Giáo trình Xử lý tín hiệu số - Đại học Thủy Lợi

Giáo trình Xử lý tín hiệu số: Phần 1 - Đại học Thủy Lợi cung cấp cho học viên các kiến thức tổng quan về tín hiệu và hệ thống, biến đổi tương tự - số và số - tương tự; tín hiệu và hệ thống rời rạc thời gian, phân tích hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến thời gian;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung giáo trình!

GIÁO TRÌNH XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ MỤC LỤC Mục lục Danh mục từ viết tắt Danh mục hình vẽ Danh mục bảng biểu 10 Giới thiệu 11 Tổng quan tín hiệu hệ thống .13 Tín hiệu, hệ thống xử lý tín hiệu 13 Khái niệm 13 Các thành phần hệ thống xử lý tín hiệu số 15 Ưu điểm xử lý tín hiệu số so với tương tự 15 Biến đổi Tương tự - Số Số - Tương tự 16 Lấy mẫu tín hiệu tương tự 17 Lý thuyết lấy mẫu 24 Lượng tử hóa tín hiệu liên tục biên độ 29 Lượng tử hóa tín hiệu hình sin 31 Mã hóa mẫu lượng tử hóa 33 Chuyển đổi Số - Tương tự 34 So sánh phân tích hệ thống tín hiệu số với phân tích hệ thống tín hiệu rời rạc thời gian 34 Tín hiệu hệ thống rời rạc thời gian 36 Tín hiệu rời rạc thời gian 36 Một vài tín hiệu rời rạc thời gian đặc biệt 37 Phân loại tín hiệu rời rạc thời gian 41 Một số phép toán với tín hiệu rời rạc thời gian 43 Hệ thống rời rạc thời gian 48 Mô tả vào - hệ thống 49 Biểu diễn hệ thống rời rạc thời gian sơ đồ khối 52 Phân loại hệ thống rời rạc thời gian 54 Liên kết hệ thống rời rạc thời gian 63 Phân tích hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến thời gian 64 Các kỹ thuật phân tích hệ thống tuyến tính 64 Phân tích tín hiệu rời rạc thời gian thành xung 65 Tích chập hệ thống TTBB 66 Tính chất tích chập kết nối hệ thống TTBB 71 Hệ thống tuyến tính, bất biến thời gian, nhân 75 Tính ổn định hệ thống tuyến tính, bất biến thời gian 77 Hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn vơ hạn 78 Hệ thống rời rạc thời gian mơ tả phương trình sai phân 79 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số 80 Giải Phương trình Sai phân Tuyến tính Hệ số 81 TT HSH Đáp ứng xung hệ thống TTBB mơ tả dạng phương trình SP 92 Thực hệ thống thời gian rời rạc 95 Phép tương quan tín hiệu 98 Bài tập 102 Biến đổi 𝒛 106 Biến đổi 𝒛 106 Định nghĩa biến đổi 𝐳 106 Biến đổi z ngược 114 Tính chất biến đổi z 116 Biểu diễn dạng hữu tỉ biến đổi 𝒛 127 Các điểm cực điểm không (poles and zeros) 127 Vị trí điểm cực trạng thái miền thời gian cho tín hiệu nhân 130 Hàm truyền đạt hệ thống tuyến tính bất biến thời gian 135 Biến đổi z ngược 137 Phương pháp sử dụng công thức định nghĩa 138 Biến đổi Z ngược cách phân tích thành chuỗi lũy thừa 140 Biến đổi nghịch đảo phương pháp khai triển phân số phần 142 PhÂn tÍch hệ thống tuyến tính bất biến miền 𝒛 150 Đáp ứng hệ thống có hàm truyền đạt dạng hữu tỉ 150 Đáp ứng tạm thời đáp ứng ổn định hệ thống 151 Tính nhân ổn định 153 Loại bỏ điểm cực - không 155 Các điểm cực bội tính ổn định 157 Tính ổn định hệ thống bậc hai 158 Bài tập 162 Phân tích tần số tín hiệu hệ thống 171 Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc thời gian 171 Định nghĩa biến đổi Fourier 172 Sự hội tụ biến đổi Fourier 174 Phổ mật độ lượng tín hiệu khơng tuần hồn 177 Quan hệ biến đổi Fourier biến đổi z 182 Biến đổi Fourier tín hiệu với điểm cực nằm vòng tròn đơn vị 183 Khoảng tần số số tín hiệu tự nhiên 185 Các tính chất biến đổi Fourier cho tín hiệu rời rạc thời gian 187 Tính đối ngẫu biến đổi Fourier 187 Một số định lý tính chất biến đổi Fourier 197 Phân tích miền tần số hệ thống TTBB 206 Hệ thống TTBB miền tần số 𝛚 208 Bộ lọc lựa chọn tần số 211 Hệ thống đảo giải chập 219 Bài tập 228 Biến đổi fourier rời rạc (DFT): tính chất ứng dụng .234 Lấy mẫu miền tần số: Biến đổi Fourier rời rạc 234 Lấy mẫu miền tần số khôi phục lại tín hiệu rời rạc thời gian 234 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) 240 Tính tuyến tính DFT 245 Quan hệ DFT biến đổi khác 247 Các tính chất DFT 249 Tính chất tuần hồn, tuyến tính đối xứng 249 Nhân hai DFT tích chập vịng 254 Các tính chất khác DFT 261 Lọc tuyến tính sử dụng DFT 266 Phân tích tần số Tín hiệu sử dụng DFT 269 Bài tập 276 Tài liệu tham khảo .283 DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT ASP Analog Signal Processing Xử lý tín hiệu tương tự DSP Digital Signal Processing Xử lý tín hiệu số TTBB Tuyến tính bất biến ZT z-transform Biến đổi z FT Fourier transform Biến đổi Fourier DFT Discrete Fourier transform Biến đổi Fourier rời rạc FIR Finite Impulse Response Đáp ứng xung hữu hạn IIR Infinite Impulse Response Đáp ứng xung vô hạn MHT Miền hội tụ SQNR Signal to quantization noise ratio Tỉ lệ tín hiệu nhiễu lượng tử DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1-1 Ví dụ tín hiệu tiếng nói 14 Hình 1-2 Sơ đồ khối hệ thống xử lý tín hiệu số 15 Hình 1-3 Các thành phần chuyển đổi tương tự - số 17 Hình 1-4 Biến đổi số - tương tự (D/A) dạng xấp xỉ bậc thang 18 Hình 1-5 Lấy mẫu tín hiệu tương tự 19 Hình 1-6 Quan hệ biến tần số liên tục thời gian rời rạc thời gian trường hợp lấy mẫu tuần hoàn 22 Hình 1-7 Một ví dụ tượng alias 23 Hình 1-8 Biến đổi (nội suy) D/A lý tưởng 26 Hình 1-9 Biểu diễn trình lượng tử 30 Hình 1-10 Lấy mẫu lượng tử hóa tín hiệu hình sin 32 Hình 1-11 Sai số lượng tử 𝐞𝐪𝐭 = 𝐱𝐚𝐭 − 𝐱𝐪(𝐭) 33 Hình 1-12 Nội suy tuyến tính (với độ trễ T giây) 34 Hình 2-1 Đồ thị biểu diễn tín hiệu rời rạc thời gian 36 Hình 2-2 Biểu diễn tín hiệu xung đơn vị 37 Hình 2-3 Biểu diễn dãy nhảy đơn vị 38 Hình 2-4 Hình vẽ biểu diễn dãy dốc đơn vị 38 Hình 2-5 Dãy hàm số mũ 39 Hình 2-6 Đồ thị phần thực phần ảo tín hiệu hàm mũ phức 40 Hình 2-7 Đồ thị phổ biên độ phổ pha tín hiệu hàm mũ phức: (a) Đồ thị 𝐀(𝐧) = 𝐫𝐧, 𝐫 = 𝟎 𝟗; (b) Đồ thị 𝛟𝐧 = 𝛑𝟏𝟎𝐧, chu kỳ 𝟐𝛑 vẽ khoảng (−𝛑, 𝛑 ) 40 Hình 2-8 Ví dụ tín hiệu chẵn (a) tín hiệu lẻ (b) 43 Hình 2-9 Biểu diễn tín hiệu ban đầu sau dịch miền thời gian 44 Hình 2-10 Đồ thị biểu diễn phép lấy đối xứng phép dịch chuyển miền thời gian 45 Hình 2-11 Quá trình giảm tốc độ lấy mẫu 47 Hình 2-12 Sơ đồ khối biểu diễn hệ thống rời rạc thời gian 48 Hình 2-13 Sơ đồ biểu diễn cộng 52 Hình 2-14 Sơ đồ biểu diễn nhân với số 52 Hình 2-15 Sơ đồ biểu diễn nhân tín hiệu 52 Hình 2-16 Sơ đồ biểu diễn trễ 53 Hình 2-17 Sơ đồ biểu diễn tới trước 53 Hình 2-18 Sơ đồ khối thể hệ thống 𝐲𝐧 = 𝟏𝟒𝐲𝐧 − 𝟏 + 𝟏𝟐𝐱𝐧 + 𝟏𝟐𝐱𝐧 − 𝟏 53 Hình 2-19 Ví dụ hệ thống bất biến (a) biến thiên (b) – (d) thời gian 56 Hình 2-20 Đồ thị nguyên lý xếp chồng: Hệ thống 𝓣 tuyến tính 𝐲(𝐧) = 𝐲’(𝐧) 58 Hình 2-21 Hệ thống nối tiếp (a) song song (b) 63 Hình 2-22 Tính tích chập đồ thị 71 Hình 2-23 Tính chất giao hốn tích chập 72 Hình 2-24 Tính chất kết hợp (a) giao hốn (b) tích chập 73 Hình 2-25 Tính chất phân phối tính chập 74 Hình 2-26 Sơ đồ khối hệ thống không đệ quy (a) hệ thống đệ quy (b) 81 Hình 2-27 Sơ đồ khối hệ thống đệ quy bậc 82 Hình 2-28 Sơ đồ hệ thống ví dụ 2.17 84 Hình 2-29 Sơ đồ khối dạng trực tiếp I hệ thống (2.149) 96 Hình 2-30 Sơ đồ khối dạng trực tiếp II hệ thống (2.149) 97 Hình 2-31 Sơ đồ khối dạng tắc I 97 Hình 2-32 Sơ đồ khối dạng tắc II 98 Hình 2-33 Radar phát mục tiêu 99 Hình 3-1 Mặt phẳng 𝐳 108 Hình 3-2 Miền hội tụ 𝐗(𝐳) thành phần nhân quả, phi nhân tương ứng 110 Hình 3-3 MHT biến đổi z Ví dụ 3.3 113 Hình 3-4 Đường cong kín tích phân (3.10) 115 Hình 3-5 Giản đồ cực – khơng tín hiệu hàm mũ nhân 𝐱𝐧 = 𝐚𝐧𝐮𝐧 128 Hình 3-6 Giản đồ cực khơng tín hiệu hữu hạn 𝐱𝐧 = 𝐚𝐧 𝐯ớ𝐢 𝟎 ≤ 𝐧 ≤ 𝐌 − 𝟏 (𝐚 > 𝟎), với 𝐌 = 𝟖 129 Hình 3-7 Đồ thị cực- khơng cho Ví dụ 3.14 130 Hình 3-8 Đồ thị |𝐗(𝐳)| biểu thức biến đổi 𝐳 (3.31) 131 Hình 3-9 Hình dạng miền thời gian tín hiệu nhân có điểm cực đơn 132 Hình 3-10 Hình dạng miền thời gian tín hiệu nhân có điểm cực thực kép (𝐦 = 𝟐) 133 Hình 3-11 Dạng tín hiệu nhân có cặp điểm cực liên hợp phức 134 Hình 3-12 Tín hiệu nhân có cặp điểm cực liên hợp phức kép nằm đường tròn đơn vị 135 Hình 3-13 Miền xác định tính ổn định (tam giác ổn đinh) hệ thống bậc hai mặt phẳng hệ số 𝐚𝟏, 𝐚𝟐 159 Hình 3-14 Đồ thị 𝐡𝐧 cơng thức (3.86) với 𝐩𝟏 = 𝟎 𝟓, 𝐩𝟐 = 𝟎 𝟕𝟓; 160 Hình 3-15 Đồ thị 𝐡(𝐧) công thức (3.88) với 𝐩 = 𝟑𝟒, 𝐛𝟎 = 𝟏 161 Hình 3-16 Đồ thị h(n) công thức (3.92) với 𝐛𝟎 = 𝟏, 𝛚𝟎 = 𝛑/𝟒, 𝐫 = 𝟎 𝟗 162 Hình 4-1 (a) Phân tích (b) tổng hợp ánh sáng trắng (ánh sáng mặt trời) sử dụng lăng kính 172 Hình 4-2 Biểu diễn 𝐱(𝐧) 𝐗(𝛚) công thức (4.15) (4.14) 176 Hình 4-3 Minh họa hội tụ biến đổi Fourier 177 1 Hình 4-4 (a) Dãy x(n) = ( ) u u (n) x(n) = (− ) u u (n) ; (b) phổ mật độ lượng 2 tín hiệu tương ứng 180 Hình 4-5 Tín hiệu xung chữ nhật rời rạc thời gian 180 Hình 4-6 Độ lớn pha biến đổi Fourier dãy xung chữ nhật rời rạc theo thời gian 181 Hình 4-7 Quan hệ 𝐗(𝐳) 𝐗(𝛚) tín hiệu Ví dụ 4.2, với 𝐀 = 𝟏 𝐋 = 𝟏𝟎 183 Hình 4-8 Phổ biên độ phổ pha 189 Hình 4-9 Tổng hợp tính đỗi ngẫu biến đổi Fourier 193 Hình 4-10 Đồ thị 𝐗𝐑(𝛚), 𝐗𝐈(𝛚) 194 Hình 4-11 Phổ biên độ phổ pha biến đổi Ví dụ 4.4 195 Hình 4-12 Đặc tuyến phổ xung chữ nhật Ví dụ 4.5 196 Hình 4-13 Dãy 𝐱(𝐧) biến đổi Fourier Ví dụ 4.6 với 𝐚 = 𝟎 𝟖 198 Hình 4-14 Biểu diễn tính chất tích chập 201 Hình 4-15 Minh họa tính dịch chuyển tần số biến đổi Fourier (𝛚𝟎 ≤ 𝟐𝛑 − 𝛚𝐦) 203 Hình 4-16 Đồ thị biểu diễn tính chất điều tần 204 Hình 4-17 Quan hệ vào miền thời gian miền tần số hệ thống TTBB 209 Hình 4-18 Đáp ứng biên độ lọc lựa chọn tần số lý tưởng 212 Hình 4-19 Giản đồ cực – khơng số lọc thông thấp thông cao 214 Hình 4-20 Đáp ứng biên độ pha lọc đơn cực (1) lọc cực – không (2) 215 Hình 4-21 Đáp ứng biên độ pha lọc thông cao đơn giản; 𝑯𝟑𝒛 = 𝟏 − 𝒂𝟐𝟏 − 𝒛 − 𝟏𝟏 + 𝒂𝒛 − 𝟏 với 𝒂 = 𝟎 𝟗 216 Hình 4-22 Đáp ứng biên độ pha lọc thông dải đơn giản Ví dụ 4.11 𝑯𝒛 = 𝟎 𝟏𝟓𝟏 − 𝒛 − 𝟐𝟏 + 𝟎 𝟕𝒛 − 𝟐 218 Hình 4-23 Hệ thống 𝓣 nối tầng với hệ thống đảo 𝓣 − 𝟏 220 Hình 4-24 Hai miền hội tụ có 𝑯𝑰𝒛 = 𝒛/(𝒛 − 𝟏𝟐) 222 Hình 4-25 Đặc tuyến đáp ứng pha hệ thống (4.127) (4.128) 225 Hình 5-1 Lấy mẫu miền tần số biến đổi Fourier 234 Hình 5-2 Tín hiệu khơng tuần hồn 𝐱(𝐧) có chiều dài L tín hiệu tuần hồn sinh từ 𝐱(𝐧) với chu kỳ 𝐍 ≥ 𝐋 (không có chồng lấp) 𝐍 < 𝐋 (có chồng lấp) 237 Hình 5-3 Đồ thị hàm 𝐬𝐢𝐧(𝛚𝐍/𝟐)/𝐍𝐬𝐢𝐧(𝛚/𝟐) 238 Hình 5-4 (a) Dãy 𝐱𝐧 = 𝟎 𝟖𝐧𝐮(𝐧); (b) biến đổi Fourier 𝐱(𝐧) (chỉ biểu diễn phổ biên độ); (c)các mẫu 𝐗(𝛚) với N = 5: (d) mẫu 𝐗(𝛚) với N = 50 240 Hình 5-5 Phổ biên độ phổ pha biến đổi Fourier tín hiệu Ví dụ 5.2 243 Hình 5-6 Biên độ pha DFT N điểm Ví dụ 5.2; (a) 𝐋 = 𝟏𝟎, 𝐍 = 𝟓𝟎; (b) 𝐋 = 𝟏𝟎, 𝐍 = 𝟏𝟎𝟎 245 Hình 5-7 Dịch vịng 251 Hình 5-8 Tích chập vịng hai dãy 258 Hình 5-9 Đảo dãy miền thời gian 261 Hình 5-10 Phổ biên độ với 𝐋 = 𝟐𝟓 𝐍 = 𝟐𝟎𝟒𝟖 minh họa hiệu ứng leakage 271 Hình 5-11 Phổ biên độ tín hiệu (5.90) sau sử dụng cửa sổ chữ nhật 271 Hình 5-12 Phổ biên độ cửa sổ Hanning 272 Hình 5-13 Phổ biên độ tín hiệu (5.91) sau nhân với cửa sổ Hanning 273 Hình 5-14 Ảnh hưởng cửa sổ lên tín hiệu rời rạc lấy mẫu từ tín hiệu tương tự Ví dụ 5.7 276 𝑦(0) = 𝐶 + từ hai phương trình 𝐶 + = − 𝑦(−1) 𝐶 = −1 − 𝑦(−1) Cuối cùng, ta có: 1 𝑛 𝑦(𝑛) = − [1 + 𝑦(−1)] ( ) + 2𝑢(𝑛) 2 𝑛≥0 (2.140) Giả sử, 𝑦(−1) = 0, ta có: 𝑛 𝑦(𝑛) = − ( ) + 2𝑢(𝑛) 𝑛≥0 Ta thấy kết hoàn toàn phù hợp với kết (2.123) Ví dụ 2.17 Ta tiếp tục tham khảo ví dụ bước tính nghiệm tổng quát hệ thống đệ quy bậc hai VI DỤ 2.23 Tính toán đáp ứng 𝑦(𝑛), 𝑛 ≥ hệ thống mơ tả phương trình sai phân 𝑦(𝑛) = 3𝑦(𝑛 − 1) − 2𝑦(𝑛 − 2) + 𝑥(𝑛) (2.141) với dãy đầu vào là: 𝑥(𝑛) = 2𝑛 𝑢(𝑛) điều kiện đầu 𝑦(−1) = 𝑦(−2) = Lời giải Chúng ta tìm nghiệm phương trình sai phân Ví dụ 2.19 sau: 𝑦ℎ (𝑛) = 𝐶1 + 𝐶2 2𝑛 , 𝑛≥0 Nghiệm riêng hệ thống có dạng tương ứng với 𝑥(𝑛) Tuy nhiên, 2𝑛 nằm nghiệm nhất, nên dạng nghiệm riêng lúc xử lý giống trường hợp nghiệm bội Điều thực Ví dụ 2.21, ta có nghiệm riêng (2.137): 𝑦𝑝 (𝑛) = 2𝑛2𝑛 𝑢(𝑛) Như vậy, nghiệm tổng quát phương trình sai phân thu là: 𝑦(𝑛) = 𝐶1 + 𝐶2 2𝑛 + 2𝑛2𝑛 , 𝑛≥0 (2.142) Trong số C1 C2 xác định thông qua điều kiện đầu Để thực việc này, 𝑛 = 𝑛 = vào (2.141) 𝑦(0) = 3𝑦(−1) − 2𝑦(−2) + = 𝑦(1) = 3𝑦(0) − 2𝑦(−1) + = Mặt khác, từ (2.142) với 𝑛 = 𝑛 = 1, ta có: 𝑦(0) = 𝐶1 + 𝐶2 𝑦(1) = 𝐶1 + 2𝐶2 + Giải hệ phương trình, ta có: 𝐶1 = 𝐶2 = Như vậy, nghiệm tổng quát phương trình SP TT HSH (2.141) là: 𝑦(𝑛) = + 2𝑛2𝑛 , 𝑛≥0 (2.143) Đáp ứng xung hệ thống TTBB mơ tả dạng phương trình SP TT HSH a Hệ thống khơng đệ quy Ta có định nghĩa hệ thống không đệ quy công thức (2.116) sau: 𝑀 𝑦(𝑛) = ∑ 𝑏𝑟 𝑥(𝑛 − 𝑟) (2.144) 𝑟=0 Ta biết, đáp ứng xung hệ thống TTBB đáp ứng hệ thống ứng với đầu vào xung đơn vị [𝑥(𝑛) = 𝛿(𝑛)] Như vậy, với hệ thống trên, ta có đáp ứng xung sau 𝑀 ℎ(𝑛) = ∑ 𝑏𝑟 𝛿(𝑛 − 𝑟) (2.145) 𝑟=0 Đáp ứng xung ℎ(𝑛) có hữu hạn xung (𝑀 + xung), hệ thống khơng đệ quy hệ thống FIR Ngồi ra, ta dễ dàng chứng minh hệ thống không đệ quy hệ thống ổn định Ta theo dõi ví dụ sau: VÍ DỤ 2.24 Cho hệ thống TTBB mô tả sau: 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 𝑥(𝑛 − 1) + 3𝑥(𝑛 − 2) Xác định đáp ứng xung hệ thống Hệ thống hệ thống FIR hay IIR ? Lời giải Dễ thấy hệ thống hệ thống không đệ quy, đáp ứng xung hệ thống là: ℎ(𝑛) = 𝛿(𝑛) + 𝛿(𝑛 − 1) + 3𝛿(𝑛 − 2) Ta biểu diễn dạng dãy sau: ℎ(𝑛) = {1, , 3} ↑ Từ đáp ứng xung ℎ(𝑛) trên, ta thấy hệ thống nhân 𝑆ℎ = hữu hạn nên hệ thống ổn định b Hệ thống đệ quy Với hệ thống đệ quy, việc xác định đáp ứng xung thực phương pháp tổng quát ta thực Nghĩa ta giải phương trình hệ thống để xác định đáp ứng với kích thích vào xung đơn vị [𝑥(𝑛) = 𝛿(𝑛)] Tuy nhiên, 𝑥(𝑛) = với 𝑛 > nên thành phần nghiệm riêng hệ thống không Như vậy, trường hợp này, nghiệm tổng quát thành phần nghiệm Ta dựa vào điều kiện đầu hệ thống để xác định hệ số {𝐶𝑘 } Ví dụ sau minh họa điều này: VI DỤ 2.25 Tính đáp ứng xung ℎ(𝑛) hệ thống mô tả phương trình sai phân bậc hai sau đây: 𝑦(𝑛) − 3𝑦(𝑛 − 1) + 2𝑦(𝑛 − 2) = 𝑥(𝑛) (2.146) với điều kiện đầu 𝑦(−1) = 𝑦(−2) = Lời giải Như ta có Ví dụ 2.19, nghiệm hệ thống 𝑦ℎ (𝑛) = 𝐶1 + 𝐶2 2𝑛 , 𝑛≥0 Vì 𝑥(𝑛) = 𝛿(𝑛) nên 𝑦𝑝 (𝑛) = 0, đó: ℎ(𝑛) = 𝐶1 + 𝐶2 2𝑛 , 𝑛≥0 Ta cần xác định 𝐶1 𝐶2 Từ (2.146) ta có: ℎ(𝑛) − 3ℎ(𝑛 − 1) + 2ℎ(𝑛 − 2) = 𝛿(𝑛) 𝑛 = 𝑛 = 𝑦(−1) = 𝑦(−2) = 0, ta (2.147) ℎ(0) = ℎ(1) = 3ℎ(0) = Mặt khác, từ phương trình (2.147) 𝑛 = 𝑛 = ta có ℎ(0) = 𝐶1 + 𝐶2 = ℎ(1) = 𝐶1 + 2𝐶2 = Giải hệ phương trình trên, ta có 𝐶1 = −1, 𝐶2 = Từ đó, đáp ứng xung hệ thống là: ℎ(𝑛) = [−1 + 2𝑛+1 ]𝑢(𝑛) Với hệ thống mơ tả phương trình sai phân tuyến tính bậc N (2.114), nghiệm phương trình 𝑁 𝑦ℎ (𝑛) = ∑ 𝐶𝑘 𝜆𝑛𝑘 𝑘=1 giả sử phương trình đặc trưng có N nghiệm {𝜆𝑘 } riêng biệt Vậy đáp ứng xung hệ thống có dạng sau: 𝑁 ℎ(𝑛) = ∑ 𝐶𝑘 𝜆𝑛𝑘 (2.148) 𝑘=1 với tham số {𝐶𝑘 } xác định qua điều kiện đầu 𝑦(−1) = ⋯ = 𝑦(−𝑁) = Với dạng ℎ(𝑛), ta dễ dàng xét tính ổn định hệ thống bậc N thông qua điều kiện (2.113) sau: ∞ 𝑆ℎ = ∑|ℎ(𝑛)| = 𝑛=0 ∞ 𝑁 ∑ |∑ 𝐶𝑘 𝜆𝑛𝑘 | 𝑛=0 𝑘=1 𝑁 ≤ ∑|𝐶𝑘 | ∑|𝜆𝑘 |𝑛 Bây |𝜆𝑘 | < với k ∞ ∑|𝜆𝑘 |𝑛 < ∞ 𝑛=0 ∞ ∑|ℎ(𝑛)| < ∞ 𝑛=0 ∞ 𝑘=1 𝑛=0 vậy, hệ thống ổn định Ngược lại, cần nhiều nghiệm |𝝀𝒌 | ≥ 𝟏, ℎ(𝑛) không khả tổng tuyệt đối, hệ thống không ổn định Do vậy, điều kiện cần đủ để hệ thống IIR nhân mô tả phương trình sai phân tuyến tính hệ số ổn định tất nghiệm đa thức đặc trưng phải có giá trị tuyệt đối nhỏ Các hệ thống có nghiệm bội bậc 𝑚 có kết tương tự Từ (2.148) ta thấy rõ hệ thống đệ qui mô tả dạng phương trình sai phân, tuyến tính, hệ số hệ thống IIR Tuy nhiên, điều ngược lại chưa Nghĩa là, hệ thống đệ quy mơ tả phương trình sai phân tuyến tính hệ số lớp lớp hệ thống IIR tuyến tính bất biến thời gian THỰC HIỆN CAC HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI RẠC Trong thực tế, việc thiết kế thực hệ thống thường nhà nghiên cứu tiến hành thời điểm Thông thường, việc thiết kế hệ thống phụ thuộc vào phương pháp thực số yếu tố ràng buộc định ví dụ như: giá cả, thiết bị phần cứng, yêu cầu kích cỡ yêu cầu công suất Ở đây, chưa tập trung giải vấn đề phức tạp Tuy nhiên, ta vào phương pháp để thực hệ thống TTBB mơ tả phương trình sai phân tuyến tính hệ số Phần ta thấy, hệ thống bao gồm tập hợp tác động lên tín hiệu vào để thu đáp ứng tương ứng Các tác động mơ hình hóa thơng qua khối học phần 2.2.2 Từ khối này, thiết kế thành dạng sơ đồ biểu diễn hệ thống, hỗ trợ cho việc thực hệ thống qua phần cứng phần mềm Trong phần này, tổng quát hóa sơ đồ biểu diễn cho tất hệ thống tuyến tính bất biến thời gian mơ tả dạng phương trình sai phân, tuyến tính hệ số sau: 𝑁 𝑀 𝑦(𝑛) = − ∑ 𝑎𝑘 𝑦(𝑛 − 𝑘) + ∑ 𝑏𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑘=1 (2.149) 𝑘=0 Sơ đồ tổng quát hệ thống Hình 2-29 Dạng sơ đồ gọi sơ đồ dạng tắc I hệ thống Ta có số nhận xét sau: • • Sơ đồ gồm 𝑀 + 𝑁 trễ 𝑁 + 𝑀 + nhân Sơ đồ gồm hai hệ thống nhỏ mắc nối tiếp với Hệ thống thứ hệ thống không đệ quy có phương trình: 𝑀 𝑣(𝑛) = ∑ 𝑏𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑘=0 hệ thống thứ hai có phương trình: 𝑁 𝑦(𝑛) = − ∑ 𝑎𝑘 𝑦(𝑛 − 𝑘) + 𝑣(𝑛) 𝑘=1 Phần 2.2.4 ta biết, với hai hệ thống mắc nối tiếp ta đảo thứ tự chúng, ta thu sơ đồ khối dạng tắc II Hình 2-30 với giả thiết 𝑁 > 𝑀 Với sơ đồ khối dạng II ta cần sử dụng 𝑁 trễ, tiết kiệm so với dạng I Ta có ví dụ sau: N > M VI DỤ 2.26 Vẽ sơ đồ hệ thống dạng tắc I II hệ thống sau: Hình 2-29 Sơ đồ khối dạng trực tiếp I hệ thống (2.149) Hình 2-30 Sơ đồ khối dạng trực tiếp II hệ thống (2.149) 𝑦(𝑛) − 3𝑦(𝑛 − 1) + 2𝑦(𝑛 − 2) = 𝑥(𝑛) + 2𝑥(𝑛 − 1) Lời giải Ta viết lại phương trình mô tả hệ thống sau: 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 2𝑥(𝑛 − 1) + 3𝑦(𝑛 − 1) − 2𝑦(𝑛 − 2) Ta có sơ đồ dạng tắc I: Hình 2-31 Sơ đồ khối dạng tắc I (2.150) dạng tắc II: Hình 2-32 Sơ đồ khối dạng tắc II Như ta thấy, sơ đồ khối dạng tắc I cần ba trễ với sơ đồ dạng tắc II ta cần hai trễ PHÉP TƯƠNG QUAN GIỮA CÁC TÍN HIỆU Trong phần này, làm quen với phép tương quan tín hiệu Phép tốn gần giống với phép tính tích chập Mục đích phép tương quan hai tín hiệu để đo độ giống hai tín hiệu từ trích xuất thơng tin cần thiết tùy thuộc vào ứng dụng Tương quan tín hiệu thường sử dụng radar, sonar, truyền thông số, thông tin địa lý số lĩnh vực khác khoa học kỹ thuật Giả thiết có hai tín hiệu 𝑥(𝑛), 𝑦(𝑛) cần phải so sánh Trong thiết bị radar sonar, 𝑥(𝑛) tín hiệu rời rạc tín hiệu phát 𝑦(𝑛) dạng rời rạc hóa tín hiệu thu Radar thiết bị giám sát đối tượng lạ xuất không gian định mà kiểm sốt Nếu vật thể lạ xuất khoảng khơng gian này, tín hiệu truyền [𝑥(𝑛)] đập vào đối tượng phản xạ lại đài quan sát Đài quan sát thu tín hiệu [𝑦(𝑛)], nhiên so với tín hiệu ban đầu, bao gồm trễ truyền phản xạ, nhiễu tạp âm Hình 2-33 minh họa hoạt động radar phát mục tiêu Chúng ta biểu diễn tín hiệu thu sau: 𝑦(𝑛) = 𝛼𝑥(𝑛 − 𝐷) + 𝑤(𝑛) (2.151) 𝛼 hệ số tỷ lệ, thể suy giảm tín hiệu 𝑥(𝑛) q trình truyền dẫn, 𝐷 trễ truyền giả sử 𝐷 số nguyên lần chu kỳ lấy mẫu, 𝑤(𝑛) nhiễu thu qua antenna nhiễu sinh thiết bị điện tử, khuếch đại thu Trong trường hợp khơng có mục tiêu xuất khoảng khơng gian kiểm sốt radar sonar, tín hiệu 𝑦(𝑛) thu gồm có nhiễu Hình 2-33 Radar phát mục tiêu Như vậy, vấn đề cần giải radar sonar phải so sánh 𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛) để phát liệu mục tiêu xuất hay khơng, đồng thời tính tốn độ trễ 𝐷 để từ suy khoảng cách đến mục tiêu Trong thực tế, 𝑥(𝑛 − 𝐷) bị ảnh hưởng lớn nhiễu nên phát 𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛) mắt mà phải dùng đến phép tốn tương quan Ngồi ra, phép tương quan ứng dụng nhiều số lĩnh vực truyền thông số khác Việc thực phép tương quan để so sánh tín hiệu trình bày cụ thể phần Định nghĩa tương quan chéo tự tương quan tín hiệu Giả sử có hai tín hiệu thực 𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛) với lượng hữu hạn Tương quan chéo 𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛) dãy 𝑟𝑥𝑦 (𝑚) định nghĩa sau +∞ 𝑟𝑥𝑦 (𝑚) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑦(𝑛 − 𝑚) , 𝑚 = 0, ±1, ±2, … (2.152) 𝑚 = 0, ±1, ±2, … (2.153) 𝑛=−∞ tương đương: +∞ 𝑟𝑥𝑦 (𝑚) = ∑ 𝑥(𝑛 + 𝑚)𝑦(𝑛) , 𝑛=−∞ với 𝑚 tham số, số 𝑥𝑦 biểu thị tín hiệu tính tương quan Ngược lại, ta có cơng thức tương quan chéo tín hiệu 𝑦(𝑛) với 𝑥(𝑛) định nghĩa sau +∞ 𝑟𝑦𝑥 (𝑚) = ∑ 𝑦(𝑛)𝑥(𝑛 − 𝑚) , 𝑚 = 0, ±1, ±2, … (2.154) 𝑚 = 0, ±1, ±2, … (2.155) 𝑛=−∞ tương đương: +∞ 𝑟𝑦𝑥 (𝑚) = ∑ 𝑦(𝑛 + 𝑚)𝑥(𝑛) , 𝑛=−∞ So sánh (2.152) (2.155) hay (2.153) (2.154), ta thấy rằng: 𝑟𝑥𝑦 (𝑚) = 𝑟𝑦𝑥 (−𝑚) (2.156) Do đó, 𝑟𝑦𝑥 (𝑚) dãy đối xứng dãy 𝑟𝑥𝑦 (𝑚) qua trục tung 𝑚 = Vậy 𝑟𝑦𝑥 (𝑚) có thơng tin tương tự 𝑟𝑥𝑦 (𝑚), liên quan đến giống 𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛) VÍ DỤ 2.27 Tính tương quan chéo 𝑟𝑥𝑦 (𝑚) dãy sau 𝑥(𝑛) = {3,7, 1, 2,3} ↑ 𝑦(𝑛) = {2, −2, 2, 1,5} ↑ Lời giải Chúng ta sử dụng cơng thức định nghĩa (2.153) để tính 𝑟𝑥𝑦 (𝑚) Với 𝑚 = ta có +∞ 𝑟𝑥𝑦 (0) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑦(𝑛) 𝑛=−∞ Dãy tích 𝑣0 (𝑛) = 𝑥(𝑛)𝑦(𝑛) sau 𝑣0 (𝑛) = {6, −14, 2, 2,15} ↑ cộng tất giá trị 𝑣0 (𝑛) ta có 𝑟𝑥𝑦 (0) = 11 Với 𝑚 > 0, ta dịch dãy 𝑦(𝑛) sang bên phải so với 𝑥(𝑛) 𝑚 mẫu, tính dãy tích 𝑣𝑚 (𝑛) = 𝑥(𝑛)𝑦(𝑛 − 𝑚), cộng tất xung dãy tích, ta thu giá trị tương ứng dãy tương quan chéo: 𝑟𝑥𝑦 (1) = 19, 𝑟𝑥𝑦 (2) = 4, 𝑟𝑥𝑦 (3) = −2, 𝑟𝑥𝑦 (𝑚) = 0, 𝑟𝑥𝑦 (4) = 𝑚≥5 Với 𝑚 < 0, ta dịch dãy 𝑦(𝑛) sang bên trái so với 𝑥(𝑛) 𝑚 mẫu, tính dãy tích 𝑣𝑚 (𝑛) = 𝑥(𝑛)𝑦(𝑛 − 𝑚), cộng tất xung dãy tích, ta thu giá trị dãy tương quan chéo 𝑟𝑥𝑦 (−1) = 19, 𝑟𝑥𝑦 (−2) = 18, 𝑟𝑥𝑦 (𝑚) = 0, 𝑟𝑥𝑦 (−3) = 38, 𝑟𝑥𝑦 (−4) = 15 𝑚 ≤ −5 Do đó, dãy tương quan 𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛) 𝑟𝑥𝑦 (𝑚) = {15,38,18,19, 11, 19,4, −2,6} ↑ Từ ví dụ trên, ta thấy phép tương quan phép tích chập tương đồng khác điểm phép tương quan khơng có bước đảo dãy Do đó, ta có chương trình tính tích chập, ta sử dụng để tính tương quan hai dãy cách đưa vào phần mềm dãy 𝑥(𝑛) dãy đảo 𝑦(−𝑛), sau: 𝑟𝑥𝑦 (𝑚) = 𝑥(𝑚) ∗ 𝑦(−𝑚) (2.157) Trong trường hợp đặc biệt với 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ta có phép tự tương quan 𝑥(𝑛) sau +∞ 𝑟𝑥𝑥 (𝑚) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑥(𝑛 − 𝑚) (2.158) 𝑛=−∞ tương đương với: +∞ 𝑟𝑥𝑥 (𝑚) = ∑ 𝑥(𝑛 + 𝑚)𝑥(𝑛) (2.159) 𝑛=−∞ VÍ DỤ 2.28 Cho dãy 𝑥(𝑛) = {1, 2,3} Tính dãy tự tương quan 𝑟𝑥𝑥 (𝑚) dãy nhận xét kết ↑ Lời giải Sử dụng công thức (2.158) (2.159) để tính tự tương quan tín hiệu được: 𝑟𝑥𝑥 (𝑚) = {3,8, 14, 8,3} ↑ Một số nhận xét dãy tự tương quan sau: dãy tự tương quan dãy đối xứng có cực đại gốc tọa độ (𝑚 = 0) BÀI TẬP 2.1 Cho tín hiệu rời rạc thời gian sau: 1+ 𝑥(𝑛) = {1, 𝑛 0, − ≤ 𝑛 ≤ −1 0≤𝑛≤3 𝑛 𝑐ị𝑛 𝑙ạ𝑖 a Tính giá trị vẽ đồ thị tín hiệu 𝑥(𝑛) b Thực tác động sau lên tín hiệu biểu diễn dang đồ thị: Đầu tiên lấy đối xứng tín hiệu 𝑥(𝑛) sau trễ tín hiệu thu mẫu Đầu tiên trễ tín hiệu 𝑥(𝑛) mẫu sau lấy đối xứng tín hiệu thu c Vẽ tín hiệu 𝑥(−𝑛 + 4) d So sánh kết thu câu b c sau rút quy luật tính tín hiệu 𝑥(−𝑛 + 4) từ tín hiệu 𝑥(𝑛) e Có thể biểu diễn tín hiệu 𝑥(𝑛) theo tín hiệu 𝛿(𝑛) 𝑢(𝑛) khơng? 2.2 Tín hiệu rời rạc thời gian 𝑥(𝑛) biểu diễn hình P2.2 Biểu diễn tín hiệu sau: Hình P2.2 a 𝑥(𝑛 − 2) b 𝑥(−𝑛 + 4) c 𝑥(𝑛 + 2) d.𝑥(𝑛)𝑢(2 − 𝑛) e 𝑥(𝑛 − 1) 𝛿(𝑛 − 3) f 𝑥(𝑛2 ) g Phần chẵn tín hiệu 𝑥(𝑛) h Phần lẻ tín hiệu 𝑥(𝑛) 2.3 Chứng minh tín hiệu phân tích thành tổng hai tín hiệu chẵn lẻ Việc phân tích có phải khơng? Minh họa tín hiệu sau: 𝑥(𝑛) = {2,3, 4, 5,6} ↑ 2.4 Chứng minh lượng (cơng suất) dãy tín hiệu thực tổng lượng (cơng suất) thành phần chẵn lẻ tín hiệu 2.5 Một hệ thống rời rạc thời gian là: Động hay tĩnh Tuyến tính hay phi tuyến Bất biến hay biến thiên thời gian Nhân hay phi nhân Ổn định hay không ổn định Kiểm tra xem hệ thống thỏa mãn tính chất trên: a 𝑦(𝑛) = cos[𝑥(𝑛)] b 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛)cos (𝜔0 𝑛) c 𝑦(𝑛) = 𝑥(−𝑛 + 2) d 𝑦(𝑛) = |𝑥(𝑛)| e 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛)𝑢(𝑛) g 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 𝑛𝑥(𝑛 + 1) h 𝑦(𝑛) = 𝑥(2𝑛) 2.6 Hai hệ thống rời rạc thời gian 𝑇1 𝑇2 nối tầng với để tạo hệ thống T hình P2.6 Chứng minh bác bỏ luận điểm sau: a Nếu 𝑇1 𝑇2 tuyến tính, T tuyến tính (hai hệ thống tuyến tính nối tầng với tạo hệ thống tuyến tính) b Nếu 𝑇1 𝑇2 bất biến thời gian, T bất biến thời gian c Nếu 𝑇1 𝑇2 nhân quả, T nhân d Nếu 𝑇1 𝑇2 tuyến tính bất biến thời gian, T tuyến tính bất biến thời gian e Nếu 𝑇1 𝑇2 tuyến tính bất biến thời gian, đổi chỗ Т1 T không làm thay đổi hệ thống T f Giống câu e với hệ thống 𝑇1 𝑇2 biến thiên thời gian (Gợi ý: sử dụng ví dụ) g Nếu 𝑇1 𝑇2 phi tuyến, T phi tuyến h Nếu 𝑇1 𝑇2 ổn định, T ổn định i Chứng minh ví dụ để thấy điều ngược lại câu (c) (h) chưa hồn tồn Hình P2.6 2.7 Các cặp tín hiệu vào sau thu qua hệ thống bất biến thời gian 𝒯 𝑥1 (𝑛) = {1, 0,2} ↔ 𝑦1 (𝑛) = {0, 1,2} ↑ ↑ 𝒯 𝑥2 (𝑛) = {0, 0,3} ↔ 𝑦2 (𝑛) = {0, 1,0,2} ↑ ↑ 𝒯 𝑥3 (𝑛) = {0, 0,0,1} ↔ 𝑦3 (𝑛) = {1, 2, 1} ↑ ↑ Hệ thống có phải hệ thống tuyến tính khơng? Nếu đúng, đáp ứng xung hệ thống bao nhiêu? 2.8 Các cặp tín hiệu vào sau thu qua hệ thống tuyến tính 𝒯 𝑥1 (𝑛) = {−1, 2, 1} ↔ 𝑦1 (𝑛) = {1, 2, −1,0,1} ↑ ↑ 𝒯 𝑥2 (𝑛) = {1, −1, −1} ↔ 𝑦2 (𝑛) = {−1, 1, 0,2} ↑ ↑ 𝒯 𝑥3 (𝑛) = {0, 1, 1} ↔ 𝑦3 (𝑛) = {1, 2,1} ↑ ↑ Hệ thống hệ thống bất biến khơng 2.11 Thực câu hỏi sau: +∞ +∞ a Nếu 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛), chứng minh ∑+∞ 𝑛=−∞ 𝑦(𝑛) = ∑𝑛=−∞ 𝑥(𝑛) ∑𝑛=−∞ ℎ(𝑛) b Tính tích chập sau 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) kiểm tra lại công thức câu a 𝑥(𝑛) = {1, 2,4}, ℎ(𝑛) = {1, 1,1,1,1} ↑ ↑ 𝑥(𝑛) = {1, 2, −1}, ℎ(𝑛) = 𝑥(𝑛) ↑ 1 𝑥(𝑛) = {0, 1, −2,3, −4}, ℎ(𝑛) = {2 , , 1, 2} ↑ ↑ 𝑥(𝑛) = {1, 2,3,4,5}, ℎ(𝑛) = {1} ↑ ↑ 𝑥(𝑛) = {1, −2,3}, ℎ(𝑛) = {0, 0,1,1,1,1} ↑ ↑ 𝑥(𝑛) = {0, 0,1,1,1,1}, ℎ(𝑛) = {1, −2, 3} ↑ ↑ 𝑥(𝑛) = {0, 1,4, −3}, ℎ(𝑛) = {1, 0, −1, −1} ↑ ↑ 𝑥(𝑛) = {1, 1,2}, ℎ(𝑛) = 𝑢(𝑛) ↑ 𝑥(𝑛) = {1,1, 0, 1,1}, ℎ(𝑛) = {1, −2, −3, 4} ↑ ↑ 10 𝑥(𝑛) = {1,2, 0, 2,1}, ℎ(𝑛) = 𝑥(𝑛) ↑ 𝑛 𝑛 11 𝑥(𝑛) = (2) 𝑢(𝑛), ℎ(𝑛) = (4) 𝑢(𝑛) 2.12 Tính vẽ tích chập 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) ℎ(𝑛) ∗ 𝑥(𝑛) cho cặp tín hiệu hình P2.12 Hình P2.1 ... tự sang số Các thành phần hệ thống xử lý tín hiệu số Hầu hết tín hiệu tự nhiên tín hiệu tương tự Tuy nhiên, để thực tác động số lên tín hiệu (xử lý số) để lưu trữ tín hiệu máy tính, tín hiệu phải... vô số lĩnh vực khác BIẾN ĐỔI TƯƠNG TỰ - SỐ VÀ SỐ - TƯƠNG TỰ Hầu hết tín hiệu thực tế tín hiệu tiếng nói, tín hiệu sinh học, tín hiệu địa chấn, tín hiệu radar, tín hiệu định vị siêu âm hay số. .. kỹ thuật xử lý số tín hiệu xử lý tiếng nói, truyền dẫn tín hiệu kênh điện thoại, truyền dẫn xử lý hình ảnh mơn địa lý học địa chấn học, thăm dị dầu khí, phát dị gỉ phóng xạ, xử lý tín hiệu từ