BÁCH KHOA ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI TÀI LIỆU MÔN HỌC GIẢI TÍCH II Người biên soạn Phạm Thanh Tùng (Tự Động Hóa – ĐHBKHN) Hà Nội, Tháng 6 năm 2021 https //www docsity com/?utm source=docsity&utm medium=do[.]
BÁCH KHOA-ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI TÀI LIỆU MÔN HỌC GIẢI TÍCH II Người biên soạn: Phạm Thanh Tùng (Tự Động Hóa – ĐHBKHN) Hà Nội, Tháng năm 2021 MỤC LỤC CHƯƠNG I: HÀM NHIỀU BIẾN SỐ I Bài tốn tìm giới hạn hàm nhiều biến số: .7 II Bài toán khảo sát tính liên tục hàm nhiều biến số: 14 III Các toán đạo hàm riêng: .16 Tính đạo hàm riêng hàm bị gãy khúc: 18 Tính đạo hàm riêng hàm số hợp: .19 Đạo hàm riêng cấp hai: 20 Tính đạo hàm riêng hàm số hợp gián tiếp qua hàm tích phân: 21 Tính đạo hàm riêng hàm ẩn: 23 Viết phương trình tiếp tuyến đường cong điểm cho hàm ẩn rút từ 𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝟎 24 Tìm điểm kì dị đường cong: .25 Một số tập tổng hợp: 26 IV Khảo sát tính liên tục đạo hàm riêng: .27 V Bài tốn sử dụng vi phân tính gần đúng: 28 VI Bài tốn tính vi phân tồn phần: 29 VII Bài tốn tìm cực trị hàm nhiều biến (khơng có điều kiện): 31 VII Bài tốn cực trị có điều kiện ràng buộc 𝐱 𝐲: 35 VIII Bài toán khai triển Taylor điểm hàm nhiều biến số: 38 IX Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: 39 Bài toán: 39 Cách làm tổng quát: 39 CHƯƠNG I: CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN .44 I Trong hình học phẳng (Oxy) 44 II Trong hình học khơng gian (Oxyz): 47 III Bài toán liên quan đến đường cong cho dạng giao tuyến mặt cong: 50 IV Bài tốn tìm hình bao họ đường cong phụ thuộc vào tham số: .51 1 Định nghĩa: 51 Các bước tìm hình bao: 52 V Hàm vecto: 54 CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI 56 §2.1: TÍCH PHÂN KÉP 56 I Các cơng thức tính bản: 56 Dạng 1: Miền 𝐃 miền hình chữ nhật: 56 Dạng 2: Miền D miền có dạng hình thang cong: .58 Dạng 3: Miền 𝐃 có dạng hình thang cong: 62 II Bài tốn đổi thứ tự lấy tích phân: 64 Bài toán: 64 Phương pháp: 65 III Các phép đổi biến số tích phân kép: 71 Phép đổi biến tọa độ Đề-các: 71 Phép đổi biến số tọa độ cực: 73 Phép đổi biến số tọa độ cực suy rộng: 84 IV Tích phân kép có miền lấy tích phân đối xứng: 87 V Tích phân kép có dấu giá trị tuyệt đối: .89 VI Dạng kết hợp phương pháp đổi biến số: 93 VII Dạng sử dụng tọa độ cực để giải tích phân có miền 𝐃 đặc biệt: 93 VIII Bài tập tự luyện: .97 §2.2: TÍCH PHÂN BỘI BA .98 I Sơ lược tích phân bội ba: .98 II Một số dạng bản: 102 Dạng 1: 102 Dạng 2: 102 Dạng 3: 103 Dạng 4: 104 III Đổi biến số tích phân bội ba: .110 Phép đổi biến số tọa độ trụ: 110 Phép đổi biến số tọa độ trụ suy rộng 115 Phép đổi biến số tọa độ cầu: 116 Phép đổi biến số tọa độ cầu suy rộng: 122 Phép đổi biến số tọa độ Đề-các: 130 IV Tích phân có miền đối xứng: 132 V Một số dạng đặc biệt: 135 Tọa độ trụ có sử dụng hình chiếu miền 𝐕 lên 𝐎𝐱𝐳 𝐎𝐲𝐳: .135 Đổi thứ tự lấy tích phân: 136 Đổi vai trò 𝐱, 𝐲, 𝐳 .137 Dạng tổng hợp: .139 Sử dụng đổi biến số tọa độ cầu để tính tích phân bội ba có miền phức tạp: 140 VI Bài tập tự luyện: .142 §2.3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI 143 I Tính diện tích hình phẳng 143 II Tính diện tích mặt cong: 148 III Tính thể tích vật thể: 150 CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 156 §3.1: Tích phân xác định phụ thuộc tham số 156 I Khái niệm: 156 II Các tính chất tích phân xác định phụ thuộc tham số: 156 Tính liên tục: 156 Tính khả vi: .158 Tính khả tích: 162 III Tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi: 163 Tính liên tục: 163 Tính khả vi: .165 Tính khả tích: 166 §3.2: TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ 167 I Khái niệm: 167 II Các tính chất: .168 Tính liên tục: 168 Tính khả vi: .169 Tính khả vi: .173 III Một số tích phân quan trọng: 177 §3.3: TÍCH PHÂN EULER .178 I Hàm Gamma: .178 II Hàm Beta: 180 CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 183 §4.1: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I .183 I Cơng thức tính: 183 Dạng 1: 184 Dạng 2: 184 Dạng 3: 184 Dạng 4: 184 II Ứng dụng tích phân đường loại I: .192 III Tích phân đường loại I khơng gian 𝐎𝐱𝐲𝐳: 194 §𝟒 𝟐: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II 197 I Cơng thức tính: 197 Dạng 1: 197 Dạng 2: 197 Dạng 3: 198 II Công thức Green: 201 III Điều kiện để tích phân khơng phụ thuộc vào đường đi: .208 Định lí mệnh đề tương đương: 208 Bài tốn tích phân khơng phụ thuộc vào đường đi: 209 IV Ứng dụng tích phân đường loại II: 215 Tính diện tích hình phẳng: 215 Tính công lực thay đổi làm dịch chuyển chất điểm từ vị trí A đến vị trí B: 215 CHƯƠNG V: TÍCH PHÂN MẶT .217 §5.1: TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I 217 I Cơng thức tính: 217 II Ứng dụng tích phân mặt loại I: 223 §5.2: TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 226 I.Tích phân mặt loại II: 226 II.Công thức Ostrogradsky: 231 III.Công thức Stoke: 239 IV.Cơng thức liên hệ tích phân mặt loại I tích phân mặt loại II: 240 CHƯƠNG VI: LÝ THUYẾT TRƯỜNG 243 §6.1: TRƯỜNG VƠ HƯỚNG 243 I Định nghĩa: 243 II Đạo hàm theo hướng: 243 Cơng thức tính: .243 Tính chất: 243 III Gradient: 244 §6.2: TRƯỜNG VECTO 247 I Định nghĩa: 247 II Dive, trường ống: .247 III Trường thế, hàm vị: 247 Vecto xoáy (𝐫𝐨𝐭𝐅): 247 Trường thế, hàm vị: 247 IV Thông lượng: 249 Cơng thức tính: .249 Các ví dụ minh họa: .249 V Lưu số (Hoàn lưu): 255 Cơng thức tính: .255 Các dạng chính: 255 TÀI LIỆU THAM KHẢO: 260 CHƯƠNG I: HÀM NHIỀU BIẾN SỐ TỔNG HỢP CÁC DẠNG BÀI TRONG HÀM NHIỀU BIẾN I Bài tốn tìm giới hạn hàm nhiều biến số: − Tính chất giới hạn: + + lim (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) lim 𝑘𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 lim (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) [𝑓(𝑥, 𝑦) ± 𝑔(𝑥, 𝑦)] = (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) lim (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) Tính chất thứ hai áp dụng 𝑓(𝑥, 𝑦) ± lim (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) Nếu hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục điểm (𝑥0 ; 𝑦0 ) thì: lim (𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 ) lim (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑥, 𝑦) lim (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑔(𝑥, 𝑦) hữu hạn 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) − Dạng 1: Sử dụng định lí kẹp (với có giới hạn 0) 𝑔(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ ℎ(𝑥, 𝑦) lim 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑐 Định lí kẹp: { (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) ⇒ lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) lim ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑐 (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) ❖ Trong tập, phán đoán giới hạn dụng định lí kẹp sau: lim (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) tiến đến 0, sử Có: ≤ |𝑓(𝑥, 𝑦)| ≤ |𝑔(𝑥, 𝑦)| Vế trái của |𝑓(𝑥, 𝑦)| kẹp số 0, nhiệm vụ tìm hàm 𝑔(𝑥, 𝑦) thỏa mãn lim 𝑔(𝑥, 𝑦) = Để làm việc đánh giá, (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) tác động lên hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) cách bớt tử, mẫu hay sử dụng bất đẳng thức Cauchy, sử dụng |sin 𝑥|, |cos 𝑥| ≤ … Sau tìm hàm 𝑔(𝑥, 𝑦) phù hợp, sử dụng định lí kẹp ⇒ (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) lim lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = |𝑓(𝑥, 𝑦)| = ⇒ (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑥 sin 𝑦 VD1: Tính lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 Giải: 𝑥 sin 𝑦 Sử dụng máy tính nhập hàm , (𝑥, 𝑦) → (0,0), ta CALC 𝑥 = 10−6 , 𝑦 = 10−6 𝑥 + 𝑦2 thu kết gần ⇒ dự đoán 𝑥 sin 𝑦 = ⇒ Sử dụng định lý kẹp (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 𝑥 sin 𝑦 𝑥 sin 𝑦 Ta có: ≤ | | = |sin 𝑦| | ≤ | 𝑥 + 𝑦2 𝑥2 Mà |sin 𝑦| = |sin 0| = ⇒ lim (𝑥,𝑦)→(0,0) VD2: Tìm Giải: lim 𝑥 sin 𝑦 = (định lý kẹp) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 lim 2𝑥 ln 𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,1) 𝑥 + (𝑦 − 1)2 lim 2𝑥 ln 𝑦 Nhập hàm nhập 𝑥 = 10−6 tiến sát 0, nhập 𝑦 = + 10−6 tiến sát 𝑥 + (𝑦 − 1)2 thu kết số nhỏ tiến đến ⇒ dự đốn ⇒ dùng định lí kẹp 2𝑥 ln 𝑦 =0 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + (𝑦 − 1)2 lim 2𝑥 ln 𝑦 2𝑥 ln 𝑦 |≤| Ta có: ≤ | | = |2𝑥 ln 𝑦| 𝑥 + (𝑦 − 1)2 𝑥2 2𝑥 ln 𝑦 Mà lim |2𝑥 ln 𝑦| = |2.0 ln 1| = ⇒ lim = (Định lý kẹp) (𝑥,𝑦)→(0,1) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + (𝑦 − 1)2 VD3: Tìm Giải: (sin 𝑥)3 (𝑥,𝑦)→(0,0) (sin 𝑥)2 + (cos 𝑦)2 lim Dùng máy tính, dự đốn (sin 𝑥)3 = ⇒ dùng định lí kẹp (𝑥,𝑦)→(0,0) (sin 𝑥)2 + (cos 𝑦)2 lim (sin 𝑥)3 (sin 𝑥)3 | = |sin 𝑥| | ≤ | Ta có: ≤ | (sin 𝑥)2 (sin 𝑥)2 + (cos 𝑦)2 Mà lim |sin 𝑥| = |sin 0| = ⇒ (𝑥,𝑦)→(0,0) (sin 𝑥)3 = (Định lý kẹp) (𝑥,𝑦)→(0,0) (sin 𝑥)2 + (cos 𝑦)2 lim VD4: Tìm Giải: 𝑥4 + 𝑦4 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 lim Dùng máy tính, dự đốn 𝑥4 + 𝑦4 = ⇒ dùng định lí kẹp (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 lim Ở VD để nguyên bớt mẫu số VD trước chưa thể sử dụng định lí kẹp, chia 𝑥4 𝑦4 𝑥4 + 𝑦4 = lim lim + (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 lim 𝑥4 𝑥4 0≤| | ≤ | | = |𝑥 | 𝑥4 𝑥 𝑥 + 2𝑦 Ta có: { ⇒ lim = (Định lý kẹp) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 2 lim |𝑥 | = Ta có: ⇒ 0≤| { (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑦4 𝑦2 𝑦4 | | ≤ | | = | 𝑦4 𝑥 + 2𝑦 2𝑦 ⇒ lim = (Định lý kẹp) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 𝑦2 lim | | = (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥4 + 𝑦4 𝑥4 𝑦4 = + lim lim =0 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 2𝑦 lim 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 VD5: Tính lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 Giải: Dùng máy tính, dự đoán 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 = ⇒ dùng định lí kẹp (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 lim Thấy xuất thừa số 𝑥𝑦, 𝑥 , 𝑦 ⇒ liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy Ta có: |𝑥 + 𝑦 | ≥ |2𝑥𝑦| ⇒ ⇒0≤| Mà 𝑥 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 ≤ | = | − 2𝑦| ⇒ | | ≤ | 2 2 |𝑥 + 𝑦 | |2𝑥𝑦| 𝑥 +𝑦 2𝑥𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 | = | − 2𝑦| | ≤ | 2 2𝑥𝑦 𝑥 +𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 | − 2𝑦| = | − 2.0| = ⇒ lim =0 (𝑥,𝑦)→(0,0) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 2 lim VD6: Tính Giải: 𝑥2 (𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) 𝑥 + 𝑦 lim (𝑥, 𝑦) → (+∞, +∞), nhập 𝑥 = 106 , 𝑦 = 106 , thu kết gần đến ⇒ dùng định lí kẹp 𝑥2 𝑥2 Ta có: ≤ | | ≤ | | = | 2| 4 𝑥 +𝑦 𝑥 𝑥 Mà 𝑥2 | 2| = ⇒ lim =0 (𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) 𝑥 (𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) 𝑥 + 𝑦 lim − Dạng 2: Sử dụng cách đặt 𝑦 = 𝑘𝑥 để chứng minh không tồn giới hạn Theo định nghĩa, để tìm tồn hữu hạn giới hạn dãy số {𝑥𝑛 → 𝑥0 }, {𝑦𝑛 → 𝑦0 } lim (𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 ) lim (𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 ) 𝑓(𝑥, 𝑦) ta phải với 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 (𝐿 hữu hạn) Vì với tốn khơng tồn giới hạn, ta có hai dãy {𝑥𝑛 → 𝑥0 }, {𝑦𝑛 → 𝑦0 } {𝑥𝑛′ → 𝑥0 }, {𝑦𝑛′ → 𝑦0 } cho 𝑓(𝑥, 𝑦) nhận hai giá trị khác lim (𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 ) Chúng ta thường xét hai dãy {𝑥 → 𝑥0 }, {𝑦 = 𝑥 → 𝑦0 } {𝑥 → 𝑥0 }, {𝑦 = 2𝑥 → 𝑦0 } Và để đỡ tốn thời gian trình bày ta xét tổng quát dãy {𝑥 → 𝑥0 }, {𝑦 = 𝑘𝑥 → 𝑦0 } VD1: Tính Giải: 𝑥2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 lim Dùng máy tính bấm giá trị khơng gần sát ⇒ dự đốn giới hạn khơng tồn Xét (𝑥, 𝑦) → (0,0) theo phương 𝑦 = 𝑘𝑥 𝑥2 𝑥2 1 = = ⇒ lim lim lim = (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 (𝑥,𝑘𝑥)→(0,0) 𝑥 + (𝑘𝑥)2 (𝑥,𝑘𝑥)→(0,0) + 𝑘 + 𝑘2 𝑥 Với 𝑘 khác nhau, lim tiến đến giới hạn khác (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 𝑥2 Vậy không tồn lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 10 VD2: Tính Giải: 𝑥3 (𝑥,𝑦)→(0,0) 3𝑥 𝑦 + 𝑦 lim Dùng máy tính bấm giá trị khơng gần sát ⇒ dự đốn giới hạn khơng tồn Xét (𝑥, 𝑦) → (0,0) theo phương 𝑦 = 𝑘𝑥 ⇒ 𝑥3 𝑥3 1 = = lim lim = 3 (𝑥,𝑘𝑥)→(0,0) 3𝑥 𝑘𝑥 + (𝑘𝑥) (𝑥,𝑘𝑥)→(0,0) 3𝑘 + 𝑘 (𝑥,𝑦)→(0,0) 3𝑥 𝑦 + 𝑦 3𝑘 + 𝑘 lim 𝑥3 Với 𝑘 khác nhau, lim tiến đến giới hạn khác (𝑥,𝑦)→(0,0) 3𝑥 𝑦 + 𝑦 𝑥3 Vậy không tồn lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 3𝑥 𝑦 + 𝑦 VD3: Tính Giải: lim (𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) sin 𝜋𝑥 2𝑥 + 𝑦 Xét (𝑥, 𝑦) → (+∞, +∞) theo phương 𝑦 = 𝑘𝑥 ⇒ lim (𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) sin 𝜋𝑥 𝜋𝑥 𝜋 𝜋 sin sin = = = sin lim lim 2𝑥 + 𝑦 (𝑥,𝑘𝑥)→(+∞,+∞) 2𝑥 + 𝑘𝑥 (𝑥,𝑘𝑥)→(+∞,+∞) 2+𝑘 2+𝑘 𝜋𝑥 tiến đến giới hạn khác (𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) 2𝑥 + 𝑦 𝜋𝑥 sin Vậy không tồn lim (𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) 2𝑥 + 𝑦 Với 𝑘 khác nhau, lim sin − Dạng 3: Kết hợp kiến thức tìm giới hạn hàm biến số: o Các kiến thức cần nhớ: ▪ Vô bé tương đương: với 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦) → thì: sin 𝑢 ~ 𝑢 ln(1 + 𝑢) ~ 𝑢 𝑒𝑢 − ~ 𝑢 tan 𝑢 ~ 𝑢 arctan 𝑢 ~ 𝑢 − cos 𝑢 ~ 𝑢2 (1 + 𝑢)𝛼 − ~ 𝛼𝑢 arcsin 𝑢 ~ 𝑢 11 ▪ Vô lớn tương đương: với 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦) → +∞ 𝑢 (1 + ) ~ 𝑒 𝑢 ▪ Khai triển Maclaurin với 𝑢 → 𝑢𝑛 𝑢2 + 𝑜(𝑢𝑛 ) 𝑒𝑢 = + 𝑢 + + ⋯ + 2! 𝑛! 𝑢3 𝑢5 𝑢2𝑛+1 sin 𝑢 = 𝑢 − + + ⋯ + (−1)𝑛 + 𝑜(𝑢2𝑛+1 ) (2𝑛 + 1)! 3! 5! 𝑢2 𝑢4 𝑢2𝑛 cos 𝑢 = − + + ⋯ + (−1)𝑛 + 𝑜(𝑢2𝑛 ) (2𝑛)! 2! 4! 𝑢2 𝑢3 𝑢𝑛 ln(1 + 𝑢) = 𝑢 − + + ⋯ + (−1)𝑛−1 + 𝑜(𝑢𝑛 ) 𝑛 … ▪ Các dạng vô định thường gặp: 00 , 1∞ , ∞0 VD1: Tính lim (1 + 𝑥 𝑦 )𝑥 2+𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) Giải: Do 𝑥 → 0, 𝑦 → nên 𝑥 𝑦 → 0, 𝑥 + 𝑦 → 0, ⇒ →∞ + 𝑦2 1 𝑢 (1 + 𝑥 𝑦 )𝑥 2+𝑦 dạng vô định 1∞ ⇒ sử dụng (1 + ) ~ 𝑒 với 𝑢 → +∞ (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑢 lim (1 + lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 𝑦 )𝑥 2+𝑦 ) = lim (1 + (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2𝑦2 Ta có: |𝑥 + 𝑦 | ≥ |2𝑥𝑦| (Cauchy) ⇒ ⇒0≤| ⇒ 𝑥2 1 𝑥 𝑦 2 𝑥 +𝑦 𝑥2𝑦2 =𝑒 lim 𝑥2𝑦2 (𝑥,𝑦)→(0,0)𝑥 +𝑦 𝑥2𝑦2 𝑥2𝑦 𝑥𝑦 1 ⇒ | | ≤ | |=| | ≤ 2 2 |𝑥 + 𝑦 | |2𝑥𝑦| 𝑥 +𝑦 2𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥2𝑦2 𝑥2𝑦2 𝑥𝑦 | | ≤ | | ⇒ lim | = | | = ⇒ lim = (định lý kẹp) (𝑥,𝑦)→(0,0) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 𝑥2 + 𝑦2 2 lim (1 + 𝑥 𝑦 )𝑥 2+𝑦 = 𝑒 = (𝑥,𝑦)→(0,0) 12 VD2: Tính Giải: lim (1 + 3𝑥 )𝑥 2+𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) Do (𝑥, 𝑦) → (0,0) ⇒ 3𝑥 → 0, 𝑥 + 𝑦 → 0, (1 + 3𝑥 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) )𝑥 +𝑦 𝑥2 → ∞ ⇒ Dạng vô định 1∞ + 𝑦2 1 3𝑥 2 𝑥 +𝑦 3𝑥 ) = lim (1 + (𝑥,𝑦)→(0,0) 3𝑥 =𝑒 lim 3𝑥 (𝑥,𝑦)→(0,0)𝑥 +𝑦 Xét (𝑥, 𝑦) → (0,0) theo phương 𝑦 = 𝑘𝑥 ⇒ 3𝑥 3𝑥 3 = lim lim = = 2 2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 (𝑥,𝑘𝑥)→(0,0) 𝑥 + (𝑘𝑥) (𝑥,𝑘𝑥)→(0,0) + 𝑘 + 𝑘2 lim Vậy với 𝑘 khác ⇒∄ 3𝑥 tiến đến giá trị giới hạn khác (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 lim 3𝑥 2 )𝑥 +𝑦 (1 ⇒ ∄ + 3𝑥 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) lim VD3: Tính Giải: cos(𝑥 + 𝑦 ) − (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 + 𝑦2 lim Do (𝑥, 𝑦) → (0,0) ⇒ 𝑥 + 𝑦 → ⇒ cos(𝑥 + 𝑦 ) − = −[1 − cos(𝑥 + 𝑦 )] ~ ⇒ (𝑥,𝑦)→(0,0) lim cos(𝑥𝑥22 + + 𝑦𝑦22) − = −(𝑥 + 𝑦 )2 −(𝑥 + 𝑦 )2 −(𝑥 + 𝑦 ) = lim =0 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) 2 lim VD4: Tính giới hạn hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = Giải: 𝑥(𝑒 𝑦 − 1) − 𝑦(𝑒 𝑥 − 1) (𝑥 → 0, 𝑦 → 0) 𝑥2 + 𝑦2 Sử dụng khai triển Maclaurin, ta có: 𝑥2 𝑥2 )] 𝑒 − = [1 + 𝑥 + + 𝑜(𝑥 − = 𝑥 + + 𝑜(𝑥 ) với 𝑥 → 2 𝑥 13 𝑦2 𝑦2 )] 𝑒 − = [1 + 𝑦 + + 𝑜(𝑦 −1=𝑦+ + 𝑜(𝑦 ) với 𝑦 → 2 𝑦 ⇒ 𝑥(𝑒 𝑦 − 1) − 𝑦(𝑒 𝑥 − 1) = lim (𝑥,𝑦)→(0,0) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 + 𝑦2 = (𝑥,𝑦)→(0,0) lim lim 𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑥2 𝑥 (𝑦 + + 𝑜(𝑦 )) − 𝑦 (𝑥 + + 𝑜(𝑥 )) 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥 𝑦 𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦 − = lim − 2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑦 |𝑥 + 𝑦 | ≥ |2𝑥𝑦| ⇒ | 2 | ≤ | | = | | 𝑥 +𝑦 2𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑦 𝑥𝑦 ≤ | 2 2| ≤ | | ⇒ lim 𝑥 +𝑦 = (Kẹp) Ta có: (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 𝑦 lim | | = { (𝑥,𝑦)→(0,0) Tương tự chứng minh 𝑦𝑥 2 lim =0 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 𝑥𝑦 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑦𝑥 − 2 = lim 2 − lim ⇒ lim =0 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 II Bài tốn khảo sát tính liên tục hàm nhiều biến số: Cách làm: sử dụng định lí: hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục điểm (𝑥0 ; 𝑦0 ) khi: lim (𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 ) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) Vận dụng phương pháp tìm giới hạn để kiểm tra tính liên tục 14 𝑦 VD1: Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥 arctan (𝑥 ) , 𝑥 ≠ Xét tính liên tục 𝑓(𝑥, 𝑦)tại 𝐵(0,1) , 𝑥 = Giải: { Do −𝜋 𝑦 𝜋 𝑦 𝜋 < arctan ( ) < ⇒ ≤ |𝑥 arctan ( ) | ≤ | 𝑥| 𝑥 𝑥 2 ⇒ lim =0 ) (𝑥,𝑦)→(0,1) 𝜋 𝑥 arctan (𝑦 𝑥 Mà lim | 𝑥| = (𝑥,𝑦)→(0,1) (Định lý kẹp) ⇒ 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục 𝐵(0,1) 2𝑥 𝑦 − 𝑦 𝑥 , 𝑥 + 𝑦 ≠ VD2: Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥 + 𝑦 𝑎, 𝑥 + 𝑦 = Tìm 𝑎 để hàm số liên tục (0,0) Giải: 𝑥 + 𝑦 = xảy 𝑥 = 𝑦 = Để 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục (0,0) ⇔ lim (𝑥,𝑦)→(0,0) Theo Cauchy: 𝑥 + 𝑦 ≥ 2|𝑥𝑦| ⇒ ⇒ 0≤| Mà ⇒ 𝑥2 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(0,0) = 𝑎 1 ≤ +𝑦 2|𝑥𝑦| 2𝑥 𝑦 − 𝑦 𝑥 2𝑥 𝑦 − 𝑦 𝑥 2𝑥 − 𝑦 | | ≤ | | = | 𝑥2 + 𝑦2 2𝑥𝑦 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) | 2𝑥 − 𝑦 |=0 2𝑥 𝑦 − 𝑦 𝑥 = (Kẹp) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 lim Vậy hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục (0,0) 𝑎 = 𝑥𝑦 + 𝑦 ) , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) sin ( VD3: Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥 + 𝑦2 0, (𝑥, 𝑦) = Xét tính liên tục hàm số (0,0) 15 Giải: Xét theo phương 𝑦 = 𝑘𝑥 ⇒ 𝑥𝑦 + 𝑦 𝑘𝑥 + 𝑘 𝑥 ) = sin ( sin ( lim ) (𝑥,𝑦)→(0,0) (𝑥,𝑘𝑥)→(0,0) 𝑥 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑘2𝑥2 lim 𝑘 + 𝑘2 ) = sin ( ) 𝑥→0 𝑘𝑥→0 + 𝑘2 + 𝑘2 sin (𝑘 + 𝑘 = lim Vậy với 𝑘 khác ⇒ Không tồn lim lim (𝑥,𝑦)→(0,0) (𝑥,𝑦)→(0,0) sin ( sin ( 𝑥𝑦 + 𝑦 ) tiến đến giá trị giới hạn khác 𝑥2 + 𝑦2 𝑥𝑦 + 𝑦 ) ⇒ Hàm số gián đoạn (0,0) 𝑥2 + 𝑦2 𝑥𝑦 − 𝑥 , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) VD4: Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥 + 𝑦 0, (𝑥, 𝑦) = Khảo sát liên tục hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) Giải: Với (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 \{(0,0)} hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục Xét tính liên tục hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) (0,0) Với (𝑥, 𝑦) → (0,0), xét theo phương 𝑦 = 𝑘𝑥 𝑘−1 𝑥𝑦 − 𝑥 𝑘𝑥 − 𝑥 ⇒ lim = = lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 (𝑥,𝑘𝑥)→(0,0) 𝑥 + (𝑘𝑥)2 + 𝑘2 Vậy với 𝑘 khác 𝑥𝑦 − 𝑥 tiến đến giá trị giới hạn khác (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 lim 𝑥𝑦 − 𝑥 ⇒ Không tồn lim ⇒ Hàm số gián đoạn (0,0) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 Vậy hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục với (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 \{(0,0)}, gián đoạn (0,0) III Các toán đạo hàm riêng: Trong hàm nhiều biến số xuất khái niêm đạo hàm riêng 16 − Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) xác định miền 𝐷, điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) ∈ 𝐷 Nếu cho y = y0 = const hàm hai biến 𝑓(𝑥, 𝑦) trở thành hàm biến số 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) theo biến 𝑥 Đạo hàm 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) x = x0 gọi đạo hàm riêng 𝑓(𝑥, 𝑦) theo biến 𝑥 𝑀 Ký hiệu 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑓′𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim ∆𝑥→0 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 ) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) ∆𝑥 f ( x0 , y0 ) x (3.1) − Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) xác định miền 𝐷, điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) ∈ 𝐷 Nếu cho x = x0 = const hàm hai biến 𝑓(𝑥, 𝑦) trở thành hàm biến số 𝑓(𝑥0 , 𝑦) theo biến 𝑦 Đạo hàm 𝑓(𝑥0 , 𝑦) y = y0 gọi đạo hàm riêng 𝑓(𝑥, 𝑦) theo biến 𝑦 𝑀 Ký hiệu 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑓′𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim ∆𝑦→0 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) ∆𝑦 (3.2) f ( x0 , y0 ) y − Công thức (3.1) (3.2) cơng thức tính đạo hàm riêng theo định nghĩa, sử dụng hai công thức với tốn tính đạo hàm riêng hàm “gãy khúc” (𝑥0 , 𝑦0 ) − Với hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) xác định miền 𝐷, không bị “gãy khúc”, tính đạo hàm riêng 𝑓(𝑥, 𝑦) theo biến xem hàm phụ thuộc vào biến đó, biến lại coi số áp dụng quy tắc tính đạo hàm hàm biến số VD1: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 ⇒ 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 3𝑦𝑥 VD2: 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑦 + 1)𝑒 2𝑥 ⇒ 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 2(𝑦 + 1)𝑒 2𝑥 VD3: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 ⇒ 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 𝑥 VD4: 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑦 + 1)𝑒 2𝑥 ⇒ 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 𝑒 2𝑥 ❖ Một số công thức đạo hàm riêng: Cho hàm hai biến số 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑔 = 𝑔(𝑥, 𝑦) (𝑓 𝑔)′ 𝑥 = 𝑓𝑥′ 𝑔 + 𝑔𝑥′ 𝑓 − Đạo hàm riêng tích: { (𝑓 𝑔)′ 𝑦 = 𝑓𝑦′ 𝑔 + 𝑔𝑦′ 𝑓 − Đạo hàm riêng thương: 𝑓 ′ 𝑓𝑥′ 𝑔 − 𝑔𝑥′ 𝑓 ( ) = 𝑔 𝑥 𝑔2 𝑓𝑦′ 𝑔 − 𝑔𝑦′ 𝑓 𝑓 ′ ( ) = 𝑔2 { 𝑔 𝑦 17 Tính đạo hàm riêng hàm bị gãy khúc: 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑥 ≠ 𝑥0 − Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = { Thì để tính 𝑓𝑥′ điểm (𝑥0 , 𝑦0 ) khơng thể dùng ℎ(𝑥, 𝑦) 𝑥 = 𝑥0 cách tính trực tiếp thông thường mà phải dùng định nghĩa sau: 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 ) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) ∆𝑥→0 ∆𝑥 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑦 ≠ 𝑦0 Thì để tính 𝑓𝑦′ điểm (𝑥0 , 𝑦0 ) không ℎ(𝑥, 𝑦) 𝑦 = 𝑦0 thể dùng cách tính trực tiếp thơng thường mà phải dùng định nghĩa sau: − Tương tự, cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) ∆𝑦→0 ∆𝑦 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim 𝑥 𝑦 arctan ( ) , 𝑦 ≠ VD1: Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = { Tính 𝑓𝑦′ (1,0) 𝑦 0, 𝑦 = Giải: −0 ∆𝑦 arctan 𝑓(1,0 + ∆𝑦) − 𝑓(1,0) ∆𝑦 ′ (1,0) 𝑓𝑦 = lim = lim = lim arctan ∆𝑦→0 ∆𝑦→0 ∆𝑦→0 ∆𝑦 ∆𝑦 ∆𝑦 Với ∆𝑦 → ⇒ 1 𝜋 𝜋 → +∞ ⇒ arctan → ⇒ lim arctan = ∆𝑦 ∆𝑦 ∆𝑦→0 ∆𝑦 ⇒ 𝑓𝑦′ (1,0) = lim arctan ∆𝑦→0 𝜋 = ∆𝑦 2𝑥 − 𝑦 , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) , tính 𝑓𝑥′ (0,0) 𝑓𝑦′ (0,0) VD2: Biết 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥 + 𝑦 0, (𝑥, 𝑦) = (0,0) Giải: 2(∆𝑥)3 − −0 2(∆𝑥)3 𝑓(0 + ∆𝑥, 0) − 𝑓(0,0) (∆𝑥)2 𝑓𝑥′ (0,0) = lim = lim = lim =2 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 (∆𝑥)3 ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥 18 −(∆𝑦)3 − −0 −(∆𝑦)3 𝑓(0, ∆𝑦) − 𝑓(0,0) (∆𝑦)2 ′ (0,0) 𝑓𝑦 = lim = lim = lim = −1 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 (∆𝑦)3 ∆𝑦→0 ∆𝑦 ∆𝑦 Tính đạo hàm riêng hàm số hợp: − Cho hàm số 𝑓(𝑢) với 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) { 𝑓𝑥′ = 𝑓𝑢′ 𝑢𝑥′ 𝑓𝑦′ = 𝑓𝑢′ 𝑢𝑦′ − Cho hàm số 𝑓(𝑢, 𝑣) với 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦) { VD1: Tính 𝐴 = 𝑦𝑧𝑥′ − 𝑥𝑧𝑦′ , biết 𝑧 = ln , 𝑢 = √𝑥 + 𝑦 𝑢 𝑓𝑥′ = 𝑓𝑢′ 𝑢𝑥′ + 𝑓𝑣′ 𝑣𝑥′ 𝑓𝑦′ = 𝑓𝑢′ 𝑢𝑦′ + 𝑓𝑣′ 𝑣𝑦′ Giải: Ta có: 𝑧𝑢′ = −1 −1 ′ 2𝑥 𝑥 𝑦 = , 𝑢𝑥 = = , 𝑢𝑦′ = 𝑢 𝑢 √𝑥 + 𝑦 2√𝑥 + 𝑦 √𝑥 + 𝑦 𝑢 −1 𝑥 −1 𝑥 −𝑥 = = 𝑢 √𝑥 + 𝑦 √𝑥 + 𝑦 √𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 ⇒ −1 𝑦 −1 𝑦 −𝑦 𝑧𝑦′ = 𝑧𝑢′ 𝑢𝑦′ = = = 𝑢 √𝑥 + 𝑦 √𝑥 + 𝑦 √𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 { 𝑧𝑥′ = 𝑧𝑢′ 𝑢𝑥′ = VD2: Tính đạo hàm riêng hàm số hợp sau: 2 𝑎) 𝑧 = 𝑒 𝑢 −2𝑣 với 𝑢 = cos 𝑥 , 𝑣 = √𝑥 + 𝑦 𝑥 𝑏) 𝑧 = ln(𝑢2 + 𝑣 ) với 𝑢 = 𝑥𝑦, 𝑣 = 𝑦 Giải: 𝑧𝑢′ = 2𝑢 𝑒 𝑢 −2𝑣 , 𝑢𝑥′ = − sin 𝑥 , 𝑢𝑦′ = 𝑦 𝑥 2 a) Ta có { ′ , 𝑣𝑦′ = 𝑧𝑣 = −4𝑣 𝑒 𝑢 −2𝑣 , 𝑣𝑥′ = √𝑥 + 𝑦 √𝑥 + 𝑦 + 𝑧𝑥′ = 𝑧𝑢′ 𝑢𝑥′ + 𝑧𝑣′ 𝑣𝑥′ = 2𝑢 𝑒 𝑢 −2𝑣 ⇔ 𝑧𝑥′ = −2 cos 𝑥 sin 𝑥 𝑒 (cos 𝑥) ⇔ 𝑧𝑥′ = − sin 2𝑥 𝑒 (cos 𝑥) (− sin 𝑥) − 4𝑣 𝑒 𝑢 −2(𝑥 +𝑦 ) −2(𝑥 +𝑦 ) −2𝑣 − √𝑥 + 𝑦 − 4𝑥 𝑒 (cos 𝑥) 19 𝑥 √𝑥 + 𝑦 𝑥 √𝑥 + 𝑦 2 −2(𝑥 +𝑦 ) 𝑒 (cos 𝑥) −2(𝑥 +𝑦 ) ... (