Bài giảng Đại số Bài 5 Ma trận Đại học Bách Khoa Hà Nội,Chương 2 giới thiệu cho các bạn sinh viên các kiến thức về ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính. Chúng cung cấp các công cụ hữu hiệu giúp chúng ta tìm hiểu nội dung của các chương tiếp theo. Ma trận và các tính chất của ma trận là trọng tâm của đại số tuyến tính. Các ma trận rất hữu dụng bởi vì chúng cho phép ta xét một bảng gồm rất nhiều số như một đối tượng duy nhất, ký hiệu nó bởi một biểu tượng và biểu diễn các tính toán với các biểu tượng đó một cách ngắn gọn, dễ dàng.
Chương MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VIỆN TỐN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI 2023 (HUST) MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI 1/21 2023 / 21 Chương Chương giới thiệu cho bạn sinh viên kiến thức ma trận, định thức hệ phương trình tuyến tính Chúng cung cấp cơng cụ hữu hiệu giúp tìm hiểu nội dung chương Nội dung Chương bao gồm: Ma trận phép toán Định Thức Ma trận nghịch đảo Hạng ma trận Hệ phương trình tuyến tính Trong chương này, K trường số thực R trường số phức C (HUST) MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI 2/21 2023 / 21 MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TỐN Ma trận tính chất ma trận trọng tâm đại số tuyến tính Các ma trận hữu dụng chúng cho phép ta xét bảng gồm nhiều số đối tượng nhất, ký hiệu biểu tượng biểu diễn tính tốn với biểu tượng cách ngắn gọn, dễ dàng Mục tiêu - Kiến thức: Sinh viên hiểu khái niệm ma trận, số ma trận đặc biệt, hai ma trận nhau, phép toán ma trận phép biến đổi sơ cấp ma trận - Kĩ năng: Sinh viên thực hành thành thạo phép toán phép biến đổi sơ cấp ma trận Nội dung 1.1 Khái niệm ma trận 1.2 Hai ma trận 1.3 Các phép toán ma trận 1.4 Một số phép biến đổi sơ cấp ma trận (HUST) MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI 3/21 2023 / 21 1.1 Khái niệm ma trận Một ma trận cỡ m × n bảng số hình chữ nhật gồm m a11 a12 · · · a21 a22 · · · A= ··· ··· ··· am1 am2 · · · hàng, n cột dạng: a1n a2n ··· amn với aij ∈ K Số aij gọi phần tử ma trận A, nằm hàng i, cột j, với ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n Ký hiệu ma trận: sử dụng ngoặc trịn ngoặc vng Ta viết A = [aij ]m×n để A ma trận m hàng, n cột với phần tử aij Nếu K = R A gọi ma trận thực, K = C A gọi ma trận phức Ví dụ A= −4 ma trận cỡ × 3, phần tử a11 = 1, a12 = 2, a13 = 3, a21 = 5, a22 = −4, a23 = 6 (HUST) MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI 4/21 2023 / 21 1.1 Khái niệm ma trận Ma trận cỡ × n gọi ma trận hàng Ma trận cỡ m × gọi ma trận cột Ma trận A = [aij ]m×n với aij = 0, ∀i, j, gọi ma trận không, ký hiệu θ Nếu số hàng số cột A (m = n) A gọi ma trận vuông cấp n cấp n với phần tử thuộc trường K Ví dụ A = 4 ma trận cột, B = ma trận hàng, C = 4 6 ma trận vng cấp Kí hiệu: Mm×n (K): tập hợp ma trận cỡ m × n Mn (K): tập hợp ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc trường K (HUST) MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI 5/21 2023 / 21 Cho ma trận vuông cấp n: a11 a21 A= · · · an1 a12 a22 ··· an2 ··· ··· ··· ··· a1n a2n ··· ann Các phần a11 , a22 , , ann gọi phần tử chéo chúng lập thành đường chéo A Nếu aij = với i > j (tức phần tử nằm đường chéo 0) A gọi ma trận tam giác Nếu aij = với i < j (tức phần tử nằm đường chéo 0) A gọi ma trận tam giác Nếu aij = với i ̸= j (tức phần tử nằm ngồi đường chéo 0) A gọi ma trận đường chéo (hoặc ma trận chéo) Nếu A ma trận đường chéo tất phần tử đường chéo A gọi ma trận đơn vị cấp n Ma trận đơn vị cấp n thường ký hiệu In En Khi khơng quan tâm đến cấp ma trận ta ký hiệu I E (HUST) MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI 6/21 2023 / 21 Ví dụ Ví dụ a) A = 4 b) B = 4 c) C = 0 d) I2 = 8 −5 6 ma trận vuông cấp với phần tử chéo 1, 5, 9 0 ma trận tam giác 0 ma trận đường chéo 0 I3 = 0 0 ma trận đơn vị cấp cấp 0 (HUST) MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI 7/21 2023 / 21 1.2 Hai ma trận Định nghĩa Hai ma trận A B gọi chúng có cỡ phần tử tương ứng chúng Ví dụ Hai ma trận A = B = z −1 5 Tìm x, y, z, t để A = B t không chúng khơng cỡ Ví dụ Cho A = −1 y (HUST) x B = MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI 8/21 2023 / 21 1.3 Các phép tốn ma trận • Phép cộng hai ma trận Định nghĩa Cho hai ma trận cỡ A = [aij ]m×n B = [bij ]m×n Tổng A + B ma trận cỡ m × n xác định A + B = [aij + bij ]m×n Như vậy, cộng hai ma trận cỡ, ta cộng phần tử tương ứng chúng với Ví dụ + −3 −1 1+2 = 4 + (−3) + (−1) 5+1 3+0 = 6+4 1 10 Định nghĩa Ma trận đối ma trận A = [aij ]m×n , ký hiệu −A, xác định −A = [−aij ]m×n Hiệu hai ma trận cỡ A B, ký hiệu A − B xác định A − B = A + (−B) (HUST) MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI 9/21 2023 / 21 Phép cộng hai ma trận Mệnh đề Với ma trận A, B, C cỡ, ta có Tính kết hợp: (A + B) + C = A + (B + C); Tính giao hốn: A + B = B + A; A + θ = θ + A = A, θ ma trận không, cỡ với A; A + (−A) = (−A) + A = θ Hệ Mm×n (K) với phép cộng ma trận nhóm giao hốn với phần tử trung hịa ma trận khơng θ (HUST) MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI 10/21 2023 10 / 21 Phép cộng hai ma trận Mệnh đề Với ma trận A, B, C cỡ, ta có Tính kết hợp: (A + B) + C = A + (B + C); Tính giao hoán: A + B = B + A; A + θ = θ + A = A, θ ma trận không, cỡ với A; A + (−A) = (−A) + A = θ Hệ Mm×n (K) với phép cộng ma trận nhóm giao hốn với phần tử trung hịa ma trận không θ (HUST) MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI 11/21 2023 11 / 21 Phép nhân số với ma trận Định nghĩa Cho ma trận A = [aij ]m×n trường K số k ∈ K Tích k A xác định kA = [kaij ]m×n Như vậy, nhân số k với ma trận A nhân k vào phần tử A Ví dụ Tích ma trận A = (HUST) ma trận −5 3·1 3·2 3·3 3A = = · · (−5) · 12 MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI −15 18 12/21 2023 12 / 21 Phép nhân số với ma trận Mệnh đề Với ma trận cỡ A, B số k, l ∈ K, ta có: k(A + B) = kA + kB; (k + l)A = kA + lA; k(lA) = (kl)A; 1A = A, (−1)A = −A; 0A = θ; kθ = θ Ví dụ Cho A = (HUST) B = −1 Tìm ma trận X cho 2X + A = B −2 MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI 13/21 2023 13 / 21 Phép nhân ma trận với ma trận Định nghĩa Giả sử A = [aik ]m×p B = [bkj ]p×n ma trận cỡ m × p p × n tương ứng Tích AB ma trận C = [cij ]m×n cỡ m × n, phần tử cij (1 ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n) xác định công thức cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aip bpj = p X (1) aik bkj k=1 Pt cij tính cách nhân tương ứng pt hàng i A với pt cột j B cộng lại b1j ai1 ai2 ··· aip cij = b2j × (hàng i A) bpj (cột j B) (HUST) MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI 14/21 2023 14 / 21 Phép nhân ma trận với ma trận Lưu ý tích AB xác định số cột A số hàng B Hơn nữa, ma trận tích AB có số hàng số hàng A, có số cột số cột B Ví dụ Cho ma trận A = (HUST) B = −2 1 Tính C = AB MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI 15/21 2023 15 / 21 Phép nhân ma trận với ma trận Mệnh đề Giả sử A, B, C ma trận cho phép toán hệ thức sau thực k ∈ K Khi đó: IA = A, BI = B với I ma trận đơn vị có cấp phù hợp; Tính kết hợp: (AB)C = A(BC); Tính phân phối phép nhân ma trận phép cộng ma trận: A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA; k(AB) = (kA)B Hệ Với số nguyên dương n ≥ 2, tập Mn (K) với phép cộng ma trận phép nhân ma trận với ma trận lập thành vành khơng giao hốn, có đơn vị In (HUST) MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI 16/21 2023 16 / 21 Phép nhân ma trận với ma trận Chú ý Tích AB tồn chưa tích BA tồn Phép nhân hai ma trận khơng có tính chất giao hoán, tức AB BA tồn nói chung AB ̸= BA Từ hệ thức AB = θ không suy A = θ B = θ Ví dụ 10 Cho ma trận A = , B −4 i) AB = BA = −2 −1 −2 = , C= 2 −6 nên AB ̸= BA D = Khi ii) DC tồn CD khơng tồn iii) DD = θ D ̸= θ (HUST) MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI 17/21 2023 17 / 21 Phép nhân ma trận với ma trận Chú ý Khi A ma trận vuông m ∈ N∗ , ta ký hiệu Am = AA · · · A (m ma trận A) Cho đa thức p(x) = a0 xm + a1 xm−1 + · · · + am−1 x + am với ∈ K, i = 0, 1, , m, A ma trận vuông cấp n Khi p(A) xác định p(A) = a0 Am + a1 Am−1 + · · · + am−1 A + am In , In ma trận đơn vị cấp n Ví dụ 11 Cho A = −1 đa thức p(x) = 2x2 − 3x − Tính p(A) (HUST) MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI 18/21 2023 18 / 21 Ma trận chuyển vị Định nghĩa Ma trận chuyển vị ma trận A = [aij ]m×n , ký hiệu At , xác định At = [bij ]n×m bij = aji với i = 1, 2, , n j = 1, 2, , m Ta có ma trận chuyển vị At từ ma trận A cách viết hàng A thành cột At viết cột A thành hàng At cách tương ứng Ví dụ 12 Ma trận chuyển vị ma trận A = At = 2 5 Mệnh đề Giả sử A, B ma trận cho phép toán hệ thức sau thực k ∈ K Khi (At )t = A; (kA)t = kAt ; (A + B)t = At + B t ; (AB)t = B t At (HUST) MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI 19/21 2023 19 / 21 Ma trận đối xứng - Ma trận phản xứng Định nghĩa Cho ma trận A vuông cấp n A gọi ma trận đối xứng At = A A gọi ma trận phản xứng (hay phản đối xứng) At = −A Rõ ràng, A = [aij ] vuông cấp n ma trận đối xứng (tương ứng phản xứng) aij = aji (tưng ứng aij = −aji ) với i, j = 1, 2, , n Hơn nữa, phần tử chéo ma trận phản xứng Ví dụ 13 A= −1 −2 −1 ma trận đối xứng B = −2 (HUST) MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI −3 −1 ma trận phản xứng 20/21 2023 20 / 21 1.4 Một số phép biến đổi sơ cấp ma trận Định nghĩa Cho ma trận A Các phép biến đổi sau gọi phép biến đổi sơ cấp: Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) cho nhau; Nhân hàng (hay cột) với số khác 0; Cộng vào hàng (t.ư cột) bội hàng (t.ư cột) khác Ký hiệu: hi để hàng i, cj để cột j; hi ↔ hj (t.ư ci ↔ cj ): đổi chỗ hai hàng i, j (t.ư hai cột i, j) cho nhau; λhi (t.ư λci ): nhân số λ với hàng i (t.ư cột i); hk + λhi → hk (t.ư ck + λci → ck ): nhân hàng i (t.ư cột i) với λ cộng vào hàng hk (t.ư cột k) Ví dụ 14 1 h1 ↔h2 3 − −−−− → 4 (HUST) 2h3 6 −−→ 14 16 MI 1141 - CHƯƠNG - BÀI h2 +(−4)h1 →h2 −−−−−−−−−−→ 0 h3 +(−14)h1 →h3 18 −3 −12 21/21 2023 −4 −24 21 / 21