Phần 1 của giáo trình Xử lý tín hiệu số cung cấp cho học viên những nội dung về: tín hiệu rời rạc và hệ thống rời rạc; hệ thống bất biến theo thời gian; phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng; biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z;... Mời các bạn cùng tham khảo!
BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH GIÁO TRÌNH XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ DÙNG CHO BẬC ĐẠI HỌC (LƯU HÀNH NỘI BỘ) QUẢNG NINH - 2018 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I TÍN HIỆU RỜI RẠC VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 1.1 MỞ ĐẦU 1.2 TÍN HIỆU RỜI RẠC 1.2.2 Phân loại tín hiệu: 1.2.3 Tín hiệu rời rạc - dãy 1.3 HỆ THỐNG RỜI RẠC 10 1.3.1 Khái niệm 10 1.4 HỆ THỐNG BẤT BIẾN THEO THỜI GIAN (LTI: Linear Time-Invariant System) 14 1.4.1 Khái niệm 14 1.4.2 Tổng chập (CONVOLUTION SUM) 14 1.4.3 Các hệ thống LTI đặc biệt 18 1.5.PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG 20 1.5.1 Khái niệm 20 1.5.2 Nghiệm LCCDE 21 1.5.3 Hệ thống rời rạc đệ qui không đệ quy 24 1.6 TƯƠNG QUAN CỦA CÁC TÍN HIỆU RỜI RẠC 27 1.6.1 Tương quan chéo 27 1.6.2 Tự tương quan 28 1.6.3 Một số tính chất tương quan chéo tự tương quan: 29 1.7 XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU TƯƠNG TỰ 29 1.7.1 Các hệ thống xử lý tín hiệu: 29 1.7.2 Hệ thống xử lý số tín hiệu tương tự: 29 BÀI TẬP CHƯƠNG 35 CHƯƠNG II 38 BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 38 2.1 MỞ ĐẦU: 38 2.2 CÁC KHÁI NIỆM VỀ BIẾN ĐỔI Z 38 2.2.1 Biến đổi Z ( THE Z - TRANSFORM) 38 2.2.2 Miền hội tụ (ROC: Region of Convergence) 39 2.2.3 Biến đổi Z ngược 44 2.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Z 46 2.4.1 Phương pháp tra bảng: 53 2.4.2 Phương pháp triển khai thành phân thức tối giản 53 2.4.3 Phương pháp triển khai thành chuỗi luỹ thừa 57 2.5 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG DÙNG BIẾN ĐỔI Z MỘT PHÍA 59 2.5.1 Biến đổi Z phía 59 2.5.2 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: 61 2.6 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LTI TRONG MIỀN Z 61 2.6.1 Hàm truyền đạt hệ thống LTI 61 2.6.2 Đáp ứng hệ thống cực-zero nghỉ 65 2.6.3 Đáp ứng hệ thống cực-zero với điều kiện đầu khác 66 2.6.4 Đáp ứng độ (TRANSIENT RESPONSE) đáp ứng xác lập (STEADY - STATE RESPONSE) 68 2.6.5 Hệ thống ổn định nhân 69 2.7 THỰC HIỆN CÁC HỆ THỐNG RỜI RẠC 70 2.7.1 Mở đầu: 70 2.7.2 Hệ thống IIR (đệ quy) 71 2.7.3 Hệ thống FIR (không đệ quy) 73 BÀI TẬP CHƯƠNG 74 CHƯƠNG III 79 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU 79 3.1 MỞ ĐẦU 79 3.2 TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC 79 3.2.1 Tín hiệu tương tự tuần hồn theo thời gian 79 3.2.2 Tín hiệu rời rạc tuần hồn hình sin 80 3.2.3 Mối liên hệ tần số F tín hiệu tương tự xa(t) tần số f tín hiệu rời rạc x(n) lấy mẫu từ xa(t) 82 3.2.4 Các tín hiệu hàm mũ phức có quan hệ hài 83 3.3 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU LIÊN TỤC 85 3.3.1 Phân tích tần số tín hiệu liên tục tuần hồn theo thời gian – chuỗi fourier 85 3.3.2 Phổ mật độ cơng suất tín hiệu tuần hồn 86 3.3.3 Phân tích tần số tín hiệu liên tục khơng tuần hồn – biến đổi fourier 89 3.3.4 Phổ mật độ lượng tín hiệu khơng tuần hồn 92 3.4 PHẤN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC 94 3.4.1 Chuỗi fourier tín hiệu rời rạc tuần hoàn 94 3.4.2 Phổ mật độ cơng suất tín hiệu rời rạc tuần hồn 96 Phổ mật độ công suất – Phổ biên độ – Phổ pha: 96 3.4.3 Phân tích tần số tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn – biến đổi fourier 98 3.4.4 Phổ mật độ lượng tín hiệu khơng tuần hồn 100 3.4.5 Các tính chất biến đổi fourier tín hiệu rời rạc theo thời gian 104 3.5 LẤY MẪU TÍN HIỆU TRONG MIỀN THỜI GIAN VÀ MIỀN TẦN SỐ 110 3.5.1 Lấy mẫu miền thời gian khơi phục tín hiệu tương tự.110 3.5.2 Lấy mẫu miền tần số khôi phục tín hiệu rời rạc theo thời gian 115 3.6 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT DISCRETE FOURIER TRANFORM) 119 3.6.1 Khái niệm 119 3.6.2 Quan hệ DFT biến đổi khác 126 BÀI TẬP CHƯƠNG 134 CHƯƠNG IV 137 BIỂU DIỄN, PHÂN TÍCH HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ 137 4.1 CÁC ĐẶC TÍNH CỦA HỆ THỐNG LTI TRONG MIỀN TẦN SỐ137 4.1.1 Đáp ứng tần số hệ thống LTI 137 4.1.2 Đáp ứng độ đáp ứng xác lập với tín hiệu hình sin 145 4.1.3 Đáp ứng xác lập với tín hiệu vào tuần hồn 146 4.2 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LTI TRONG MIỀN TẦN SỐ 146 4.2.1 Quan hệ vào-ra miền tần số 146 4.2.2 Tính hàm đáp ứng tần số 148 4.3 HỆ THỐNG LTI VÀ MẠCH LỌC SỐ 152 4.3.1 Lọc chọn tần lý tưởng 152 4.3.2 Tính khơng khả thi lọc lý tưởng 155 4.3.3 Mạch lọc thực tế 156 BÀI TẬP CHƯƠNG 158 TÀI LIỆU THAM KHẢO 160 PHỤ LỤC 161 MỘT SỐ CHƯƠNG TRÌNH MẪU DÙNG NGƠN NGỮ MATLAB TRONG XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 161 LỜI NÓI ĐẦU Xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing - DSP) hay tổng quát hơn, xử lý tín hiệu rời rạc theo thời gian (Discrete-Time Signal Processing - DSP) môn sở thiếu cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: điện, điện tử, tự động hóa, điều khiển, viễn thơng, tin học, vật lý, Tín hiệu liên tục theo thời gian (tín hiệu tương tự) xử lý cách hiệu theo qui trình: biến đổi tín hiệu tương tự thành tín hiệu số (biến đổi A/D), xử lý tín hiệu số (lọc, biến đổi, tách lấy thông tin, nén, lưu trữ, truyền, ) sau đó, cần, phục hồi lại thành tín hiệu tương tự (biến đổi D/A) để phục vụ cho mục đích cụ thể Các hệ thống xử lý tín hiệu số, hệ thống rời rạc, phần cứng hay phần mềm hay kết hợp hai Xứ lý tín hiệu số có nội dung rộng dựa sở toán học tương đối phức tạp Nó có nhiều ứng dụng đa dạng, nhiều lĩnh vực khác Nhưng ứng dụng lĩnh vực lại mang tính chun sâu Có thể nói, xử lý tín hiệu số ngày trở thành ngành khoa học mơn học Vì vậy, chương trình giảng dạy bậc đại học bao gồm phần nhất, cho làm tảng cho nghiên cứu ứng dụng sau Vấn đề phải chọn lựa nội dung cấu trúc chương trình cho thích hợp Nhằm mục đích xây dựng giáo trình học tập cho sinh viên chuyên ngành Điện tử Viễn thông khoa Công nghệ thông tin môn học Xử lý tín hiệu số I, II, làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Công nghệ thơng tin mơn học Xử lý tín hiệu số, giáo trình biên soạn với nội dung chi tiết có nhiều ví dụ minh họa Nội dung chủ yếu giáo trình Xử lý tín hiệu số I bao gồm kiến thức xử lý tín hiệu, phương pháp biến đối Z, Fourier, DFT, FFT xử lý tín hiệu, phân tích tín hiệu hệ thống miền tương ứng Nội dung chủ yếu giáo trình Xử lý tín hiệu số II bao gồm kiến thức phân tích tổng hợp lọc số, kiến thức nâng cao lọc đa vận tốc, xử lý thích nghi, xử lý thời gian – tần số wavelet, xử lý tín hiệu số số ứng dụng xử lý số tín hiệu Do hạn chế thời gian phức tạp mặt toán học môn học, kiến thức lý thuyết giáo trình chủ yếu sưu tầm, chọn lọc từ tài liệu tham khảo, có bổ sung cho phù hợp với yêu cầu đào tạo, đặc biệt phần phụ lục chương trình ví dụ xử lý số tín hiệu MATLAB, chương trình xử lý tín hiệu số DSP TMS320 tác giả xây dựng chi tiết đầy đủ Những thiếu sót cần phải điều chỉnh bổ sung sửa chữa lần tái sau Xin đón nhận đóng góp ý kiến q thầy em sinh viên Xin chân thành cảm ơn thầy cô bạn giúp đỡ chúng tơi hồn thành giáo trình CHƯƠNG I CHƯƠNG I TÍN HIỆU RỜI RẠC VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 1.1 MỞ ĐẦU Sự phát triển cơng nghệ vi điện tử máy tính với phát triển thuật tốn tính tốn nhanh làm phát triển mạnh mẽ ứng dụng XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ (Digital Signal Proccessing) Hiện nay, xử lý tín hiệu số trở thành ứng dụng cho kỹ thuật mạch tích hợp đại với chip lập trình tốc độ cao Xử lý tín hiệu số ứng dụng nhiều lĩnh vực khác như: - Xử lý tín hiệu âm thanh, tiếng nói: nhận dạng tiếng nói, người nói; tổng hợp tiếng nói / biến văn thành tiếng nói; kỹ thuật âm số ;… - Xử lý ảnh: thu nhận khôi phục ảnh; làm đường biên; lọc nhiễu; nhận dạng; thị giác máy; hoạt hình; kỹ xảo hình ảnh; đồ;… - Viễn thơng: xử lý tín hiệu thoại tín hiệu hình ảnh, video; truyền liệu; khử xun kênh; điều chế, mã hóa tín hiệu; … - Thiết bị đo lường điều khiển: phân tích phổ; đo lường địa chấn; điều khiển vị trí tốc độ; điều khiển tự động;… - Quân sự: truyền thơng bảo mật; xử lý tín hiệu rada, sonar; dẫn đường tên lửa;… - Y học: não đồ; điện tim; chụp X quang; chụp CT(Computed Tomography Scans); nội soi;… Có thể nói, xử lý tín hiệu số tảng cho lĩnh vực chưa có biểu bão hịa phát triển Việc xử lý tín hiệu rời rạc thực hệ thống rời rạc Trong chương này, nghiên cứu vấn đề biểu diễn, phân tích, nhận dạng, thiết kế thực hệ thống rời rạc 1.2 TÍN HIỆU RỜI RẠC 1.2.1 Định nghĩa tín hiệu: Tín hiệu đại lượng vật lý chứa thơng tin (information) Về mặt tốn học, tín hiệu biểu diễn hàm hay nhiều biến độc lập Tín hiệu dạng vật chất có đại lượng vật lý biến đổi theo qui luật tin tức Về phương diện toán học, tín hiệu biểu diễn hàm số hay nhiều biến độc lập Chẳng hạn, tín hiệu tiếng nói biểu thị hàm số thời gian cịn tín hiệu hình ảnh lại biểu diễn hàm số độ sáng hai biến số khơng gian Mỗi loại tín hiệu khác có tham số đặc trưng riêng, nhiên tất loại tín hiệu có tham số độ lớn (giá trị), lượng cơng suất, tham số nói lên chất vật chất tín hiệu Tín hiệu biểu diễn dạng hàm biên thời gian x(t), hàm biến tần số X(f) hay X( ) Trong giáo trình này, qui ước (khơng mà làm tính tổng qt) tín hiệu hàm biến độc lập biến thời gian Giá trị hàm tương ứng với giá trị biến gọi biên độ (amplitude) tín hiệu Ta thấy rằng, thuật ngữ biên độ giá trị cực đại mà tín hiệu đạt 1.2.2 Phân loại tín hiệu: Tín hiệu phân loại dựa vào nhiều sở khác tương ứng có cách phân loại khác Ở đây, ta dựa vào liên tục hay rời rạc thời gian biên độ để phân loại Có loại tín hiệu sau: - Tín hiệu tương tự (Analog signal): thời gian liên tục biên độ liên tục - Tín hiệu rời rạc (Discrete signal): thời gian rời rạc biên độ liên tục Ta thu tín hiệu rời rạc cách lấy mẫu tín hiệu liên tục Vì tín hiệu rời rạc cịn gọi tín hiệu lấy mẫu (sampled signal) - Tín hiệu lượng tử hóa (Quantified signal): thời gian liên tục biên độ rời rạc Đây tín hiệu tương tự có biên độ rời rạc hóa - Tín hiệu số (Digital signal): thời gian rời rạc biên độ rời rạc Đây tín hiệu rời rạc có biên độ lượng tử hóa Các loại tín hiệu minh họa hình 1.1 Hình 1.1 Minh hoạ loại tín hiệu 1.2.3 Tín hiệu rời rạc - dãy 1.2.3.1 Cách biểu diễn: Một tín hiệu rời rạc biểu diễn dãy giá trị (thực phức) Phần tử thứ n dãy (n số nguyên) ký hiệu x(n) dãy ký hiệu sau: x = {x(n)} với - ∞ < n < ∞ (1.1.a) x(n) gọi mẫu thứ n tín hiệu x Ta biểu diển theo kiểu liệt kê Ví dụ: x = { , 0, 2, -1, 3, 25, -18, 1, 5, -7, 0, } (1.1.b) Trong đó, phần tử mũi tên phần tử rương ứng với n = 0, phần tử tương ứng với n > xếp phía phải ngược lại Nếu x = x(t) tín hiệu liên tục theo thời gian t tín hiệu lấy mẫu cách khoảng thời gian Ts, biên độ mẫu thứ n x(nTs) Ta thấy, x(n) cách viết đơn giản hóa x(nTs), ngầm hiểu ta chuẩn hoá trục thời gian theo TS Ts gọi chu kỳ lấy mẫu (Sampling period) Fs = 1/Ts gọi tần số lấy mẫu (Sampling frequency) Ví dụ: Một tín hiệu tương tự x(t) = cos(t) lấy mẫu với chu kỳ lấy mẫu Ts = (/8 Tín hiệu rời rạc tương ứng x(nTs) = cos(nTs) biểu diễn đồ thị hình 1.2.a Nếu ta chuẩn hóa trục thịi gian theo Ts tín hiệu rời rạc x = {x(n)} biểu diễn đồ thị hình 1.2.b Ghi chú: Từ sau, trục thời gian chuẩn hóa theo Ts, cần trở thời gian thực, ta thay biến n nTs Tín hiệu rời rạc có giá trị xác định thời điểm nguyên n chúng có giá trị Để đơn giản, sau này, thay ký hiệu đầy đủ, ta cần viết x(n) hiểu dãy x = {x(n)} Hình 1.2 Tín hiệu rời rạc 1.2.3.2 Các tín hiệu rời rạc 1/ Tín hiệu xung đơn vị (Unit inpulse sequence): Đây dãy nhất, ký hiệu làĠ, định nghĩa sau: 1, n 0, n ( n) (1.2) (n) ,0, ,0,1,0 ,0, (1.3) Dãy (n) biểu diễn đồ thị hình 1.3 (a) 2/ Tín hiệu ( Constant sequence): tín hiệu có giá trị với tất giá trị chủa n Ta có: x(n)=A, với n (1.4) (1.5) x(n) , A, A., A, A , A Dãy biểu diễn đồ thị hình 1.3.(b) 3/ Tín hiêu nhẫy bậc đơn vị (Unit step sequence) Dãy thường ký hiệu u(n) định nghĩa sau: 1, n u ( n) (1.5) 0, n Dãy u(n) biểu diễn đồ thị hình 1.3 (c) Mối quan hệ tín hiệu nhãy bậc đơn vị với tín hiệu xung đơn vị: u ( n) n (k ) (n) u(n) u(n 1) k với u(n-1) tín hiệu u(n) dịch phải mẫu (1.6) Hình 1.3 Các dãy a) Dãy xung đơn vị b) Dãy c) Dãy nhảy bậc đơn vị d) Dãy hàm mũ e) Dãy tuần hồn có chu kỳ N=8 f) Dãy hình sin có chu kỳ N=5 4/ Tín hiệu hàm mũ (Exponential sequence) x(n) = A n (1.7) Nếu A α số thực dãy thực Với dãy thực, < α < A>0 dãy có giá trị dương giảm n tăng, hình 1.3(d) Nếu –1< α < giá trị dãy lần lược đổi dấu có độ lớn giảm n tăng Nếu độ lớn dãy tăng n tăng 5/ Tín hiệu tuần hồn (Periodic sequence) Một tín hiệu x(n) gọi tuần hoàn với chu kỳ N khi: x(n+N) = x(n), với n Một tín hiệu tuần hồn có chu kỳ N=8 biểu diễn đồ thị hình 1.3(e) Dĩ nhiên, tín hiệu hình sin hiệu tuần hoàn 2 (n 3) tín hiệu tuần hồn có chu kỳ N=5, xem Ví dụ: x(n) sin hình1.3(f) 1.2.3.3 Các phép tốn dãy Cho dãy x1 = {x1(n)} x2 = {x2(n)} phép toán hai dãy định nghĩa sau: 1/ Phép nhân dãy: y = x1 x2 = {x1(n).x2(n)} (1.8) 2/ Phép nhân dãy với hệ số: y = a.x1 = {a.x1(n)} (1.9) 3/ Phép cộng dãy: y = x1 + x2 = {x1(n) + x2(n)} (1.10) 4/ Phép dịch dãy (Shifting sequence): thống mắc liên tiếp mắc song song Ở đây, ta mô tả hệ thống tương đương hàm truyền đạt Cho hai hệ thống có đáp ứng xung h1(n) h2(n), hàm truyền đạt tương ứng H1(z) H2(z) với miền hội tụ xác định - Mắc liên tiếp (Cascade): hệ thống tương đương: Mắc song song (parallel) Hệ thống tương đương: Từ kết nối ta cấu trúc hệ thống phức tạp Ngược lại ta phân chia hệ thống lớn, phức tạp thành nhiều hệ thống nhỏ kết nối để tiện thiết kế Ví dụ 2.24: Hãy xác định hàm truyền đạt hệ thống tương đương hệ thống kết nối hệ thống sau: Hàm truyền đạt hệ thống tương đương là:H(z) = H4(z)+H1(z)[H2(z)+H3(z)] 2.6.2 Đáp ứng hệ thống cực-zero nghỉ Xét hệ thống cực- zero mơ tả LCCDE hàm truyền đạt là: H ( z) B( z ) A( z ) (2.73) Giả sử tín hiệu vào x(n) có biến đổi Z X(z) có dạng hữu tỉ: X ( z) N ( z) Q( z ) (2.74) (Hầu hết tín hiệu thực tế mà ta quan tâm thường có dạng hữu tỉ) Nếu hệ thống ta xét hệ thống nghỉ, điều kiện đầu phương trình sai phân 0, nghĩa là, y(-1) = y(-2) = =y(-N) = Biến đổi Z tín hiệu là: Y ( z) H ( z) X ( z) B( z ).N ( z ) A( z ).Q( z ) (2.75) Để tránh trường hợp cực kép, ta giả sử H(z) có cực đơn p1,p2, ,pN tín hiệu vào có cực đơn q1,q2, ,qL , cho thoả điều kiện pk ( qm với tất k = 1,2, ,N m=1,2, ,L Để tránh khử cực, ta giả sử zero B(z) N(z) không trùng với cực {pk} {qm} Như vậy, cực zero khơng khử Khi Y(z) khai triển thành phân thức hữu tỉ đơn giản: L AK QK Y ( z) 1 1 K 1 p K z K 1 q K z N (2.76) Thực biến đổi Z ngược, ta tín hiệu có dạng (chú ý điều kiện nghỉ): N L y (n) AK p K u (n) Q K (q K ) n u (n) K 1 n (2.77) K 1 Ta thấy y(n) chia làm phần: - Phần thứ hàm cực pK hệ thống gọi đáp ứng tự nhiên (natural response) hệ thống Sự ảnh hưởng tín hiệu vào lên phần thông qua thừa số {Ak} - Phần thứ hai hàm cực {qK} tín hiệu vào, gọi đáp ứng ép (forced response) hệ thống Ảnh hưởng hệ thống lên phần đáp ứng thông qua thừa số {Qk} Chú ý: - Các thừa số {Ak} {Qk} hàm hai tập cực {pk} {qk} (xem lại cách tính thừa số này) - Đáp ứng tự nhiên hệ thống khác với đáp ứng hệ thống kích thích Thật vậy, tín hiệu vào x(n) = X(z) = 0, suy Y(z) = kết đáp ứng hệ thống y(n) = - Đáp ứng tự nhiên hệ thống phụ thuộc vào kích thích Điều thể chỗ thừa số {Ak} hàm hai tập cực {pK} {qK} Khi X(z) H(z) có chung nhiều cực, hay X(z) và/hoặc H(z) có cực kép, Y(z) có cực kép Kết khai triển phân thức hữu tỉ Y(z) chứa thừa số có dạng, với k=1,2, ,s Ở s bậc cực kép pi Biến đổi Z ngược số hạng có chứa thừa số chứa thừa số có dạng n k 1 n pi 2.6.3 Đáp ứng hệ thống cực-zero với điều kiện đầu khác Giả sử tín hiệu x(n) đưa vào hệ thống cực-zero thời điểm n=0 Như vậy, tín hiệu x(n) giả sử nhân Ảnh hưởng tín hiệu vào trước lên hệ thống phản ánh qua điều kiện đầu y(-1),y(-2),y(-3), , y(-N) Vì tín hiệu vào nhân ta quan sát tín hiệu y(n) thời điểm n ≥ 0, nên phải dùng biến đổi Z phía Tín hiệu có dạng (ta ln ln đưa LCCDE dạng này): N M K 1 K 0 y ( n) a K y ( n K ) b K x ( n K ) biến đổi Z phía là: N K M Y ( z ) a K z K Y ( z ) y (n) z n bK z K X ( z ) K 1 n 1 K 0 M Y ( z) b K 0 N a K 0 K K z N a 1 X ( z ) K 0 z 1 K z 1 K y ( n) z n n 1 N aK z K K 0 (Vì x(n) nhân nên X+(z) = X(z) Y ( z ) H ( z ) X ( z ) N Với: N ( z) a K z K 1 N ( z) A( z ) 1 K y ( n) z (2.78) n n 1 Từ pt(2.78) ta thấy đáp ứng hệ thống với điều kiện đầu khác chia làm phần: - Phần thứ là: Yzs(z) = H(z)X(z) gọi đáp ứng trạng thái zero (zero - state response) hệ thống Đây đáp ứng hệ thống thỏa điều kiện nghỉ - Phần thứ hai là:Ġ gọi đáp ứng tín hiệu vào zero (zero - input response) hệ thống Đáp ứng tổng xác định biến đổi Z ngược yzs(n) Yzs(z) yzi(n) Yzi(z), là: y(n) = yzs(n) + yzi(n) Vì mẫu số zero có dạng: Y zi , A( z ), có cực p1,p2,…,pN Kết quả, đáp ứng tín hiệu vào N y zi (n) D K ( p K ) n u (n) (2.79) K 1 Kết thêm vào pt( 2.77) số hạng có chứa cực {pK} liên kết để đáp ứng tổng có dạng: N L y ( n) A ( p K ) u ( n) Q K ( q K ) n u ( n) , K K 1 n (2.80) K 1 Ở đây,Ak = Ak+Dk Từ trình bày trên, ta thấy ảnh hưởng điều kiện đầu làm thay đổi đáp ứng tự nhiên hệ thống thông qua việc làm thay đổi thừa số {AK}, khơng có cực đưa vào với điều kiện đầu khác 0, khơng có ảnh hưởng đến đáp ứng ép hệ thống Ví du 2.25: Xác định đáp ứng với hàm nhảy bậc đơn vị hệ thống mơ tả phương trình LCCDE sau: y(n)=0,9y(n-1) - 0,81y(n-2) + x(n) với điều kiện đầu sau: (a) y(-1) = y(-2) = (b) y(-1) = y(-2) = Giải: Hàm hệ thống H ( z ) p j Hàm hệ thống : H ( z ) : P1= 0,9e jx 1 0.9 z 1 0.8 z , hệ thống có hai cực phức p1 0.9e 1 0,9 z 1 jx Biến đổi z hàm nhảy bậc đơm vị u(n) là: Vậy: Y ( z ) Hệ thống có hai cực có hai cực phức 0,8 z P = 0,9e j X ( z) 1 z 1 jx je 1 0,9e 1 0,9e z 1 z 1 ( đáp ứng trạng thái zero: y z (n) 1,099 1,089(0,9) n cos( n 5,2 0 )u (n) (a) Vì điều kiện đầu nên y(n) = yzs(n) (b) Với điều iện đầu y(-1) = y(-2) = 1, thành phần thêm vào biến đổi z là: Yzi ( z ) N ( z) 0,09 0,81z 1 A( z ) 0,9 z 1 0,81z 5 = 0,26 j 0,4936 jz 0,9e z 1 0,026 j 0,4936 0,9e jz z 1 Kết quả, đáp ứng tín hiệu vào là: Trong trường hợp này, đáp ứng tổng có biến đổi z là: Y(z) = Yzs(z) + Yzi(z) Lấy biến đổi z ngược ta có đáp ứng tổng: y (n) 1,099u (n) 1,44(0,9) n cos( n 38 )u (n) 2.6.4 Đáp ứng độ (TRANSIENT RESPONSE) đáp ứng xác lập (STEADY STATE RESPONSE) Như ta trình bày phần trước, đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào xác định tách làm phần, đáp ứng tự nhiên đáp ứng ép Đáp ứng tự nhiên hệ thống nhân có dạng: N y nr (n) A K ( p K ) n u (n) K 1 (2.81) Trong đó, p K , k 1,2, , N cực hệ thống AK thừa số tùy thuộc vào tính chất kích thích điều kiện đầu Nếu pk < với k, ynr(n) hội tụ đến Khi n Trong trường hợp này, ta gọi đáp ứng tự nhiên đáp ứng độ (transient respone) Tốc độ giảm phụ thuộc vào độ lớn cực Nếu tất cực nhỏ, tốc độ suy giảm nhanh Ngược lại, có nhiều cực gần vịng trịn đơn vị, đáp ứng độ trì thời gian dài Đáp ứng ép hệ thống có dạng: L y n (n) Q1 (q1 ) n u (n) l 1 (2.82) Ở đây, q K , k 1,2, , L cực biến đổi z tín hiệu vào Qk thừa số phụ thuộc đặc tính hệ thống tín hiệu vào Nếu tất cực tín hiệu nằm vịng trịn đơn vị, yfr(n) giảm n ,như trường hợp đáp ứng tự nhiên Ta khơng nên ngạc nhiên tín hiệu vào tín hiệu độ Ngược lại, tín hiệu vào tín hiệu nhân hình sin, cực nằm vịng tròn đơn vị, kết đáp ứng ép tín hiệu điều hịa (sin) n≥0 Trong trường hợp đáp ứng ép gọi đáp ứng xác lập (steady-state respone) hệ thống Vì vậy, để trì đáp ứng xác lập với n≥0, tín hiệu vào phải trì suốt thời gian Ví dụ 2.26: Xác định đáp ứng độ đáp ứng xác lập hệ thống mô tả LCCDE: y(n)=0,5y(n-1)+x(n) x(n) 10 cos( Khi tín hiệu vào n )u (n) Hệ thống thỏa điều kiện nghỉ Giải: H ( z) Hàm truyền đạt: 1 0,5 z 1 Suy hệ thống có cực z=0,5 Biến đổi z kích thích có dạng: Vì Y(z) = H(z)X(z) , suy ra: 1 )z 10(1 Y ( z) j j 1 1 0,5 z 1 e z 1 e z 1 6,3 6,78e j 28, 6,78e j 28,7 j j = 0,5 z 1 1 e z e z 1 Đáp ứng tự nhiên hay đáp ứng độ là: ynr(n)=6,3(0,5)nu(n) Đáp ứng ép hay đáp ứng xác lập là: ta thấy đáp ứng xác lập tồn suốt thời gian n ≥0 tín hiệu vào tồn 2.6.5 Hệ thống ổn định nhân Khi thành lập pt(2.69) từ pt(2.67) giả sử hệ thống LTI, khơng đề cập đến tính chất ổn định nhân Tương ứng, từ phương trình sai phân ta thu biểu thức đại số hàm truyền đạt, không thu miền hội tụ Điều phù hợp với thực tế, thấy chương I, phương trình sai phân không xác định cách đáp ứng xung hệ thống LTI, chưa xác định điều kiện đầu Vì vậy, hàm truyền đạt phương trình (2.69) hay (2.70), có nhiều chọn lựa khác cho miền hội tụ tương ứng với phương trình sai phân Tuy nhiên, giả sử hệ thống có tính nhân quả, nghĩa h[n] dãy bên phải ROC H(z) phải bên ngồi vịng trịn qua điểm cực Nếu giả sử hệ thống ổn định, nghĩa đáp ứng xung phải thỏa mãn h( n) n (2.83) pt(2.83) đồng nghĩa với h(n) z 1 (2.84) n vậy: Điều kiện ổn định ROC H(z) chứa vòng tròn đơn vị, vậy, tổng hợp lại điều kiện để hệ thống ổn định nhân tất điểm cực phải nằm vòng tròn đơn vị Ví dụ 2.27: Xét hệ thống LTI có LCCDE sau: y ( n) y (n 1) y (n 2) x(n) H(z) cho bởi: H ( z ) z 1 z 2 (2.85) 1 1 1 z z (2.86) Đồ thị cực-zero H(z) vẽ hình 2.9, có khả để chọn ROC: - Nếu hệ thống giả sử hệ nhân quả, ROC: z Trong trường hợp hệ thống khơng ổn định ROC khơng chứa vịng trịn đơn vị - Nếu hệ thống giả sử ổn định, ROC: - Nếu chọn ROC: hệ thống khơng ổn định khơng nhân Hình 2.9: Đồ thị cực-zero ví dụ 2.27 2.7 THỰC HIỆN CÁC HỆ THỐNG RỜI RẠC 2.7.1 Mở đầu: Như mục 2.6.2 ta thấy hệ thống LTI có hàm truyền đạt hữu tỉ biểu diễn phương trình sai phân tuyến tính hệ số (LCCDE) Phương trình sai phân suy cách trực tiếp từ hàm truyền đạt, ngược lại, cho trước LCCDE ta suy hàm truyền đạt Để thực hệ thống rời rạc, từ hàm truyền đạt hay LCCDE ta biểu diễn cấu trúc hệ thống sơ đồ khối giản đồ (graph), bao gồm kết nối phần tử cộng, nhân, nhân với số phép trễ đơn vị Các phép trễ hàm ý cần phải lưu trữ giá trị dãy khứ chúng ghi hay nhớ Ví dụ: 2.28: Ta xét hệ thống có phương trình sai phân: y(n)=a1y(n-1)+a2y(n-2)+bx(n) (2.87) Sẽ tương ứng với hàm truyền đạt là: H ( z) b a1 z 1 (2.88) a z 2 Sơ đồ khối biểu diễn hệ thống trình bày hình 2.10 Đây hệ thống bậc Hình 2.10: Sơ đồ khối biểu diễn hệ thống ví dụ 2.28 Một sơ đồ khối sở để xác định cấu trúc phần cứng cho hệ thống hay để xây dựng thuật toán cho phần mềm 2.7.2 Hệ thống IIR Dạng trực tiếp I (Direct form I) N M K 1 K 0 y ( n) a K y ( n k ) b K x ( n k ) M Với hàm truyền đạt tương ứng: H ( z) b K 0 M K (2.89) z K ak z K K 1 Pt(2.89) viết lại dạng công thức truy hồi: N y ( n) a K y ( n k ) k 1 M b x(n k ) K 0 k Sơ đồ khối hình 2.11 biểu diễn hình ảnh pt(2.91) (2.91) Hình 2.11 : dạng trực tiếp I , sơ đồ khối hệ thống có phương trình sai phân bậc N Dạng trực tiếp II (Direct form II) Pt(2.90) viết lại: H ( z ) N k aK z k 1 M b z k H ( z ) H ( z ) (2.92) k k 0 Pt(2.92) cho thấy ta xem hệ thống gồm hai hệ thống (phần bên trái phần bên phải) mắc liên tiếp Do tính giao hốn ta hốn chuyển vị trí hai hệ thống con, ta có cách biểu diễn trực tiếp II (dirrect form II) hình 2.12 Dạng chuẩn tắc (Canonic Direct form) Ta thấy sơ đồ hình 2.11 2.12 có (N+M) phần tử trễ mẫu Để tiết kiệm phần tử trễ, ta thực sơ đồ hình 2.13, gọi dạng chuẩn tắc (canonic dirrect form) (giả sử N >M)Rõ ràng, dạng chuẩn tắc cần N phần tử trễ (nếu N > M) M phần tử trễ (nếu M > N), ta tiết kiệm nhớ thời gian dịch chuyền tín hiệu đường trễ so với dạng trực tiếp I II Hình 2.12: Dạng trực tiếp II Hình 2.13: Dạng chuẩn tắc 2.7.3 Hệ thống FIR Đối với hệ thống FIR không đệ qui, với phương trình sai phân biểu diễn hệ thống là: M y (n) br x(n r ) r 0 Ta có sơ đồ hình 2.14 : (2.93) Hình 2.14 : Hệ thống FIR không đệ quy Trong thực tế, mạch đệ qui, người ta thực sơ đồ có bậc N > 2, mạch dễ tính ổn định sai số Mặt khác, thiết kế khâu bậc có phần thuận lợi Vì vậy, người ta chia hệ thống thành nhiều mạch có bậc lớn mắc liên tiếp song song với Một hệ thống bậc trình bày ví dụ 2.28 BÀI TẬP CHƯƠNG 2.1 Hãy xác định biến đổi Z tín hiệu sau đây: (a) x(n) = {3,0,0,0,0,6,1,-4} n 1 ,n 2 (b) x(n) = n4 2.2 Tính biến đổi Z tín hiệu sau vẽ đồ thị cực - zero tương ứng: (a) x(n) = (1+n)u(n) (b) x(n) = (an + a-n)u(n) , với a thực (c) x(n) = (-1)n2-nu(n) (d) x(n) = (nansin0n)u(n) (e) (1/2)n[u(n)-u(n-10)] 2.3.Tìm biến đổi Z vẽ ROC tương ứng tín hiệu sau đây: n 1 ,n 3 (a) x (n) = 1 2 n ,n n (b) x (n) = 1 n ,n 3 n0 (c) x3 (n) x1 (n 4) (d) x4 (n) x1 (n) 2.4 Xác định biến đổi Z tính hiệu sau đây: (a) x(n) = n(-1)n u(n) (b) x(n) = n2u(n) x(n) (1) n cos n u (n) (c) 2.5 (a) Xác định biến đổi Z tín hiệu: x(n) = a|n| với |a| < (b) Xác định biến đổi Z tín hiệu x(n) = 1, -∞ < n < ∞ 2.6 Tính tổng chập tín hiệu sau cơng cụ biến đổi Z: 1 3 n 1 2 n ,n x1 (n) = ,n n 1 Và x (n) u (n) 2 2.7 Hãy dùng tính chất vi phân dịch thời gian để tìm biến đổi Z ngược của: X(z) = log(1 + az-1) , với ROC : |z| > |a| 2.8 Xét hệ thống LTI đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính hệ số sau: y(n) - 1/2 y(n-1) = x(n) Tìm y(n) tính hiệu vào x(n) = u(n) với điều kiện đầu y(-1) = 2.9 Hãy xác định đáp ứng xung hệ thống mô tả phương trình sai phân: y(n) = 0.9y(n-1) - 0.81y(n-2) + x(n) với điều kiện đầu sau: (a) y(-1) = y(-2) = (b) y(-1) = y(-2) = 2.10 Cho hệ thống LTI biểu điễn hàm truyền đạt: Hãy xác định ROC tìm đáp ứng xung h(n) tương ứng với điều kiện sau: (a) Hệ thống ổn định (b) Hệ thống nhân (c) Hệ thống có h(n) dãy bên trái (phản nhân quả): ,n h(n) = ,n