Lý thuyết mạch điện :Lời giải phần tín hiệu và Phổ

Bài giải - Đáp số - Chỉ dẫn 4.1. 1. a) Với đồ thị hình 4.23. thì đây là một hàm chẵn nên b k =0. Xung đầu tiên có biểu thức giải tích:          << ≤≤− −<<− = Tt t khi t t t khih t tTkhi )t(u x xx x 2 0 22 2 0 (*) T ht A T ht hdt T dt)t(u T a xx t t T T X X =→=== ∫∫ −− 0 2 2 2 2 0 2 22 (**) ,,k; T t ksin k h T t k T t ksin T htt T ksin T Tk h T t ksin Tk h )] t ksin( t k[sin Tk h t t tksin Tk h tdtkcos T h tdtkcos)t(u T a x x x xx xxx x x t t T T k X X 321 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 222 1 1 1 11 1 1 1 2 2 1 2 2 1 =π π = π π = π π = π =ω ω ω =ω−−ω ω = − ω ω =ω=ω= ∫∫ −− 139 b) Tìm phổ theo k . C : T t ksin k h T t k T t ksin T ht k t ksin T h k ee T h k ee T h t t k e T h dte T h dte)t(u T C x x x x x t jk t jk t jk t jk x x tjk t t tjk T T tjk k XX XX X X . π π = π π = ω ω = ω − = ω− − = − ω− === ω−ω ωω− ω− − ω− − ω− ∫∫ 1 1 1 22 1 22 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 11 11 1 11 Theo biểu thức cuối: (*) T ht CA x == 00 (**) T t k T t ksin T ht CA x x x kk π π == 2 2 Như vậy cả hai cách cho cùng một kết quả. Pha ϕ k của các hài bằng 0 nếu A k >0, bằng π nếu A k <0. 2. Từ đó có: 140 ∑ ∞ = =ϕ+ω+= 1 10 k kk )tkcos(AA)t(u ∑∑ ∞ = ω ∞ = π π +=ω π π + 11 1 1 121 k tjk x x x k x x x )e T t k T t ksin ( T ht )tkcos T t k T t ksin ( T ht (***) 3. Với t X =1 µS, T=5µS, độ cao h= 20 [V] thì 20 5 1 , S S T t x = µ µ = Tính theo công thức: 1231120 2 20 0 .,,k;k,sin k h A;h,A k =π π == Kết quả tính cho trong bảng 4.2 Bảng 4.2. k 0 1 2 3 4 5 6 A K 4. 7,484. 6,055. 4,036. 1,871. 0 -1,247. IA k I 4 7,484 6,055 4,036 1,871 0 1,247 ϕ k 0 0 0 0 0 0 π k 7 8 9 10 11 12 13 A K -1,73 -1,513 -0,832 0 0,680 1,01 0,931 IA k I 1,73 1,513 0,832 0 0,680 1,01 0,931 ϕ k π π π 0 0 0 0 Từ kết quả bảng 4.2 có đồ thị phổ biên độ hình 4.24.a), phổ pha hình 4.24b) (với ω 1 =2π/T=1 256 737 rad/s, F 1 = 200Khz.) 4.2. Theo tính chất trễ trong miền thời gian: Nếu u(t) có phổ là k . A thì phổ của tín hiệu bị trễ u(t ± τ) sẽ có phổ là k . A e ±j τ k ω 1 nên: -Tín hiệu hình 4.4a) vượt trước so với tín hiệu trong BT4.1 là t X /2→ phổ sẽ là biểu thức (**) trong BT(4.1) nhân với 1 2 ωk t j x e (thành phần A 0 giữ nguyên như (*) vì e 0 =1.) -Tín hiệu hình 4.4b) chậm so với tín hiệu trong BT4.1 là t X /2→ phổ sẽ là biểu thức (**) trong BT (4.1) nhân với 1 2 ω− k t j x e Như vậy phổ biên độ không thay đổi, chỉ thay đổi phổ pha so với BT(4.1). 4.3. Hàm lẻ. ∑ ∞ = ω+ + =      π =π− π = 0 1 12 12 4 4 0 1 2 k k t)ksin( )k( E )t(u lÎkkhi k E n½chkkhi )kcos( k E b 141 4.4. Trong chu kỳ đầu thì u(t)=At nên dtteA T C T t T jk k . ∫ π − = 0 2 1 Lấy tích phân từng phần: u=t; du=Adt; dV= T jk e V;dte t T jk t T jk π − = π − π − 2 2 2 → 2 0 2 2 2 2 0 2 2 22 0 2 2 2 1 0 2 π = π − π− π − π − π = π− =                 π − π− =             π + π − = ∫ j t T jk jk T t T jk t T jk k e k AT jk AT T ) T jk( e jk e T T A dte T jk T T jk e t T A C .    Chuỗi Fourrie ở dạng phức: ∑ ∞ −∞= π + π π = k )t T k(j e k AT )t(u 2 2 2 Chuỗi Fourrie ở dạng thực: ở đây phải tính các A k qua k . C ,lúc đó chú ý là từ biểu thức của k . C trên, khi k =0 thì k . C = ∞ nên tính riêng C 0 : 202 11 2 0 0 AT T At T Atdt T C T . === ∫ ; Với k=1,2,3,4 → 2 2 π π == j kk e k AT CA u(t)=       π + π π += π + π π + ∑∑ ∞ = ∞ = 11 2 221 1 22 2 2 kk )t T kcos( k AT )t T kcos( k ATAT 4.5. Chỉ thay A=50 mA, T=2 µS vào các biểu thức phổ trong BT(4.4) vừa xét để tính các vạch phổ A 0 ÷A 13 . 4.6.Theo hình 4.25 thì đây là hàm lẻ nên a k =0. có T=2 µS=2.10 -6 S.Tính b k với k=1,2,3,4… Chu kỳ đầu tiên có biểu thức: ]mA[t.At)t(s 6 104== với -10 -6 S ≤ t ≤ 10 -6 S 142 ;tdtksinAt T b T T k 1 2 2 2 ω= ∫ − Đặt t = u → du=dt ; dv=sinkω 1 tdt → v= 1 1 ω ω− k tkcos ;dt k tkcos T T k tkcos t T A b T T k             ω ω + − ω ω −= ∫ − 2 2 1 1 1 1 2 2 2 Thành phần thứ nhất trong tổng: .,,,k; k T )(Ab)lÎkvíi k T ;n½chkvíi k T kcos k T kcos k T )] T T kcos() T ( T T kcos T [ k k kk 43211 2 22 2 22 2 2 1 1 1 111 11 = ω −==⇒ ωω −=π ω − =π ω −= π −−− π ω − + Thành phần thứ hai trong tổng: 0 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 = ω π = ω ω = ω ω−ω ω ω − = − )k( ksin )k( ksin )k( ksin(ksin )k( tksin T ) TT T T Vậy π −= π −= ω −= +++ k AT )( T k T . T A )( k T . T A )(b kkk k 11 1 1 1 2 2 1 2 1 . (*) Với A=4,T=2.10 -6 thì π −== + k )(bA k kk 4 1 1 2.10 -6 s(t)=    π =ϕϕ+ω π ∑ ∞ = − .n½chkkhi .lÎkkhi víi)tksin( k . k k k 0 108 1 1 6 So sánh modun của biểu thức b k trong (*) với mondun A k trong bài giải của BT4.4 thì thấy chúng là một (!) vì các dãy xung có cùng cấu trúc,chỉ khác nhau ở quan hệ pha. 4.7. Xung xạ tần (tần số phát xạ được vào không gian) sử dụng trong kỹ thuật rada.ở dãy xung này cần phân biệt các thông số: - U 0m biên độ xung điều hoà cao tần. - f 0 = 0 1 T ,f 0 – tần số của dao động điều hoà cao tần (T 0 -chu kỳ của dao động điều hoà cao tần) - F= T 1 , F- tần số lặp của dãy xung (T- chu kỳ lặp của dãy xung); τ- động rộng của mỗi xung a) Biểu thức phổ: 143           + = + =ω= ∫∫ ∫∫ τ τ ω−ω− τ τ ω+ω− τ τ ω− ω−ω τ τ ω− 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 00 0101 1 00 1 2 2 1 dtedte T U dte ee T U dttecosU T . C t)k(jt)k(j m tjk tjtj m tjk m k Tính riêng từng tích phân trong dấu ngoặc: Tích phân thứ nhất: )k( )ksin( )k(j ee )k(j ee dte )k(j)k(j)k(j)k(j t)k(j 01 01 01 22 01 22 2 2 2 2 01010101 01 ω+ω τ ω+ω = ω+ω − = ω+ω− − = τ ω+ω− τ ω+ω τ ω+ω τ ω+ω− τ τ ω+ω− ∫ Thành phần này xấp xỉ bằng 0 vì trong thực tế tần số phát xạ rất lớn nên (kω 1 +ω 0 ) >>1. Tích phân thứ 2: ;. )k( )ksin( T U )k( )ksin( T U C )k( )ksin( )k(j )ksin(j )k(j ee )k(j ee )k(j e dte mm k . )k(j)k(j)k(j)k(j t)k(j t)k(j 01 01 0 01 01 0 01 01 01 01 01 22 01 22 01 2 2 22 2 2 2 2 2 2 01010101 01 01 ω−ω τ ω−ω = ω−ω τ ω−ω = ω−ω τ ω−ω = ω−ω τ ω−ω = ω−ω − = ω−ω− − = τ − τ ω−ω− = τ ω+ω− τ ω−ω τ ω−ω τ ω−ω− ω−ω− τ τ ω−ω− ∫ Để tiện biểu thức thường đưa về dạng x xsin : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 10 0 10 10 0 10 10 0 τ ω−ω τ ω−ω τ == τ ω−ω τ ω−ω τ = τ ω−ω τ ω−ω τ = )k( )ksin( . T .U CA )k( )ksin( T U )k( )ksin( T U C m k . k . mm k . b) Tính phổ: Với T 0 =10 -6 S ; τ=5T 0 -mỗi xung hình sin có 5 chu kỳ dao động cao tần. 144 U 0m =100V ;S/rad.;Mhz,Hz T f ;, T ;STT;S.T;S/rad.;Mhzf 5 1 5 1 5 0 6 0 6 0 6 0 1021010 1 501010210551021 10 1 π=ω=== = τ ==τ===τπ=ω== −− − 0 105 2 105 102 2 0 6 0 0 6 6 0 0 0 0 0 0 = ω π = ω π = ω τ ω == − .sin T U . sin T U sin T U CA mmm . A K với k=1,2,3,4…: )]k(,[ )]k(,sin[ .U., . ).k.( ] . ).k.sin[ . T .UA mmk −π −π = π−π π−π τ = − − 1050 1050 50 2 105 102102 2 105 102102 0 6 56 6 56 0 Với ω 0 =10ω 1 thì k=10 hay A 10 sẽ được tính theo công thức 1 0 = → x xsin lim x và đạt max nên A 10 =0,5U 0m .Ta tính được A k theo công thức cuối với k=0÷20 ở bảng 4.3. Bảng 4.3. k 0 1 2 3 4 5 6 7 A k [V] 0 3,535 0 4,545 0 6,365 0 10,61 k 8 9 10 11 12 13 14 15 A k [V] 0 31,83 50 31,83 0 10,61 0 6,365 k 16 17 18 19 20 21 22 23 A k [V] 0 4,545 0 3,535 0 2,89 0 2,445 Từ bảng dựng đồ thị phổ biên độ hình 4.26 145 4.8. tsin )k( A )( A )tcos( )k( A )( A )t(s e )k( )(A CA A C k k k k j k K . ,,k . . 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 321 0 14 12 2 14 12 14 12 2 ω −π −+ π = π −ω −π −+ π = −π − == π = ∑∑ ∞ = + ∞ = + π − + = 4.9. 2222 0 22 00 00 4 4 2 2 Tk( TU k) T ( T U A; T U CA k α+π α = + π α π α π = α == 4.10. Biểu thức giải tích trong một chu kỳ:            ≤≤− ≤≤+− ≤≤− −≤≤−+ −≤≤−− = −− −− −− −− −− S.tS.khiE S.tSkhiE)t( ;StSkhiE StS.khiE)t( ;S.tS.khiE )t(u 66 666 66 666 66 104103 10310210 1010 10103210 103104 T=8 µs = 8.10 -6 S.; ω 1 =2π/T=2π.0,125.10 6 rad/S. 146 Từ đồ thị đã cho ở hình 4.27.ta thấy tín hiệu thuộc hàm chẵn nên chỉ có a k còn b k =0. Thành phần a 0 = ∫ − − − 6 6 104 104 . . dt)t(u chính là phần diện tích được bôi trên đồ thị nên sẽ bằng 0. Chỉ xác định a k với k=1,2,3,4… Biểu thức giải tích của một chu kỳ là:     π−+π+− +π+π+ +     π−=ω= ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ − − − − − − − − − − − − − − − − − 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 104 103 6 103 10 66 10 103 10 10 666 103 104 6 6 2 2 1 101250211012502210 10125021012502210 10125021 108 22 . . . . . . T T k dt)t.,.k(cos)(dt)t.,.kcos()t( dt)t.,.k(cosdt)t.,.kcos()t( dt)t.,.k(cos)( . E tdtkcos)t(u T a Tính riêng từng tích phân: trong dấu ngoặc: +Tích phân thứ nhất: =π−−π− π − π π −=π− −− = − − − − − − − ∫ − − )] .,.k(sin) .,.k([sin .,.k .,.k )t.,.k(sin dt)t.,.k(cos . . . . 6666 6 6 104 6 103 6 6 103 104 6 10410125021031012502 1012502 1 1012502 1012502 1012502 6 6 666 1012502 4 3 1012502 4 3 412502312502 1012502 1 .,.k ksin .,.k ksinksin ].,.k(sin).,.k([sin .,.k π π = π π− π =π−−π− π − +Tích phân thứ 2: 147 11 10 103 6 10 103 66 10 103 66 6 6 6 6 6 6 10125022 1012502101012502210 BAdt)t.,.kcos( dt)t.,.kcos(.t(dt)t.,.kcos()t( . +=π +π=π+ ∫ ∫∫ − − − − − − − − − − − − ]NM[dt .,.k )t.,.k(sin .,.k )t.,.k(sin .t .,.k )t.,.k(sin v dt)t.,.kcos(dv dtdutu dt)t.,.kcos(.tA . . 11 6 10 103 6 6 6 6 6 6 6 6 10 103 66 1 10 1012502 1012502 1012502 1012502 10 1012502 1012502 1012502101250210 6 6 6 6 −=         π π − π π =                 π π = π= =→= =π= ∫ ∫ − − − − − − − − = π π− −− π π− −= − − − − 6 66 6 6 66 6 1 1012502 3101012502 103 1012502 101012502 10 .,.k ) ,.k(sin ).( .,.k ) ,.k(sin ).(M 6 6 1012502 4 3 3250 10 .,.k )ksin()k,(sin π π −π − 626 266 66 11 6 1 2626 6666 6 103 6 10 26 6 10 103 6 6 1 1012502 4 3 250 1012502 4 3 3250 1012502 4 3 250 1012502 4 3 3250 101010 1012502 4 3 250 1012502 1031012502101012502 1012502 1012502 1012502 1012502 6 6 ),.k( )k(cos)k,(cos .,.k )ksin()k,(sin ).,.k( )k(cos)k,(cos .,.k )ksin()k,(sin ]NM[A ).,.k( )k(cos)k,(cos ).,.k( ) .,.k(cos) ,.k(cos ).,.k( )t.,.k(cos dt .,.k )t.,.k(sin N . . π π −π + π π −π =             π π −π + π π −π =−= π π −π −= π π−π − = π π −= π π = − −− − − − − − − ∫ − − + π π −π + π π −π =+ π π +π− =π= ∫ − − − − 626 11 6 10 103 6 1 1012502 4 3 250 1012502 4 3 3250 1012502 4 3 2520 210125022 6 6 ),.k( )k(cos)k,(cos .,.k )ksin()k,(sin BA .,.k )ksin()k,sin( dt)t.,.kcos(B . 6626 1012502 4 3 250 1012502 4 3 250 1012502 4 3 2520 2 .,.k )ksin()k,(sin ),.k( )k(cos)k,(cos .,.k )ksin()k,sin( π π +π − π π −π = π π +π− +Tích phân thứ 3: 148 . t sin .ee t t sin xx xx 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 12 2 1 2 2 2 22 1 2 2 2 2 2 22 22 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ω +−−ω− ω − ω − ω − ω − ω − ω. .,.k .ksin BA 6 6 626 6 626 6 22 10 125 02 250 10 125 02 4 3 10 125 02 250 4 3 10 125 02 250 2 10 125 02 4 3 2 10 125 02 250 4 3 10 125 02 2 520 10 125 02 4 3 3 π π − π π −