Lý thuyết giải tích 1 đại học bách khoa hà nội Chương 1 : Giải tích hàm một biến slides dùng cho chương trình chuẩn Ngay khi vào năm nhất thì combo Giải tích I + Đại số là hai môn toán đầu tiên trong chặng đường toán học đầy chông gai trong 4-5 năm tại Bách Khoa mà hầu hết các sinh viên đều phải trải quaqua. Đây là lỗi ám ảnh của bao thế hệ sinh viên Bách Khoa, đấy là lời đồn trên Facebook thế thôi chứ mình thấy các bạn A, A+ đầy ra. Về cơ bản thì mình thấy là giải tích I là giống so với toán cấp III, tuy nhiên mọi thứ đều được nâng cao lên rất nhiều. Ví dụ, cấp III chúng ta chỉ được giới thiệu công thức rồi áp dụng làm bài tập thì giải tích I sẽ giải thích, chứng minh cho ta thấy là tại sao lại có những công thức này. Hay là một bài toán cấp III về tích phân chỉ đến dạng này, nhưng giải tích I sẽ đề cập tới những dạng khác nữa, nâng cao hơn nữa rất nhiều. Thế nên, các bạn muốn được điểm cao ( hay là qua môn đi nữa) thì vẫn phải học, làm bài tập chứ không thể sử dụng kiến thức của cấp III để giải quyết mọi vấn đề được.
Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Ngày tháng năm 2023 Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 1/82 Ngày tháng năm 2023 / 82 Nội dung Hàm số Các khái niệm hàm số Các hàm số sơ cấp Dãy số Giới hạn hàm số Vô lớn - Vô bé Hàm số liên tục Đạo hàm vi phân Các định lý hàm khả vi ứng dụng Các công thức khai triển Taylor, Maclaurin Quy tắc L’Hospital Hàm số đơn điệu tính chất BĐT hàm lồi Các lược đồ khảo sát hàm số Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 2/82 Ngày tháng năm 2023 / 82 Khái niệm hàm số Định nghĩa Cho X Y tập hợp R Một hàm số f từ tập hợp X vào tập hợp Y , kí hiệu f : X → Y , quy tắc cho tương ứng giá trị x ∈ X với giá trị y ∈ Y Chú ý điều ngược lại không đúng, với giá trị y ∈ Y có hai giá trị x1 6= x2 , (x1 , x2 ∈ X) cho f (x1 ) = f (x2 ) = y Chẳng hạn f (x) = x2 Tập xác định - Tập giá trị a) TXĐ = {x ∈ X|f (x) định nghĩa} b) TGT = {y ∈ Y |∃x ∈ X, f (x) = y} Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 3/82 Ngày tháng năm 2023 / 82 Hàm số Hàm số chẵn, hàm số lẻ ( ∀x ∈ TXĐ, −x ∈ TXĐ, a) Hàm số chẵn: f (−x) = f (x) ( ∀x ∈ TXĐ, −x ∈ TXĐ, b) Hàm số lẻ: f (−x) = −f (x) Hàm số tuần hoàn ∃T > : f (x) = f (x + T ), ∀x ∈ TXĐ Hàm hợp f g Cho R → R → R Khi (g ◦ f )(x) = g[f (x)] Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 4/82 Ngày tháng năm 2023 / 82 Hàm số Hàm ngược Cho f : X → Y song ánh Khi f −1 : Y → X, y 7→ x = f −1 (y) ⇔ y = f (x) y f (x) = ex f −1 (x) = ln x O Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG x 5/82 Ngày tháng năm 2023 / 82 Các hàm số sơ cấp Hàm lũy thừa y = xα Định nghĩa TXĐ hàm số phụ thuộc vào α √ p a) Nếu ≤ α = , (phân số tối giản) định nghĩa xα = q xp q p b) Nếu α = − < 0, (phân số tối giản) định nghĩa xα = √ q q xp c) Nếu α ∈ / Q hàm số y = xα định nghĩa lớp 12, xác định với x > Trong trường hợp α > ta bổ sung điểm x = vào tập xác định hàm số với y(0) = Hàm số mũ y = ax (0 < a 6= 1) xác định R dương Hàm đồng biến a > nghịch biến a < Làm số logarit y = loga (x) (0 < a 6= 1) xác định R+ Hàm số đồng biến a > nghịch biến a < Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 6/82 Ngày tháng năm 2023 / 82 Các hàm số sơ cấp Hàm lượng giác a) Hàm số y = sin x, TXĐ = R, hàm số lẻ, tuần hoàn CK 2π π x sin x x sin x − Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG π 7/82 Ngày tháng năm 2023 / 82 Các hàm số sơ cấp Hàm lượng giác b) Hàm số y = cos x, TXĐ = R, hàm số chẵn, tuần hoàn CK 2π x π π cos x cos x − Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG x π 8/82 Ngày tháng năm 2023 / 82 Các hàm số sơ cấp Hàm lượng giác π c) Hàm số y = tan x, TXĐ = R \ {(2k + 1) , k ∈ Z}, hàm số lẻ, tuần hồn chu kì π π tan x x x − Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG π tan x 9/82 Ngày tháng năm 2023 / 82 Các hàm số sơ cấp Hàm lượng giác d) Hàm số y = cot x, TXĐ = R \ {kπ, k ∈ Z}, hàm số lẻ, tuần hoàn chu kì π π cot x x x π − Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG cot x π 10/82 Ngày tháng năm 2023 10 / 82 Về dạng vô định 1∞ , 00 , ∞0 Chuyển định dạng lim B(x) ln A(x) I = lim A(x)B(x) = ex→x0 x→x0 = eJ Nếu I có dạng vơ định 1∞ , 00 , ∞0 J dạng × ∞ Ví dụ 6.4 Tính lim x→∞ x2 − x2 + x − x+1 , limx→0 Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) sin x x CHƯƠNG 1 x2 , limx→0 (1 − cos x)x , limx→ π + (tan x)tan 2x 64/82 Ngày tháng năm 2023 64 / 82 Về VCL tiêu biểu Ba VCL tiêu biểu (khi x → +∞), a) Các hàm số mũ với số lớn 1, ví dụ ax (a > 1), b) Các hàm số đa thức, hàm số lũy thừa x, chẳng hạn xn , xα , (α > 0), c) Các hàm số logarit với số lớn 1, ln x, loga x (a > 1) Ba hàm số tiến vô x → +∞ với tốc độ khác Hàm số mũ ≻ Hàm số đa thức ≻ Hàm số logarit Cụ thể, lim x→+∞ xα ax = +∞, lim = +∞, ∀a > 1, α > α x→+∞ x loga x Ví dụ 6.5 Tính lim x→+∞ Viện Tốn ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG ln x + x2016 + ex log2 x + x2017 + 2ex 65/82 Ngày tháng năm 2023 65 / 82 Một số tập bổ sung arctan x sin x − x ln x j) lim x→0+ + ln(sin x) sin x − x cos x k) lim x→0 x3 x2 l) lim √ √ x→0 + x sin x − cos x x − x2 ln + x→∞ x 1 − cot x b) lim x→0 x x √ sin(sin x) − x − x2 c) lim x→0 x5 ex d) lim ln(1 + x) x2 − x→0 x i) lim a) lim x→0 ln(cos ax) , a 6= 0, b 6= ln(cos bx) x arctan x n) lim x→∞ π 1/x x a + b1/x o) lim , a, b > x→∞ √ − + x2 cos x p) lim x→0 x(tan x − sinh x) x2 e) f) g) h) m) lim cos x − e− lim x→0 x4 1 lim − x→0 x sin x tan x − x lim x→0 x − sin x 1 lim − x x→0 x e −1 Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) x→0 CHƯƠNG 66/82 Ngày tháng năm 2023 66 / 82 Hàm số đơn điệu tính chất Định nghĩa 12 Hàm số f (x) xác định (a, b) gọi a) đơn điệu tăng với x1 , x2 ∈ (a, b), x1 < x2 f (x1 ) ≤ f (x2 ), b) đơn điệu giảm với x1 , x2 ∈ (a, b), x1 < x2 f (x1 ) ≥ f (x2 ), c) tăng ngặt với x1 , x2 ∈ (a, b), x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ), d) giảm ngặt với x1 , x2 ∈ (a, b), x1 < x2 f (x1 ) > f (x2 ) Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 67/82 Ngày tháng năm 2023 67 / 82 Hàm số đơn điệu tính chất Định lý 6.3 Cho hàm số f (x) xác định có đạo hàm khoảng (a, b) Khi đó, f ′ (x) ≥ ∀x ∈ (a, b) f (x) đơn điệu tăng (a, b) Chú ý 6.2 a) Trong Định lý ta giả thiết f (x) hàm số có đạo hàm khoảng (a, b) Tuy nhiên, thực tế, hàm số đơn điệu khơng thiết phải có đạo hàm Thậm chí, cịn khơng liên tục b) Xét tính đơn điệu hàm số f (x) = Khi xét tính đơn điệu hàm số, người ta xét x khoảng (đoạn) mà hàm số xác định c) Hàm số đơn điệu có điểm gián đoạn loại I Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 68/82 Ngày tháng năm 2023 68 / 82 Hàm lồi Định nghĩa 13 Hàm số f (x) xác định khoảng I gọi lồi f (tx1 + (1 − t)x2 ) ≤ tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ), Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG ∀x1 , x2 ∈ I ∀t ∈ [0, 1] 69/82 Ngày tháng năm 2023 69 / 82 Hàm số lồi Định lý 6.4 Cho hàm số f (x) xác định, liên tục khoảng I có đạo hàm đến cấp hai I Khi đó, f ′′ (x) > I f hàm số lồi I Chú ý 6.3 Hàm số f gọi lõm khoảng I −f hàm số lồi khoảng Viện Tốn ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 70/82 Ngày tháng năm 2023 70 / 82 BĐT hàm lồi Định lý 6.5 (Bất đẳng thức Jensen) Cho f hàm lồi (a, b), x1 , x2 , , xn ∈ (a, b) λ1 , λ2 , , λn ∈ [0, 1], f n X λ i xi i=1 ! ≤ n X n P λi = Khi i=1 λi f (xi ) i=1 Hệ (BĐT Cauchy (BĐT trung bình)) Áp dụng BĐT Jensen với f (x) = − ln x ta được: n 1X ≥ n i=1 Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG n Y i=1 !1/n ∀a1 , a2 , , an > 71/82 Ngày tháng năm 2023 71 / 82 Cực trị hàm số Định nghĩa 14 Cho hàm số f (x) liên tục (a, b), ta nói hàm số đạt cực trị điểm x0 ∈ (a, b) tồn lân cận x0 , U (x0 ) ⊂ (a, b) cho f (x) − f (x0 ) không đổi dấu ∀x ∈ U (x0 ) \ {x0 } a) Nếu f (x) − f (x0 ) > ta nói hàm số đạt cực tiểu x0 b) Nếu f (x) − f (x0 ) < ta nói hàm số đạt cực đại x0 Định lý 6.6 (Định lý Fermat ) Cho f (x) liên tục khoảng (a, b), hàm số đạt cực trị điểm x0 ∈ (a, b) có đạo hàm x0 ′ f (x0 ) = Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 72/82 Ngày tháng năm 2023 72 / 82 Cực trị hàm số biến số Định lý 6.7 (Điều kiện đủ cực trị) Giả thiết hàm số f (x) khả vi khoảng (a, b) \ {x0 }, x0 ∈ (a, b) điểm tới hạn (đạo hàm không xác định) ′ a) Nếu qua x0 mà f (x) đổi dấu từ dương sang âm f (x) đạt cực đại x0 ′ b) Nếu qua x0 mà f (x) đổi dấu từ âm sang dương f (x) đạt cực tiểu x0 Ví dụ 6.6 Tìm cực trị hàm số a) y = √ b) y = x − x2 2x +2 x2 Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 73/82 Ngày tháng năm 2023 73 / 82 Cực trị hàm số biến số Định lý 6.8 ′ Giả thiết hàm số f (x) có đạo hàm đến cấp hai liên tục lân cận điểm x0 f (x0 ) = Khi ′′ a) Nếu f (x0 ) > f (x) đạt cực tiểu x0 ′′ b) Nếu f (x0 ) < f (x) đạt cực đại x0 Ví dụ 6.7 (Giữa kì, K61) Tìm cực trị hàm số y = Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) sin x khoảng (0, 2π) + cos x CHƯƠNG 74/82 Ngày tháng năm 2023 74 / 82 Cực trị hàm số biến số Định lý 6.9 Giả thiết hàm số f (x) có đạo hàm liên tục đến cấp n lân cận điểm x0 f ′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0, f (n) (x0 ) 6= Khi a) Nếu n chẵn f (x0 ) đạt cực trị x0 đạt cực tiểu f (n) (x0 ) > 0, đạt cực đại f (n) (x0 ) < b) Nếu n lẻ f (x) khơng đạt cực trị x0 Ví dụ 6.8 Tìm cực trị hàm số y = sin3 x, Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) y = sin4 x CHƯƠNG 75/82 Ngày tháng năm 2023 75 / 82 Phương pháp Newton Phương pháp sử dụng tìm nghiệm phương trình f (x) = hàm f thỏa mãn số giả thiết sau: (i) f (x) liên tục đoạn [a, b]; (ii) f (a)f (b) < 0; (iii) f ′ (x), f ′′ (x) không đổi dấu (a, b) Cơng thức tìm nghiệm gần phương trình f (x) = sau a) Chọn xấp xỉ x1 , b) Viết PTTT điểm (x1 , f (x1 )), c) Tìm giao điểm TT với Ox d) x2 = x1 − f (x1 ) f ′ (x1 ) e) xn+1 = xn − f (xn ) f ′ (xn ) Ví dụ: Bắt đầu với x1 = 2, tìm xấp xỉ thứ ba, x3 , nghiệm phương trình x3 − 2x − = Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 76/82 Ngày tháng năm 2023 76 / 82 Nội dung Hàm số Các khái niệm hàm số Các hàm số sơ cấp Dãy số Giới hạn hàm số Vô lớn - Vô bé Hàm số liên tục Đạo hàm vi phân Các định lý hàm khả vi ứng dụng Các công thức khai triển Taylor, Maclaurin Quy tắc L’Hospital Hàm số đơn điệu tính chất BĐT hàm lồi Các lược đồ khảo sát hàm số Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) CHƯƠNG 77/82 Ngày tháng năm 2023 77 / 82 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f (x) a) Tìm TXĐ hàm số, nhận xét tính chẵn, lẻ, tuần hồn hàm số (nếu có) b) Xác định chiều biến thiên: tìm khoảng tăng, giảm hàm số c) Tìm cực trị (nếu có) d) Xét tính lồi, lõm (nếu cần thiết), điểm uốn (nếu có) e) Tìm tiệm cận hàm số (nếu có) f) Lập bảng biến thiên g) Tìm số điểm đặc biệt mà hàm số qua (ví dụ giao điểm với trục toạ độ, ) vẽ đồ thị hàm số Ví dụ 7.1 (Cuối kì, K59) Tìm tiệm cận đồ thị hàm số y = xe x + Ví dụ 7.2 (Giữa kì, K61) Tìm cực trị hàm số y = Viện Toán ứng dụng Tin học (HUST) cos x khoảng (0, 2π) + sin x CHƯƠNG 78/82 Ngày tháng năm 2023 78 / 82