Giải tích một biến số - Đại học Thủy lợi

TRƯỊNG ĐẠI HỌC THUỶ LỌI BỘ MƠN TỐN HỌC GIẢI TÍCH MỘT BIẾN số (Tái lần thứ có bổ sung sửa chữa) (Lưu hành nội bộ) NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC TỤ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ HÀ NỘI - 2010 BAN BIÊN DỊCH VÀ HIỆU ĐÍNH, CHỈNH SỬA: PGS.TS NGUYỄN XUÂN THẢO PGS.TS PHÓ ĐỨC ANH TS NGUYỄN HỮU THỌ ThS TRỊNH TUÂN ThS NGUYỀN ĐỨC HẬU ThS NGUYỀN VĂN NHAI ThS PHAN THANH LƯƠNG ThS NGUYỄN QUÝ LĂNG ThS NGUYỄN THỊ VÂN ThS ĐÀO TẤN QUY ThS PHAN THỊ THANH HUYỀN ThS NGUYỄN THỊ LÝ CN ĐỎ HỮU THANH ThS NGUYỄN THỊ MINH HẢI CN NGUYỀN NAM GIANG LỜI TựA CỦA Bộ MƠN TỐN Thực chủ trương đơi chương trình giáo trình đào tạo mơn Tốn học Nhà trường, Bộ mơn Giải tích hồn thành dịch lần đâu “Giải tích biến số” tác giả George F Simmons Bản dịch phục vụ kịp thời cho việc giảng dạy cho khoá 49 50 hai khoả đào tạo theo chương trình theo học chê tín Do thời gian biền dịch ngắn, dịch lần đầu không khỏi mắc vài sai sót, nhiều câu vãn dịch cịn chưa ý cịn số lơi soạn thảo ỉn ấn Kê từ ngày tải lập lại Bộ môn Tốn học, nhiệm vụ hàng đâu Bộ mơn hồn thiện lại tồn chương trình giảo trình giảng dạy “Giải tích biến số” tập trung hiệu đỉnh, chỉnh sửa đế kịp tải lần Bộ môn xin cảm ơn Thư viện trường, Nhà xuât thây cô tham gia hiệu đỉnh, chỉnh sửa, làm việc tích cực thời gian qua đế kịp tái lân Tuy nhiên, chăc chăc dịch tái b ản lần cịn sai sót cịn phải tiếp tục hồn thiện thời gian tới Bộ mơn rầt mong nhận ý kiên góp ỷ độc giả trình sử dụng dịch lân Trưởng Bộ mơn Tốn học PGS.TS NGUYỀN HỮU BẢO LỜI NÓI ĐÀU Thật lạ kỳ người ta viết hàng ngàn trang sách mà thấy cần viết lời nói đầu đế giải thích mục đích Có thể cho rằng, đủ rồi, nói thêm mà làm Tuy nhiên, sách - không loại trừ - cần phải vừa bày tỏ chưa thoả mãn với quyến sách xuất trước, vừa tuyên bố suy nghĩ tác giả cho nội dung mà sách cần có Lời nói đầu hội sau đế bạn đọc lắng nghe thấu hiếu ý tưởng tác giả Hơn nữa, muốn viết thêm sách nhập mơn giải tích, vốn nhiều, cần phép minh (thậm chí xin lỗi) cho hành động với đồng nghiệp cộng đồng nhà toán học Cuốn sách tài liệu chủ đạo giải tích, phù hợp với chương trình trình độ Nó thiết kế đặc biệt với khóa học chuấn có kỳ dành cho sinh viên ngành khoa học, kỹ thuật hay tốn học Các sinh viên cần có kiến thức tảng đại số hình học phố thông Mặt khác, sách không đề cập đến kiến thức chuyên sâu nên sinh viên triết học, lịch sử kinh tế đọc hiểu ứng dụng dễ dàng người khác Khơng có luật nhân quy định người có mối quan tâm đặc biệt đến ngành khoa học nhân văn hay xã hội khơng hiếu biết say mê toán học Dĩ nhiên, toán môn học chứa nhiều thành tựu sáng tạo lớn nhân loại có sức hút khơng cường lại nhà nghiên cứu nhân văn cánh đồng đầy hoa quyến rũ đàn ong Người ta nói tốn học soi sáng giới hay làm thư giãn đầu óc, làm hai điều Vì vậy, rõ ràng sinh viên triết (chẳng hạn) khơng có kiến thức cụ mơn học lớn này, dường cịn chưa hồn thiện y sinh viên lịch sử không hiểu quát kinh tế tôn giáo Làm sinh viên lịch sử có the bở qua kiện bật kỷ 17 toán học khoa học nở rộ có ảnh hưởng định đến phát triến giới đại, kiện mang ý nghĩa lịch sử sâu sắc cách mạng Mỹ, Pháp Nga gộp lại? Các giáo viên tốn có bốn phận giúp sinh viên phần kiến thức Giải tích điếm khởi đầu hồn hảo Bản thân sách - với 21 chương, không kể phụ lục - có bố cục cấu truyền thống Tôi muốn nhấn mạnh nhiều đến động thúc đẩy cách hiểu trực quan, đồng thời trình bày điều tinh tế lý thuyết Hầu hết sinh viên thiếu kiên nhẫn với lý thuyết môn học, điều đáng, chất Giải tích khơng nằm định lý hay cách chứng minh chúng mà thế, công cụ cách sử dụng chúng Mục tiêu hết tơi giới thiệu Giải tích nghệ thuật giải toán với khả khơng hạn chế khơng thể thiếu tất ngành khoa học định lượng Bằng cách tự nhiên, muốn thuyết phục sinh viên cơng cụ chuẩn giải tích hợp lý hợp pháp, không biến môn học thành thứ khuôn mẫu logic chán ngắt định nghĩa chi tiết, câu chữ cứng nhắc định lý với chứng minh tỉ mỉ chi phối Tơi hy vọng phần giải thích tốn học chương sách làm cho sinh viên hiểu kỹ cách tự nhiên, khác nước chảy theo sườn núi, xi xuống phía Chủ đề sách điều hay Giải tích - điều mà ta hiêu làm - khơng phải chat logic nhìn nhận theo quan điếm chun mơn (và hạn chế) nhà tốn học tuý đại Có vài nét đặc trưng riêng sách mà theo tôi, cần phải thích thêm Yêu cầu kiến thửc trước học Giải tích: Do nội dung cần học mơn lớn, cần nhanh chóng bắt đầu đưa đạo hàm vào sớm, đồng thời phải dành thời gian đủ để ơn lại kiến thức có trước học giải tích Tuy vậy, sinh viên năm thứ khác trình độ kiến thức tốn học Vì thế, chương đầu, tơi đề cập đến kiến thức cần có trước học đề nghị giáo viên nên loại bỏ toàn dạy lướt qua phần họ nghĩ có ích cho sinh viên trường hợp cụ thể Chương mở đầu viết chi tiết cho sinh viên, người cần dành nhiều thời gian vào kiến thức bản, để tự họ với chút nỗ lực tiếp thu nhiều nhất.1 Lượng giác: Trong giáo trình Giải tích, vấn đề liên quan đến Lượng giác chưa giải thoả đáng Nhiều tác giả giới thiệu môn sớm, phần đế sử dụng hàm lượng giác việc dạy quy tắc dây chuyền Cách tiếp cận có nhược điểm đưa vào chương Giải tích nhiều vấn đề mang tính kỹ thuật, không thực cần thiết cho mục tiêu sinh viên phần này, cần nắm ý nghĩa ứng dụng đạo hàm tích phân Nhược điểm khác việc đưa Lượng giác vào phần mở đầu nhiều sinh viên học toán học kỳ họ, Lượng giác phần rắc rối, không cần thiết lược bỏ Thực tế lượng giác thực thiếu ta cần xét đến phương pháp đế tính tích phân Vì vậy, tơi đưa Giải tích hàm lượng giác vào Chương để chuyển sang Chương 10 phương pháp tích phân, sinh viên cịn nhớ tất ý tưởng chương trước Mục 9.1 tóm tắt tồn mơn lượng giác Với hầu hết sinh viên, dịp ôn lại kiến thức cần thiết học (nhưng quên gằn hết) phổ thơng Cịn với người hồn tồn chưa học lượng giác, điều giải thích phần đủ cho họ hiểu cằn thiết Với giáo viên, người thích dạy lượng giác sớm - điều hợp lỷ - tồi đề nghị dễ dàng giới thiệu hai mục 9.1 9.2 sau mục 4.5, mục 9.3 9.4 để sau Chương cần nói thêm phải thông báo với sinh viên bỏ qua phần (b), (c) (d) ví dụ mục 9.2, không cho tập nhà: 15-18 mục 9.2; 12, 16, 17, 29 mục 9.3; 11, 12 24 mục 9.4 Phần tập: Đối với sinh viên, phần quan trọng Giáo trình Giải tích có lẽ hệ thống tập, họ phải dành hầu hết thời gian sức lực đe luyện tập Có 5800 tập quyến sách này, bao gồm nhiều tập dự phòng cũ quen thuộc với tất giáo viên Giải tích có tị thời Euler chí sớm Tôi cố gắng trả nợ khứ cách tạo tập Hệ thống tập xếp theo trình tự, bắt đầu với tập thực hành đơn giản tăng dần lên với tập phức tạp địi hởi trình độ tư kỹ cao Các tập khó đánh dấu hoa thị (*) Nói chung, dạng bao gồm gần gấp đôi số tập mà phần lớn giáo viên muốn cho nhà, giúp sinh viên có nhiều tập đế ôn luyện Phần lớn chương có nhiều tập bố sung Nhiều dành để cung cấp kiến thức sâu sắc đa dạng cuối phần Tuy nhiên, thày trò nên cấn thận giải tập bố sung này, số khó tinh tế, mà sinh viên kiên trì, cố gắng giải Cũng cần lưu ý có số phần rải khắp sách mà hồn tồn khơng có tập tương ứng Đơi phần tìm thấy nhóm nhở chúng cách phân chia tiện lợi chủ đề mà có ý xử lý riêng, mục 6.1, 6.2, 6.3 6.4, 6.5 Trong trường hợp khác (mục 9.7, 14 12, 15.5, 19.4 20.9) việc thiếu tập ngụ ý nên tiếp cận nhẹ nhàng lướt qua phần Rải rác tồn sách, có nhiều tập dạng “bài tập kế chuyện” Các giáo viên biết sinh viên sợ tập kiểu này, chúng thường đòi hỏi suy nghĩ khác với lệ thường Tuy nhiên, lợi ích tốn học khoa học khác đòi hỏi cố gắng dạy sinh viên cách làm để thấu hiếu ý nghĩa tập kế chuyện, phán đốn liên quan tới nó, diễn giải từ câu chữ thành vẽ phương trình Khơng có kỹ kỹ cần thiết cho sinh viên trở thành bác sĩ, luật sư, nhà phân tích tài Có thể tìm sách nhỏ tơi, Tóm tắt Tốn học sơ cấp, 119 trang, trình bày đầy đủ gọn súc tích Tốn thơng (Đồng tác giả William Kauffman, Los-Altos, Calif 1981) nhà tư tưởng khác - khơng cịn việc giảng dạy toán tưong xứng với tên gọi từ này.2 Chuỗi vơ hạn: Nhà tốn học xem qua Chương 14 thấy ngay: chủ đề ưa thích tơi Tơi hăng hái phát triển chủ đề sâu sắc chi tiết so với giáo trình Giải tích thơng thường Tuy nhiên, đế thuận tiện cho giáo viên không muốn nhiều thời gian quan tâm đến chủ đề này, Chương 13, tơi trình bày ngắn hơn, đủ đáp ứng cho đại đa số sinh viên khơng có ý định nghiên cứu sâu tốn học cao cấp Những giáo viên thấy chủ đề quan trọng giống tơi sử dụng hai chương, chương 13 để cung cấp tồng quan cho sinh viên, chương 14 để xây dựng tảng vừng hon cho khái niệm Tinh thần hai chương khác có đơi điều lặp lại Phưong trình vi phân Giải tích véctơ: Đây hai nhánh riêng biệt quan trọng tốn học Sau mơn Giải tích, có the dạy chúng thành giáo trình riêng, với nhiều thời gian để khai thác hết phương pháp ứng dụng đặc biệt chúng Một trách nhiệm giáo trình Giải tích chuẩn bị đường tới môn nâng cao nêu vài bước theo hướng đó, nhiên chuẩn bị đến đâu vấn đề gây tranh cãi Một vài tác giả Giải tích cố gắng đưa hai mơn giáo trình - vào chương lớn cuối sách Tôi không đồng ý với cách làm tin có số giáo viên sử dụng chương Thực ra, tơi thích giới thiệu chủ đề Phương trình vi phân sớm tốt (Mục 5.4) sau nhắc lại theo nhiều cách (Mục 5.5, 7.8, 8.5, 8.6, 9.6, 17.7, 19.9) phần Giải tích véc tơ, tơi cho nên kết thúc định lý Green, định lý Stokes nên dành cho giáo trình khác Đây định lý sâu sắc có ảnh hưởng rộng rãi tất ngành tốn học Với giáo viên muốn đưa Giải tích véc tơ nhiều vào chương trình, tơi đưa vào định lý phân kỳ định lý Stokes - tập - Phụ lục A.22 A 23 (nằm quyến sách: Giải tích nhiều biến số) Có thể coi việc xét phụ lục phương thức giáo trình khác với sách tương tự khác Bây giờ, tơi bình luận ngắn gọn vấn đề Trước hết, xin nhấn mạnh phần phụ lục hồn tồn tách biệt với giáo trình phải nghiên cứu cấn thận, đơi sâu sắc, bỏ qua hồn tồn, tùy theo ý định sinh viên hay giảng viên Phụ lục A Sau nhiều năm dạy Giải tích, thu thập số chủ đề đáng ý từ lý thuyết, hình học, khoa học, Tôi dùng chúng đế nhập đề đế liên kết với chủ đề khác đồng thời để phá bỏ lệ thường, gợi hứng thú cho người học Nhiều sinh viên tơi thích thú khai thác “thỏi vàng” Tôi thu thập phần lớn chủ đề phụ lục A với hy vọng làm thay đối quan niệm tốn học mơn thú vị không nhàm chán buồn tẻ Phụ lục B Phần đưa tiếu sử ngắn gọn nhà Toán học, từ thuở sơ khai đến kỷ XIX Phụ lục có hai mục đích chính: Thứ nhất, tơi hy vọng “nhân văn hố” môn học, tạo nên cố gắng thiên tài người vĩ đại, nhờ gây hứng thú cho sinh viên vấn đề học Tâm trí người thường tránh né tốn đặt ra, không muốn tiếp cận, tránh tiếp xúc, muốn thay đối chủ đề, nghĩ điều khác đáng giá Những người - chiếm đa số nhân loại - ln tìm kiếm an ủi hài lòng với biết hay quen thuộc; tránh né điều chưa biết chưa quen với mình, thê tránh sa mạc rừng rậm Họ khó có thê kiên trì suy nghĩ vê tốn phức tạp, ta khó ghép cực bắc hai nam châm mạnh với Ngược lại, có số Tơi khơng thể bỏ qua tập kể chuyện cổ điển xuất nhiều năm trước Tạp chí New York “Bạn có biết toán số học ” tốn vậy: “Cha tơi 44 tuổi, chó tơi tuổi Nếu chó sống người đến 56 tuổi Hỏi tới đó, tuổi cha tơi cộng tuổi chó bao nhiêu?” người, nam có, nữ có bị tốn hút mà khơng cưỡng lại Đầu óc họ bị lơi vào tốn cách đáng yêu, họ suy tư, trăn trở mệt nắm được bí mật chúng Chính người đà dạy phần lớn kiến thức cơng việc làm, từ bánh xe đòn đến ngành luyện kim thuyết tương đối Trong phụ lục này, viết số nhà Toán học tiền bối với hy vọng động viên người hệ Mục đích thứ hai tơi liên quan đến thực tế nhiều sinh viên ngành xã hội nhân văn bị buộc phải học Giải tích theo chương trình đào tạo Những liên kết sâu sắc toán học với lịch sử triết học, với tri thức rộng lịch sử xã hội văn minh phương Tây có khả tác động đến sinh viên thờ này, làm cho họ thêm say mê hứng thú Phụ lục c Trong giáo trình, tuỳ theo chất nội dung đề cập đến mà mức độ khó tăng lên hay giảm xuống Trong chương hình học, tơi đưa tri giác vào với mơ tả trực giác nên tiếp thu dễ Trong chương nói chuỗi vơ hạn lại khơng phải Neu không nghiên cứu kỹ lưỡng, ta khơng hiếu chất Tơi cho hầu hết sinh viên, lợi ích thân, thường không quan tâm đến lập luận t tốn học, tơi cố gắng hết mức để làm giảm nhẹ vấn đề đưa vào điều thật cần thiết Tuy nhiên, số sinh viên ham thích lý thuyết số giảng viên thấy nguyên tắc cần cho sinh viên có số kiến thức lý thuyết, giúp họ hoàn thiện Phụ lục c bao gồm hầu hết nội dung lý thuyết thích hợp đe nghiên cứu Giải tích theo cách hình dung tống qt Với quan điếm toán học túy, giáo viên dạy giáo trình theo mức độ tinh tế khác nhau, cách dùng - không dùng - nội dung chọn phụ lục Tóm lại, thấy, phần sách viết theo cách truyền thống liền mạch, phụ lục giúp cho giáo viên với quan tâm ý kiến khác soạn chương trình phù hợp theo yêu cầu riêng lớp Tơi hướng vào mục đích đế sách sử dụng thật linh hoạt Hiển nhiên, dự án sách phụ thuộc vào nỗ lực họp tác nhiều người Với Ban biên tập, cám ơn Peter Devine, biên tập tốt với nhiều dẫn hay đế cho tơi theo đường riêng mình; Cảm ơn Jo Satloff, Trưởng ban biên tập, làm cho tồi thấy rõ thơng cảm, tế nhị tính chun nghiệp cao công việc; Cảm ơn nhà thiết kế Joan O’Connor, với thiện ý lắng nghe đề xuất nghiệp dư, làm cho tơi thực cảm kích Tơi trân trọng cảm ơn phản biện: Joe Browne, Trường công nghệ cộng đồng Onondaga; Carol Crawford, Học Viện Hải quân Mỹ, Bruces Edwards, Đại học Florida; Susan L Fridman, Trung cap Baruch, Melvin Hausner, Trường Đại học New York; Louis Hoelzle, Trường Country Community; Stanley M Lukawecki, Đại học Clemsom; Peter Maserick, Trường Đại học bang Pennsylvania; David Zitarelli, Đại học Temple Những người chia sẻ kiến thức nhận xét với nhiều vấn đề quan trọng Chắc chắn cịn thiếu sót sai lầm, mà ngồi tơi ra, khơng phải chịu trách nhiệm Tôi hoan nghênh bạn đồng nghiệp, bạn đọc sinh viên vui lịng thơng báo cho tơi sai sót tìm được, để có the sửa giáo trình lần xuất sau George F.Simmons VỚI SINH VIÊN CĨ nói, khơng tác giả cố ý viết sách khơng người đọc Vì vậy, chúng tơi gắng làm tất hy vọng tốt Dĩ nhiên, hy vọng văn phong dễ hiểu giúp sinh viên, cuối có bạn đánh giá điều Tuy thế, điều cần cho - giáo viên hay sinh viên - gợi ỷ thêm cho sinh viên cách đọc sách toán, cách đọc khác xa với cách đọc tiểu thuyết hay báo chí Trong chương trình tốn cao cấp, phần lớn sinh viên có thói quen làm tập nhà ngay, họ không kiên nhẫn trước số tập nặng nề muốn làm chúng cho xong, nhanh tốt Chỉ không làm tập, sinh viên chịu đọc phần giải thích giáo trình lý thuyết Điều cách làm kỳ cục, vô lý, giống việc xỏ giầy trước tất Tôi đề nghị sinh viên, nên đọc phần lý thuyết, sau khỉ sau khỉ hiếu thấu đáo lý thuyết làm tập Suy cho cùng, mục đích tập nhằm khắc sâu ý tưởng phương pháp phát biếu giải thích phần lý thuyết Với quyến sách kiếu này, sinh viên nên đọc phần lý thuyết nào? Nên đọc chậm đọc kỹ, cần nhận thức sâu sắc có nhiều chi tiết quan trọng bị bỏ qua cách cố ý Neu sách bao gồm chi tiết cần thảo luận dài gấp năm lần, cho vậy! Có câu ngạn ngữ cố Pháp: “Ai muốn giải thích điều thấy trị chuyện phòng rỗng” Mọi tác giả loại sách thường cố gắng để khơng nói q nhiều khơng q Những từ “rõ ràng là” hay “dễ thấy” vài thành ngữ khác tương đương sử dụng khơng phải có ý văn hoa, lại khơng có ý hạ thấp khả sinh viên Đây cách viết mẫu sử dụng văn toán học hàng trăm năm Mục đích chúng nhằm cảnh báo cho người đọc phần quan trọng cần nghiên cứu kỹ vài chi tiết tính tốn bỏ qua Những cách viết gợi ý cho sính viên thấy ý tưởng hay, nên đọc nên đọc cần thận để hiểu chi tiết bị bỏ qua, ghi giấy để kiểm tra lại phép tính chưa liệt kê đầy đủ Tiện nữa, bạn đọc dùng ln lề trang, đế ghi vào trọng tâm, câu hỏi phát sinh, thực phép tính ngắn sửa lồi in ấn 10 2Vx+2tan Vx 11 V4 -4Vx +4tan_1 Vx 13 27x4-2-2tan_17x4-2 33 — ln(sin2x) 35 (tan-1 x)2 37 |ln(2x + l) Phần 10.9 trang 334 (a) 0,643; (b) 0,656 2,2845 39 3ex/3 41 tan (sin x) 5.0,881 43 4sin-1 5x 3,14156 45 tan'1 (sec x) Các tập thêm, trang 336 l.|(3x + 5)- 47 y(lnx)3 49 -In (1 4- cos x) ôã -le - ln(l +3x2) -ysin(l-5x) sec 7x~ tan X2 53 - cos (Inx) « _ 55 CSC —1 X 57 tan-1 e2x 11 -^-In(sin4x) 13 -1/lnx 15 In (tan x) px-5^ 17 —cos — -3 J 19 -2 ese X3 21 tan'1 (In x) 23. —Ỉ 3(3x + 5) 25 -|ln(3-2x) 59.1(2 + xT 61 In (ex 4- x) 63 -4/77 65 - cot X 67 -41n(cosx2) v ’ 69 ịln(l + x2) v ’ 71 ịe3x2"2 73 tan X 4- sec X 27 ^sin(l + x3) 29 -Ậcot(x2 +1) v ’ 31 tan_1(sinx) 639 75 |(l + x5/3f2 5V 77 etanx 79 - — (1 + cosx)5 Va2 + x2 115.In x + Va2 4-x2 X 81 sin (tan x) 117 4^Va2-x2(2x2+a2) 3a X 83.71/6 _1 X X 119 — tan — - —1———-T 2a a 2(a2+x2) 87.^ 121 89 — x ^-sinlOx 20 91 4x + -sinl4x 28 _ _ _ 93 -— cos x+—cos X—— cos X 3 1.0 95 — sin4x-—-sin 4x 12 123 a/x2-9 9x , Vl-9x2 125 - ị In 127 X + V9 + 4X2 2x -sin -1 X _ 97 CSC X - —- CSC X 129 In i X + y/á2 +x2 99 |sin8/5x 131 -Ị-xạ/x2 -a2 c a 101 ^tan x + —tan x + tan% 4- a X yja2 +x2 a2 ln(x4-7x2 -a2 103 4sec9 x~4sec7 X 105 cot4x + 4cot2x + ln(sinx v 135 4rV2tan_1f^^i 10 I V2 J 107 4tan3x~4cot3x 3 / - 41n(csc6x4-cot6x) 109 Ậsin -^=4-4xa/3-x2 V3 X 111 X - a tan17 113 -^(a2-xự 2(3x2+2a2) 139 ịsin (x-1)-2a/2x-x2 v - (x - 1W2X -X2 , A, _/x -H 141 4tan ——6 I J 143 -4sin_1 lx-lj 640 145 3-ựx2 +4x + + ln(x + + -\/x2 + x + 8y 147 CHƯƠNG 11 Phần 11.2, trang 347 5x-3 4a/x2+2x-3 149 19 In (x - 4) - In (x + 3) I 0,-^—a I 3/r 151 In (2x + l)-5 In (2x - 1) 153 In X + In (x + 4) - 31n (x - 3) („ 0,4a I 155 - Inx + In (x + 3) - In (x - 3) 157 In X + —^ 51n(x + l) X 2x 159 - In X + In (x2 + 4x + 8) - 41 _„-i tan X 161 7% tan 163 _1 2’5 32 ’5 2 3(4^0 a’3(4^)a Z- 7x X -X +-7Ỉn(l + x ) 6 x[cos(ln x) + sin(lnx)] Phần 11.3 trang 349 165 X3 sinx + 3x2 cosx - 6x sin X - cosx (a) ““^a2; (b)6V27ia2 169 -ị-ựl + X2 (x2 - v 171 eax -|-7ĩa3; 65/3 7ia2 (asinbx-bcosbx) (a) 7ir2h; (b)-^7ir2h 173 -xe x - e’x 175 -lx3e-2x-|x2e~2x Phần 11.4 352 , ẠMa2 177 271 ẬMh2 179 ^a7/2 105 183 (b) x6(lnx)3 185 (b) x6(lnx)2 | X6 Inx 12 36 [sec X tan X + ln(sec X + tan X)] X6 216 |Ma2 ị Ma2 T^Ma2 10 641 11 (a) 4v2a = 0.707a; (b) -^-V30a = 0.548a; 10 (c) ịựĩÕa = 0.632a; 21 16 23 -ị 25.6 27 f(0) = — a2 (sin - sin cos o), g(9) = y a2(ô - sin Ocosô); limit = -|- Các tập thêm, trang 353 Phần 12.3, trang 367 1.-3 5.3 7.0 9.2 (g) ÍA’°Ì 19 (a) 7ĩ/5, (b) 71 37.il 39 ị 41 -ỉ16 43 khơng; thay vào đó, ý vào điểm lập luận logic qui tắc Lopital áp dụng đuợc giới hạn phải tồn 49.0 Các tập thêm, trang 374 51.0 53.0 1.4 55.0 44 57.0 12 59.0 61 p 9.-A 75 63.-ị 65.0 11 00 67.0 13.6 69 ị 15.3 17.1 71 19 00 75 21.0 79 73 81 23 83 -00 25.0 85 27 87 24 89 29 ị 91 31.9 95 e4 33.3 97 e3 35 ị 99 643 93 e2 101 l/(3e6) 103 Các tập thêm, trang 400 105 ị (a) 107.71/4 (d) 1/(1 +x2) (c) sin 0/(2-sin o); (b) 109 7ĩ/8 111 ị 2n + l 17 (a) 1; (b) 2e - 3; (c)e + 113.2 115 Phân kỳ 117 Phân kỳ 119.3 CHƯƠNG 13 Phần 13.2, trang 388 (a) C; (b) D; (c) D; (d) C; (e) D; (í) C; (g) D; (h)D 40mi Phần 13.3, trang 394 l.(a)-4 1, + X (hơn nữa, X = tổng s = 1/(2 - 2sinx); 0); (d) e1 < X < e, In x/(l-lnx) (d) X -|,s = l/(3-4x); Phần 14.4, trang 423 l.(a) D; (b) C; (c) C; (d) C; (e) C; (f) -| 1, D p < 25 cc 29 In 27 (a) F; (b) T; (c) F; (d) F; (e) T; (f) F Phần 14.8, trang 445 Phần 14.5, trang 430 l.c 3.D 5.C 7.C I (-4,4) R = o [-1, 1) [-1,1] R = o II (-V5.V3) Phần 14.6, trang 434 I c 13 [-1,1] D c 7.C D II c 13 D 17 D 19 c 21.D 23 c Phần 14.7, trang 439 I cc 17 [-1,1) 19 [-1,1] 21 (2,6) 23 R = 00 25 R = 27 (0, 2e) 29 (a) R = 1; (b) R = 00 Phần 14.9, trang 451 l.(a) L(-l)n+,nxn l, |x| 35.(a)l; (b) 77 f2(x) = 2x/(l - x)3 37 272 79 (a) -ị; (b) ; (c) Ỉ3 v 7 12 Các tập thêm, trang 466 CHƯƠNG 15 (a)O; (b)|;(c) 0; (d) (a) ị; (b)/; (c)-ị4 16 256 xn = An - Bn , A B nghiệm Phầnl5.2, trang 483 (a) đường tròn, tâm (1, 3) bán kính 5; (b) tập rỗng; (c) điểm (5,-1); (d) đường trịn, tâm (8,-6) bán kính 2; (e) điểm (-3, 7); (f) tập rỗng 3.(a) (-2,-1), (-2,0), y =-2; (b) (3,1), dương âm X2 - X -1 = (5, 1), X = 1; (c) (-2,5), (-2, 1), y = 9, (d) (-2,1), u l + 71 + 4a (-5, 1), X = 1; (e) (-1.2) Ly = Ị l 4/ b2y = 4hx(b-x) 23 |x| >V2 25 s = xfr-x") " (I_xy nx"+1 1_X Phần 15.3, trang 490 (a) x2/25 + y2/21 = 1; 31.(a)-ln 2; (b) (í) D; (g) C; (h) D; (i) C; (j) D; (k) C; (b) x2/36 + y752 = 1; (c) 4x79 + y74 = 1; (d) x716 + y77 =1; (e) x727 + y736 = 1; (f) 24x72500 + y7100 = (1) C; (m) C; (n) C; (o) C; (p) D; (q) C; (a) (0,0) (0, ±5), (0 ±4), 35 (a) C; (b) D; (c) C; (d) D; (e) C; (r) C; (s) C; (t) D; (u) C; (v) c 51.c e= (b) (0,0), (±2, 0) (±73,0), 646 e = +173/2; (c) (-2,1), (-2,1 + 72), 31 f±47b2+d\XÌ ựd dJ (-2, 2) (-2, 0),e= V2/2; (d) (1, 0), (2, 0) (0, 0), |vã,o J e = 73 /2; (eỴ2-1), (5,-1) (-1,-1), (2 +75,-1) e = 757 3; (f) (0,2), (± 271,2) (± 2,2) Phần 15.6, trang 507 I = 45°,x’74 + y’2= 1, elip = 30°, y’2/2 - x’2/2 = 1, hyperbol = 45°, x’2= 472 y', parabol = 45°, x’2/2 + y’2/4 = 1, elip e = 72/2 (a) -^Tuab2; (b)47ia2b v '3 13 f±|7d2-b2,^i Ựd dJ 9 = 60°, x’2/3 + y’2/ll = 1, elip II = 45°, x’2/2 + y’2/4 = 1, elip Các tập thêm, trang 508 4p |ít(2 + ýĨ7 )lt : 17 59 21 y = mx ±7b2 +a2m2 CHƯƠNG 16 Phần 16.1, trang 515 Phần 15.4, trang 499 I (±2,0); (±713,o); 2y = ±3x, (a) (72,72)(b)(2,-273); (c) (0, 0); (d) Q7ữ£|;(e)(o,2); e = 713/2;x = ±4/713 (o,±2); (o,±7ữ); 3y = ±2x; e = 713/2;x = ±4/713 (o,±2); (o,+27s); 2y = ±x; e = y/~5 ; y = ±275 (- 272,272); (g)(-3,o); (h)(-377,372); (f) (i) (1,0); (j) (0,0), (k) (1,73) (11(5,12): (m) (-273,2) (n)(0,3) (1,0), (1 27t/5), (1, 4n/5), (1, 671/5), (1, 8ti/5) (x - 2)2 + (y - 2)2 = 8; Tâm (2, 2) bán kính (o,±l); (o,±72); y - ±x, 272 e = TĨ.TĨy = ±x (a) y = 2; (b) X = 4; (c) y = -3; (d) y2/9 - x2/16 = X = -2 II x2/9 - y2/36 = 13 x2/36 - y2/28 = Phần 16.2, trang 518 15 x2/36 - y2/45 = 17 Hyperbol tâm (1, - 2) trục ngang (a) r = see 9; (b) r = -3 CSC 9; (c) r = 3; (d) r2 = see 29; (e) r = tan see 9; 19 Hai đường thẳng 5(y+l) = ±6(x+2) (f) r2 = CSC 29; (g) r = sin29/(cos cos 29); (h) r = cos9/(tan2 - 1) 647 7ĩ/4 (1,2tĩ/3) (1,4tt/3); -ị 71 4- 3V3 11 r = a sin 20 13 x3 = y2 (2a-x) a2 15 (x - a) (x2 + y2) = b2x2 7ti Ĩ2 Phần 16.3, trang 525 Các tập thêm, trang 540 I = r2+16-8r cos (6 - 71/6) (a) tan = 4; (b) r2 = 36/(4 + sin2 0); (c) r = cos - sinO; r = 10 cos (d) r = 3/(2cos0 - 5sin0); (e) r = 4cot6 CSC 0; r = 4V3 cos(0- 71 /3) (f) r = 4- sin 0; r = a(l 4- cosO) (g) r = sin 20/(sin30 4- COS30) (a) 75a, 73a; (b) 75a, 73a 2 (a) (72a, 71 / 4J (b) gốc i í 2+72 a,-7i/ X J 2-V2 l II r = ep/(l 4-esinO) 13 .-1 e=— (c) (a/2, ± 71/6); (d) (372,71 / 4J (372 ,3ti / 4Ị (e) gốc 15 e= ị -t-,2re/3^, (j>4re/3 17 ±7e2 -1 (f) (± a, tl/6), (± a, ( -7ĩ/6); (g) gốc I 8a / 5, sin-1 19 (a) 7?-4 (0 ự-e ) v+e 21 (a) X = ycot^; 2a (b) r = — CSC 71 Phần 16.4, trang 533 , — 32 Tia 5 ) 3> I; (h) (4, - 7ĩ/3); (i) (±2,71/2); (j) (2, ± 71/3); (-Ầ, 71); (k) gốc (1) gốc ^7 a, 7t / 4], 77^ a,5n / l 2 ’ J (m) gốc (±a, 7ĩ/4), (±a, 371/4) 15 Góc lớn = 2tĩ/3 17 |a[(4 + 4n2)3'2 -s] 11 (a) 47ia2; (b) 47ĩ2a2 21 73-ị;i 17 72 Phần 16.5, trang 540 i 25 ya2(3V3 - re) 648 CHƯƠNG 17 Phần 17.4, trang 577 Phần 17.1, trang 551 Đường thắng đỉnh A song song với B I (a) X 4- y = 2; (b) 2x - y = -4 2ti+j, 2i, 74t2 +1 X 4- y = X - = (y - 3)2 i + (3t2 - 3)j, 6t j ựl + 9(t2 -l)2 X2 - y2 = y = - 2x2 sec21 i + sec t tan t j, sec21 tan t i II Không; hai phần + (sec31 + sec t tan2 t)j, I sec t|V2sec2 t-1 13 (c) 45° 15 X = a cos 4- a6 sin 6, y = a sin - a6 cos 11 R = 4at2j +Vot + R Phần 17.2, trang 562 a sin-1 Ấ'2ay ỵ a = V2ay-y2 + X Phần 17.5, trang 583 (a) - 2/(1 + 4x)3/2, (b) cos x; 6a 11 X = 2b cos + b cos 26, y = 2b sin - b sin 20; -f-a (c) 2x3/(2x4 - 2x2 + 1)3/2; (d) V2e"'; (e) - 4t7(4t4 + 1)3/2 (a) 1; (b) -T^-55/461/2; (c) hoàn toàn không Phần 17.3, trang 569 (a) VĨÕ, 13i-34j,4i- 13j; (b) V53, - 36i - 4j, - 39i 4- 14j; (c) 6, 101 - 33j, - 2i - 33j; (d) 734, - i + 55j, 20i + 22j í-ịln2; -ịvĩì Vĩ l 2 )’ 5.