Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Chương 2 - ThS. Nguyễn Thị Phương Thảo cung cấp cho học viên các kiến thức về hệ thống và tín hiệu rời rạc thời gian; tín hiệu rời rạc thời gian; hệ thống rời rạc thời gian; hệ thống tuyến tính bất biến; phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
Hệ thống tín hiệu rời rạc thời gian Bài giảng: Xử lý tín hiệu số Chương Tín hiệu hệ thống rời rạc thời gian Tín hiệu rời rạc thời gian Hệ thống rời rạc thời gian Hệ thống tuyến tính bất biến Phương trình sai phân tuyến tính hệ số 2.1 Tín hiệu rời rạc thời gian Định nghĩa a Định nghĩa: Tín hiệu rời rạc hàm biến độc lập có giá trị nguyên Ký hiệu: x(n) với n thuộc Z Chú ý: Tín hiệu x(n) thể tạo cách lấy mẫu tín hiệu x(t) với chu kỳ lấy mẫu ts x(n) có giá trị thực phức Với n không nguyên 𝑥(𝑛) = 0, mà đơn giản ta ko xét đến giá trị x(n) n có giá trị từ -∞ +∞ Định nghĩa (tiếp) b Biểu diễn tín hiệu Biểu diễn đồ thị Biểu diễn dạng hàm: 1, 𝑥 𝑛 = 4, 0, 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,3 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖 Biểu diễn dạng liệt kê: 𝑛 … −2 −1 … 𝑥(𝑛) … 0 0 … Biểu diễn dạng dãy: Gốc thời gian (𝑛 = 0) tín hiệu dãy vô hạn thị ký hiệu ↑ sau: 𝑥 𝑛 = 0,1,4,1,0 2.1.1 Một vài tín hiệu Một số dạng tín hiệu thường xun xuất đóng vai trị quan trọng a Dãy xung đơn vị: ký hiệu 𝛿(𝑛) Dãy xung đơn vị với 𝑛 = với n lại Biểu diễn đồ thị 2.1.1 Một vài tín hiệu b Dãy nhảy đơn vị: ký hiệu 𝑢 𝑛 Dãy nhảy đơn vị với 𝑛 ≥ với n lại Biểu diễn đồ thị 2.1.1 Một vài tín hiệu c Dãy chữ nhật: ký hiệu rect N 𝑛 𝑣ớ𝑖 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − rect N 𝑛 = 𝑣ớ𝑖 𝑛 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖 Dãy chữ nhật với ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − với n lại Biểu diễn đồ thị 2.1.1 Một vài tín hiệu d Dãy dốc đơn vị: ký hiệu 𝑢𝑟 (𝑛) Dãy dốc đơn vị 𝑛 với 𝑛 ≥ với 𝑛 lại Biểu diễn đồ thị 2.1.1 Một vài tín hiệu e Dãy hàm số mũ dãy có dạng 𝑥(𝑛) = 𝑎𝑛 với n (a số thực) 2.1.2 Phân loại tín hiệu rời rạc thời gian Phân tích đặc điểm tín hiệu có ý nghĩa quan trọng việc lựa chọn sử dụng cơng cụ tốn học để xử lý tín hiệu Mục tiêu phần phân loại tín hiệu dựa số đặc điểm định a) Dãy lượng dãy cơng suất - Năng lượng tín hiệu: +∞ 𝐸= 𝑥 𝑛 𝑛=−∞ - Năng lượng tín hiệu hữu hạn vơ hạn - Nếu E hữu hạn (có nghĩa < E < ∞), x(n) gọi dãy lượng 2.4.2 Hệ thống đệ quy hệ thống không đệ quy Hệ thống không đệ quy: hệ thống có đáp ứng phụ thuộc vào tín 𝑀 hiệu vào 𝑦 𝑛 = 𝑏𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑘=0 Đáp ứng xung hệ thống: ℎ 𝑛 = 𝑀 𝑏𝑘 𝛿(𝑛 − 𝑘) 𝑘=0 Với hệ thống khơng đệ quy tính đầu 𝑦(𝑛0 ) với 𝑛0 𝑀 𝑦 𝑛0 = 𝑏𝑘 𝑥(𝑛0 − 𝑘) 𝑘=0 Hệ thống k đệ quy hệ thống FIR Hệ thống k đệ quy ổn định 2.4.2 Hệ thống đệ quy hệ thống không đệ quy Hệ thống đệ quy hệ thống có đáp ứng 𝑦(𝑛) khơng phụ thuộc t/h vào mà cịn giá trị khứ đầu 𝑁 𝑦 𝑛 =− 𝑎𝑟 𝑦(𝑛 − 𝑟) + 𝑟=1 𝑀 𝑏𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑘=0 Hệ thống đệ quy có đáp ứng xung vô hạn: IIR Đáp ứng hệ thống thời điểm 𝑛0 , 𝑦(𝑛0 ) xác định mà phải tính tốn qua giá trị trước 𝑦(𝑛0 ) Ví dụ: a b Cho hệ thống đệ quy sau: 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 3𝑦 𝑛 − Biết hệ thống nhân quả, xác định đáp ứng xung ℎ(𝑛) Cho tín hiệu 𝑥 𝑛 = 𝑟𝑒𝑐𝑡3 (𝑛) qua hệ thống xác định đáp ứng 𝑦 𝑛 tín hiệu 2.4.3 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số Khảo sát hệ thống TTBB mô tả phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: Hệ thống khơng đệ quy: sử dụng tích chập phương pháp thơng thường học (ví dụ trình bày) Hệ thống đệ quy: phương pháp (ví dụ trình bày) phương pháp tổng quát (phần sau), phương pháp gián tiếp (chương 3) 2.4.3 Giải phương trình SP TT HSH Phương pháp tổng quát: Mục đích: xác định đáp ứng 𝑦(𝑛), 𝑛 ≥ hệ thống tương ứng với đầu vào 𝑥(𝑛), 𝑛 ≥ tập điều kiện đầu biết Nghiệm tổng quát 𝑦(𝑛) tổng hai thành phần: 𝑦(𝑛) = 𝑦ℎ (𝑛) + 𝑦𝑝 (𝑛) 𝑦ℎ (𝑛) nghiệm 𝑦𝑝 (𝑛) nghiệm riêng a Tìm nghiệm Tìm nghiệm phương trình 𝑁 𝑎𝑘 𝑦(𝑛 − 𝑘) = 𝑘=0 Giả sử nghiệm có dạng: 𝑦ℎ 𝑛 = 𝜆𝑛 Thế vào phương trình ta có: 𝑁 𝑎𝑘 𝜆𝑛−𝑘 = 𝑘=0 Tương đương 𝜆𝑛−𝑁 𝜆𝑁 + 𝑎1 𝜆𝑁−1 + 𝑎2 𝜆𝑁−2 + ⋯ + 𝑎𝑁−1 𝜆 + 𝑎𝑁 = a Tìm nghiệm (tiếp) Đa thức đặc trưng: 𝝀𝑵 + 𝒂𝟏 𝝀𝑵−𝟏 + 𝒂𝟐 𝝀𝑵−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝑵−𝟏 𝝀 + 𝒂𝑵 có N nghiệm 𝜆1 , 𝜆2 , 𝜆3 , … , 𝜆𝑁 Giả sử nghiệm riêng biệt Nghiệm PT SP TT HSH 𝑦ℎ (𝑛) = 𝐶1 𝜆1𝑛 + 𝐶2 𝜆𝑛2 + ⋯ + 𝐶𝑁 𝜆𝑛𝑁 Giả sử đa thức có nghiệm bội, Nghiệm PT SP TT HSH 𝑦ℎ (𝑛) = 𝐶1 𝜆1𝑛 + 𝐶2 𝑛𝜆1𝑛 + 𝐶3 𝑛2 𝜆1𝑛 + ⋯ + 𝐶𝑚 𝑛𝑚−1 𝜆1𝑛 + 𝐶𝑚+1 𝜆𝑛𝑚+1 + ⋯ + 𝐶𝑁 𝜆𝑛𝑁 Trong 𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶𝑁 trọng số xác định thông qua điều kiện đầu Ví dụ a b c Cho hệ thống mô tả PTSPTTHSH sau: 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑦(𝑛 − 1) Xác định nghiệm hệ thống Xác định nghiệm riêng hệ thống biết tín hiệu vào 𝑥 𝑛 =𝑢 𝑛 Xác định nghiệm tổng quát hệ thống với điều kiện vào 𝑦 −1 = b Nghiệm riêng Thành phần nghiệm riêng 𝑦𝑝 (𝑛) phải thỏa mãn phương trình sai phân với đầu vào cụ thể 𝑥(𝑛) , 𝑛 ≥ 𝑁 𝑀 𝑎𝑟 𝑦𝑝 (𝑛 − 𝑟) = 𝑟=0 𝑘=0 𝑦𝑝 (𝑛) có dạng phụ thuộc vào dạng đầu vào 𝑥 𝑛 𝑏𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑣ớ𝑖 𝑎0 = Ví dụ: 𝑥(𝑛) = 𝑢(𝑛) 𝑦𝑝 (𝑛) = 𝐾𝑢(𝑛) Một số dạng 𝑦𝑝 (𝑛) liệt kê bảng sau đây: BẢNG 2.1 Dạng chung Nghiệm riêng ứng với số dạng tín hiệu vào Nghiệm riêng 𝑦𝑝 (𝑛) Tín hiệu vào 𝑥(𝑛) A (hằng số) K 𝐴𝑀𝑛 𝐾𝑀𝑛 𝐴𝑛𝑀 𝐾0 𝑛𝑀 + 𝐾1 𝑛𝑀−1 + ⋯ + 𝐾𝑀 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔0 𝑛 𝐾1 𝑐𝑜𝑠𝜔0 𝑛 + 𝐾2 𝑠𝑖𝑛𝜔0 𝑛 𝐴𝑠𝑖𝑛𝜔0 𝑛 b Ngiệm riêng (tiếp) Các hệ số K xác định cách 𝑦𝑝 (𝑛) 𝑥 𝑛 vào phương trình SPTTHSH Thế giá trị 𝑛 vào phương trình cho khơng có thành phần bị triệt tiêu để tính 𝐾 2.4.4 Thực hệ thống rời rạc a Hệ thống không đệ quy 𝑀 𝑦 𝑛 = 𝑏𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑘=0 b Hệ thống đệ quy Biểu diễn hệ thống TTBB đệ quy 𝑁 𝑦 𝑛 =− 𝑀 𝑎𝑟 𝑦(𝑛 − 𝑟) + 𝑟=1 𝑏𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑘=0 Ví dụ a b c Cho tín hiệu 𝑥(𝑛) = 0.5𝑛 𝑢(𝑛) qua hệ thống có 𝑦 𝑛 = 2𝑦 𝑛 − + 2𝑥 𝑛 Vẽ sơ đồ hệ thống, Tính đáp ứng xung (biết hệ thống nhân quả) Cho 𝑥(𝑛) qua hệ thống, tính đáp ứng tín hiệu (5 xung đầu tiên) Tổng kết chương Mơ tả biểu diễn tín hiệu miền thời gian Một số tín hiệu Phân loại tín hiệu Dãy lượng, dãy cơng suất Dãy tuần hồn dãy khơng tuần hồn Dãy chẵn dãy lẻ Một số phép tốn: trễ, cộng, nhân tín hiệu… Hệ thống rời rạc thời gian Biểu diễn hệ thống dạng sơ đồ khối Phân loại hệ thống Hệ thống động, hệ thống tính Hệ thống tuyến tính hệ thống phi tuyến Hệ thống bất biến hệ thốngbiến thiên thời gian Hệ thống nhân hệ thống phi nhân Tổng kết chương Hệ thống tuyến tính bất biến thời gian (LTI System) Đặc trưng đáp ứng xung h(n) Tích chập Tính chất tích chập hệ thống LTI Các tính phân phối giao hốn tích chập Đáp ứng xung hệ thống LTI song song nối tiếp Tính nhân ổn định hệ thống LTI Hệ thống LTI mơ tả dạng phương trình sai phân tuyến tính hệ số Hệ thống khơng đệ quy Phương trình mơ tả Tính tốn đáp ứng Biểu diễn hệ thống sơ đồ khối Hệ thống đệ quy Phương trình mơ tả Tính đáp ứng (đáp ưng xung) phương pháp Biểu diễn hệ thống sơ đồ khối ... trung bình tín hiệu: