) TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC LỜI GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH I K58 ( TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ ) Hà Nội, 92013 LỜI NÓI ĐẦU Sau hơn hai ngày vất vả làm ngồi làm đống bài t.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC - LỜI GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - K58 ( TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ ) Hà Nội, 9/2013 ) LỜI NÓI ĐẦU Sau hai ngày vất vả làm ngồi làm đống tập giải tích I K58 có buồn nhẹ người mệt lừ :-( Trong q trình đánh máy khơng tránh khỏi sai sót lời giải cịn chẳng =)) mong bạn góp ý để sửa cho :D ( nói thể thơi sai mặc xác lấy đâu time mà sửa với chả sủa :v) Trong số chưa làm :-( học lâu nên chẳng nhớ :D Hy vọng giúp cho bạn K58 học cải thiện, học lại mơn có điểm "F " =)) Chúc bạn học tốt ! Chương HÀM MỘT BIẾN SỐ 1.1-1.5 Dãy số, hàm số, giới hạn liên tục Tìm tập xác định hàm số √ a y = log (tan x) cos x /= tan x ≥ ⇔ cos x ⇔ tan x ≥ x≥ π x π log (tan x) ≥ + kπ (k ∈ Z) + kπ 2x b y = arcsin 1+x x /= −1 1+x −1 ≤ 2x 1+x ⇔ ≤1 x /= −1 ⇔ −1 − x ≤ 2x ≤ + x 3x ≥ −1 x≤1 ⇔ −13 ≤ x ≤ c y = √ x sin πx x≥0 ⇔ sin πx x≥0 πx ⇔ kπ x≥0 x ⇔ k c y = arccos (2 sin x) −1 ≤ sin x ≤ ⇔ − ≤ sin x ≤ π π ⇔ − + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ (k ∈ Z) + 2kπ ≤ x ≤ 7π + 2kπ 5π 6 Tìm miền giá trị hàm số a y = log (1 − cos x) ĐK: cos x < ⇔ 3π + 2kπ < x < 5π + 2kπ Mặt khác ta có − cos x ∈ (0, 3] ⇒ y ∈ (−∞, log 3] b y = arcsin log 10x x≥0 x∈ /Z ĐK x > x π π ⇒y∈ − , 2 log ≤ 10 Tìm f (x) biết a f x + x Đặt t = x + = x 2+ x2 (|t| ≥ 2) x ⇒ t2 = x + b f x 1+x x2 + ⇒ t — = x2 + ⇒ f (x) = x − x2 = x2 x Đặt t = 1+x (t /= 1) t ⇒x= 1−t ⇒x t2 Tìm hàm ngược hàm số = x2 (1 − t)2 ⇒ f (x) = (1 − x)2 a y = 2x + D=R x= b y−3 ⇒ hàm ngược hàm y = 2x + y = x−3 1− x 1+x D = R \ {−1} y= 1−x ⇔ y + yx = − x ⇔ x = 1+x 1−x y = Suy hàm ngược hàm 1+x c y = (ex + e−x) , (x > 0) D = [0, +∞) 1− x 1+x 1−y 1+y Đặt t = ex (t > 0) y= t+ t ⇔ t2 − 2yt + = ∆ ′ = y2 − √ y2 − ⇒ √ t=y− y2 − 1, √ ⇒ ex = y + y2 − t=y+ Suy hàm ngược (loại) √ y = ln x + x2 − Xét tính chẵn lẻ hàm số a f (x) = ax + a−x, (a > 0) f (x) = a−x + ax = −f (x) Suy hàm f (x) hàm chẵn √ b f (x) = ln x + + x2 f (−x) = ln −x + √ 2 +1+x √ + x2 = ln −x x+ = − ln x + 1+x2 √ + x2 = −f (x) Suy hàm f (x) hàm lẻ c f (x) = sin x + cos x f (−x) = sin(−x) + cos(−x) = − sin x + cos x /= f (x) −f (x) suy f (x) không hàm chẵn không hàm lẻ Chứng minh hàm số f (x) xác định khoảng đối xứng (−a, a), (a > 0) biểu diễn dạng tổng hàm số chẵn với hàm số lẻ Chứng minh Giả sử f (x) = g(x) + h(x) (1) g(x) hàm chẵn h(x) hàm lẻ Khi f (−x) = g(−x) + h(−x) = g(x) − h(x) (2) (1) + (2) ta f (x) + f (−x) = 2g(x) ⇒ g(x) = f (x)+f (−x) (1) − (2) ta f (x) − f (−x) = 2h(x) ⇒ h(x) = f (x)−f (−x) Xét tính tuần hồn tìm chu kỳ hàm số sau (nếu có) a f (x) = A cos λx + B sin λx Gọi T chu kỳ Với x ta có f (x + T ) = f (x) ⇔ A cos λ (x + T ) + B sin λ (x + T ) = A cos λx + B sin λx ⇔ A cos λx cos λT − A sin λx sin λT + B sin λx cos λT + B sin λT cos λx = A cos λx + B sin λx nên cos λT = ⇒ λT = 2kπ ⇒ T = 2kπ λ 2π chu kỳ nhỏ λ b f (x) = sin(x2) √ √ √ Ta có (k + 1) π − kπ = f (x) khơng tuần hồn π √ (k+1)π+ kπ → k → +∞ Suy hàm c f (x) = sin x + sin 2x + sin 3x Ta có sin x tuần hoàn chu kỳ 2π sin 2x tuần hoàn chu kỳ π sin 3x tuần hoàn chu kỳ 2π3 Suy f (x) tuần hoàn chu kỳ BCNN 2π, π, 2π3 2π d f (x) = cos2x Ta có f (x) = 1+cos 2x ⇒ f (x) tuần hoàn chu kỳ 2π 1.6-1.7 Giới hạn hàm số Tìm giới hạn a lim x100 −2x+1 x50 −2x+1 x→1 L −2x+1 = lim xx50 −2x+1 lim 100 100x99 −2 49 x→1 50x −2 x→1 b lim (xn −an )−nan−1 (x−a) ,n (x−a)2 x→a n n n−1 lim (x −a )−na (x−a) (x−a) x→a L L nxn−1 −nan−1 = = lim 2(x−a) a lim x→+∞ q x lim →+∞ n(n−1)xn−2 x→a Tìm gq iới hạn √ 98 = 4924 48 ∈N lim x→a = = n(n−1)an−2 √ x+ x+ x √ x+1 √ √ x+ x+ x √ x+1 = lim x→+∞ √ b lim x3 + x2 − − x x→+∞ √ lim x3 + x2 − − x √ √x x =1 x→+∞ = lim √3 x→+∞ x3+x2 —1 − x3 √ (x3 +x2 −1)2 +x x3 +x2 −1+x2 = lim 3xx22 = x→+∞ c lim m√ − √ n 1+αx 1+βx x lim m√ √ x→0 1+αx − n 1+βx x √ = lim m√1+αx−1 n 1+βx−1 − lim x x x→0 x→0 α − βn =m x→0 √ − √ 1+αx n 1+βx x lim m√1+αx √ n 1+βx−1 x x→0 √ √n √ m ]+ n 1+βx−1 = lim 1+βx[ √ 1+αx−1 x √ x→0 √ m n n 1+βx−1 1+βx[ 1+αx−1] = lim + lim x x x→0 x→0 β α =m +n d lim m x→0 10 Tìm giới hạn a lim x→∞ sin x−sin a x−a L lim cos x sin x−sin a = x−a x→∞ x→∞ lim b lim = cos a √ √ sin x + − sin x x→+∞ Ta có sin √x + − sin √x √ √ √ √ x+1− x x+1+ x cos = sin √ √ √ ≤ sin < < √ x+1+ x x x+1+ ) 2( √ √ Suy lim sin x + − sin x = √ x x→+∞ c lim √ x→0 √ lim x→0 √ cos x− cos x sin2x √ cos x− cos x √ sin x cos x−1 − lim √3 cos x−1 sin2x x→0 sin x co√ s x−1 √ cos x−1 = lim sin2x( cos x+1) − lim √ x→0 x→0 sin x( cos x+ cos x+1) 2 = lim (−xx2.2/2) − lim (−x /2) x→0 x→0 = − x 12 cos 2x cos 3x lim −cos x1−cos x x→0 = lim x→0 d cos 2x cos 3x lim 1−cos x1−cos x x→0 1−cos x+cos x−cos x cos 2x+cos x cos 2x−cos x cos 2x cos 3x 1−cos x x→0 = lim 2x) 3x) + lim cos x(1−cos + lim cos x cos 2x(1−cos 1−cos x 1−cos x x→0 x→0 (4x2/2) (9x2/2) = − lim − lim x2 /2 = 14 x→0 x2 /2 x→0 11 Tìm giới hạn 1−cos x x→0 1−cos x = lim a lim x→∞ x2 − x2+1 x −1 x+1 lim x2 − x2+1 lim x− x+1 x→∞ x→∞ =1 =1 ⇒ lim x→∞ x x+1 x2 − x2+1 =1 →0 √ √ cos x x→0 √ √ √ lim ln(cos √x) lim+ cos x = lim+ (cos x) x = ex→0+ x x→0 x→0 b lim+ ln(1+cos x lim √ x−1) lim cos √ x−1 =e =e = ex c lim (sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)) x →0+ x →0+ x lim →0+ −x/2 x = e− x→∞ lim (sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)) x→∞ = lim cos ln(x+1)+ln x sin ln(x+1)−ln x 2 x→∞ = lim cos x→∞ Do cos ln x(x+1) ln x(x+1) sin ln(1+ x1 ) bị chặn lim sin ln(1+ x1 ) = nên x→∞ lim (sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)) = √ √ d lim n2 ( n x − n+1 x) , x > x→∞ 1/(n+1) √ √ x1/(n +n) − lim n2 ( n x − n+1 x) = lim n x x→∞ x→∞ 1/(n2 +n) x −1 = lim n2n+n x1/n+1 = ln x 1/(n2 +n) x→∞ Do lim n = x→∞ x→∞ n +n lim x n+1 = x→∞ 1/(n2 +n) lim x→∞ −1 x 1/(n2 +n) = ln x 12 Khi x → 0+ cặp VCB sau có tương đương khơng? √ √ α(x) = x + x β(x) = esin x − cos x Ta có α(x) = √ √ √ x + x ∼ x x → 0+ esin x − ∼ sin x ∼ x − cos x ∼ x → 0+ x2 ⇒ β(x) = e sin x — + − cos x ∼ e sin x — ∼ sin x ∼ x Suy α(x) β(x) không tương đương 1.8 Hàm số liên tục 13 Tìm a để hàm số liên tục x = 1− cos x x /= x2 a f (x) = a x = Hàm f (x) liên tục x = lim f (x) = a hay x→0 x lim 1−cos x x→0 = b g(x) = =a ax2 + bx + với x ≥ a cos x + b sin x với x < Ta có g(0) = a.02 + b.0 + = lim g(x) = lim (a cos x + b sin x) = a x→0− x→0− lim g(x) = lim ax2 + bx + = − x→0+ x→0 Hàm g(x) liên tục x = lim g(x) = lim g(x) = g(0) ⇒ a = x→0− x→0+ 14 Điểm x = điểm gián đoạn loain hàm số a y = 1−2cot gx • x → 0− ⇒ cot x → −∞ ⇒ 2cot x → ⇒ lim x→0− + • x → ⇒ cot x → +∞ ⇒ cot x 1−2cot x =8 →+ ∞ ⇒ lim− 1−2cot x = x→0 Vậy x = điểm gián đoạn loại I sin b x y= ex +1 Chọn xn = 1nπ→ 0− Do sin x = sin(nπ) = ⇒ lim n Chọn xn = Suy sin x → 0− = sin x = sin −2nπ − n Suy không tồn lim sin x1 x→0− e x +1 Vậy x = điểm gián đoạn loại II c y = eax −ebx x x→0− e x +1 −1 2nπ+π2 n sin x1 , (a /= b) 10 π =0 = −1 ⇒ lim x→0− sin 1x e x +1 = −1 ... 1? ??x = 13 (6) (k) x 1? ??x (n−k) hiep giapvan@ gmail com Facebook: Badman (10 0) ? ?1+ x = (1 + x) 1? ??x (1+ x )19 9!! 10 0 .19 7!! √ √ + 210 0 (1? ??x )10 0 1? ??x 299 (1? ??x)99 1? ??x (19 9 (1+ x) +10 0.2 (1? ??x)) .19 9 .19 7!! y (10 0)... x+ x q ? ?1 = lim r q1+ √x = 21 1 1+ x→+∞ b lim x x? ?1 x? ?1 lim x? ?1 c + − x x? ?1 − L ln x x x2= + x? ?1 2x2 1? ?? 1 x2 + o1 +o 2x2 x2 cos x1 = − 12 1x2+ o 31 x2 1+ + +o1 ( )? ?1+ −o3 ( 12 x 2x2 1? ? ?1? ?? x2x... −cos x 1? ?? √ 1? ?? 11 xx2 = e x −cos x ⇒ ⇒ lim x→∞ 1? ?? √ 1? ?? L ln x +1? ? ?1 = x ln x +1? ?? lim +1 x? ?1 x? ?1 x x2 x x−x +1 = = lim x ln(x? ?1) ln x lim =1+ q 1? ?? x2 ln x −cos x1 lim e x√ 1? ?? x2 x→∞ 1? ?? e1 x +1 x x2 1 =