Slides Đại số Bài 3 Ánh xạ Đại học Bách Khoa Hà Nội, Ánh xạ là một khái niệm toán học cơ bản đã từng được giới thiệu trong chương trình phổ thông. Đây là là khái niệm tổng quát của khái niệm hàm số. Ánh xạ đề cập đến các tương ứng giữa các tập hợp bất kỳ. Khi nghĩ về ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y , ta có hiểu và ghi nhớ ánh xạ như việc gán các nhãn y ∈ Y cho tất cả các sản phẩm x ∈ X.
Giới thiệu ánh xạ Ánh xạ khái niệm toán học giới thiệu chương trình phổ thơng Đây là khái niệm tổng quát khái niệm hàm số Ánh xạ đề cập đến tương ứng tập hợp Khi nghĩ ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y , ta có hiểu ghi nhớ ánh xạ việc gán nhãn y ∈ Y cho tất sản phẩm x ∈ X Mục tiêu - Kiến thức: Sinh viên hiểu khái niệm ánh xạ, loại ánh xạ đặc biệt phép hợp thành ánh xạ Liên hệ khái niệm với kiến thức thực tế sống xung quanh - Kĩ năng: Kiểm tra định nghĩa ánh xạ, ánh xạ đặc biệt đơn ánh, toàn ánh, song ánh Xác định hợp thành ánh xạ ánh xạ ngược Nội dung bao gồm: 3.1 Định nghĩa ánh xạ 3.2 Các ánh xạ đặc biệt 3.3 Tích (hợp thành) ánh xạ ánh xạ ngược (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 1/9 2023 1/9 3.1 Định nghĩa ánh xạ Định nghĩa Cho hai tập hợp X, Y khác rỗng Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x ∈ X với phần tử xác định y ∈ Y , ký hiệu y = f (x).Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y thường viết f :X→Y x 7→ y = f (x) Tập X gọi tập nguồn ánh xạ, tập Y gọi tập đích ánh xạ, ký hiệu 7→ quy tắc thực ánh xạ Phần tử y = f (x) gọi ảnh x, phần tử x gọi tạo ảnh y Cho A ⊂ X B ⊂ Y , ta định nghĩa f (A) = {f (x)|x ∈ A} gọi lại ảnh tập A f −1 (B) = {x|f (x) ∈ B} gọi nghịch ảnh tập B (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 2/9 2023 2/9 3.1 Định nghĩa ánh xạ Ví dụ 1 Xét tập hợp thực R Với số thực x ∈ R, xây dựng quy tắc sau f (x) = x2 − Khi đó, ánh xạ xác định f :R→R x 7→ x2 − √ √ √ √ Cho A = {1; 3; 5; 7; 9}, f (A) = {0; 8; 24; 48; 80; }, f −1 (A) = {± 2; ±2; ± 6; ±2 2; ± 10} (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 3/9 2023 3/9 3.2 Các loại ánh xạ đặc biệt Cho tập X = ̸ ∅, xây dựng quy tắc với phần tử x ∈ X với Khi đó, ánh xạ xác định f :X→X x 7→ x Ánh xạ, ký hiệu IdX , gọi anh xạ đồng tập X Cho tập X ⊂ Y , xây dựng quy tắc với phần tử x ∈ X với Khi đó, ánh xạ xác định f :X→Y x 7→ x Ánh xạ, ký hiệu µX , gọi anh xạ nhúng tập X vào tập Y Cho hai tập X, Y , xây dựng quy tắc với phần tử (x, y) ∈ X × Y với thành phần thứ x Khi đó, ánh xạ xác định f :X ×Y →X (x, y) 7→ x Ánh xạ, ký hiệu πX , gọi ánh xạ chiếu (chiếu lên thành phần thứ nhất) (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 4/9 2023 4/9 3.2 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh Định nghĩa Cho ánh xạ f : X → Y Ánh xạ f gọi đơn ánh x1 ̸= x2 ⇒ f (x1 ) ̸= f (x2 ) với x1 , x2 thuộc tập X Ánh xạ f gọi toàn ánh với y ∈ Y tồn x ∈ X cho y = f (x) Ánh xạ f gọi song ánh đồng thời đơn ánh toàn ánh (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 5/9 2023 5/9 Chú ý Khi chứng minh ánh xạ f đơn ánh số trường hợp ta xét: ▶ ▶ f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 , ∀x1 , x2 ∈ X hoặc; Phương trình y = f (x) có khơng q nghiệm với y ∈ Y Ánh xạ f toàn ánh phương trình y = f (x) có nghiệm với y ∈ Y ; Ánh xạ f song ánh phương trình y = f (x) ln có nghiệm (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 6/9 2023 6/9 3.3 Tích ánh xạ Định nghĩa Cho hai ánh xạ f : X → Y g : Y → Z Xây dựng ánh xạ h : X → Z quy tắc biến x ∈ X thành h(x) = g(f (x)) Ánh xạ h gọi tích hai ánh xạ f g, ký hiệu g ◦ f Ta có (g ◦ f )(x) = g[f (x)], ∀x ∈ X Ví dụ Cho ánh xạ f : R → R g : R → R, xác định f (x) = 5x + g(x) = x2 + Khi đó, có Ánh xạ tích g ◦ f (x) = (5x + 3)2 + 1; Ánh xạ tích f ◦ g(x) = 5(x2 + 1) + (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 7/9 2023 7/9 3.3 Ánh xạ ngược Định nghĩa Cho song ánh f : X → Y Rõ ràng với y ∈ Y tồn x ∈ X để y = f (x) hay f −1 (y) = x Khi f −1 : Y → X y 7→ f −1 (y) gọi ánh xạ ngược ánh xạ f Ánh xạ f −1 song ánh ta có f ◦ f −1 = IdY ; f −1 ◦ f = IdX (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 8/9 2023 8/9 3.3 Ánh xạ ngược Ví dụ Ánh xạ f :R→R x 7→ 2x3 + song ánh có ánh xạ ngược là: f −1 : R → R r x 7→ x−3 Ánh xạ f :R→R x 7→ x2 + x + ánh xạ ngược f khơng phải song ánh (f (−1) = f (0)) (HUST) MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 9/9 2023 9/9