân thành cảm ơn! 260 ...