Giáo trình xử lý tín hiệu số phần 2 trường đh công nghiệp quảng ninh

CHƯƠNG III PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU 3 1 MỞ ĐẦU Phân tích tần số (còn gọi là phân tích phổ) của một tín hiệu là một dạng biểu diễn tín hiệu bằng cách khai triển tín hiệu thành tổ hợp tuyến tính củ[.]

CHƯƠNG III PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU 3.1 MỞ ĐẦU Phân tích tần số (cịn gọi phân tích phổ) tín hiệu dạng biểu diễn tín hiệu cách khai triển tín hiệu thành tổ hợp tuyến tính tín hiệu hình sin hay hàm mũ phức Cách khai triển quan trọng việc phân tích hệ thống LTI, hệ thống này, đáp ứng tổ hợp tuyến tính tín hiệu hình sin tổ hợp tuyến tính tín hiệu hình sin có tần số, khác biên độ pha Cơng cụ để phân tích tần số tín hiệu chuổi Fourier (cho tín hiệu tuần hồn) biến đổi Fourier (cho tín hiệu khơng tuần hồn có lượng hữu hạn) 3.2 TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC Khái niệm tần số tín hiệu tương tự quen thuộc Tuy nhiên, khái niệm tần số tín hiệu rời rạc có số điểm cần lưu ý Đặc biệt, ta cần làm rõ mối quan hệ tần số tín hiệu rời rạc tần số tính hiệu liên tục Vì vậy, mục ta khởi đầu cách ơn lại tần số tín hiệu liên tục tuần hồn theo thời gian Mặt khác, tín hiệu hình sin tín hiệu hàm mũ phức tín hiệu tuần hồn bản, nên ta xét hai loại tín hiệu nầy 3.2.1 Tín hiệu tương tự tuần hoàn theo thời gian Một dao động đơn hài (simple harmonic) mơ tả bỏi tín hiệu tương tự (liên tục) hình sin: xa(t) = Acos(Ωt+θ ) với -∞ < t < ∞ (3.1) Trong đó, A biên độ; Ω tần số góc (rad/s); θ pha ban đầu (rad) Ngoài ra, với ký hiệu: F tần số (cycles/second hay Hertz) Tp chu kỳ (second), ta có:  = 2F = 2/Tp (3.2) Tín hiệu liên tục hình sin có tính chất sau: 1) Với giá trị xác định F hay Tp , xa(t) tín hiệu tuần hồn Thật vậy, từ tính chất hàm lượng giác, ta chứng minh được: xa(t + Tp) = xa(t) F gọi tần số (fundamental frequency) Tp chu kỳ (fundamental period) tín hiệu liên tục F Tp có giá trị khơng giới hạn (từ đến ∞ ) 2) Các tín hiệu liên tục hình sin có tần số khác ln phân biệt với 3) Khi tần số F tăng tốc độ dao động tín hiệu tăng, nghĩa có nhiều chu kỳ khoảng thời gian cho trước Ta biểu diễn tín hiệu hình sin hàm mũ phức: xa(t) = Aej(T+) (3.3) Ta thấy mối quan hệ qua công thức Euler: e j  cos   j sin    j  cos   j sin  e  e j  e  j   j  j cos   (e  e )  sin   (e j  e j )  (3.4) Theo định nghĩa, tần số đại lượng vật lý dương, tần số số chu kỳ đơn vị thời gian Tuy nhiên, nhiều trường hợp, để thuận tiện mặt toán học, khái niệm tần số âm thêm vào Để rõ hơn, pt(3.1) viết lại: Xa(t)=Acos( t   )  A j ( t  ) A ( t  ) e  e 2 (3.5) Ta thấy, tín hiệu hình sin thu cách cộng hai tín hiệu hàm mũ phức liên hợp có biên độ, cịn gọi phasor Hình 3.1 biểu diễn đồ thị mặt phẳng phức, đại lượng phasor quay quanh góc tọa độ theo hai chiều ngược với vận tốc góc ±Ω(rad/s) Vì tần số dương tương ứng với chuyển động quay ngược chiều kim đồng hồ, nên tần số âm tương ứng với chuyển động quay theo chiều kim đồng hồ Để thuận tiện mặt toán học, ta sử dụng khái niệm tần số âm, khoảng biến thiên tần số -∞ < F < ∞ Hình 3.1 Biểu diễn đồ thị Xa(t) 3.2.2 Tín hiệu rời rạc tuần hồn hình sin Một tín hiệu rời rạc hình sin biểu diễn bởi: x(n) = Acos(ωn+θ ) với -∞ < n < ∞ (3.6) So sánh với tín hiệu liên tục, ta thấy t thay biến nguyên n, gọi số mẫu (sample number); tần số góc Ω (rad/second) thay ω(rad/sample); pha biên độ giống tín hiệu liên tục Gọi f tần số tính hiệu rời rạc, ta có: ω = 2πf (3.7) Pt(3.6) trở thành: x(n) = Acos(2πfn+θ ) với -∞ < n < ∞ (3.8) Tần số f có thứ nguyên chu kỳ/mẫu (cycles/sample) Tín hiệu hình sin có tần số ω = π/6 radians/sample (f =1/12 cycles/sample) pha ban đầu ω=π/3 rad biểu diễn đồ thị hình 3.2 Hình 3.2 Tín hiệu rời rạc hình sin x(n) = 2sin   n   Khác với tín hiệu tương tự, tín hiệu rời rạc hình sin có thuộc tính sau: Một tín hiệu rời rạc hình sin tuần hồn tần số f số hữu tỉ Từ định nghĩa, tín hiệu rời rạc x(n) tuần hoàn với chu kỳ N (N > 0) x(n+N) = x(n) với n, giá trị nhỏ N thỏa điều kiện gọi chu kỳ Để tín hiệu hình sin có tần số f0 tuần hồn phải có: cos[2f0(N + n) + ] = cos(2f0 n + ) Quan hệ tồn số nguyên k cho: 2f0N = 2k hay f0 = k/N (3.9) Theo pt(3.9), tín hiệu hình sin rời rạc tuần hồn khi f0 tỉ số hai số nguyên, hay nói cách khác f0 số hữu tỉ Để xác định chu kỳ N tín hiệu hình sin, ta biểu điễn tần số f0 dạng hữu tỉ tối giản, chu kỳ N tín hiệu hình sin với mẫu số Ví dụ: f1 = 31/60 có nghĩa N1 =60; đó, f2 = 30/60 N2 = 2 Các tín hiệu rời rạc hình sin mà tần số góc chúng sai khác bội số nguyên 2π đồng dạng Để chứng minh, ta so sánh tín hiệu hình sin có tần số ω0 với tín hiệu hình sin có tần số (ω0 + 2kπ), ta thấy: cos[(0 +2k) n + )] = cos(0n +2 kn + ) = cos(0n + ) (3.10) Như vậy, tất dãy hình sin : xk(n) = cos (ωkn + ) , đây, ωk = ω0 + 2kπ với < ω0 < 2π k =0, 1, 2,…là đồng Điều hàm ý rằng, tín hiệu hình sin xác định tần số góc khoảng [0 2π], tương ứng tần số f khoảng [0 1] Từ nhận xét trên, ta có kết luận quan trọng: Đối với tín hiệu rời rạc tuần hoàn, ta cần khảo sát khoảng tần số ≤ ω ≤ 2π (hay ≤ f ≤1) Vì với tần số ngồi khoảng này, mẫu chồng lấp (alias) tín hiệu có tần số khoảng ≤ ω ≤ 2π Một dao động biểu diễn tính hiệu hình sin, có tốc độ dao động cao tín hiệu có tần số góc ω = π, tương ứng với f = ½ Để minh họa tính chất này, ta xét dãy x(n) = cosω0n tần số ( biến thiên từ đến π Ta xét giá trị ω0 = 0, π/8, π/4, π/2 π , tương ứng với f = 0, 1/16 , 1/8, 1/4, 1/2 dãy tuần hoàn với chu kỳ N = ∞, 16, 8, 4, (xem đồ thị hình 3.3) Chú ý rằng, tốc độ dao động tăng chu kỳ giảm hay tần số tăng Ta xem xãy π≤ ω0 ≤ 2π, xét tần số ω1 = ω0 ω2 = 2π – ω0 Ta thấy ω1 tăng từ π đến 2π ω2 giảm từ π đến và: x1(n) = Acos1n = Acos0n x2(n) = Acos2n = Acos(2 - 0)n (3.11) = Acos(- 0n) = x1(n) Vậy, dãy có tần số ω2 trùng với dãy có tần số ω1, ta thay hàm cos hàm sin kết giống vậy, ngoại trừ lệch pha 1800 x1(n) x2(n) Trong trường hợp, ta tăng tín hiệu rời rạc hình sin từ πđến 2π, tốc độ dao động giảm, ω0 = 2π ta có tín hiệu giống ω0 = Rõ ràng, ω0 =π tốc độ dao động cao Hình 3.3 Tín hiệu x(n) = cos 0 n với giá trị khác 0 Như tín hiệu tương tự, khái niệm tần số âm đưa vào tín hiệu rời rạc Vì vậy, ta sử dụng công thức Euler: X(n) =Acos( tn   )  A j (n  ) A (n  ) e  e 2 (3.12) Vì tín hiệu tuần hồn rời rạc với tần số sai khác bội số ngun 2π hồn tồn giống Ta thấy rằng, tần số dải rộng 2π (nghĩa 1    1 + 2, với 1 bất kỳ) mơ tả tất tín hiệu rời rạc hình sin hay hàm mũ phức Vì vậy, khảo sát tính hiệu tuần hoàn rời rạc ta cần xét khoảng tần số rộng 2π, thông thường ta chọn dải tần    2 (ứng với ≤ f ≤ 1) là-     (ứng với –1/2  f  1/2), dải tần gọi dải tần (fundamental range) 3.2.3 Mối liên hệ tần số F tín hiệu tương tự xa(t) tần số f tín hiệu rời rạc x(n) lấy mẫu từ xa(t) Để thiểt lập mối quan hệ F f, ta xét tín hiệu tương tự hình sin xa(t)=Acos(2Ft + ) (3.13) Gọi TS chu kỳ lấy mẫu , ta có tín hiệu lấy mẫu x(n)=xa(nTS)=Acos(2FnTS + ) X(n) = Acos(2  F n ) Fs (3.14) Mặt khác tín hiệu hình sin rời rạc biểu diễu theo tần số f là: x(n)=Acos(2fn + ) (3.15) Từ pt(3.14) pt(3.15) ta được: f = F/ FS hay  = TS (3.16) Từ pt(3.16), ta thấy f tần số chuẩn hóa (normalized frequency) theo FS cịn gọi tần số tương đối (relative frequency) Pt(3.16) hàm ý rằng: từ tần số tín hiệu rời rạc f, xác định tần số F tín hiệu liên tục tương ứng tần số lấy mẫu FS biết Chúng ta biết khoảng biến thiên biến tần số F hay  tín hiệu liên tục theo thời gian là: - < F <  hay -  <  <  (3.17) khoảng biến thiên biến tần số f hay ω tín hiệu rời rạc theo thời gian là: - 1/2  f  1/2 hay -     (3.18) Từ pt(3.16), (3.17) (3.18) ta tìm mối quan hệ tần số F tín hiệu hình sin liên tục theo thời gian với tần số lấy mẫu FS : - FS F 1 F S  F 2 2TS 2TS - FS    FS   Hay:  TS  (3.19)  (3.20) TS Các mối quan hệ tổng kết bảng 3.1 Từ mối quan thấy rằng, khác tín hiệu rời rạc tín hiệu liên tục khoảng giá trị biến tần số f F, hay Ώ ω Sự lấy mẫu tuần hồn tín hiệu liên tục theo thời gian tương đương với phép ánh xa từ dải tần vô hạn biến F (hay ω) vào dải tần hữu hạn biến f (hayω) Vì tần số cao tín hiệu rời rạc  =  hay f = 1/2, với tốc độ lấy mẫu FS, giá trị cao tương ứng F  là: Fmax = FS / =1/ 2TS vaì max = / FS = / TS (3.21) Kết luận phù hợp với định lý lấy mẫu phát biểu chương chứng minh chương Bảng 3.1 tổng kết mối quan hệ F f Tín hiệu tương tự Tín hiệu rời rạc   2F   2 f  ( Radians/sample)  ( Radians/sec) F(hertz) f (cycles/sample) -<  <    TS -     -< F <  f = F / FS -1/2  f  1/ -  / TS     / TS    / TS F F F S 2 F=f.F S - Bảng 3.1 Mối quan hệ giũa tần số F tần số f 3.2.4 Các tín hiệu hàm mũ phức có quan hệ hài Tín hiệu hình sin tín hiệu hàm mũ phức (điều hịa phức) đóng vai trị quan trọng việc phân tích tín hiệu hệ thống Trong nhiều trường hợp, ta xử lý với tập hợp tín hiệu hàm mũ phức (hay tín hiệu hình sin) có quan hệ hài Đó tập hàm mũ phức tuần hồn có tần số bội số tần số dương Mặc dù ta khơng đề cập nhiều đến tín hiệu hàm mũ phức, rõ ràng chúng thỏa mãn tất tính chất tín hiệu hình sin Ta xét tín hiệu hàm mũ phức có quan hệ hài hai trường hợp liên tục rời rạc theo thời gian 1/ Tín hiệu hàm mũ liên tục Các tín hiệu hàm mũ phức có quan hệ hài liên tục theo thời gian có dạng là: Chú ý rằng, với giá trị k, sk(t) tín hiệu tuần hồn có chu kỳ 1/(kF0) = Tp/k hay tần số kF0 Vì tín hiệu tuần hồn với chu kỳ Tp/k tuần hồn với chu kỳ k(Tp/k) = Tp , với k số nguyên dương bất kỳ, nên tất tín hiệu sk(t) có chu kỳ chung Tp Hơn nữa, với tín hiệu tuần hồn liên tục, tần số F0 lấy giá trị tất thành viên tập sk(t) phân biệt với nhau, nghĩa là, k1  k2 sk1(t)  sk2(t) Từ tín hiệu pt(3.22), ta xây đựng tổ hợp tuyến tính hàm mũ phức có quan hệ hài dạng: x a (t)=  c k   k s k (t )   c k e ik 0t (3.23) với ck số phức Tín hiệu sa(t) tín hiệu tuần hồn có chu kỳ Tp =1/F0 tổng pt(1.23) gọi chuỗi Fourier xa(t) Các phức ck gọi hệ số chuỗi Fourier tín hiệu s k(t) gọi hài thứ k xa(t) 2/ Tính hiệu hàm mũ rời rạc Vì tín hiệu hàm mũ phức rời rạc tuần hoàn tần số f số hữu tỉ, ta chọn f =1/N định nghĩa tập hàm mũ phức có quan hệ hài sau: S k (n)  e j 2kf o n , với k = 0,  1,2,3, (3.24) Ngược lại với tín hiệu liên tục theo thời gian, ta ý rằng: S k  N (n)  e j 2 ( k  N ) f o N  e j 2n S k (n)  S k (n) Điều có nghĩa có N hàm mũ phức tuần hoàn phân biệt tập hàm mũ phức mô tả pt(3.24) Hơn nữa, tất thành viên tập nầy có chu kỳ chung N samples Rõ ràng, ta chọn N hàm mũ phức liên tiếp (nghĩa từ k = n0 đến k = n0 + N – 1) để thành lập tập quan hệ hài với tần số f = 1/N Thông thường, để thuận tiện, ta chọn tập tương ứng với n0 = 0, ta có: S k (n)  e j 2knfN , với k= 0,  ,  ,  3, …… (3.25) Như trường hợp tín hiệu liên tục, rõ ràng, tổ hợp tuyến tính thành lập sau: N 1 N 1 i 2kn / N x(n) =  c k s k (n)   c k e (3.26) k 0 tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ N Như thấy chương sau, tổng pt(3.26) chuỗi Fourier tín hiệu rời rạc tuần hồn theo thời gian với {ck} hệ số Fourier Dãy sk(n) gọi hài thứ k x(n) 3.3 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU LIÊN TỤC Ánh sáng trắng phận tích thành phổ ánh sáng màu lăng kính Ngược lại, tổng hợp tất thành phần ánh sáng màu với tỉ lệ phân tích ta khơi phục ánh sáng trắng (Hình 3.4) Ta biết rằng, ánh sáng màu (ánh sáng đơn sắc) tương ứng với sóùng điện từ đơn hài Đây minh họa cho phân tích phổ tín hiệu, vai trị lăng kính thay cơng cụ phân tích Fourier Hình 3.4 (a) phân tích (b) tổng hợp ánh sáng mặt trời dùng lăng kính 3.3.1 Phân tích tần số tín hiệu liên tục tuần hồn theo thời gian – chuỗi fourier Ta biết tín hiệu liên tục tuần hồn phân tích thành tổ hợp tuyến tính tín hiệu hình sin hay hàm mũ phức Ở đây, ta nhắc lại cách tóm lược Xét tín hệu tuần hoàn x(t) với chu kỳ làĠ khai triển chuỗi Fourier sau :  X(t) = Xk X Tp k e j 2kFst ( Công thức tổng hợp)  x(t )e  j 2kF p t (3.27) dt ( Cơng thức phân tích ) (3.28) Tp Trong đó, k = 0,  1,2,3 Tổng quát, hệ số Fourier X k có giá trị phức, đặc trưng cho biên độ pha thành phần tần số F = kF p Nếu tín hiệu tuần hồn thực, X k X-k liên hợp phức, ta biểu diễn dạng phasor X k  Xk e j k X k  Xk e  jk Kết chuỗi Fourier (3.27) biểu diễn dạng lượng giác :  x(t)= X 2 X k Cos(2kFp t   k ) k 1  x(t)= a   (a k Cos2kFp t  bk Sin 2kFp t ) hay: (3.29) k 1 Ở : a0 = X0 (có giá trị thực) a k  X k Cos k b k  X k Sin k (3.30) Điều kiện để tồn chuỗi Fourier - Điều kiện đủ để tín hiệu tuần hồn khai triển thành chuỗi Fourier tín hiệu có bình phương khả tích chu kỳ, nghĩa :  x(t ) dt   (3.31) Tp - Một tập điều kiện khác cho tồn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn x(t) gọi điều kiện Dirichlet Đó : (1) x(t) có số hữu hạn điểm bất liên tục chu kỳ (2) x(t) có số hữu hạn cực đại cực tiểu chu kỳ (3) Tích phân |X(t)| chu kỳ hữu hạn, nghĩa :  x(t ) dt   (3.32) YP 3.3.2 Phổ mật độ công suất tín hiệu tuần hồn Quan hệ Parseval: Một tín hiệu hồn có cơng suất trung bình tính : Px Tp  x(t ) (3.33) dt Tp Lấy liên hợp phức phương trình (3.27) thay vào phương trình (3.33) ta : Px  Tp ^  x(t ) x (t )dt  Tp Tp  *  j 2kFt dt   x(t )  X k e k   Tp 1 * X  k T k    p     j 2kFt  x ( t ) e dt  Xk  T  k   p  (3 34) Ta thiết lập quan hệ : Px Tp  x(t ) dt  Tp  X k   k (3.35) Pt(3.35) gọi quan hệ Parseval Để minh họa ý nghĩa vật lý pt(3.35), ta giả sử x(t) bao gồm thành phần tần số Fk = kFp (các hệ số Fourier khác 0): x(t) = X k e j 2kF0t Rõ ràng, x(t) bao gồm nhiều thành phần tần số, cơng suất thành phần thứ k tín hiệu Vì vậy, cơng suất trung bình tổng tín hiệu tuần hồn đơn giản tổng cơng suất trung bình tất thành phần tần số tín hiệu Phổ mật độ công suất – Phổ biên độ – Phổ pha: |Xk|2 dãy rời rạc theo tần số Fk = kFp, k = 0, 1, 2, , gọi phổ mật độ cơng suất tín hiệu tuần hồn x(t) Ta thấy, phổ mật độ cơng suất có dạng rời rạc, khoảng cách mẫu kề nghịch đảo chu kỳ T p Nói chung, hệ số chuỗi Fourier có giá trị phức nên ta thường biểu diễn dạng phasor sau : X k  X k e jk Trong : k =  Xk (3.36) Thay vẽ mật độ phổ cơng suất, ta vẽ phổ biên độ {|Xk|}và phổ pha hàm tần số Rõ ràng phổ mật độ công suất bình phương phổ biên độ Thơng tin pha không xuất phổ mật độ công suất Nếu tín hiệu tuần hồn tín hiệu thực, hệ số chuỗi Fourier thỏa mãn điều kiện X k = X k Kết : Khi , phổ mật độ cơng suất phổ biên độ hàm đối xứng chẵn (đối xứng qua trục tung), phổ pha hàm đối xứng lẻ (đối xứng qua gốc tọa độ) Do tính chất đối xứng, ta cần khảo sát phổ tín hiệu tuần hoàn thực miền tần số dương Ngoài ra, tổng lượng trung bình biểu diễn sau :  P x  X 2 X k = X0 (3.38) k 1  2 (a k2  bk2 ) k 1 (3.39) Ví dụ 3.1 : Xác định chuỗi Fourier phổ mật độ cơng suất chuỗi xung hình chữ nhật (hình 3.5) Hình 3.5 chuỗi xung hình chữ nhật tuần hồn theo thời gian Giải : Tín hiệu tuần hồn có chu kỳ T p, rõ ràng thỏa mãn điều kiện Dirchlet Vì vậy, ta biểu diễn tín hiệu chuỗi Fourier (3.27) với hệ số xác định pt(3.28) Vì tín hiệu x(t) hàm chẳn (nghĩa x(t) = x(-t)) nên để thuận tiện, ta chọn giới hạn tích phân từ đến(Tp /2) theo pt(3.28)  Tp Với k= 0, ta có: X  Tp  x(t )dt   Tp Tp 2 A  P  Adt  T (3.40) Cho k  : Tp Xk  Tp  Ae T p  j 2kF p  j 2kF p  Ae A e  dt  T p  j 2kFp t  F p kTp  = ASinkFP jkF p  e 2j , k =  1,2 kF p (3.41) Vì x(t) hàm chẳn có giá trị thực, nên hệ số Fourier X k có giá trị thực Phổ pha có giá trị thực, có giá trị X k dương π X k âm Thay vẽ phổ biên độ phổ pha tách rời nhau, ta vẽ đồ thị X k (Hình 3.6) Ta thấy Xk mẫu tín hiệu liên tục theo tần số F: X (F )  A  sinF  , với chu kỳ lấy mẫu là: Ts  F p  TP TP F (3.42) Hình 3.6.a vẽ dãy X k (các hệ số Fourier), với chu kỳ không đổi T p = 0,25s hay Fp   Hz giá trị  khác :  = 0,05Tp;  = 0,1Tp =0,2Tp Tp Ta thấy tăng  giữ Tp không đổi cơng suất tín hiệu trải dài trục tần số Hình 3.6.b vẽ dãy Xk với  không đổi thay đổi chu kỳ T p, với Tp = 5;Tp=10 Tp=20 Trong trường hợp khoảng cách hai vạch phổ giảm chu kỳ T p tăng Khi Tp    không đổi) tín hiệu xung chữ nhật (khơng tuần hồn), lúc tín hiệu khơng cịn tín hiệu cơng suất (power signal) mà tín hiệu lượng (energy signal), hệ số Fourier Xk0, công suất trung bình Phổ tín hiệu có lượng hữu hạn khảo sát phần sau Phổ mật độ công suất chuỗi xung chữ nhật : Xk  A   T p   A   T p          sin kFp   kF  p    , k  1,2,3,   (3.43) Hình 3.6 phổ dãy xung chữ nhật, biên độ A = (a) chu kỳ T = 0.25 khơng đổi, (b) thay đổi 3.3.3 Phân tích tần số tín hiệu liên tục khơng tuần hồn – biến đổi fourier Xét tín hiệu khơng tuần hồn có độ dài hữu hạn (finite duration) x(t) minh họa hình 3.7.a Từ tín hiệu khơng tuần hồn này, ta tạo tín hiệu tuần hoàn xp(t) chu kỳ Tp cách lặp lại tín hiệu x(t) với chu kỳ T p (hình 3.7.b) Rõ ràng, Tp   xp(t) = x(t) Hình 3.7.(a)tín hiệu tuần hồn x(t) (b) tín hiệu tuần hoàn xp(t) tạo cách lặp lại x(t) với chu kỳ Tp Cách biểu diễn hàm ý ta thu phổ x(t) từ phổ xp(t) cách cho Tp   Chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn xp(t) : Tp (3.44) dt (3.45) x P (t )   X k e j 2kF  , F p  P Tp với X k  x p (t )e j 2kF p T p Vì x(t) = 0, nên ta thay x p(t) x(t) giới hạn tích phân pt(3.45) từ - ∞ đến +∞, ta có: Xk  TP  x P (t )e  j 2kF p dt (3.46)  Định nghĩa : Biến đổi Fourier tín hiệu liên tục khơng tuần hồn x(t) hàm X(F) biến tần số liên tục F sau :  x( F )   x(t )e  j 2Ft (3.47) dt  So sánh pt(3.46) pt(3.47) ta thấy hệ số chuỗi Fourier X k mẫu X(F) giá trị F = kF p chia cho Tp , ta có: Xk  X (kFp ) hay TP Xk   k  X  T p  TP  (3.48) Thay pt(3.48) vào pt(3.44), ta : x p (t )  Tp  k  j 2kFPt e  P   X  T k   Để có giới hạn pt(3.48) T p =  , trước tiên ta đặt: F  TP sau thay vào pt(3.48) ta : x P (t )    X (kF )e j 2Ft F k   (3.49) Rõ ràng Tp =   xp(t)  x(t), ΔF trở thành vi phân dF kΔF trở thành biến tần số liên tục F, tổng pt(3.49) biến thành tích phân với biến tần số F pt(3.49) trở thành :  x(t )   X ( F )e j 2Ft dt (3.50)  Quan hệ (3.50) gọi biến đổi Fourier ngược Tóm lại, ta có cặp biến đổi Fourier tín hiệu liên tục khơng tuần hồn có độ dài hữu hạn : - Công thức tổng hợp (biến đổi Fourier ngược)  x(t) =  X ( F )e i 2Ft dt (3.51)  - Cơng thức phân tích (biến đổi Fourier thuận)  X(F) =  X (t )e i 2Ft dt (3.52)  Thay F = dF = vào phương trình (3.51) phương trình (3.52) ta cặp cơng thức biến đổi Fourier theo tần số góc X(t) = 2 X(  ) =   X ( )e j t d ( 3.53)  2   X (t )e jt dt ( 3.54)  Điều kiện để biến đổi Fourier tồn tích phân phương trình (3.54) phải hội tụ Tích phân hội tụ :   x(t )  dt   (3.55) Một tín hiệu x(t) thỏa pt (3.55) tín hiệu có lượng hữu hạn (Finite energy) Một tập điều kiện khác biến đổi Fourier tồn gọi điều kiện Dirichlet Bao gồm : (1) Tín hiệu x(t) có số hữu hạn điểm bất liên tục (2) Tín hiệu x(t) có mố hữu hạn cực đại cự tiểu (3) Tín hiệu x(t) khả tích tuyệt đối, nghĩa :   x(t ) dt   (3.56)  3.3.4 Phổ mật độ lượng tín hiệu khơng tuần hồn Xét tín hiệu x(t) có lượng hữu hạn có biến đổi Fourier X(F) Năng lượng :   ^  Ex =  x(t )   X ( F )e  j 2Ft dF  dt hay Ex =         j 2Ft  X ( F )x(t )e dt  dF  * Với x*(t) liên hợp phức x(t) Quan hệ Parseval: Lấy liên hợp phức pt(3.51) thay vào ta có :   ^   j 2Ft x ( t )   X ( F )e dF  dt  Ex =    *  j 2Ft X ( F ) dt  dF Ex =    x(t )e      hay Suy ra: Ex =   X (F ) dF  Kết : Ex =   X (t ) dt  = Ex =   X (F ) dF (3.57)  Pt(3.57) gọi quan hệ Parseval tín hiệu khơng tuần hồn, ngun lý bảo toàn lượng miền thời gian miền tần số Phổ biên độ – Phổ pha: Phổ X(F) tín hiệu nói chung có giá trị phức, thường biểu diễn theo tọa độ cực : X(F) = X ( F ) e j ( F ) với (F) =  X(F) Trong đó, phổ biên độ (F) phổ pha Phổ mật độ lượng: Mặt khác, đại lượng: Sxx(F) = (3.58) biểu diễn phận bố lượng theo tần số, gọi phổ mật độ lượng (energy density spectrum) x(t) Tích phân S xx(F) lấy tồn trục tần số tổng lượng tín hiệu Ta dễ dàng thấy rằng, x(t) tín hiệu thực : (3.59) Và  X(-F) = -  X(F) (3.60) Sxx(-F) = Sxx(F) (3.61) Như phổ mật độ lượng tín hiệu thực có tính đối xứng chẵn Ví dụ 3.2 : Hãy xác định biến đổi Fourier phổ mật độ lượng tín hiệu xung chữ nhật định nghĩa sau :   A x(t )   0  t  t   , minh hoạ hình (3.8a)  Giải : Rõ ràng tín hiệu khơng tuần hồn thỏa mãn điều Dirichlet  X (F )   Ae   j 2F dt  A SinF F (3.63) Áp dụng pt(3.52) : Hình 3.8.a.tín hiệu xung chữ nhật b.biến đổi fourier tín hiệu xung chữ nhật Ta thấy X(F) có giá trị thực, phổ biên độ có dạng hàm S a = sin  Vì phổ  tín hiệu chữ nhật x(t) đường bao phổ rời rạc tín hiệu tuần hồn có cách lặp lại tín hiệu xung chữ hiệu với chu kỳ Tp hình 3.6 Các hệ số X k chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn xp(t) mẫu X(F) tần số F = kFp = đề cập pt(3.48) Từ pt(3.63), ta thấy đồ thị X(F) qua điểm giá trị F = 1, 2, (hình 3.8.b) k với k =  1   F   tập trung hầu hết lượng    Ngoài ra, ta thấy dải tần số   tín hiệu Khi độ rộng xung  giảm, dải tần mở rộng lượng phân bố lên vùng tần số cao ngược lại Phổ mật độ lượng tín hiệu xung chữ nhật :  Sin F  S xx ( F )   A     F  2 (3.64) 3.4 PHẤN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC Như trình bày phần trước, chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hồn bao gồm số vô hạn thành phần tần số, hai thành phần tần số liên tiếp có tần số lệch 1/T p , với Tp chu kỳ tín hiệu Vì dải tần tín hiệu liên tục trải rộng từ -∞ đến +∞ nên chứa đựng vơ số thành phần tần số Ngược lại, dải tần tín hiệu rời rạc giới hạn khoảng [-π, π] [0, 2π] Một tín hiệu rời rạc có chu kỳ N bao gồm thành phần tần số cách radian hay f= cycles Kết chuỗi Fourier biểu diễn tín hiệu rời rạc tuần hoàn bao gồm nhiều N thành phần tần số Đây khác biệt chuỗi Fourier tín hiệu rời rạc tín hiệu liên tục tuần hồn 3.4.1 Chuỗi fourier tín hiệu rời rạc tuần hồn Xét tín hiệu rời rạc tuần hồn x p(n) có chu kỳ N x p(n) biểu diễn tổ hợp tuyến tính hàm mũ phức có quan hệ hài : N 1 x P (n)   X P (k )e j 2kn / N (3.65) k 0 Pt(3.65) gọi chuỗi Fourier tín hiệu rời rạc tuần hồn x p(n) Ta tìm tập hệ số chuỗi Fourier {X p(k)} Ta bắt đầu với hàm mũ phức : , với k = 0, 1, , N-1 Đây hàm tuần hoàn với chu kỳ N trực giao được, cụ thể sau : (3.66) Pt(3.66) chứng minh cách dựa vào cơng thức tính tổng chuỗi hình học, : Bước nhân hai vế pt(3.65) cho tổng từ n = đến n = N-1, ta có : N 1 N 1 N 1 n 0 n 0 k 0 với r số nguyên lấy  x p (n)e  j 2n / N   X p (k )e j 2 ( k  ) n / N Đổi vị trí tổng vế phải : N 1 x n 0 P N 1 N 1 n 0 n 0 (n)e  j 2n / N   X P (k ) e j 2 ( k  ) n / N (3.67) Áp dụng pt(3.66) ta có : Vì vậy, vế phải pt(3.67) rút gọn NX p(r) : X P (r )  N N 1  x ( n )e  j 2n / N , với r = 0,1,2,…,N-1 (3.68) n 0 Các pt(3.65) pt(3.68) cơng thức phân tích tần số tín hiệu rời rạc Ta viết lại : Công thức tổng hợp : N 1 x(n)   X P (k )e j 2kn / N (3.69) k 0 Công thức phân tích : X P (k )  N N 1  x ( n)e  j 2kn / N (3.70) k 0 Nhận xét :  Các hệ số Fourier Xp(k) vượt khoảng k = [0, N-1] tuần hoàn với chu kỳ N Từ pt(3.70) ta dễ dàng chứng minh : Xp(k+N) = Xp(k) (3.71) Kết luận: Phổ tín hiệu x p(n) tuần hoàn với chu kỳ N dãy tuần hoàn với chu kỳ N Vậy N mẫu liên tiếp tín hiệu tuần hồn mơ tả cách đầy đủ tín hiệu miền thời gian, hay N mẫu liên tiếp phổ tín hiệu mơ tả cách đầy đủ miền tần số  Trong thực tế ta thường khảo sát chu kỳ ứng với k = 0, 1, 2, , N1, tương ứng với dải tần  k = 2 < 2 Bởi vì, khảo sát dải tần - < k = 2   tương ứng vớiĠ gặp bất tiện N lẻ Ví dụ 3.3: Hãy xác định phổ tín hiệu : : x(n) = Cos 0 n,khi: (a) 0= , (b) 0 = Giải : (a) Với 0  2 ta có f0 = Vì f0 khơng số hữu tỉ, nên tín hệu x(n) khơng tuần hồn Kết ta khai triển x(n) chuỗi Fourier Tuy nhiên tín hiệu có phổ riêng nó, phổ gồm thành phần tần số  = 0 = 2 (b) Với 0 = , ta có f0 =, x(n) tuần hoàn với chu kỳ N = Từ pt(3.70) ta có : X P (k )  x(n)e  j 2kn / ,  n 0 k = 0, 1, , Tuy nhiên, x(n) biểu diễn sau : n x(n)  cos n 2n j   j   (e e ) Điều có nghĩa : X p(-1) = Xp(5) phù hợp với pt(3.71) Nghĩa X p(k) tuần hoàn với chu kỳ N = Phổ x(n) chu kỳ : Xp(0) = Xp(2) = Xp(3) = Xp(4) = ; Xp(1) = 1/2; Xp(5) = 1/2 minh họa hình 3.9 3.4.2 Phổ mật độ cơng suất tín hiệu rời rạc tuần hồn Quan hệ Parseval: Cơng suất trung bình tín hiệu rời rạc tuần hoàn với chu kỳ N định nghĩa : Px  N N 1  x ( n) (3.72) n 0 Bằng thao tác toán học tương tự thiết lập quan hệ Parseval cho tín hiệu liên tục, tích phân thay tổng, ta quan hệ Parseval cho tín hiệu rời rạc : Px  N N 1  n 0 N 1 x ( n)   X P ( k ) 2 (3.73) k 0 Pt(3.73) quan hệ Parseval tín hiệu rời rạc tuần hồn Ta thấy cơng suất trung bình tín hiệu tổng cơng suất riêng thành phần tần số Phổ mật độ công suất – Phổ biên độ – Phổ pha: Dãy X P (k ) với k = 0, 1, , N-1 biểu diễn phân bố lượng theo tần số gọi phổ mật độ công suất tín hiệu rời rạc tuần hồn Nếu xp(n) tín hiệu thực (nghĩa x P^ (n)  X P (n) ) tương tự tín hiệu liên tục ta có : X P* (k )  X (k ) (3.74) Pt(3.74) tương đương với : phổ biên độ X P (k )  X P (k ) (đối xứng chẵn) : phổ pha -  Xp(-k) =  Xp(k) (đối xứng lẻ) Các tính chất đối xứng phổ biên độ phổ pha liên kết với tính chất tuần hồn cho ta kết luận quan trọng việc mơ tả tín hiệu miền tần số Cụ thể ta kiểm chứng lại tính chất đối xứng sau: X p ( 0)  X p ( N ) X p (0)  X p ( N ) X p (1)  X p ( N  1) X p (1)  X p ( N  1) X p( N N )  X p( ) 2 X p ( (3.75) N )  (Nếu N chẵn)  ( N  1)   ( N  1)   ( N  1)   ( N  1)   X p  Xp  Xp X p            (Nếu N lẻ) Như vậy, với tín hiệu thực, phổ X p(k), với k = 0, 1, 2, , cho N chẳn hay k = 0,1,2, , cho N lẻ, hồn tồn đặc tả tín hiệu miền tần số, với  k   k =   Cũng từ tính chất đối xứng hệ số Fourier tín hiệu thực Chuỗi Fourier (3.69) biểu diễn với dạng khác sau : M  2  x(n)  X P (0)  2 X P (k ) cos kn   k   N  k 1 M 2 2    a    a k Cos kn  bk Sin kn N N  k 1  (3.76) (3.77) Với a0 = Xp(0); ak = 2|Xp(k)|cos(k bk = 2|Xp(k)|sinθk M =N/2 N chẵn, M=(N-1)/2 N lẻ Ví dụ 3.4 Hãy xác định hệ số chuỗi Fourier phổ mật độ cơng suất tín hiệu tuần hồn trình bày hình 3.10 Giải : Áp dụng pt(3.70), ta có : X P (k )  N N 1  x(n)e  j 2kn / N  n 0 N N 1  Ae  j 2 kn N , với k= 0,1,…,N-1 n 0 Áp dụng cơng thức tính tổng hữu hạn chuỗi hình học ta :  AL  N ,k  L L 1  j 2  A L Xp(k) =  (e N )   j 2k N N n 0  A 1 e , k  1,2, N  k N j 2 N  1 e Chú ý : 1 e 1 e  j 2 kL N  j 2 k N = e e e Do : l kL N  j k N  e j e k ( L 1)  j N kL  N j k N e e  j l kL N k N  kL  Sin    N  k Sin    N  AL  N , k  0, N ,2 N   kL   X P (k )    k ( L 1) Sin    j  N  , k  0, N ,2 N N Ae N  k Sin     N  (3.78) Phổ mật độ công suất tín hiệu tuần hồn :  AL   , k  0, N ,2 N   N  2  kL   X p (k )    Sin    A   N  , k  0, N ,2 N  N   k    Sin   N    (3.79) Hình 3.11 vẽ đồ thị X P (k ) với L = 5; N = 10 A = 3.4.3 Phân tích tần số tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn – biến đổi fourier Tương tự tín hiệu liên tục khơng tuần hồn, phân tích tần số tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn có lượng hữu hạn biến đổi Fourier 3.4.3.1 Định nghĩa biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc Trong chương ta đề cập đến biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc, trường hợp đặc biệt biến đổi Z, biến đổi Z lấy đường trịn đơn vị, nghĩa Z = ejω Ta có biến đổi Fourier dãy x(n) : j X (e )    x ( n )e n    j n (3.80) Nhật xét : Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc biến đổi Fourier tín hiệu liên tục có khác bản:  Dải tần số biến đổi Fourier tín hiệu liên tục (hay phổ nó) trải rộng từ -∞ đến +∞, dải tần biến đổi Fourier rời rạc [-π, π](hay [0,2 π]), vượt dải tần X(ω) tuần hoàn với chu kỳ π  ... f2 = 30/60 N2 = 2 Các tín hiệu rời rạc hình sin mà tần số góc chúng sai khác bội số nguyên 2? ? đồng dạng Để chứng minh, ta so sánh tín hiệu hình sin có tần số ω0 với tín hiệu hình sin có tần số. .. hình sin x(n) = 2sin   n   Khác với tín hiệu tương tự, tín hiệu rời rạc hình sin có thuộc tính sau: Một tín hiệu rời rạc hình sin tuần hồn tần số f số hữu tỉ Từ định nghĩa, tín hiệu rời rạc... phân tích tín hiệu hệ thống Trong nhiều trường hợp, ta xử lý với tập hợp tín hiệu hàm mũ phức (hay tín hiệu hình sin) có quan hệ hài Đó tập hàm mũ phức tuần hồn có tần số bội số tần số dương Mặc