Đang tải... (xem toàn văn)
Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 của Giáo trình Xử lý tín hiệu số - Đại học Thủy Lợi sẽ cung cấp cho học viên các kiến thức về biến đổi Z, biến đổi Z ngược, phân tích hệ thống tuyến tính bất biến trong miền Z; phân tích tần số của tín hiệu và hệ thống; biến đổi fourier rời rạc (DFT): tính chất và ứng dụng;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung giáo trình!
GIÁO TRÌNH XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ BIẾN ĐỔI 𝒛 Chương trước, ta tìm hiểu việc phân tích tín hiệu hệ thống miền thời gian, nhiên kỹ thuật có số điểm hạn chế chưa thể đặc tính khác tín hiệu hệ thống Trong chương này, tìm hiểu thêm kỹ thuật phân tích khác, biến đổi 𝑧 Đây công cụ quan trọng phân tích mơ tả đặc tính hệ thống tuyến tính bất biến BIẾN ĐỔI 𝒛 Định nghĩa biến đổi 𝐳 Biến đổi 𝑧 tín hiệu rời rạc 𝑥(𝑛) định nghĩa sau: ∞ 𝑋(𝑧) ≡ ∑ 𝑥(𝑛) 𝑧 −𝑛 (3.1) 𝑛=−∞ đó, z biến số phức Biến đổi 𝑧 ký hiệu sau: 𝑋(𝑧) ≡ 𝑍{𝑥(𝑛)} (3.2) Hoặc mơ tả mối quan hệ 𝑥(𝑛) 𝑋(𝑧) sau: 𝑧 𝑥(𝑛) ↔ 𝑋(𝑧) (3.3) Biến đổi 𝑧 chuyển dạng biểu diễn tín hiệu: từ dạng biểu diễn miền thời gian, 𝑥(𝑛) sang dạng biểu diễn miền 𝑧, 𝑋(𝑧) Với 𝑧 biến phức, 𝑋(𝑧) hàm số phức Theo công thức (3.1), tín hiệu 𝑥(𝑛) dãy vơ hạn 𝑋(𝑧) chuỗi lũy thừa vô hạn Trong trường hợp 𝑋(𝑧) chuỗi luỹ thừa vô hạn, tồn tập giá trị 𝑧 làm cho 𝑋(𝑧) hội tụ Vậy ta có khái niệm Miền hội tụ (MHT) 𝑋(𝑧) tập hợp tất giá trị 𝑧 làm cho 𝑋(𝑧) có giá trị hữu hạn Do đó, thực biến đổi 𝑧, ta ln phải MHT Chúng ta minh họa điều qua số ví dụ đơn giản VÍ DỤ 3.1 Xác định biến đổi 𝑧 tín hiệu hữu hạn sau: a 𝑥1 (𝑛) = {1, 2,3,4} ↑ b 𝑥2 (𝑛) = {1, 2, 3,4} ↑ c 𝑥3 (𝑛) = {0, 0,1,2,3,4} ↑ d 𝑥4 (𝑛) = 𝛿(𝑛) e 𝑥5 (𝑛) = 𝑢(𝑛) 𝑛 f 𝑥6 (𝑛) = (2) 𝑢(𝑛) Lời giải Từ cơng thức định nghĩa (3.1) ta có: a 𝑋1 (𝑧) = + 2𝑧 −1 + 3𝑧 −2 + 4𝑧 −3 , MHT: toàn mặt phẳng 𝑧 trừ điểm 𝑧 = b 𝑋2 (𝑧) = 𝑧 + + 3𝑧 −1 + 4𝑧 −2 , MHT: toàn mặt phẳng 𝑧 trừ điểm 𝑧 = 𝑧 = ∞ c 𝑋3 (𝑧) = 𝑧 −2 + 2𝑧 −3 + 3𝑧 −4 + 4𝑧 −5 , MHT: toàn mặt phẳng 𝑧 trừ điểm 𝑧 = d 𝑋4 (𝑧) = 1, MHT: toàn mặt phẳng 𝑧 e Ta có 𝑥5 (𝑛) = 𝑢(𝑛) dãy vơ hạn 𝑥5 (𝑛) = với 𝑛 ≥ Áp dụng công thức (3.1), ta được: ∞ ∞ 𝑋5 (𝑧) ≡ ∑ 𝑥(𝑛) 𝑧 𝑛=−∞ −𝑛 = ∑ 𝑧 −𝑛 𝑛=0 = + 𝑧 −1 + 𝑧 −2 + ⋯ 𝑋5 (𝑧) chuỗi lũy thừa vơ hạn hay nói cách khác 𝑋5 (𝑧) tổng cấp số nhân có cơng bội 𝑧 −1 Do đó, 𝑋5 (𝑧) hội tụ giá trị: 𝑋5 (𝑧) = 1 − 𝑧 −1 với điều kiện |𝑧 −1 | < hay |𝑧| > Vậy miền hội tụ biến đổi 𝑧 là: |𝑧| > f Tín hiệu 𝑥6 (𝑛) gồm dãy vô hạn giá trị khác không sau: 1 𝑥6 (𝑛) = {1, , ( ) , ( ) , … } ↑ 2 Áp dụng cơng thức (3.1), ta có biến đổi 𝑧 𝑥(𝑛) sau: 1 −1 −2 𝑛 −𝑛 𝑋6 (𝑧) = + ( ) 𝑧 + ( ) 𝑧 + ⋯ + ( ) 𝑧 + ⋯ 2 ∞ −1 𝑛 = ∑( 𝑧 ) 𝑛=0 Đây chuỗi vô hạn hội tụ tại: 𝑋6 (𝑧) = 1 − 𝑧 −1 1 với điều kiện |2 𝑧 −1 | < Vậy biến đổi 𝑧 𝑥6 (𝑛) 𝑋6 (𝑧) với MHT: |𝑧| > Từ ví dụ ta dễ dàng thấy MHT tín hiệu hữu hạn tồn mặt phẳng 𝑧, loại trừ điểm 𝑧 = và/hoặc 𝑧 = ∞ Nhìn theo quan điểm toán học, biến đổi 𝑧 đơn giản cách biểu diễn khác tín hiệu 𝑥(𝑛) Như Ví dụ 3.1 ta thấy hệ số 𝑧 −𝑛 giá trị tín hiệu thời điểm n, số mũ 𝑧 giá trị thời gian tương ứng mẫu tín hiệu Miền hội tụ biến đổi 𝒛 𝑧 biến số phức, giá trị biểu diễn mặt phẳng phức 𝑧 với hai trục là: trục thực 𝑍𝑒[𝑧] trục ảo 𝐼𝑚[𝑧] Như nói trên, miền hội tụ biến đổi 𝑧 tập hợp tất giá trị 𝑧 làm cho 𝑋(𝑧) có giá trị hữu hạn Do đó, MHT biến đổi 𝑧 miền biểu diễn mặt phẳng phức 𝑧 Hình 3-1 Mặt phẳng 𝐳 Biến số phức 𝑧 biểu diễn toạ độ cực là: 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑗𝜃 (3.4) Trong đó, 𝑟 = |𝑧| 𝜃 = ∠𝑧, 𝑋(𝑧) biểu diễn dạng sau: ∞ 𝑋(𝑧)|𝑧=𝑟𝑒 𝑗𝜃 = ∑ 𝑥(𝑛) 𝑟 −𝑛 𝑒 −𝑗𝜃𝑛 𝑛=−∞ Để 𝑋(𝑧) hữu hạn ∞ |𝑋(𝑧)| = | ∑ 𝑥(𝑛) 𝑟 −𝑛 𝑒 −𝑗𝜃𝑛 | ≤ ∞ 𝑛=−∞ tương đương với ∞ ∞ ∞ |𝑋(𝑧)| = | ∑ 𝑥(𝑛) 𝑟 −𝑛 𝑒 −𝑗𝜃𝑛 | ≤ ∑ |𝑥(𝑛)𝑟 −𝑛 𝑒 −𝑗𝜃𝑛 | = ∑ |𝑥(𝑛)𝑟 −𝑛 | 𝑛=−∞ 𝑛=−∞ 𝑛=−∞ (3.5) ≤∞ Do vậy, |𝑋(𝑧)| hữu hạn dãy 𝑥(𝑛)𝑟 −𝑛 khả tổng tuyệt đối Như vậy, miền MHT 𝑋(𝑧) phụ thuộc vào khoảng giá trị 𝑟 dãy 𝑥(𝑛)𝑟 −𝑛 khả tổng tuyệt đối Ta biến đổi thêm (3.5) sau: −1 |𝑋(𝑧)| ≤ ∑ ∞ |𝑥(𝑛)𝑟 −𝑛 | 𝑛=−∞ ∞ ∞ 𝑥(𝑛) 𝑥(𝑛) + ∑ | 𝑛 | = ∑|𝑥(−𝑛)𝑟 𝑛 | + ∑ | 𝑛 | 𝑟 𝑟 𝑛=0 𝑛=1 (3.6) 𝑛=0 Nếu 𝑋(𝑧) hội tụ miền hai tổng chuỗi cơng thức (3.6) phải có giá trị hữu hạn miền Để ∞ ∑|𝑥(−𝑛)𝑟 𝑛 | ≤ ∞ 𝑛=1 phải tồn giá trị 𝑟 đủ nhỏ để dãy 𝑥(−𝑛)𝑟 𝑛 với ≤ 𝑛 < ∞ dãy khả tổng tuyệt đối Gọi giá trị 𝑟1, miền bao quanh đường tròn có bán kính 𝑟1 MHT tổng chuỗi Hay nói cách khác, miền miền |𝑧| < 𝑟1 minh hoạ phần gạch chéo Hình 3-2(a) Mặt khác tổng chuỗi thứ hai (3.6) có giá trị hữu hạn, nghĩa là: ∞ ∑| 𝑛=0 phải tồn giá trị 𝑟2 đủ lớn dãy 𝑥(𝑛) | 𝑟2 Do vậy, MHT tổng gồm tất điểm nằm ngồi đường trịn bán kính 𝑟2 Hình 3-2(b) Do đó, miền hội tụ 𝑋(𝑧) giao hai miền hội tụ Vậy 𝑟2 ≥ 𝑟1 , hai miền hội tụ không giao nhau, 𝑋(𝑧) = ∞, ∀𝑧, không tồn 𝑋(𝑧) Nếu 𝑟2 < 𝑟1 , MHT 𝑋(𝑧) miền vành khuyên Hình 3-2(c) Hình 3-2 Miền hội tụ 𝐗(𝐳) thành phần nhân quả, phi nhân tương ứng Như vậy, miền hội tụ Ví dụ 3.1f miền nằm ngồi đường trịn bán kính mặt phẳng phức 𝑧 Ta xét thêm ví dụ sau: VÍ DỤ 3.2 Xác định biến đổi 𝑧 tín hiệu: 0, 𝑛 𝑥(𝑛) = − ( ) 𝑢(−𝑛 − 1) = { 𝑛 −( ) , 𝑛≥0 𝑛 ≤ −1 Lời giải Từ định nghĩa (3.1) ta có: −1 ∞ 𝑛=−∞ 𝑙=1 𝑙 ∞ 𝑛 −𝑛 −1 𝑋(𝑧) = ∑ [− ( ) ] 𝑧 = − ∑ [( ) 𝑧] = − ∑(2𝑧)𝑙 2 𝑙=1 Trong 𝑙 = −𝑛 Áp dụng cơng thức: 𝐴 + 𝐴2 + 𝐴3 + ⋯ = 𝐴(1 + 𝐴 + 𝐴2 + ⋯ ) = 𝐴 , với |𝐴| < 1−𝐴 ta có: 𝑋(𝑧) = − 2𝑧 1 = , với |2𝑧| < hay |𝑧| < − 2𝑧 − 𝑧 −1 2 Vậy, kết luận lại ta có: 𝑧 𝑛 1 𝑥(𝑛) = − ( ) 𝑢(−𝑛 − 1) ↔ 𝑋(𝑧) = với MHT: |𝑧| < −1 − 𝑎𝑧 Như MHT biến đổi 𝑧 miền nằm đường trịn bán kính 𝑛 𝑛 Từ Ví dụ 3.1f Ví dụ 3.2 ta thấy dãy (2) 𝑢(𝑛) dãy − (2) 𝑢(−𝑛 − 1) có biến đổi 𝑧 giống nhau: 𝑍{𝑎𝑛 𝑢(𝑛)} = 𝑍{−𝑎𝑛 𝑢(−𝑛 − 1)} = 1 − 𝑎𝑧 −1 Điều có nghĩa biểu thức biến đổi z khơng ứng với dãy tín hiệu miền thời gian Tuy nhiên, MHT hai tín hiệu lại khác Như vậy, tín hiệu rời rạc 𝑥(𝑛) xác định biểu thức biến đổi 𝑧, 𝑋(𝑧) miền hội tụ Do đó, khái niệm "biến đổi 𝑧" tín hiệu bao gồm biểu thức tốn miền hội tụ Từ Ví dụ 𝑛 3.1f ta thấy (2) 𝑢(𝑛) dãy nhân có MHT miền bên ngồi đường trịn bán kính 𝑛 , MHT dãy phản nhân − (2) 𝑢(−𝑛 − 1) nằm bên đường trịn bán kính Tiếp theo, xét dãy vơ hạn hai phía ví dụ đây: VÍ DỤ 3.3 Xác định biến đổi 𝑧 tín hiệu sau: 𝑥(𝑛) = 𝑎1𝑛 𝑢(𝑛) + 𝑎2𝑛 𝑢(−𝑛 − 1) Lời giải Tín hiệu 𝑥(𝑛) viết lại sau: 𝑥(𝑛) = { 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 với 𝑛 ≥ với 𝑛 < Từ định nghĩa (3.1), biến đổi 𝑧 𝑥(𝑛): ∞ 𝑋(𝑧) = −1 ∑ 𝑎1𝑛 𝑧 −𝑛 𝑛=0 + ∑ 𝑎2𝑛 𝑧 −𝑛 𝑛=−∞ +∞ ∞ = ∑(𝑎1 𝑧 −1 )𝑛 𝑛=0 + ∑(𝑎2−1 𝑧)𝑙 𝑙=1 Ta có, tổng chuỗi lũy thừa thứ có giá trị hữu hạn |𝑎1 𝑧 −1 | < hay |𝑧| > |𝑎1 | MHT tổng chuỗi lũy thừa thứ hai |𝑎2−1 𝑧| < hay |𝑧| < |𝑎2 | Vậy, MHT 𝑋(𝑧) giao hai miền Tùy thuộc vào giá trị 𝑎1 𝑎2 ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: |𝒂𝟐 | ≤ |𝒂𝟏 | Trong trường hợp hai miền hội tụ khơng chồng lên nhau, Hình 3-3(a) Do khơng có giá trị 𝑧 cho hai chuỗi luỹ thừa hội tụ Vậy trường hợp 𝑋(𝑧) không tồn Trường hợp 2: |𝒂𝟐 | > |𝒂𝟏 | Trong trường hợp này, miền hội tụ miền vành khăn giao hai miền hội tụ Hình 3-3(b) Ta có: 𝑥(𝑛) = 𝑎1𝑛 𝑢(𝑛) + 𝑎2𝑛 𝑢(−𝑛 − 1) ↔ với MHT |𝑎1 | < |𝑧| < |𝑎2 | 𝑧 𝑋(𝑧) = 1 − − 𝑎1 𝑧 −1 − 𝑎2 𝑧 −1 Hình 3-3 MHT biến đổi z Ví dụ 3.3 Ta thấy MHT tín hiệu vơ hạn hai phía hình vành khun mặt phẳng 𝑧 Từ ví dụ trên, ta thấy MHT tín hiệu phụ thuộc vào dạng (tín hiệu hữu hạn hay vơ hạn) tính chất tín hiệu (tín hiệu nhân quả, phản nhân quả, tín hiệu vơ hạn hai phía) Chúng tơi tổng kết MHT dạng tín hiệu Bảng 3-1 Bảng 3-1 Họ tín hiệu MHT tương ứng chúng Tín hiệu Nhân MHT Tín hiệu hữu hạn Tồn mặt phẳng 𝑧 ngoại trừ 𝑧 = Phản nhân Toàn mặt phẳng 𝑧 ngoại trừ 𝑧 = ∞ Hai phía Toàn mặt phẳng 𝑧 ngoại trừ 𝑧 = 𝑧 = ∞ Tín hiệu vơ hạn Nhân |𝑧| > 𝑟2 Phản nhân |𝑧| < 𝑟1 Hai phía 𝑟2 < |𝑧| < 𝑟1 Biến đổi 𝑧 định nghĩa (3.1) gọi biến đổi 𝑧 hai phía Chúng ta có cơng thức biến đổi z phía định nghĩa sau: ∞ 𝑋(𝑧) ≡ ∑ 𝑥(𝑛) 𝑧 −𝑛 (3.7) 𝑛=0 Trong trường hợp 𝑥(𝑛) dãy nhân [nghĩa 𝑥(𝑛) = với 𝑛 < 0], biến đổi 𝑧 phía hay hai phía Biến đổi z ngược Ngược lại, với phép biến đổi 𝑧 tín hiệu, ta có phép biến đổi 𝒛 ngược Nếu có dạng biểu diễn miền 𝑧 tín hiệu 𝑋(𝑧), cần xác định tín hiệu biểu diễn miền thời gian 𝑥(𝑛) Công thức biến đổi 𝑧 ngược được xây dựng theo định lý Cauchy, công thức quan trọng lý thuyết số phức, sau: 1 ∮ 𝑧 𝑛−1 𝑑𝑧 = { 2𝜋𝑗 𝐶 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 𝑣ớ𝑖 𝑛 ≠ (3.8) Trong 𝐶 đường cong kín, bao quanh gốc tọa độ mặt phẳng số phức 𝑧 theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) Đầu tiên, với công thức biến đổi 𝑧 (3.1), ta đổi biến 𝑛 thành 𝑘: ∞ 𝑋(𝑧) ≡ ∑ 𝑥(𝑘) 𝑧 −𝑘 (3.9) 𝑘=−∞ Nhân hai vế (3.9) với 𝑧 𝑛−1 , sau lấy tích phân hai vế đường kín nằm MHT 𝑋(𝑧) chứa gốc tọa độ Hình 3-4 Ta có DFT tối thiểu tổng chiều dài ban đầu hai dãy 𝑥(𝑛) ℎ(𝑛) trừ tích chập vịng lúc tích chập tuyến tính Điều thể rõ ràng ví dụ trên: ℎ(𝑛) = {1, 2,3,0,0,0} (5.81) 𝑥(𝑛) = {1, 2,2,1,0,0} (5.82) 𝑦(𝑛) = {1, 4,9,11,8,3} (5.83) ↑ ↑ Cho ta tín hiệu ra: ↑ giống với kết thu tích chập tuyến tính PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU SỬ DỤNG DFT Để tính tốn phổ tín hiệu rời rạc liên tục thời gian, cần phải biết tất giá trị tín hiệu thời điểm Tuy nhiên, thực tế, tín hiệu khơng tín hiệu hữu hạn Do đó, phổ tín hiệu xấp xỉ với với tín hiệu hữu hạn Trong phần này, ta thử thực phân tích tần số sử dụng DFT Nếu tín hiệu phân tích tín hiệu tương tự, ta cần đưa tín hiệu qua lọc nhiễu, sau lấy mẫu tín hiệu với tần số lấy mẫu 𝐹𝑠 ≥ 2𝐵, với 𝐵 băng thơng tín hiệu lọc nhiễu Vậy tần số lớn tín hiệu lấy mẫu 𝐹𝑠 /2 Cuối cùng, với mục đích thực hành, ta giới hạn khoảng thời gian tín hiệu 𝑇0 = 𝐿𝑇, 𝐿 số mẫu tín hiệu, 𝑇 khoảng thời gian hai mẫu Chúng ta thấy đây, khoảng thời gian tín hiệu giới hạn độ phân giải tần số tín hiệu; dó đó, giới hạn khả phân biệt hai thành phần tần số chia nhỏ 1/𝑇0 = 1/𝐿𝑇 Ta ký hiệu {𝑥(𝑛)} dãy phân tích Để giới hạn chiều dài dãy 𝐿 mẫu, từ ≤ 𝑛 ≤ 𝐿 − 1, ta thực việc nhân dãy {𝑥(𝑛)} với cửa sổ chữ nhật 𝑤(𝑛) với chiều dài 𝐿 Do đó: 𝑥̂(𝑛) = 𝑥(𝑛)𝜔(𝑛) (5.84) 1, ≤ 𝑛 ≤ 𝐿 − 𝑤(𝑛) = { 0, 𝑛 𝑐ị𝑛 𝑙ạ𝑖 (5.85) Bây giả sử dãy 𝑥(𝑛) dãy hình sin sau 𝑥(𝑛) = cos 𝜔0 𝑛 (5.86) Sau đó, biến đổi Fourier dãy hữu hạn 𝑥(𝑛) biểu diễn sau: 𝑋̂(𝜔) = [𝑊(𝜔 − 𝜔0 ) + 𝑊(𝜔 + 𝜔0 )] (5.87) 𝑊(𝜔) biến đổi Fourier dãy cửa sổ, 𝜔𝐿 sin ( ) −𝑗𝜔(𝐿−1)/2 𝑊(𝜔) = 𝜔 𝑒 sin ( ) (5.88) Để tính 𝑋̂(𝜔), ta sử dụng DFT Bằng cách thêm vào dãy 𝑥̂(𝑛) 𝑁 − 𝐿 điểm khơng, ta tính DFT N điểm dãy {𝑥̂(𝑛)} (chiều dài L) Phổ biên độ |𝑋̂(𝑘)| = |𝑋̂(𝜔𝑘 )| với 𝜔𝑘 = 2𝜋𝑘/𝑁, 𝑘 = 0,1, … , 𝑁, minh họa Hình 5-10 với 𝐿 = 25 𝑁 = 2048 Chúng ta ý phổ tín hiệu sau cắt ngắn 𝑋̂(𝜔) khơng tần số đơn mà trải toàn dải tần số Vậy cơng suất tín hiệu ban đầu {𝑥(𝑛)} khơng cịn tập trung tần số mà trải toàn dải tần số việc ta nhân tín hiệu với dãy cửa sổ Ta nói cơng suất bị “dị rỉ” tồn miền tần số Do đó, đặc tính việc lấy cửa sổ tín hiệu gọi dị phổ (leakage) Việc lấy cửa sổ tín hiệu khơng méo phổ mà cịn giảm độ phân giải phổ Để minh họa điều này, ta xét tín hiệu sau gồm hai thành phần tần số 𝑥(𝑛) = cos 𝜔1 𝑛 + cos 𝜔2 𝑛 (5.89) Khi dãy bị cắt thành L mẫu khoảng từ ≤ 𝑛 ≤ 𝐿 − 1, phổ tín hiệu sau lấy cửa sổ 𝑋̂(𝜔) = [𝑊(𝜔 − 𝜔1 ) + 𝑊(𝜔 − 𝜔2 ) + 𝑊(𝜔 + 𝜔1 ) + 𝑊(𝜔 + 𝜔2 )] (5.90) Hình 5-10 Phổ biên độ với 𝐋 = 𝟐𝟓 𝐍 = 𝟐𝟎𝟒𝟖 minh họa hiệu ứng leakage (a) (b) (b) Hình 5-11 Phổ biên độ tín hiệu (5.90) sau sử dụng cửa sổ chữ nhật Phổ 𝑊(𝜔) có điểm khơng 𝜔 = 2𝜋/𝐿 Nếu |𝜔1 − 𝜔2 | < 2𝜋/𝐿, hai hàm cửa sổ 𝑊(𝜔 − 𝜔1 ) 𝑊(𝜔 − 𝜔2 ) chồng lên đó, hai vạch phổ 𝑥(𝑛) phân biệt Chỉ |𝜔1 − 𝜔2 | ≥ 2𝜋/𝐿, ta thấy hai thùy riêng biệt phổ 𝑋̂(𝜔) Vậy phân tích vạch phổ tần số giới hạn độ rộng thùy cửa sổ Hình 5-11 minh họa phổ biên độ |𝑋(𝜔)|, tính tốn thơng qua DFT tín hiệu sau 𝑥(𝑛) = cos 𝜔0 𝑛 + cos 𝜔1 𝑛 + cos 𝜔2 𝑛 (5.91) 𝜔0 = 0.2𝜋, 𝜔1 = 0.22𝜋, 𝜔2 = 0.6𝜋 Chiều dài cửa sổ chọn 𝐿 = 20, 50 100 Chú ý 𝜔0 𝜔1 khơng phân tích với 𝐿 = 25 50, phân tích với 𝐿 = 100 Để giảm dị phổ, ta chọn cửa sổ liệu 𝑤(𝑛) có thùy bên thấp miền tần số so với cửa sổ chữ nhật Tuy nhiên, việc giảm thùy bên cửa sổ 𝑊(𝜔) phải trả giá việc tăng độ rộng thùy 𝑊(𝜔) giảm độ phân giải Để minh họa điều này, xét cửa sổ Hanning sau: 2𝜋 (1 − cos 𝑛) , ≤ 𝑛 ≤ 𝐿 − 𝑤(𝑛) = {2 𝐿−1 0, 𝑛 𝑐ị𝑛 𝑙ạ𝑖 (5.92) Hình 5-12 biểu diễn 𝑋̂(𝜔) (5.92) Thùy bên cửa sổ nhỏ đáng kể so với thùy bên cửa sổ chữ nhật, thùy rộng gấp đơi Hình 5-13 minh họa phổ tín hiệu (5.91) sau nhân với cửa sổ Hanning với 𝐿 = 50, 75, 100 Sự thu nhỏ thùy bên giảm độ phân giải so với cửa sổ chữ nhật rõ Hình 5-12 Phổ biên độ cửa sổ Hanning (a) (b) (c) Hình 5-13 Phổ biên độ tín hiệu (5.91) sau nhân với cửa sổ Hanning Với dãy tín hiệu 𝑥(𝑛), quan hệ miền tần số dãy lấy cửa sổ 𝑥̂(𝑛) dãy ban đầu 𝑥(𝑛) thể qua cơng thức tích chập sau: 𝜋 𝑋̂(𝜔) = ∫ 𝑋(𝜃)𝑊(𝜔 − 𝜃)𝑑𝜃 2𝜋 (5.93) −𝜋 Biến đổi DFT tín hiệu lấy cửa sổ 𝑥̂(𝑛) mẫu phổ 𝑋̂(𝜔) Vậy ta có: 𝑋̂(𝑘) ≡ 𝑋̂(𝜔)| 𝜔= 2𝜋𝑘 𝑁 𝜋 2𝜋𝑘 = ∫ 𝑋(𝜃)𝑊 ( − 𝜃) 𝑑𝜃 , 2𝜋 𝑁 (5.94) 𝑘 = 0,1, … , 𝑁 − −𝜋 Như trường hợp dãy hình sin, độ rộng phổ cửa sổ hẹp so với phổ 𝑋(𝜔) tín hiệu, hàm cửa sổ ảnh hưởng nhỏ đến phổ 𝑋(𝜔) Mặt khác, hàm cửa sổ có phổ rộng so với độ rộng 𝑋(𝜔) (trong trường hợp số mẫu L nhỏ), phổ cửa sổ che phổ tín hiệu nên biến đổi DFT liệu làm xấu đặc tính phổ hàm cửa sổ Tất nhiên, trường hợp ta nên tránh VÍ DỤ 5.7 Tín hiệu hàm mũ 𝑒 −𝑡 , 𝑥𝑎 (𝑡) = { 0, 𝑡≥0 𝑡 𝐿 𝑎 = 0.95 𝐿 = 10 a Tính vẽ tín hiệu 𝑥(𝑛) b Chứng minh ∞ 𝐿 𝑋(𝜔) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒 −𝑗𝜔𝑛 = 𝑥(0) + ∑ 𝑥(𝑛) cos 𝜔𝑛 𝑛=−∞ 𝑛−1 Vẽ 𝑋(𝜔) cách tính 𝜔 = 𝜋𝑘/100, 𝑘 = 0,1, … ,100 c Tính 𝑐𝑘 = 2𝜋 𝑋 ( 𝑘) , 𝑁 𝑁 𝑘 = 0,1, … , 𝑁 − với 𝑁 = 30 d Xác định vẽ tín hiệu sau 𝑁−1 2𝜋 𝑥̃(𝑛) = ∑ 𝑐𝑘 𝑒 𝑗( 𝑁 )𝑘𝑛 𝑘=0 Quan hệ 𝑥(𝑛) 𝑥̃(𝑛) gì? Giải thích e Tính vẽ tín hiệu 𝑥̃1 (𝑛) = ∑∞ 𝑙=−∞ 𝑥(𝑛 − 𝑙𝑁) , −𝐿 ≤ 𝑛 ≤ 𝐿 với 𝑁 = 30 So sánh tín hiệu 𝑥̃(𝑛) 𝑥̃1 (𝑛) f Lặp lại câu c đến câu e với 𝑁 = 15 5.20 Lấy mẫu miền tần số Tín hiệu 𝑥(𝑛) = 𝑎|𝑛| , −1 < 𝑎 < có biến đổi Fourier − 𝑎2 − acos 𝜔 + 𝑎2 a Vẽ đồ thị 𝑋(𝜔) với ≤ 𝜔 ≤ 2𝜋, 𝑎 = 0.8 Khôi phục lại vẽ 𝑋(𝜔) từ mẫu 𝑋(2𝜋𝑘/𝑁), 𝑋(𝜔) = ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 − với b 𝑁 = 20 c 𝑁 = 100 d So sánh phổ thu phần b c với phổ tín hiệu ban đầu 𝑋(𝜔) giải thích khác e Minh họa tượng chồng tín hiệu miền thời gian 𝑁 = 20 5.21 Tín hiệu dạng sóng cưa Hình P5.21 biểu diễn dạng chuỗi Fourier sau 1 (sin 𝜋𝑡 − sin 2𝜋𝑡 + sin 3𝜋𝑡 − sin 4𝜋𝑡 … ) 𝜋 a Xác định hệ số chuỗi Fourier 𝑐𝑘 𝑥(𝑡) = b Sử dụng hàm N điểm để lấy mẫu tín hiệu miền thời gian sử dụng sáu thành phần chuỗi khai triển với 𝑁 = 64 𝑁 = 128 Vẽ tín hiệu 𝑥(𝑡) mẫu lấy sau giải thích kết Hình P5.21 5.22 Nhớ lại biến đổi Fourier 𝑥(𝑡) = 𝑒 𝑗Ω0𝑡 𝑋(𝑗Ω) = 2𝜋𝛿(Ω − Ω0 ) biến đổi Fourier tín hiệu 𝑝(𝑡) = { 1, 0, ≤ 𝑡 ≤ 𝑇0 lại T0 sin ΩT0 /2 −𝑗ΩT /2 𝑒 ΩT0 /2 𝑃(𝑗Ω) = a Xác định biến đổi Fourier 𝑌(𝑗Ω) 𝑦(𝑡) = 𝑝(𝑡)𝑒 𝑗Ω0t vẽ nháp |𝑌(𝑗Ω)| với Ω b Bây xét dãy hàm mũ phức sau 𝑥(𝑛) = 𝑒 𝑗𝜔0𝑛 𝜔0 tần số khoảng < 𝜔0 < 𝜋 rad Biết điều kiện chung 𝜔0 phải thỏa mãn để 𝑥(𝑛) tuần hoàn với chu kỳ P (P số nguyên dương) c Ta có 𝑦(𝑛) dãy hữu hạn 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛)𝑤𝑁 (𝑛) = 𝑒 𝑗𝜔0𝑛 𝑤𝑁 (𝑛) 𝑤𝑁 (𝑛) dãy chữ nhật hữu hạn có chiều dài N 𝑥(𝑛) khơng cần thiết phải tuần hoàn Xác định 𝑌(𝜔) vẽ |𝑌(𝜔)| với ≤ 𝜔 ≤ 2𝜋 Tác động N |𝑌(𝜔)| gì? Giải thích ngắn gọn giống khác |𝑌(𝜔)| |𝑌(𝑗Ω)| d Giả sử 𝑥(𝑛) = 𝑒 𝑗(2𝜋/𝑃)𝑛 , 𝑃 số nguyên dương 𝑦(𝑛) = 𝑤𝑁 (𝑛)𝑥(𝑛) 𝑁 = 𝑙𝑃, 𝑙 số nguyên dương Xác định vẽ DFT N điểm 𝑦(𝑛) Liên hệ kết bạn với tính chất |𝑌(𝜔)| e Tần số lấy mẫu DFT câu d có thích hợp để tính tốn xấp xỉ hóa |𝑌(𝜔)| trực tiếp từ biên độ dãy DFT |𝑌(𝑘)|? Nếu khơng, giải thích ngắn gọn ta lấy mẫu tăng lên vẽ phác phổ |𝑌(𝜔)| từ dãy |𝑌(𝑘)| TAI LIỆU THAM KHẢO ... hạn) tính chất tín hiệu (tín hiệu nhân quả, phản nhân quả, tín hiệu vơ hạn hai phía) Chúng tơi tổng kết MHT dạng tín hiệu Bảng 3-1 Bảng 3-1 Họ tín hiệu MHT tương ứng chúng Tín hiệu Nhân MHT Tín hiệu. .. 1