Giáo trình xử lý tín hiệu số

TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN KHOA KỸ THUẬT & CÔNG NGHỆ GIÁO TRÌNH XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU Người biên soạn: Phạm Hồng Thịnh Quy Nhơn 2009 1 MỤC LỤC CHƯƠNG 1. BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN THỜI GIAN RỜI RẠC n 5 1.1. NHẬP MÔN 5 1.1.1. ðịnh nghĩa tín hiệu 5 1.1.2. Phân loại tín hiệu 5 1.1.3. Hệ thống xử lý tín hiệu 7 1.2. TÍN HIỆU RỜI RẠC 8 1.2.1. Các dạng biểu diễn của dãy số 8 1.2.2. Các tín hiệu rời rạc cơ bản 9 1.2.3. Các phép toán cơ bản của dãy 12 1.3. HỆ THỐNG RỜI RẠC 13 1.3.1. Khái niệm 13 1.3.2. Phân loại hệ thống rời rạc 15 1.3.2.1. Hệ thống không nhớ (Memoryless systems) 15 1.3.2.2. Hệ thống tuyến tính (Linear systems) 15 1.3.2.3. Hệ thống bất biến theo thời gian (Time-Invariant systems) 16 1.3.2.4. Hệ thống nhân quả (Causal systems) 16 1.3.2.5. Hệ thống ổn ñịnh (Stable systems) 17 1.3.3. Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian 17 1.3.3.1. Khái niệm 17 1.3.3.2. Tích chập 18 1.3.3.3. Các tính chất của hệ thống tuyến tính bất biến 21 1.4. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG 25 1.4.1. Khái niệm 25 1.4.2. Nghiệm của PTSP-TT-HSH 25 1.5. HỆ THỐNG RỜI RẠC ðỆ QUY (RECURSIVE) VÀ KHÔNG ðỆ QUY (NONRECURSIVE) 31 1.5.1. Hệ thống không ñệ quy FIR 31 1.5.2. Hệ thống ñệ quy IIR 31 1.5.3. Thực hiện hệ FIR và IIR 34 1.6. HÀM TƯƠNG QUAN VÀ HÀM TỰ TƯƠNG QUAN 35 2 1.6.1. Hàm tương quan 35 1.6.2. Hàm tự tương quan 37 Chương 2. BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 39 2.1. BIẾN ðỔI Z 39 2.1.1 Biến ñổi Z thuận 39 2.1.1.1. Biến ñổi Z hai phía 39 2.1.1.2. Biến ñổi Z một phía 40 2.1.2. Miền hội tụ của biến ñổi Z 41 2.1.3. Các tính chât của biến ñổi z 45 2.1.4. Biến ñổi z hữu tỷ 47 2.2. BIẾN ðỔI Z NGƯỢC 49 2.2.1. ðịnh lí Cauchy 49 2.2.2. Biến ñổi z ngược 49 2.2.3. Các phương pháp tìm biến ñổi z ngược 50 2.2.3.1. Phương pháp thặng dư 50 2.2.3.2. Phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa 51 2.2.3.3. Phương pháp phân tích X(z) thành tổng các phân thức tối giản 53 2.3. PHÂN TÍCH HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z 60 2.3.1. Hàm truyền ñạt của hệ thống TT-BB 60 2.3.2. Hàm truyền ñạt của hệ ñược mô tả bởi PT – SP – TT –HSH 60 2.3.3. Giải phương trình sai phân TT – HSH sử dụng biến ñổi z 61 2.3.4. Phân tích hệ thống TT – BB trên miền z 64 CHƯƠNG 3. BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC ω 76 3.1. BIẾN ðỔI FOURIER 77 3.1.1 Biến ñổi Fourier thuận 77 3.1.1.1. ðịnh nghĩa 78 3.1.1.2. Sự tồn tại của biến ñổi Fourier 78 3.1.1.3. Các dạng biểu diễn của hàm X(e j ω ωω ω ) 79 3.1.1.4 Quan hệ giữa biến ñổi Fourier và biến ñổi Z 81 3 3.1.2. Biến ñổi Fourier ngược 82 3.1.3. Các tính chất của biến ñổi Fourier 83 3.2. PHỔ CỦA TÍN HIỆU SỐ 88 3.2.1. Các ñặc trưng phổ của tín hiệu số 88 3.2.2. Phổ của tín hiệu liên tục x(t) và tín hiệu lấy mẫu x(n.T) 90 3.3. ðẶC TÍNH TẦN SỐ VÀ HÀM TRUYỀN ðẠT PHỨC CỦA HỆ XỬ LÝ SỐ TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN NHÂN QUẢ 93 3.3.1 ðặc tính tần số và hàm truyền ñạt phức H(e j ω ωω ω ) 93 3.3.2. Phân tích hệ xử lý số theo hàm truyền ñạt phức H(e j ω ωω ω ) 96 3.4. CÁC BỘ LỌC SỐ LÝ TƯỞNG 98 3.4.1. Bộ lọc thông thấp lý tưởng 98 3.4.2. Bộ lọc thông cao lý tưởng 100 3.4.3. Bộ lọc dải thông lý tưởng 102 3.4.4. Bộ lọc dải chặn lý tưởng 104 3.4.5. Bộ lọc số thực tế 107 CHƯƠNG 4. BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC (MIỀN K) 108 4.1. BIẾN ðỔI FOURIER RỜI RẠC CỦA DÃY TUẦN HOÀN 108 4.2. BIẾN ðỔI FOURIER RỜI RẠC CỦA DÃY KHÔNG TUẦN HOÀN CÓ ðỘ DÀI HỮU HẠN (DFT) 110 4.2.1. Biến ñổi Fourier rời rạc (DFT) 110 4.2.2. Quan hệ giữa DFT với FT và ZT 114 4.3. PHÉP DỊCH VÒNG, TÍCH CHẬP VÒNG VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA DFT 116 4.3.1. Phép dịch vòng và tích chập vòng của DFT 116 4.3.1.1. Phép dịch vòng 116 4.3.1.1. Phép dịch vòng 119 4.3.2. Các tính chất của DFT 122 4.4. TÍNH TRỰC TIẾP DFT VÀ IDFT 126 4.4.1. Số lượng phép toán khi tính trực tiếp DFT và IDFT 126 4.4.2. Tính DFT và IDFT của dãy x(n) N thực, ñối xứng, N lẻ 127 4.4.3. Tính DFT và IDFT của dãy x(n) N thực, ñối xứng, N chẵn 132 4 4.4.4. Tính DFT và IDFT của dãy x(n) N thực, phản ñối xứng, N lẻ 134 4.4.5. Tính DFT và IDFT của dãy x(n) N thực, phản ñối xứng, N chẵn 137 Chương 5. TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ CÓ ðÁP ỨNG XUNG CHIỀU DÀI HỮU HẠN 141 5.1. PHÂN TÍCH BỘ LỌC SỐ FIR PHA TUYẾN TÍNH 141 5.1.1. ðặc tính xung h(n) của các bộ lọc số FIR pha tuyến tính 141 5.1.2. ðặc tính tần số của bộ lọc số FIR pha tuyến tính 145 5.1.2.1. ðặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 146 5.1.2.2. ðặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 149 5.1.2.3. ðặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 149 5.1.2.4. ðặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4 151 5.2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ FIR PHA TUYẾN TÍNH 152 5.2.1. Phương pháp cửa sổ 152 5.2.1.1. Các bước chính thiết kế bộ lọc số bằng phương pháp cửa sổ 150 5.2.1.2. Một số hàm cửa sổ thường dùng 153 5.2.2. Phương pháp lấy mẫu tần số 160 5.2.2.1. Cơ sở của phương pháp lấy mẫy tần số 160 5.2.2.2. Các bước tổng hợp bộ lọc số theo phương pháp lấy mẫu tần số 163 CHƯƠNG 6. THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ CÓ ðÁP ỨNG XUNG CÓ CHIỀU DÀI VÔ HẠN IIR 165 6.1. CƠ SỞ TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR 165 6.2. PHƯƠNG PHÁP BẤT BIẾN XUNG 166 6.3. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ðỔI SONG TUYẾN 170 6.4. PHƯƠNG PHÁP TƯƠNG ðƯƠNG VI PHÂN 175 6.5. BỘ LỌC TƯƠNG TỰ BUTTERWORTH 175 6.6. BỘ LỌC TƯƠNG TỰ CHEBYSHEP 176 6.7. BỘ LỌC TƯƠNG TỰ ELIP (CAUER) 178 5 Chương 1 BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN THỜI GIAN RỜI RẠC n 1.1. Nhập môn 1.1.1. ðịnh nghĩa tín hiệu Tín hiệu là một ñại lượng vật lý chứa thông tin (information). Về mặt toán học, tín hiệu ñược biểu diễn bằng một hàm của một hay nhiều biến ñộc lập. Ví dụ 1.1. - Tín hiệu âm thanh là dao ñộng cơ học lan truyền trong không khí, mang thông tin truyền ñến tai. Khi biến thành tín hiệu ñiện (ñiện áp hay dòng ñiện) thì giá trị của nó là một hàm theo thời gian. - Tín hiệu hình ảnh tĩnh hai chiều ñược ñặc trưng bởi một hàm cường ñộ sáng của hai biến không gian. Khi biến thành tín hiệu ñiện, nó là hàm một biến thời gian. ðể thuận tiện, ta qui ước (không vì thế mà làm mất tính tổng quát) tín hiệu là một hàm của một biến ñộc lập và biến này là thời gian (mặc dù có khi không phải như vậy, chẳng hạn như sự biến ñổi của áp suất theo ñộ cao). Giá trị của hàm tương ứng với một giá trị của biến ñược gọi là biên ñộ (amplitude) của tín hiệu. Ta thấy rằng, thuật ngữ biên ñộ ở ñây không phải là giá trị cực ñại mà tín hiệu có thể ñạt ñược. 1.1.2. Phân loại tín hiệu Tín hiệu ñược phân loại dựa vào nhiều cơ sở khác nhau và tương ứng có các cách phân loại khác nhau. Ở ñây, ta dựa vào sự liên tục hay rời rạc của thời gian và biên ñộ ñể phân loại. Có 4 loại tín hiệu như sau: - Tín hiệu tương tự (Analog signal): thời gian liên tục và biên ñộ cũng liên tục. - Tín hiệu lượng tử hóa (Quantified signal): thời gian liên tục và biên ñộ rời rạc. ðây là tín hiệu tương tự có biên ñộ ñã ñược rời rạc hóa. - Tín hiệu rời rạc (Discrete signal): Là tín hiệu ñược biểu diễn bởi hàm của các biến rời rạc. + Tín hiệu lấy mẫu: Hàm của tín hiệu rời rạc là liên tục (không ñược lượng tử hoá) + Tín hiệu số: Hàm của tín hiệu rời rạc là rời rạc. Tín hiệu số là tín hiệu ñược rời rạc cả biên ñộ và biến số Các loại tín hiệu trên ñược minh họa trong Hình 1.1. 6 Trên Hình 1.2 mô tả quá trình số hóa các tín hiệu tương tự và tín hiệu xung thành tín hiệu số 4 bít. Khi số hóa tín hiệu tương tự sẽ gây ra sai số lượng tử (xem Hình 1.2a), nhưng khi số hóa tín hiệu xung thì ngoài sai số lượng tử còn có sai số về pha (xem Hình 1.2b). a. Số hóa tín hiệu tương tự. b. Số hóa tín hiệu xung. Hình 1.2: Quá trình số hóa tín hiệu liên tục. t n nT nT nT nT nT Bít 3 Bít 2 Bít 1 Bít 0 2 4 0 2 4 0 2 4 0 t nT nT nT nT nT nT x(t) x(n T ) x(n T ) Bít 3 Bít 2 Bít 1 Bít 0 2 4 0 2 4 0 2 4 0 x(t) x(n T ) x(n T ) 0 1 0 0 0 1 1 1 7 Nhận xét: Do tín hiệu số là một trường hợp ñặc biệt của tín hiệu rời rạc nên các phương pháp xử lí tín hiệu rời rạc ñều hoàn toàn ñược áp dụng cho xử lí tín hiệu số. Trong chương trình chúng ta sẽ tìm hiểu các phương pháp xử lí tín hiệu rời rạc. 1.1.3. Hệ thống xử lý tín hiệu a) Hệ thống tương tự b) Hệ thống số c) Hệ thống xử lý tín hiệu tổng quát Tín hiệu x(t) ở ñầu vào ñược chuyển thành tín hiệu số nhờ ADC, qua DSP ñưa vào DAC ta có y(t). Hold Quantizer DSP DAC ADC Sample Signal x(t) y(t) Digital Signal x a (t) y a (t) HT x d (nTs) y d (nTs) HT 8 1.2. Tín hiệu rời rạc 1.2.1. Các dạng biểu diễn của dãy số Một tín hiệu rời rạc có thể ñược biểu diễn bằng một dãy các giá trị (thực hoặc phức). Phần tử thứ n của dãy (n là một số nguyên) ñược ký hiệu là x(n) và một dãy ñược ký hiệu như sau: x = {x(n)} với - ∞ < n < ∞. (1.1.a) x(n) ñược gọi là mẫu thứ n của tín hiệu x. Dãy số có thể ñược biểu diễn dưới các dạng hàm số, bảng số liệu, ñồ thị, hoặc dãy số liệu. Dưới dạng hàm số, dãy số x(n) chỉ xác ñịnh với ñối số là các số nguyên n, dãy số không xác ñịnh ở ngoài các giá trị nguyên n của ñối số. Ví dụ 1.2. Dãy số x(n) ñược biểu diễn bằng hàm số : [ ] [ ]    ∉ ∈ = ., , )( 30,0 30,1 n n nx - Biểu diễn dãy số x(n) dưới dạng bảng số liệu ở Bảng 1.1. Bảng 1.1 ðồ thị dãy x(n) n -∞ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ∞ x(n) 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 - Biểu diễn ñồ thị của dãy x(n) trên Hình 1.6, - Biểu diễn dãy x(n) dưới dạng dãy số liệu : { } ,0,0,1,1,1,1,0, )( ↑ = nx , trong ñó ký hiệu ↑ ñể chỉ số liệu ứng với ñiểm gốc n = 0. Ta cũng có thể biểu diển theo kiểu liệt kê. Ví dụ: x = { , 0, 2, -1, 3, 25, -18, 1, 5, -7, 0, }. (1.1.b) Trong ñó, phần tử ñược chỉ bởi mũi tên là phần tử tương ứng với n = 0, các phần tử tương ứng với n > 0 ñược xếp lần lượt về phía phải và ngược lại. Nếu x = x(t) là một tín hiệu liên tục theo thời gian t và tín hiệu này ñược lấy mẫu cách ñều nhau một khoảng thời gian là Ts, biên ñộ của mẫu thứ n là x(nTs). Ta thấy, x(n) là cách viết ñơn giản hóa của x(nTs), ngầm hiểu rằng ta ñã chuẩn hoá trục thời gian theo Ts. Ts gọi là chu kỳ lấy mẫu (Sampling period). Fs = 1/Ts ñược gọi là tần số lấy mẫu (Sampling frequency). Ghi chú: 3 1 2 1 4 0 -1 x(n) n 9 - Từ ñây về sau, trục thời gian sẽ ñược chuẩn hóa theo Ts, khi cần trở về thời gian thực, ta thay biến n bằng nTs. - Tín hiệu rời rạc chỉ có giá trị xác ñịnh ở các thời ñiểm nguyên n. Ngoài các thời ñiểm ñó ra tín hiệu không có giá trị xác ñịnh, không ñược hiểu chúng có giá trị bằng 0. - ðể ñơn giản, sau này, thay vì ký hiệu ñầy ñủ, ta chỉ cần viết x(n) và hiểu ñây là dãy x = {x(n)}. 1.2.2. Các tín hiệu rời rạc cơ bản a/. Tín hiệu xung ñơn vị (Unit inpulse sequence) ðây là một dãy cơ bản nhất, ký hiệu là δ(n), ñược ñịnh nghĩa như sau:    ≠ = = ,0,0 0,1 )( n n n δ hay { } ,0, ,0,1,0 ,0, )( ↑ = n δ . Dãy )(n δ ñược biểu diễn bằng ñồ thị như hình 1.3(a) b/. Dãy chữ nhật Dãy chữ nhật ñược kí hiệu là rect N (n) và ñược ñịnh nghĩa như sau:    ≥ −≤≤ = .,0 10,1 )( Nn Nn nrect N c/. Tín hiệu nhẩy bậc ñơn vị (Unit step sequence) Dãy này thường ñược ký hiệu là u(n) và ñược ñịnh nghĩa như sau:    < ≥ = .0,0 0,1 )( n n nu Dãy u(n) ñược biểu diễn bằng ñồ thị Hình 1.3 (c). Mối quan hệ giữa tín hiệu nhẩy bậc ñơn vị với tín hiệu xung ñơn vị: )1()()()()( −−=⇔= ∑ −∞= nununnnu n k δδ , với u(n-1) là tín hiệu u(n) ñược dịch phải một mẫu. (1. 5) (1.4) (1.2) (1.3) (1. 6) [...]... (1.26) Ghi chú: Các thu c tính ñ phân lo i h th ng trên là các thu c tính c a h th ng ch không ph i là các thu c tính c a tín hi u vào Các thu c tính này ph i th a mãn v i m i tín hi u vào 1.3.3 H th ng tuy n tính b t bi n theo th i gian (LTI: Linear Time-Invariant System) 1.3.3.1 Khái ni m H th ng tuy n tính b t bi n theo th i gian là h th ng th a mãn ñ ng th i hai tính ch t tuy n tính và b t bi n G i... s lý s ñã cho có dao ñ ng t do y0(n) → - ∞ khi n → ∞ , nên theo ñ nh lý n ñ nh 1, h không th a mãn ñi u ki n n ñ nh Các ví d trên cho th y r ng, gi i phương trình sai phân tuy n tính h s h ng b ng phương pháp tìm nghi m t ng quát là khá ph c t p, khi phương trình sai phân có b c N > 2 s càng ph c t p hơn vì ph i gi i phương trình b c cao Như v y, c hai phương pháp gi i phương trình sai phân tuy n tính... v y h th ng có tính n ñ nh N u |a| ≥ 1, thì S → ∞ và h th ng không n ñ nh 24 1.4 Phương trình sai phân tuy n tính h s h ng (LCCDE: Linear Constant-Coefficient Difference Equations) 1.4.1 Khái ni m M t h th ng LTI mà quan h gi a tác ñ ng x(n) và ñáp ng y(n) c a nó th a mãn phương trình sai phân truy n tính h s h ng b c N dư i d ng: ñư c g i là h th ng có phương trình sai phân truy n tính h s h ng (LCCDE)... Phép d ch ph i 4 m u trên tín hi u x(n) (c) Phép d ch trái 5 m u trên tín hi u x(n) Nh n xét: Ta th y, m t tín hi u x(n) b t kỳ có th bi u di n b i tín hi u xung ñơn v như sau: x (n ) = +∞ ∑ x(k )δ (n − k ) n = −∞ Cách bi u di n này s d n ñ n m t k t qu quan tr ng trong ph n sau Ghi chú: Các phép tính th c hi n trên các tín hi u r i r c ch có ý nghĩa khi t n s l y m u c a các tín hi u này b ng nhau 12... k = −∞ 18 n = 3 → y (3) = ∞ ∑ x(k )h(3 − k ) k = −∞ … T p h p các giá tr c a y(n) ta s có y * Phương pháp tính tích ch p b ng ñ th Tích ch p c a hai dãy b t kỳ có th ñư c tính m t cách nhanh chóng v i s tr giúp c a các chương trình trên máy vi tính ñây, phương pháp tính tích ch p b ng ñ th ñư c trình bày v i m c ñích minh h a Trư c tiên, ñ d dàng tìm dãy x2(n-k), ta có th vi t l i: x2 (n-k) = x2 [-(k... s ñ c trưng cho h th ng H th ng LTI có LCCDE là m t l p con quan tr ng c a h th ng LTI trong x lý tín hi u s Ta có th so sánh nó v i m ch R_L_C trong lý thuy t m ch tương t (ñư c ñ c trưng b ng phân trình vi tích phân tuy n tính h s h ng) Ví d 1.16 Xét h th ng tích lũy y(n) - y(n-1) = x(n) (1.56) Phương trình (1.56) chính là LCCDE c a m t h th ng tích lũy, v i N=1, a0 =1, a1=-1, M=0 và b0 =1 Ta vi... a PTSP-TT-HSH Phương trình sai phân tuy n tính h s h ng là m t d ng quan h vào ra mô t h th ng LTI Trong ph n này, ta s tìm bi u th c tư ng minh c a ñáp ng y(n) b ng phương pháp tr c ti p Còn m t phương pháp khác ñ tìm nghi m c a phương trình này là d a trên bi n ñ i z s ñư c trình bày trong chương sau, ta g i là phương pháp gián ti p Tương t như phương trình vi tích phân tuy n tính h s h ng c a h th... phương trình sai phân thu n nh t (ðáp ng c a h th ng khi tín hi u vào b ng 0) Phương trình sai phân thu n nh t có d ng: (1.58) (B ng cách chia 2 v cho a0 ñ có d ng (1.58) v i a0 = 1) Ta ñã bi t r ng, nghi m c a phương trình vi phân thư ng có d ng hàm mũ, vì v y, ta gi s nghi m c a phương trình sai phân thu n nh t có d ng: y0(n) = αn (1.59) Ch s y0(n) ñư c dùng ñ ch r ng ñó là nghi m c a phương trình. .. ng tuy n tính b t bi n Vì t t c các h th ng LTI ñ u có th bi u di n b ng tích ch p, nên các tính ch t c a t ng ch p cũng chính là các tính ch t c a h th ng LTI Các tính ch t c a tích ch p a) Tính giao hoán (Commutative): cho 2 dãy x(n) và h(n) b t kỳ, ta có y(n) = x(n)*h(n) = h(n)*x(n) (1.41) Ch ng minh: Thay bi n m=n-k vào pt (1.33), ta ñư c: x(n) h(n) y(n h(n) x(n) y(n Hình 1.6: Minh h a tính ch t... Phương trình c a h IIR ñư c vi t l i dư i d ng công th c truy h i (1.74) 34 Sơ ñ kh i Hình 1.11: H th ng ñ quy IR 1.6 Hàm tương quan và hàm t tương quan 1.6.1 Hàm tương quan Khi x lý tín hi u s , trong nhi u trư ng h p, c n so sánh hai tín hi u s ho c hai dãy s li u ð so sánh hai tín hi u s ho c hai dãy s , ngư i ta s d ng hàm tương quan rxy (m) , v i bi n m là kho ng cách gi a các m u c a hai tín hi