Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Phần 2 - Trường ĐH Công nghệ Sài Gòn

Nối tiếp phần 1, phần 2 của bài giảng Xử lý tín hiệu số có nội dung gồm các chương còn lại trình bày về: xử lý tín hiệu trong miền thời gian; biến đổi Z; phân tích tín hiệu trong miền tần số; phép biến đổi DFT và giải thuật Fourier nhanh;... Mời các bạn cùng tham khảo!

- 56 Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Chƣơng XỬ LÝ TÍN HIỆU TRONG MIỀN THỜI GIAN Mục đích  Đáp ứng xung h(n) hệ thống xử lý thời gian rời rạc  Các phương pháp xử lý miền thời gian  Đáp ứng xung hệ thống ghép nối tiếp ghép song song  Hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn FIR hệ thống có đáp ứng xung vơ hạn IIR  Phương pháp xử lý mẫu phương pháp xử lý khối 4.1 ĐÁP ỨNG XUNG CỦA HỆ THỐNG RỜI RẠC 4.1.1 Đáp ứng xung(Impulse Response) Khi không để ý đến cấu trúc vật lý cụ thể hệ thống ta mơ tả hệ thống phương trình I/O(Phương trình tín hiệu vào ra: quan hệ kích thích ngõ vào với đáp ứng ngõ ra).Một phương pháp để mô tả hệ thống dùng đáp ứng xung Đáp ứng xung h(n) hệ thống tín hiệu ngõ kích thích ngõ vào xung đơn vị (n).Đáp ứng xung h(n) thể đặc tính thời gian hệ thống rời rạc Ta quan sát sơ đồ hình vẽ 4.1: Hình vẽ 4.1 Đáp ứng xung h(n) đại lượng đặc trưng cho hệ thống miền thời gian,như ta phải xem xét quan hệ tín hiệu vào tín hiệu hệ thống miền thời gian nào,để từ đưa phương pháp xử lý tương ứng miền thời gian Quan hệ ngõ vào – ngõ miền thời gian: y ( n )  h ( n )  x ( n)  x ( n)  h( n)    x ( k ) h( n  k ) k  Như quan hệ ngõ vào miền thời gian tích chập,xin trình bày rõ là:tín hiệu ngõ y(n) tích chập tín hiệu ngõ vào x(n) đáp ứng xung hệ thống h(n) Tích chập phép xử lý kết hợp theo thứ tự phép xử lý bản:gấp,dịch,nhân lấy tổng(Xin ý phép lấy tổng tương ứng cho tín hiệu rời rạc,tín hiệu liên tục phép lấy tổng phép lấy tích phân) Phần trình bày phương pháp để thực tích chập(phép xử lý miền thời gian) KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ - 57 Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 4.1.2 Các phương pháp tích chập a Tính trực tiếp Tính trực tiếp tích chập ta tính từ biểu thức định nghĩa tích chập.Như trình bày tích chập kết hợp theo thứ tự phép xử lý bản:  Phép gấp(Phép đảo ngược)  Phép dịch(Phép dời)  Phép nhân  Lấy tổng y ( n )  h ( n )  x ( n)  x ( n)  h( n)    x ( k ) h( n  k ) k  Tích chập phép xử lý thực hai tín hiệu,ở ta áp dụng để xác định tín hiệu ngõ y(n) theo tín hiệu ngõ vào x(n) đáp ứng xung h(n) hệ thống Ví dụ 4.1: Tìm đáp ứng ngõ y(n) biết tín hiệu ngõ vào x(n) = u(n) đáp ứng xung hệ thống h(n) = anu(n) , a < Giải: Ta có: y ( n)  h( n)  x ( n)    x ( k ) h( n  k )  k    h( k ) x ( n  k ) k   a n 1   a u (k )u (n  k )   a  , | a | 1; n  1 a k  k 0 y (n)  0, n   n k k b Dùng bảng tích chập: Để tính tích chập theo phương pháp lập bảng ta tiến hành lập bảng:một thành phần biểu diễn theo hàng,thành phần lại biểu diễn theo cột,giá trị ô bảng tích giá trị hàng cột tương ứng Giá trị ngõ y(n) tính sau: KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ - 58 Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ  y0 = h0x0;  y1 = h1x0+ h0x1;  y2 = h2x0 + h1x1+ h0x2, v.v… Chú ý tín hiệu ngõ vào có chiều dài L đáp ứng xung hệ thống có chiều dài M chiều dài đáp ứng ngõ y(n) (L + M -1) Ví dụ 4.2: Tìm đáp ứng ngõ y(n) biết tín hiệu ngõ vào x(n) =[10,1,2,1,2,2,1,1] đáp ứng xung hệ thống h(n) = [10,2,-1,1] Giải: Ta có bảng thực tích chập sau: x(n) biểu diễn theo cột h(n) biểu diễn theo cột Tín hiệu ngõ ra: y0  h0 x0  11  1; y1  h0 x1  h1 x0  11  1  3; y2  h0 x2  h1 x1  h2 x0  1  1  1 (1)  3; y3  h0 x3  h1 x2  h2 x1  h3 x0  11    1 (1)  11  5; y4  h0 x4  h1 x3  h2 x2  h3 x1  1  1   (1)  11  3; y5  h0 x5  h1 x4  h2 x3  h3 x2  1    1 (1)  1  7; y6  h0 x6  h1 x5  h2 x4  h3 x3  11     (1)  11  4; y7  h0 x7  h1 x6  h2 x5  h3 x4  11  1   (1)  1  3; y8  h1 x7  h2 x6  h3 x5  1  1 (1)  1  3; y9  h2 x7  h3 x6  1 (1)  11  0; y10  h3 x7  11  1; y(n) = [1, 3, 3, 5, 3, 7, 4, 3, 3, 0, 1] : Chiều dài L+M-1=8+4-1=11 c Dạng khối cộng chồng lấp (Overlap-Add Block Form): KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ - 59 Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Trường hợp chuỗi liệu vào dài,ta chia khối liệu vào thành khối nhỏ hơn,các khối phải nhau(trường hợp khối cuối nhỏ thêm vào bit 0),sau ta tiến hành chập khối nhỏ x(n) với h(n),kết chập khối nhỏ với h(n) xếp lệch nhau(như hình vẽ 4.2),cộng chồng lắp kết chập khối ta có kết chập x(n) h(n) Hình vẽ 4.2 Như hình vẽ 4.2,chuỗi vào x(n) chia thành khối nhỏ có chiều dài L,mỗi khối nhỏ chập với h(n) có kết là: y0 = h*x0; y1 = h*x1.; … Sau y0,y1,y2,… xếp lệch cộng chồng lấp(theo chiều từ xuống) có kết chập y(n) = x(n)*h(n) Ví dụ 4.3: Tìm đáp ứng ngõ y(n) biết tín hiệu ngõ vào x(n) =[10,1,2,1,2,2,1,1] đáp ứng xung hệ thống h(n) = [10 ,2,-1,1] Giải: Ta chia x(n) làm ba khối nhỏ có chiều dài L = sau: x0 = [1,1,2]; x1 = [1,2,2]; x2 = [1,1,0]; Ta thấy x0 x1 có chiều dài 3,nhưng x2 có mẫu chèn vào bit phía sau cho đủ chiều dài Ta tiến hành lập bảng tích chập x0,x1 x2 với h(n): Chập x0 với h(n) theo bảng sau: Ta có y0 = h*x0 = [1,3,3,4,-1,2]; Tương tự ta có y1 y2: KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ - 60 Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ y1 = h*x1 = [1,4,5,3,0,2]; y2 = h*x2 = [1,3,1,0,1,0]; Bước ta xếp y0,y1 y2 theo bảng sau: Cuối cộng chồng lắp ta có ngõ y(n): y(n) = [1, 3, 3, 5, 3, 7, 4, 3, 3, 0, 1] 4.1.3 Đáp ứng xung hệ thống ghép nối tiếp ghép song song : a Hai hệ thống ghép nối tiếp: Xét hai hệ thống đặt trưng đáp ứng xung tương ứng h 1(n) h2(n) ghép nối tiếp với theo sơ đồ đây: Như ta thấy hai hệ thống ghép nối tiếp với tạo hệ thống có đáp ứng xung tương ứng h(n) tích chập hai đáp ứng xung hai thành phần ghép nối tiếp: h(n) = h1(n)*h2(n) Đồng thời ta thấy việc h1(n) đứng trước hay h2(n) đứng trước cho kết nhau,nghĩa tích chập có tính chất giao hốn b Hai hệ thống ghép song song: Xét hai hệ thống đặt trưng đáp ứng xung tương ứng h1(n) h2(n) ghép song song với theo sơ đồ đây: KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ - 61 Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Như ta thấy hai hệ thống ghép song song với tạo hệ thống có đáp ứng xung tương ứng h(n) tổng hai đáp ứng xung hai thành phần ghép nối tiếp: h(n) = h1(n) + h2(n) Như ta xét trường hợp hai hệ thống ghép nối tiếp ghép song song,tổng quát xét trường hợp nhiều hệ thống nối ghép với nhau: Khi ta có N hệ thống ghép nối tiếp với tạo hệ thống có đáp ứng xung tương ứng tích chập tất đáp ứng xung thành phần ghép nối tiếp h(n) = h1(n)*h2(n) )*h3(n) )*h4(n) )*…………*hN-1(n) )*hN(n) Khi ta có N hệ thống ghép song song với tạo hệ thống có đáp ứng xung tương ứng tổng tất đáp ứng xung thành phần ghép song song: h(n) = h1(n) + h2(n) + h3(n) + h4(n) +………….+ hN-1(n) + hN(n) Ví dụ 4.4: Tìm đáp ứng xung hệ thống tạo việc ghép nối hệ thống với theo hình vẽ 4.3,các đáp ứng xung tương ứng cho sau: Hình vẽ 4.3 h1(n) = [1 ,2,1]; h2(n) = h3(n) = (n+1)u(n); h4(n) = (n-2) Giải: Theo sơ đồ ghép nối ta có đáp ứng xung hệ thống tương ứng h(n): h(n) = h1(n)*[h2(n)-h3(n)*h4(n)] = h1(n)*h2(n)*[1-h4(n)] = h1(n)*h2(n) - h1(n)*h2(n)* h4(n) Xin nhắc lại kiến thức cũ:một tín hiệu nhân chập với xung (n-k) tương ứng với việc di chuyển(dịch) tín hiệu k thời điểm,có nghĩa là: x(n)* (n-k) = x(n-k) Do ta có: h1(n)*h2(n) = [(n+1)u(n)]*[(n) + 2(n-1) + (n-2)] = (n+1)u(n) + 2nu(n-1) + (n-1)u(n-2) h1(n)*h2(n)*h4(n) = [(n+1)u(n) + 2nu(n-1) + (n-1)u(n-2)]*(n-2) = (n-1)u(n-2) + 2(n-2)u(n-3) + (n-2)u(n-4) Thay vào biểu thức ta được: h(n) = (n+1)u(n) + 2nu(n-1) -2(n-2)u(n-3) - (n-3)u(n-4) 4.1.4 Sự ổn định hệ thống : KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ - 62 Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Hiện xem xét hệ thống miền thời gian,tức ta quan tâm đến đáp ứng xung h(n) hệ thống.Trong phần ta quan tâm đến tính ổn định hệ thống,có nghĩa xem xét miền thời gian dựa vào yếu tố để biết hệ thống có tính ổn định hay không Một hệ thống cho ổn định(Stable) hệ thống ln có đáp ứng ngõ bị chặn với kích thích ngõ vào bị chặn,nghĩa là: Nếu ta có : | x(n) | M x   | y(n) | M y  , n Thì : Xét đáp ứng xung hệ thống ổn định đáp ứng xung tương ứng h(n) tín hiệu lượng (ổn định):   | h( n) |   n  Ví dụ 4.5: Cho hệ thống có đáp ứng xung tương ứng h(n) = an.u(n),tìm điều kiện a để hệ thống ổn định Giải: Để hệ thống ổn định thì:    | h(n) | | a n  n | 1 | a |  | a |2    n 0 Để điều kiện thỏa mãn |a| < a có:   | h(n) | 1 | a | n  (Theo cơng thức tính tổng chuỗi) 4.2 HỆ THỐNG FIR VÀ IIR 4.2.1 Khái niệm Dựa vào đáp ứng xung h(n) hệ thống người ta chia hệ thống rời rạc làm hai dạng:  Hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn FIR(Finite Impulse Response):hệ thống có đáp ứng xung h(n) tín hiệu xác định hữu hạn(Không xác định đến vô cùng)  Hệ thống có đáp ứng xung vơ hạn IIR(Infinite Impulse Response): hệ thống có đáp ứng xung h(n) tín hiệu xác định đến vơ 4.2.2 Hệ thống FIR(Bộ lọc FIR) Hệ thống FIR(Bộ lọc FIR) hệ thống có đáp ứng xung h(n) có giá trị xác định khoảng thời gian hữu hạn ≤ n ≤ M.Nghĩa đáp ứng xung h(n) sau: h(n)  [h0 , h1 , h2 , , hM ,0,0, ] KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ - 63 Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Trong M bậc lọc h0,h1,….,hM hệ số lọc (Filter Weights or Filter taps) Theo quan hệ ngõ vào hệ thống với đáp ứng xung ta có phương trình lọc FIR: M y ( n )  h ( n )  x ( n)   h( k ) x ( n  k ) k 0 Phương trình I/O: y(n)  h0 x(n)  h1 x(n 1)  h2 x(n  2)   hM x(n  M ) Ví dụ 4.6: Cho hệ thống FIR có đáp ứng xung sau: h(n) = [10,2,1,-3] Xác định phương trình I/O hệ thống Giải: Ta có phương trình I/O hệ thống: y(n)  h0 x(n)  h1 x(n 1)  h2 x(n  2)   hM x(n  M ) Cụ thể cho trường hợp M = 3: y(n)  h0 x(n)  h1 x(n  1)  h2 x(n  2)  h3 x(n  3)  y(n)  x(n)  x(n  1)  x(n  2)  3x(n  3) Ví dụ 4.7: Cho hệ thống FIR có phương trình I/O sau: y(n)  x(n)  x(n  4) Xác định đáp ứng xung h(n) hệ thống Giải: Ta có phương trình I/O: y(n)  h0 x(n)  h1.x(n  1)  h2 x(n  2)  h3 x(n  3)  h4 x(n  4)  1.x(n)  0.x(n  1)  0.x(n  2)  0.x(n  3)  (1) x(n  4) Đáp ứng xung lọc h(n) = [10,0,0,0,-1] 4.2.3 Hệ thống IIR Hệ thống IIR(Bộ lọc IIR)là hệ thống có đáp ứng xung h(n) xác định khoảng thời gian vô hạn ≤ n < ∞ KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ - 64 Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Phương trình lọc IIR:  M L k 0 k 1 l 0 y (n)  h(n)  x(n)   h(k ) x(n  k ) y (n)   ak y (n  k )   bl x(n  l ) Phương trình I/O: y(n)  a1 y(n  1)  a2 y(n  2)   aM y(n  M )  b0 x(n)   bL x(n  L) Ví dụ 4.8: Cho hệ thống có phương trình I/O sau: y(n)  0.25 y(n  2)  x(n) Xác định đáp ứng xung h(n) hệ thống Giải: Theo định nghĩa đáp ứng xung hệ thống ta có đáp ứng xung: h(n) = 0.25h(n-2) + (n) Giả sử hệ thống nhân quả: h(-∞) = ………………=h(-2) =h(-1) = Dùng phương pháp lặp ta có: h(0) = 0.25h(-2) + (0) = 1; h(1) = 0.25h(-1) + (1) = 0; h(2) = 0.25h(0) + (2) = 0.25 = (0.5)2; h(3) = 0.25h(1) + (3) = 0; h(4) = 0.25h(2) + (2) = (0.25)2= (0.5)4, vv… Cuối ta suy biểu thức tổng quát đáp ứng xung:  h( n)   n (0.5) n : odd n : even Ta thấy h(n) tồn khoảng thời gian vô hạn 4.3 CÁC PHƢƠNG PHÁP XỬ LÝ 4.3.1 Phương pháp xử lý mẫu – Phương pháp xử lý khối: Tùy thuộc vào ứng dụng phần cứng tương ứng mà hoạt động xử lý hệ thống (Bao gồm FIR IIR) xử lý khối(Block Processing) hay xử lý mẫu(Sample Processing)  Xử lý khối: tín hiệu vào lấy mẫu lưu trữ thành khối mẫu(nhiều mẫu),khối nhân chập với đáp ứng xung hệ thống để tạo khối liệu theo yêu cầu.Trong trường hợp liệu vào dài vô hạn,khối liệu vào phân chia thành khối có độ dài vừa phải nhân chập với đáp ứng xung để tạo tín hiệu theo yêu cầu.Xử lý khối thường ứng dụng trường hợp hệ thống không cần đáp ứng thời gian thực xử lý ảnh,phân tích phổ dùng FFT…  Xử lý mẫu:Dữ liệu vào hệ thống thu thập xử lý mẫu thời điểm.Có nghĩa mẫu liệu vào hệ thống thu nhận nhân chập với đáp ứng xung để KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ - 65 Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ tạo liệu theo mong muốn.Xử lý mẫu thường ứng dụng hệ thống cần đáp ứng thời gian thực xử lý tín hiệu thích nghi,điều khiển… 4.3.2 Phương pháp xử lý mẫu chobộ lọc FIR : Xét hệ thống FIR(bộ lọc FIR) bậc M có phương trình I/O tổng quát sau: M y ( n )  h ( n )  x ( n)   h( k ) x ( n  k ) k 0 y(n)  h0 x(n)  h1 x(n 1)  h2 x(n  2)   hM x(n  M ) Như trình bày chương 3,ta biểu diễn hệ thống FIR sơ đồ khối thông qua khối xử lý hình vẽ 4.4: Hình vẽ 4.4 Từ sơ đồ khối thực thi hệ thống,ta có giải thuật xử lý cho mẫu liệu ngõ vào Chú ý:trước xử lý liệu ngõ vào giá trị trang thái nội i phải gán khơng(zero) Ví dụ 4.9: Cho hệ thống có phương trình I/O sau: y(n)  x(n)  x(n  4) Dữ liệu ngõ vào x(n) = [10,1,2,1,2,2,1,1]: a) Vẽ sơ đồ khối thực thi hệ thống giải thuật xử lý mẫu tương ứng b) Xác định giá trị y(n) dựa vào thuật toán Giải: a) Từ phương trình I/O ta có đáp ứng xung tương ứng hệ thống: h(n) = [10,0,0,0,-1] KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ - 119 Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ phần tần số này,hiện tượng liên quan đến độ phân giải phép phân tích phổ dùng DFT 2  Nếu: : W( - 1) W( - 2) chồng lấn lên  không | 1  2 | L phân biệt vạch phổ 2  Nếu: | 1  2 | : W( - 1) W( - 2) hiển thị tách biệt nhau phân L biệt vạch phổ Như độ phân giải phép phân tích phổ dùng DFT liên quan đến số mẫu quan sát L thành phân tần số tín hiệu cần quan sát phổ 2  Giá trị :   gọi độ phân giải phổ Như vậy, hàm cửa sổ có chiều dài L L phân biệt thành phần tần số cách đoạn là:   2 L Ví dụ 7.4: Phổ hai thành phần tần số Ω1 = 0.2π Ω2 = 0.22π phương pháp DFT hình vẽ 7.10 Hình vẽ 7.10 Hai vấn đề tượng rò phổ độ phân giải phép phân tích phổ liên quan đến chiều dài L loại cửa sổ w(n)  W(Ω),cụ thể sau :  Độ cao búp phụ: ảnh hưởng đến mức rò phổ Muốn giảm rò phổ, chọn loại sổ có búp phụ thấp  Độ rộng búp chính: ảnh hưởng đến độ phân giải Muốn tăng độ phân giải, chọn loại sổ có độ rộng búp hẹp c Quan hệ tần số tương tự tần số số: Tín hiệu tương tự x(t) lấy mẫu tốc độ f s khoảng thời gian T0 số mẫu thu N,lúc đó: T0  N  TS  N fS fS  N  T0 f S TS Quan hệ tần số:  Xét tín hiệu tương tự: x(t) = Acos t = Acos 2ft  Lấy mẫu tín hiệu này: x(nTs)= Acos nTs = Acos n/Ts  Dạng tín hiệu rời rạc: x(n) = Acosn = Acos2Fn KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ - 120 Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ  Đồng hai biểu thức, ta được:   TS Hay ta có biểu thức tương đương: Ví dụ7.5: Cho tín hiệu sau: x(t) = sin2t + sin3t + sin5t + sin5.5t (t:ms) Tín hiệu lấy mẫu tốc độ fs = 10Khz Để việc phân tích phổ dùng DFT cho đỉnh tách biệt thời gian lấy mẫu T0? Lời giải: Các thành phần tần số: f1 =1 Khz; f2 =1.5 Khz; f3 =2.5 Khz; f4 =2.75 Khz Khoảng cách tần số nhỏ cần phân biệt: f = 2.75 – 2.5 = 0.25 Khz fS 10Khz   40 f 0.25Khz N 40  (ms) Thời gian lấy mẫu: T0  N  TS   f S 10000 Chú ý: Số mẫu tối thiểu cần phải lấy: N  Ví dụ 7.6: Cho tín hiệu sau: x(t) = sin2t + sin4t + sin2f3t ; 1Khz  f3 3Khz (t:ms) Tín hiệu lấy mẫu tốc độ fs = 10Khz khoảng thời gian 20 ms Tín hiệu sau phân tích phổ dùng DFT Xác định tầm giá trị f3 để kết cho ba đỉnh tách biệt? Lời giải: Các thành phần tần số: f1 =1 Khz; f2 =2 Khz; f3 Khz Số mẫu liệu thu được: N  f S  T0  10  103  20  103  200 f S 10Khz   0.05Khz N 200 Tầm giá trị f3 : f3  [ f1  f ; f  f ]  [1  0.05;2  0.05]  [1.05Khz;1.95Khz] Khoảng cách tần số nhỏ phân biệt được: f  7.2 CÁC GIẢI THUẬT BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH – FFT Trong lĩnh vực xử lí số tín hiệu, biến đổi Fourier có vai trị quan trọng, tồn thuật tốn tính tốn DFT hiệu Từ Cooley phát thuật tốn tìm nhanh biến đổi DFT, thuật toán ngày phát triển ứng dụng nhiều xử lí số tín hiệu KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ - 121 Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Độ phức tạp tính tốn DFT: Trong phần trước tìm hiểu biến đổi Fourier rời rạc sau: k n  N 1  x(n).WM X (k )   n 0  k   N 1  k n  X (k ).WN x ( n)   N  n 0  n   k  N 1 (7.3) conlai  n  N 1 (7.4) conlai Nhận xét:  Từ (7.3) (7.4) ta thấy: X(k) x(n) khác hệ số tỉ lệ (1/N) dấu WN Như DFT IDFT(Biến đổi DFT ngược) gần giống nhau, thuật tốn FFT sử dụng cho DFT IDFT, nghĩa thuật tốn tính nhanh FFT áp dụng cho IFFT  Từ (7.3) ta thấy x(n) có giá trị thực phức để tìm X(k) yêu cầu thực N phép nhân phức N phép cộng phức với giá trị k Với N giá trị k việc tính DFT- N điểm yêu cầu N2 phép toán nhân phức N2 phép toán cộng phức Do N lớn số lượng phép tốn lớn cần thuật tốn tìm X(k),(x(n) hiệu  Giải thuật thuật tốn tính nhanh FFT việc phân giải DFT-N điểm thành DFT-Ni nhỏ (Ni