Nội dung chủ yếu của giáo trình Xử lý số tín hiệu I này bao gồm các kiến thức cơ bản về xử lý tín hiệu, các phương pháp biến đối Z, Fourier, DFT, FFT trong xử lý tín hiệu, phân tích tín hiệu và hệ thống trên các miền tương ứng. Các kiến thức về phân tích và tổng hợp bộ lọc số, các kiến thức nâng cao như bộ lọc đa vận tốc, xử lý thích nghi, xử lý thời gian – tần số wavelet. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 2 sau đây.
CHƯƠNG III PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU 3.1 Mở đầu Phân tích tần số (cịn gọi phân tích phổ) tín hiệu dạng biểu diễn tín hiệu cách khai triển tín hiệu thành tổ hợp tuyến tính tín hiệu hình sin hay hàm mũ phức Cách khai triển quan trọng việc phân tích hệ thống LTI, hệ thống này, đáp ứng tổ hợp tuyến tính tín hiệu hình sin tổ hợp tuyến tính tín hiệu hình sin có tần số, khác biên độ pha Cơng cụ để phân tích tần số tín hiệu chuổi Fourier (cho tín hiệu tuần hồn) biến đổi Fourier (cho tín hiệu khơng tuần hồn có lượng hữu hạn) 3.2 TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC Khái niệm tần số tín hiệu tương tự quen thuộc Tuy nhiên, khái niệm tần số tín hiệu rời rạc có số điểm cần lưu ý Đặc biệt, ta cần làm rõ mối quan hệ tần số tín hiệu rời rạc tần số tính hiệu liên tục Vì vậy, mục ta khởi đầu cách ơn lại tần số tín hiệu liên tục tuần hồn theo thời gian Mặt khác, tín hiệu hình sin tín hiệu hàm mũ phức tín hiệu tuần hồn bản, nên ta xét hai loại tín hiệu nầy 3.2.1 TÍNH HIỆU TƯƠNG TỰ TUẦN HOÀN THEO THỜI GIAN Một dao động đơn hài (simple harmonic) mơ tả bỏi tín hiệu tương tự (liên tục) hình sin: xa(t) = Acos(Ωt+θ ) với -∞ < t < ∞ (3.1) Trong đó, A biên độ; Ω tần số góc (rad/s); θ pha ban đầu (rad) Ngoài ra, với ký hiệu: F tần số (cycles/second hay Hertz) Tp chu kỳ (second), ta có: W = 2pF = 2p/Tp (3.2) Tín hiệu liên tục hình sin có tính chất sau: 97 1) Với giá trị xác định F hay Tp , xa(t) tín hiệu tuần hồn Thật vậy, từ tính chất hàm lượng giác, ta chứng minh được: xa(t + Tp) = xa(t) F gọi tần số (fundamental frequency) Tp chu kỳ (fundamental period) tín hiệu liên tục F Tp có giá trị khơng giới hạn (từ đến ∞ ) 2) Các tín hiệu liên tục hình sin có tần số khác ln phân biệt với 3) Khi tần số F tăng tốc độ dao động tín hiệu tăng, nghĩa có nhiều chu kỳ khoảng thời gian cho trước Ta biểu diễn tín hiệu hình sin hàm mũ phức: x a(t) = Aej(WT+q) (3.3) Ta thấy mối quan hệ qua công thức Euler: Theo định nghĩa, tần số đại lượng vật lý dương, tần số số chu kỳ đơn vị thời gian Tuy nhiên, nhiều trường hợp, để thuận tiện mặt toán học, khái niệm tần số âm thêm vào Để rõ hơn, pt(3.1) viết lại: Ta thấy, tín hiệu hình sin thu cách cộng hai tín hiệu hàm mũ phức liên hợp có biên độ, cịn gọi phasor Hình 3.1 biểu diễn đồ thị mặt phẳng phức, đại lượng phasor quay qu /Anh góc tọa độ theo hai chiều ngược với vận tốc góc ±Ω(rad/s) Vì tần số dương tương ứng với chuyển động quay ngược chiều kim đồng hồ, nên tần số âm tương ứng với chuyển động quay theo chiều kim đồng hồ Để thuận tiện mặt toán học, ta sử dụng khai niệm tần số âm, khoảng biến thiên tần số -∞ < F < ∞ 3.2.2 TÍN HIỆU RỜI RẠC TUẦN HỒN HÌNH SIN Một tín hiệu rời rạc hình sin biểu diễn bởi: 98 x(n) = Acos(ωn+θ ) với -∞ < n < ∞ (3.6) So sánh với tín hiệu liên tục, ta thấy t thay biến nguyên n, gọi số mẫu (sample number); tần số góc Ω (rad/second) thay ω(rad/sample); pha biên độ giống tín hiệu liên tục Gọi f tần số tính hiệu rời rạc, ta có: ω = 2πf (3.7) Pt(3.6) trở thành: x(n) = Acos(2πfn+θ ) với -∞ < n < ∞ (3.8) Tần số f có thứ ngun chu kỳ/mẫu (cycles/sample) Tín hiệu hình sin có tần số ω = π/6 radians/sample (f =1/12 cycles/sample) pha ban đầu ω=π/3 rad biểu diễn đồ thị hình 3.2 Khác với tín hiệu tương tự, tín hiệu rời rạc hình sin có thuộc tính sau: Một tín hiệu rời rạc hình sin tuần hồn tần số f số hữu tỉ Từ định nghĩa, tín hiệu rời rạc x(n) tuần hồn với chu kỳ N (N > 0) x(n+N) = x(n) với n, giá trị nhỏ N thỏa điều kiện gọi chu kỳ Để tín hiệu hình sin có tần số f0 tuần hồn phải có: cos[2pf0(N + n) + q] = cos(2pf0 n + q) Quan hệ tồn số nguyên k cho: 2pf0N = 2kp hay f0 = k/N (3.9) Theo pt(3.9), tín hiệu hình sin rời rạc tuần hồn khi f0 tỉ số hai số nguyên, hay nói cách khác f0 số hữu tỉ Để xác định chu kỳ N tín hiệu hình sin, ta biểu điễn tần số f0 dạng hữu tỉ tối giản, chu kỳ N tín hiệu hình sin với mẫu số Ví dụ: f1 = 31/60 có nghĩa N1 =60; đó, f2 = 30/60 N2 = 2 Các tín hiệu rời rạc hình sin mà tần số góc chúng sai khác bội số nguyên 2π đồng dạng 99 Để chứng minh, ta so sánh tín hiệu hình sin có tần số ω0 với tín hiệu hình sin có tần số (ω0 + 2kπ), ta thấy: cos[(w +2k) n + q)] = cos(w 0n +2 kn + q) = cos(w 0n + q) (3.10) Như vậy, tất dãy hình sin : xk(n) = cos (ωkn + q) , đây, ωk = ω0 + 2kπ với < ω0 < 2π k =0, 1, 2,…là đồng Điều hàm ý rằng, tín hiệu hình sin xác định tần số góc khoảng [0 2π], tương ứng tần số f khoảng [0 1] Từ nhận xét trên, ta có kết luận quan trọng: Đối với tín hiệu rời rạc tuần hồn, ta cần khảo sát khoảng tần số ≤ ω ≤ 2π (hay ≤ f ≤1) Vì với tần số khoảng này, mẫu chồng lấp (alias) tín hiệu có tần số khoảng ≤ ω ≤ 2π Một dao động biểu diễn tính hiệu hình sin, có tốc độ dao động cao tín hiệu có tần số góc ω = π, tương ứng với f = ½ Để minh họa tính chất này, ta xét dãy x(n) = cosω0n tần số ( biến thiên từ đến π Ta xét giá trị ω0 = 0, π/8, π/4, π/2 π , tương ứng với f = 0, 1/16 , 1/8, 1/4, 1/2 dãy tuần hoàn với chu kỳ N = ∞, 16, 8, 4, (xem đồ thị hình 3.3) Chú ý rằng, tốc độ dao động tăng chu kỳ giảm hay tần số tăng Ta xem xãy π≤ ω0 ≤ 2π, xét tần số ω1 = ω0 ω2 = 2π – ω0 Ta thấy ω1 tăng từ π đến 2π ω2 giảm từ π đến và: x1(n) = Acosw 1n = Acosw 0n x2(n) = Acosw 2n = Acos(2p - w 0)n (3.11) = Acos(- w 0n) = x1(n) Vậy, dãy có tần số ω2 trùng với dãy có tần số ω1, ta thay hàm cos hàm sin kết giống vậy, ngoại trừ lệch pha 1800 x1(n) x2(n) Trong trường hợp, ta tăng tín hiệu rời rạc hình sin từ πđến 2π, tốc độ dao động giảm, ω0 = 2π ta có tín hiệu giống ω0 = Rõ ràng, ω0 =π tốc độ dao động cao 100 Như tín hiệu tương tự, khái niệm tần số âm đưa vào tín hiệu rời rạc Vì vậy, ta sử dụng cơng thức Euler: Vì tín hiệu tuần hoàn rời rạc với tần số sai khác bội số ngun 2π hồn tồn giống Ta thấy rằng, tần số dải rộng 2π (nghĩa w £ w £ w + 2p, với w bất kỳ) mơ tả tất tín hiệu rời rạc hình sin hay hàm mũ phức Vì vậy, khảo sát tính hiệu tuần hồn rời rạc ta cần xét khoảng tần số rộng 2π, thông thường ta chọn dải tần £ w £ 2p (ứng với ≤ f ≤ 1) là-p £ w £ p (ứng với –1/2 £ f £ 1/2), dải tần gọi dải tần (fundamental range) 3.2.3 MỐI LIÊN HỆ CỦA TẦN SỐ F CỦA TÍN HIỆU TƯƠNG TỰ xa(t) VÀ TẦN SỐ f CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC x(n) ĐƯỢC LẤY MẪU TỪ xa(t) Để thiểt lập mối quan hệ F f, ta xét tín hiệu tương tự hình sin x a(t)=Acos(2pFt + q) (3.13) Gọi TS chu kỳ lấy mẫu , ta có tín hiệu lấy mẫu x(n)=x a(nTS)=Acos(2pFnTS + q) 101 Mặt khác tín hiệu hình sin rời rạc biểu diễu theo tần số f là: x(n)=Acos(2pfn + q) (3.15) Từ pt(3.14) pt(3.15) ta được: f = F/ F S hay w = WTS (3.16) Từ pt(3.16), ta thấy f tần số chuẩn hóa (normalized frequency) theo FS gọi tần số tương đối (relative frequency) Pt(3.16) hàm ý rằng: từ tần số tín hiệu rời rạc f, xác định tần số F tín hiệu liên tục tương ứng tần số lấy mẫu FS biết Chúng ta biết khoảng biến thiên biến tần số F hay W tín hiệu liên tục theo thời gian là: -¥ < F < ¥ hay -¥