Tài liệu hướng dẫn giải một số bài tập giải tích nhiều biến số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI Bộ mơn giải tích ************* tài liệu hớng dẫn giảI số tập giảI tÝch nhiÒu biÕn sè (Tài liệu lưu hành nội bộ) Hµ NéI –Tháng năm 2008 LỜI NĨI ĐẦU Trong q trình đổi giảng dạy theo tín Trường Đại học Thủy lợi, làm quen với giáo trình tiên tiến giới xuất khó khăn sinh viên khơng kiến thức mà phương pháp học Thơng qua việc học giáo trình giải tích nhiều biến số MIT khẳng định khó khăn có thật Để tháo gỡ phần khó khăn tạo điều kiện cho sinh viên học tập đạt kết tốt, Bộ môn Giải tích đầu tư thời gian cơng sức để biên soạn “Tài liệu hướng dẫn giải số tập” giáo trình Giải tích nhiều biến số Simmon Cuốn tài liệu giúp sinh viên tháo gỡ phần khó khăn việc tìm lời giải tốn, khơng phải đáp án hồn chỉnh cho dạng tốn khơng thể thay cho tập lớp Hy vọng tài liệu đáp ứng phần nguyện vọng học tốt sinh viên Thời gian hoàn thành tài liệu khơng nhiều nên khơng tránh khỏi sơ xuất, mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc Mọi ý kiến xin gửi về: Bộ mơn Giải tích - Trường đại học Thủy Lợi Hà Nội E.mail: thaonx@wru.edu.vn (hoặc thaonxbmai@yahoo.com) Hà Nội, tháng năm 2008 PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Hướng dẫn giải mục PGS.TS Phó Đức Anh : Mục 17.4, 18.5, 18.6, 18.7 TS Nguyễn Hữu Thọ: Mục 19.1, 19.2 Ths Nguyễn Thị Vân: Mục 19.3, 19.5, 19.6 Ths Phan Thanh Lương: Mục 19.7, 19.8 Ths Nguyễn Quý Lăng: Mục 19.9, 19.10, 20.1 Ths NCS Trịnh Tuân: Mục 20.2, 20.4 Ths Đào Tấn Quy: Mục 20.3, 20.5, 20.8 Ths Phan Thị Thanh Huyền: Mục 20.6, 20.7, 21.1 Ths Nguyễn Đức Hậu: Mục 21.2, 21.3 Ths Lê Thị Minh Hải: Mục A22, A23 MỤC LỤC 17.4 Giải tích hàm số véc tơ biến……… ……………… …………….1 18.5 Mặt trụ Mặt trụ tròn xoay …………………………………………… 18.6 Mặt bậc hai ………………………………………………………… 18.7 Hệ tọa độ cầu Hệ tọa độ trụ ……………………………………………9 19.1 Hàm số nhiều biến …………………………………………… …… 11 19.2 Đạo hàm riêng ……………………………………………………… 15 19.3 Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong ……………………………… … 20 19.5 Đạo hàm theo hướng Gradient ………………………… ……… 23 19.6 Quy tắc dây chuyền đạo hàm riêng …………………… … …26 19.7 Bài toán giái trị cực đại cực tiểu ………………………………… 31 19.8 Cực trị có điều kiện Nhân tử Largrange ………………………… 38 19.9 Phương trình Laplace Phương trình truyền nhiệt Phương trình truyến sóng …………………………………………… 44 19.10 Đạo hàm hàm Nn …………………………………………………… 48 20.1 Tính thể tích tích phân lặp …………………………………… 50 20.2 Tích phân bội hai tích phân lặp ……………………… ……… 54 20.3 Ứng dụng vật lý tích phân bội hai ……………… ………… 56 20.4 Tích phân bội hai toạ độ cực ………………………………… 58 20.5 Tích phân bội ba ………………………………………………………65 20.6 Tọa độ trụ ……………………………………… ………………… 70 20.7 Tọa độ cầu Lực hấp dẫn ………………… ……………………… 75 20.8 Diện tích mặt cong ……………………………………………….78 21.1 Tích phân đường mặt phẳng ………………………………… 82 21.2 Sự khơng phụ thuộc vào đường Trường bảo tồn ……………………87 21.3 Định lý Green ……………………………………………………….90 A22 Tích phân mặt định lý phân nhánh ……………………………….96 A23 Định lý Stoke ……………………………………………………… 98 Phụ lục: Đính số lỗi in ấn giải tích nhiều biến số……… 102 Bộ mơn gii tớch -đại học thủy lợi Bi tp: GII TCH NHIỀU BIẾN SỐ 17.4 GIẢI TÍCH CỦA HÀM VÉC TƠ MỘT BIẾN Hãy miêu tả hình học quỹ tích điểm cuối R R = A + tB, A B không B khơng song song với A Hãy vẽ hình HD: Gọi tọa độ A(xA; yA ); B(xB; yB ); R(x; y ), thì: x = xA + txB; y = yA + tyB Quỹ tích điểm cuối R đường thẳng ∆ có phương trình x = xA + txB; y = yA + tyB (t∈ℜ tham số) (Bạn đọc tự vẽ hình.) Tính vị trí quỹ tích R R = ati + b(1-t)j a b số khác khơng? Chứng minh quỹ tích điểm đầu cuả R = ti + (mt+b)j đường y=mx+b HD: Áp dụng kết tập1, ta có: x = t; y = b + tm (t∈ℜ tham số) Khử t có y = mx+b (Đường thẳng có hệ số góc m qua điểm (0; b) Tìm quỹ tích điểm cuối R = (1+t)i + (t2+2t+3)j ? Trong tập từ đến 9, R vị trí điểm chuyển động thời điểm t Trong trường hợp tính vận tốc, gia tốc tốc độ HD: R = (t2+1)i+(t-1)j Ta có: x(t) = (t2+1); y(t) = (t–1) (t∈ℜ tham số) Vectơ vận tốc: V = dR/dt = 2ti + j Vectơ gia tốc A = V’ = dV/dt = 2i Tốc độ thời điểm t là: + 4t R = –t2i + t2j R = ti + (t3-3t)j ĐS: Vectơ vận tốc: V = dR/dt = i + 3(t2 –1)j Vectơ gia tốc A = V’ = dV/dt = 6tj Tốc độ thời điểm t là: + 9(t − 1) R = (cos2t)i + (sint)j R = (tant)i + (sec t)j ĐS: Vectơ vận tốc: V = dR/dt = sec2t( i + sint j) Vectơ gia tốc A = V’ = dV/dt = 6tj Tốc độ thời điểm t là: v = sec t + sin t 10 Nếu véc tơ vị trí hạt chuyển động R = (acoskt)i + (bsinkt)j, a,b,k số dương vật chuyển động ellip: x2/a2+y2/b2=1 Chứng minh a = – k2R miêu tả lực F tạo chuyển động Bộ môn gii tớch -đại học thủy lợi Bi tp: GII TCH NHIỀU BIẾN SỐ 11 Nếu gia tốc hạt chuyển động a = aj, a số khơng đổi, tìm R thơng qua hai tích phân theo t chứng minh quỹ đạo hạt parabola; đường thẳng điểm đơn HD: Ta có v = at.j + v0, R = (at2/2).j + v0t + R0 Khi đó: x = vx.t +Rx ; y = at2/2 + vy.t +Ry, : (vx, vy) = v (Rx, Ry) = R Khử t hai phương trình trên, ta có hệ thức y x Trường hợp vx = 0, hạt chuyển động theo đường thẳng vng góc với trục x Trường hợp a = 0, hạt chuyển động theo đường thẳng Trường hợp a = 0, vx = vy =0, hạt đứng yên, trường hợp khác lại hạt chuyển động theo đường pa bôn 12 Nếu hạt chuyển động khơng có lực tác động, nghĩa a = 0, chứng minh vật chuyển động với vận tốc không đổi theo đường thẳng Đây định luật thứ chuyển động Newton 18.5 MẶT TRỤ VÀ MẶT TRỤ TRÒN XOAY Vẽ mặt trụ phương trình tập từ dến Gọi tên chúng có tên từ trước y = x2 HD: Mặt trụ parabôlic, đường sinh thẳng đứng (song song trùng với Oz) Giao với (xOy) theo đường (P): y = x (Bạn đọc tự vẽ hình.) y + z = 16 x = sin y HD: Mặt trụ có đường sinh thẳng đứng (song song trùng với Oz) Giao với (xOy) theo đường hình sin: x = sin y (Bạn đọc tự vẽ hình.) xz = x + 3z = HD: Mặt phẳng song song với trục Oy, chứa hai điểm (6; 0; 0) (0; 0;2) (Bạn đọc tự vẽ hình.) x2 + z = x = tan y, − π < y< π 2 Bộ môn giải tớch -đại học thủy lợi Bi tp: GII TCH NHIU BIẾN SỐ HD: Mặt trụ có đường sinh thẳng đứng (song song trùng với Oz) Giao với (xOy) theo đường: x = tan y, − π < y< π (Bạn đọc tự vẽ hình.) y = ex Các đường sinh mặt trụ song song với trục y Giao chúng với mặt phẳng xz đường tròn với tâm (0,0,a) bán kính a Vẽ mặt trụ tìm phương trình HD: Mặt trụ có phương trình: x2 + (z–a)2 = a2 (Bạn đọc tự vẽ hình.) 10 Các đường sinh mặt trụ song song với trục x Giao chúng với mặt phẳng xz parabol với đỉnh (0,0,0) tiêu điểm (0,0,-p) Vẽ mặt trụ tìm phương trình 11 Tìm phương trình mặt trịn xoay tạo quay đường cong z = e − y quanh: (a) trục z (b) trục y HD: Giải tương tự theo cách làm ví dụ 3, trang 44 a) Thay y2 phương trình đường cong cho bởi: x2 + y2 Phương trình mặt trịn xoay là: z = e − ( x + y2 ) b) Thay z phương trình đường cong cho bởi: ± x + z , sau bình phương hai vế Phương trình mặt trịn xoay là: x + z = e −2 y 12 Tìm phương trình mặt trịn xoay tạo quay đường tròn ( y − b) + z = a (a < b) quanh: (a) trục z (b) trục y Vẽ hai trường hợp 13 Trong trường hợp sau, viết phương trình mặt trịn xoay tạo quay đường cong cho trước quanh trục xác định, vẽ mặt cong: (a) y = z , trục y (b) HD: Mặt parabơlơít trịn xoay có trục y, giao với (yOz) (P1): y = z ; giao với (xOz) (P2): y = x Phương trình mặt là: y = x + z (c) x + y = 36 , trục y B mụn gii tớch -đại học thủy lợi Bi tập: GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ (d) HD: x + y = 36 phương trình đường ellip nằm mặt phẳng xy, có độ dài hai bán trục a = 2; b = Khi quay quanh trục y, đường ellip tạo nên mặt ellipxơit trịn xoay: x2 y z + + = (e) z = − x , trục z (f) HD: z = − x phương trình đường parabơn nằm mặt phẳng xz, có đỉnh (0; 0; 4) quay bề lõm xuống Khi quay quanh trục z, đường parabôn tạo nên mặt parabơlơit trịn xoay: z = − ( x + y ) (g) x = y , trục x (h) HD: x = y phương trình đường parabơn nằm mặt phẳng xy, có đỉnh (0; 0) nhận trục x làm trục đối xứng Khi quay quanh trục x, đường parabơn tạo nên mặt parabơlơit trịn xoay: x = y + z 14 Hướng khơng gian khơng song song với mặt phẳng xy đặc trương véc tơ V = + bj+k (Tại sao?) Nếu đường cong C mặt phẳng xy có phương trình f(x, y) = 0; phương trình mặt trụ sinh đường thẳng chuyển động song song với V cắt C ( Hình 18.31) f ( x − az , y − bz ) = Chú ý Viết phương trình đối xứng đường thẳng qua điểm (x0, y0, 0) C song song với V Hình 18.31 15 Tìm phương trình mặt trụ sinh đường thẳng tựa vào đường tròn x + y = x nằm mặt phẳng xy dịch chuyển song song với véc tơ V = 2i +3j +k HD: Dùng kết tập 15 với a = 2; b = f(x, y) = x + y x B mụn gii tớch -đại học thđy lỵi Bài tập: GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ ĐS: f(x –2z; y –3z) = (x –2z)2 + (y –3z)2 – 6(x–2z) = hay là: x2 + y2 +13z2 – 4xz – 6yz – 6x +12z = 16 Tìm phương trình mặt trụ sinh đường thẳng cắt parabol y = x , nằm mặt phẳng xy đường thẳng chuyển động song song với véc tơ V = –2i –3j +5k 18.6 MẶT BẬC HAI Vẽ xác định mặt cong tập từ 1÷14 x + y + z = 16 ; HD: Đưa (E): x2 y z + + = mặt ellipsoit có ba bán trục a = 2 ; b = 4; c = 16 (Các bạn tự vẽ hình) z = 4( x + y ) z = 4( x + y ) HD: Giao mặt cong với (yOz) (P): z = 4y2; với (xOz) (P’): z = 4x2; Đây mặt parabơlơít trịn xoay, tiếp xúc với (xOy) gốc O(0;0;0) Giao tuyến mặt cong mặt phẳng z = a2 (a>0) đường tròn tâm I(0;0; a2) bán kính a/2, nằm mặt phẳng song song với (xOy) (Bạn đọc tự vẽ hình.) x2 − y2 + z2 = − x + y − z = 36 HD: Giao mặt cong với (yOz) (H): y2/36–z2/9 = 1; với (xOy) (H): y2/36–x2/9 = 1; với (xOz) tập rỗng Đây mặt hypecbơlơít hai tầng khơng trịn xoay, có trục y, mặt khơng có điểm chung với (xOz) Giao tuyến mặt cong mặt phẳng y = a (|a| ≥ 6) đường ellip có tâm nằm trục y, hai trục đối xứng song song với trục x trục z Độ dài bán trục theo x theo y là: vẽ hình.) z = − 2x2 − y z = x2 − y2 a − 36 / 2; a − 36 / (Bạn đọc t B mụn gii tớch -đại học thủy lợi Bi tập: GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ HD: Mặt kẻ parabơlơít hypecbôlic Giao mặt với (yOz) (P): z = –2y2; với (xOz) (P): z = x2; với (xOy) hai đường thẳng y = ±x/ (Xem hình vẽ với trục x hướng từ trái qua phải, trục y hướng từ vào trong, trục z thẳng đứng, hướng lên.) x = y + 4z x2 − y − 4z = HD: Mặt cong không giao với (yOz) (tức mặt phẳng x = 0); Giao với (xOz) theo hypécbôn (H1): x2– 4z2 = 4; với (xOy) (H2): x2– 4y2 = 4; Đây mặt Hypecbơlơít tầng tròn xoay (nhận trục z làm trục đối xứng) 10 x + y − z = 36 11 36 x + y + z = 36 HD: Đưa (E): x2 y z + + = mặt ellipsoit có ba bán trục a = ; b = 3; c = (Các bạn tự vẽ hình) 12 y = 1− x2 − y 13 z + 4x2 = y HD: Mặt kẻ (Parabơlơít Hypecbơlic) Giao tuyến với mặt phẳng xy cặp đường thẳng: y = ± 2x; với mặt phẳng xz parabôn: z = –4x2; với mặt phẳng yz parabôn: z = y2 Bạn đọc tự vẽ hình dựa hình 18.37 trang 50 với b = 1; a = –4 14 x2 + y − z − 2x − y + = 15 Tìm giao điểm đường thẳng x−6 y +2 z −2 x2 y2 z2 = = với ellipsoid + + =1 −6 81 36 HD: Chuyển phương trình đường thẳng dạng tham số: x = + 3t; y = –2 – 6t; z = + 4t; Thế vào phương trình mặt ellipsoid được: t = t = –1 Tìm hai giao điểm: M1(6; –2; 2) M2(3; 4; –2) 16 Chỉ mặt phẳng 2x–2z–y=10 giao với paraboloid z = tìm điểm 17 x2 y2 + ti mt im B mụn gii tớch -đại häc thđy lỵi Bài tập: GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ I = ∫ a.dy = − a a Vậy I = I1 + I + I = b) Đường thẳng qua (-a,0) (a,0) y=0 nên dy=0 a I = ∫ 0dx = −a ∫ 20 Tính ( −1, −1) C xy dx + x3 ydy , C đường gấp khúc bao gồm đoạn thẳng từ đến ( 2, −1) từ ( 2, −1) đến ( 2,4 ) 21 Một phần tử di chuyển vòng theo đường bậc hai từ ( 0,0 ) đến (1,0 ) đến (1,1) đến ( 0,1) đến ( 0,0 ) tác động lực trường F = ( x + y ) i + ( x + y ) j Tìm cơng sinh HD: +) Cơng lực F ¦ W = ∫ (2 x + y )dx + ( x + y )dy C +) Giả sử đường bậc đường trịn ,khi tâm đường trịn I( R= 1 , ),bán kính 2 ,có phương trình :   x = (1 + cos t )   y = (1 + sin t )  1   (3 + 2cos t + sin t ) (− sin t ) + (5 + cos t + 4sin t ) cos t  dt 2π  2   +) W = ∫ 2π = ∫ (5cos t − 3sin t + cos 2t + sin 2t )dt = 20 ∫ 22 Tính C xydx + ( x + y ) dy , C biên nửa hình trịn x + y ≤ , y ≥ quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ 21.2 SỰ KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO ĐƯỜNG TRƯỜNG BẢO TOÀN Từ tập đến 4, sử dụng hai phương pháp ví dụ để trường véc tơ khơng bảo tồn F = yi – xj Gi¶i: +) Däc theo ®−êng y = x ∫ FdR = ∫ ydx −xdy = ∫ 0dx = C C +) Theo ®−êng gÊp khóc tõ ( 0;0 ) đến (1;0 ) đến (1;1) 87 B mụn gii tớch -đại học thủy lợi Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ 1 0 ∫ FdR = ∫ ydx −xdy = ∫ 0dx + ∫ 1dy = C C +) Vậy trờng F không bảo toàn F = x3yi +xy2j Giải: +) Dọc theo ®−êng y = x ∫ F dR = ∫ x C ydx +xy dy = ∫ ( x + x3 )dx = C 1 + = 20 +) Theo ®−êng gÊp khúc từ ( 0;0 ) đến (1;0 ) đến (1;1) th× 1 C 0 +) Vậy trờng F không bảo toàn FdR = ∫ 0dx + ∫ y dy = Từ tập đến 8, tích phân đường phụ thuộc vào quỹ đạo lấy tích phân cách lấy hai quỹ đạo khác từ (0,0) đến (1,1) ∫ xydx + ( y − x ) dy C Giải: +) Dọc theo đờng y = x 2 ∫ FdR = ∫ xydx + ( y − x ) dy = ∫ x dx = C C +) Theo ®−êng gÊp khóc tõ ( 0;0 ) ®Õn (1;0 ) đến (1;1) 1 ∫C FdR = ∫0 0dx + ∫0 ( y − 1) dy =  − 1 = − +) Vậy tích phân đờng phụ thuộc vào quỹ đạo lấy tích phân ( x y )dx + 3xy dy C Gi¶i: +) Däc theo ®−êng y = x 2 ∫ FdR = ∫ ( x − y ) dx + 3xy dy = ∫ ( x + x ) dx = C C 1 + = +) Theo ®−êng gÊp khúc từ ( 0;0 ) đến (1;0 ) đến (1;1) th× 1 +1 = 3 C 0 +) Vậy tích phân đờng phụ thuộc vào quỹ đạo lấy tích phân Chng minh rng 2 ∫ FdR = ∫ x dx + ∫ y dy = (1,4 ) ∫ 2xydx + x dy ( −2,1) độc lập với quỹ đạo lấy tích phân, tính tích phân cách (a) sử dụng cơng thức (5); 88 Bộ mơn giải tích -đại học thủy lợi Bi tp: GII TCH NHIU BIN SỐ (b) lấy tích phân dọc theo quỹ đạo thuận tiện Gi¶i: NhËn xÐt: F = 2xyi + x j gradient trờng vô hớng f ( x; y ) = x y nên tích phân độc lập với quỹ đạo (a) áp dụng công thøc (5) ta cã: (1,4 ) ∫ 2xydx + x dy = 1.4 − 4.1 = ( −2,1) (b) Tõ ®iĨm ( −2;1) ®Õn (1;1) ®Õn (1; ) (1,4 ) ∫ 2 xydx + x dy = ( −2,1) −2 ∫ xdx + ∫ dy = (1 − ) + ( − 1) = Từ tập11 đến 16 chứng minh tích phân độc lập với quỹ đạo lấy tích phân tính (1,5) ∫ 11 ydx + xdy ( −2, −1) Gi¶i: +) NhËn xÐt: F = yi + xj lµ gradient cđa tr−êng v« h−íng f ( x; y ) = xy nên tích phân độc lập với quỹ đạo +) áp dụng công thức (5) ta có: (1,5) ∫ ydx + xdy = 2.1.5 − ( −2 )( −1) = ( −2, −1) (π 2,1) ∫ 13 e y cosxdx + e y s inxdy ( 0,0) Gi¶i: +) NhËn xÐt F = e y cos xi + e y sin xj gradient trờng vô hớng f ( x; y ) = e y sin x nên tích phân độc lập với quỹ đạo +) áp dụng công thức (5) ta cã: (π 2,1) π y y ∫0,0 e cosxdx + e s inxdy = e sin − e sin = e ( ) ( 4,1) ∫ 15 xydx + ( x + y )dy ( −2,1) Gi¶i: +) NhËn xÐt F = 2xyi + ( x + y ) j gradient trờng vô hớng f ( x; y ) = x y + tích phân độc lập với quỹ đạo +) áp dụng công thức (5) ta cã: ( 4,1)  13   13  2 ∫ xydx + ( x + y )dy =  +  −  ( −2 ) +  = 12 ( −2,1) 89 y3 nªn Bộ mơn gii tớch -đại học thủy lợi Bi tp: GII TCH NHIỀU BIẾN SỐ 17 Giả sử vật có khối lượng m chuyển động mặt phẳng x0y tác động lực hấp dẫn F = -mgj Nếu vật chuyển động từ (x1, y1) tới (x2, y2) dọc theo quỹ đạo C, chứng minh công lực F W = mg(y1 –y2), không phụ thuộc vào quỹ o Giải: +) Nhận xét F = mgj gradient cđa tr−êng v« h−íng f ( x; y ) = mgy nên tích phân độc lập với quỹ đạo +) áp dụng công thức (5) ta có: ( x2 ; y2 ) − ∫ mgdy = mg ( y1 − y2 ) ( x1 , y1 ) 21.3 ĐNNH LÝ GREEN Từ tập đến 4, tính tích phân đường cách trực tiếp định lý Green ∫ ( xy − y )dx + xy dy , C quỹ đạo đóng đơn xác định y = 0, x =1, y = x C Giải: +) Cách trực tiếp - Trên đờng y = ; x ≤ 1 2 ∫ ( xy − y )dx + xy dy = ∫ 0dx = 0 C1 -Trên đờng x = ; y ≤ 1 2 ∫C ( xy − y )dx + xy dy = ∫0 y dy = -Trên đờng y = x ; x1 = ; x2 = ∫ ( xy − y )dx + xy dy = ∫ x dx = − C3 VËy I = 1 − = 12 +) Dïng Green - Ta cã: ( xy − y ) ' y = x − y ; ( xy ) 'x = y - VËy I = ∫∫ ( y − x + y ) dxdy víi D : ≤ x ≤ ; ≤ y ≤ x D x 0 - Cuèi cïng I = ∫ dx ∫ ( y − x + y ) dy = 12 1 dx + dy , C quỹ đạo đóng đơn xác định y =x, y = 4, x = y x C Giải: +) Cách trực tiếp -Trên đờng y = ; x1 = ; x2 = 90 B mụn gii tớch -đại học thủy lỵi Bài tập: GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ 1 1 ∫C y dx + x dy = 4 dx = -Trên đờng x = ; y1 = 4; y2 = 1 ∫C y dx + x dy = −3 -Trên đờng y = x ; x1 = ; x2 = 4 1 ∫C y dx + x dy = ∫1 x dy = ln VËy I = − 15 + ln 4 +) Dïng Green 1 1 - Ta cã:   ' y = − ;   'x = − y  x x  y  1  - VËy I = ∫∫  −  dxdy víi D :1 ≤ x ≤ ; x ≤ y ≤ x  D  y  1  15 - Hay I = ∫ dx ∫  −  dy = ln − x  x y 4 Từ tập đến 12 sử dụng Green để tính tích phân ng sau: 91 B mụn gii tớch -đại học thủy lỵi Bài tập: GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ ∫ xydx + ( x + y )dy , với C đường cong đóng xác định y = 0, x = 0, y =1, x = -1 C Gi¶i: +) Dïng Green - Ta cã: ( xy ) ' y = x ; ( x + y ) 'x = - VËy I = ∫∫ (1 − x ) dxdy víi D : −1 ≤ x ≤ ; ≤ y ≤ D −1 - Hay I = ∫ dx ∫ (1 − x ) dy = 2 −x y ∫ 1+ x dx + arctan xdy với C đường cong đóng xác định y = 0, x =1 , y =1, x = C Gi¶i: +) Dïng Green  − x2 y  x2 - Ta cã:  ' ; ( tan −1 x ) 'x = = −  y 1+ x + x2 1+ x   x2  - VËy I = ∫∫  + dxdy víi D : ≤ x ≤ ; ≤ y ≤ 2  + x + x   D 1 0 - Hay I = ∫ dx ∫ dy = ∫ (e x3 + y )dx + ( x + + y )dy với C đường cong đóng xác định y = 0, x =1, y = C x Gi¶i: +) Dïng Green ( ) ( ) - Ta cã: e x + y ' y = y ; x + + y 'x = - VËy I = ∫∫ (1 − y ) dxdy víi D : ≤ x ≤ ; x ≤ y ≤ D 1 x - Hay I = ∫ dx ∫ (1 − y )dy = 11 ∫ (− y + arctan x)dx + ln ydy với C đường cong đóng xác định y = x2, x = y2 C Gi¶i: +) Dïng Green - Ta cã: ( − y + arctan x ) ' y = −2 y ; ( ln y ) 'x = - VËy I = 2∫∫ ydxdy víi D : ≤ x ≤ ; x ≤ y ≤ x D x 10 x2 Từ tập 13 đến 20 sử dụng cơng thức (9) tìm diện tích giới hạn đường cong 13 y = 3x y2 = 9x Giải: +) áp dụng CT (9) ta có: - Hay I = ∫ dx ∫ ydy = 92 B mụn gii tớch -đại học thủy lợi Bi tập: GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ xdy − ydx C +) Trên đờng y = x ; x1 = ; x2 = S= ∫ xdy − ydx = ∫ 0dx = C1 y2 ; y1 = ; y2 = 0  y2  y2 xdy − ydx = − y y dy = −   ∫ ∫3  9  ∫3 dy =1 C2 Vậy: S= +) Trên đờng x = 15 Trục 0x nhịp cycloid : x = a(θ − sin θ ), y = a(1 − cox ) Giải: +) áp dụng CT (9) ta có: S = ∫ xdy − ydx 2C +) Mét nhịp nghĩa 2 +) VËy S = ∫ ( a (θ − sin θ ) a sin θ − a(1 − cos θ )a(1 − cos θ ) ) dθ = 3π a 2  x = a cos3 θ ≤ θ ≤ 2π 17   y = a sin Giải: +) áp dụng CT (9) ta cã: S = ∫ xdy − ydx 2C 2π a cos θ 3a sin θ cos θ + a sin θ 3a cos θ sin θ ) dθ = π a ( ∫ 19 Trục 0x cung y = sinx Gi¶i: +) XÐt mét cung víi ≤ x ≤ π +) ¸p dơng CT (9) ta cã: S = ∫ xdy − ydx 2C +) Trên đờng y = ; x ≤ π +) VËy S = ∫ xdy − ydx = ∫ 0dx = C1 +) Trªn ®−êng y = sin x ; x1 = π ; x2 = 93 B mụn gii tớch -đại häc thđy lỵi Bài tập: GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ ∫ xdy − ydx = π∫ ( x.cos x − sin x ) dx = C2 VËy S = 21 Một vịng hình Descacter (phương trình x3 + y3 = 3axy) Hình y 17.11 Trong tập 16 mục 17.1 ta tham số hoá t = thu phương trình tham x số 3at 3at ,y = x= 1+ t3 1+ t3 Sử dụng công thức (9) để tìm diện tích phần hình Gợi ý: phần hình nằm đường thẳng y =x ứng với t tng t n Giải: +) áp dụng CT (9) ta cã: S = ∫ xdy − ydx 2C +) S =  3at ∫0  + t +∞  3at  1+ t  3at ' − t 1+ t +) Cuối ta đợc: S = +∞ ∫  3at  1+ t 9at (1 + t )    't  dt   dt = 3a 2 Từ tập 23 đến 28 kiểm tra tính bảo tồn trường véc tơ F tìm vị 23 F = y3i + 3xy2j Gi¶i: +) NhËn xÐt ( y ) ' y = y = ( xy ) 'x Vậy F trờng bảo toàn +) Ta cã f = xy + g ( y ) +) f ' y = 3xy + g '( y ) = 3xy nªn g '( y ) = hay g ( y ) = C +) VËy f = xy + C 25 F = (yexy – 2x)i + (xexy+ 2y)j Gi¶i: +) NhËn xÐt ( ye xy − x ) ' y = e xy ( xy + 1) = ( xe xy + y ) 'x VËy F lµ trờng bảo toàn +) Ta có f = e xy − x + g ( y ) +) f ' y = x.e xy + g '( y ) = x.e xy + y nªn g '( y ) = y hay g ( y ) = y + C +) VËy f = e xy − x + y + C 27 F = (siny – ysinx )i + (xcosy + cosx)j Gi¶i: +) NhËn xÐt ( sin y − y sin x ) ' y = cos y − sin x = ( x cos y + cosx ) 'x VËy F trờng bảo toàn +) Ta có f = x sin y + y cos x + g ( y ) +) f ' y = x cos y + cos x + g '( y ) = x cos y + cos x nªn g '( y ) = hay g ( y) = C +) VËy f = x sin y + y cos x + C 94 B mụn gii tớch -đại học thủy lợi Bài tập: GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ 29 Cho C1, C2 C3 đường cong đóng đơn Hình 21.19 Cho R miền C1 ngồi C2, C3 Giả sử M(x, y) N(x,y) liên tục có đạo hàm riêng liên tục R dọc theo đường cong Chứng minh định lý Green:  ∂N ∫ Mdx + Ndy = ∫∫  ∂x − C R ∂M  dA ∂y  thoả mãn trường hợp này, với C tổng biên R, bao gồm C1, C2 C3 định hướng hình vẽ Hình 21.19 (Đường cong C2, C3 định hướng theo chiều kim đồng hồ, định hướng ta biên miền R nằm bên tay trái) Gi¶i: +) Gäi C1 , C2 , C3 bao quanh R1 ; R2 ; R3 t−¬ng øng +) VËy S R = S R1 − S R2 − S R3 +) Trên C1 lấy điểm A ; C2 điểm B ; C3 điểm D +) Ta có hợp ®−êng L = C1 ∪ AB ∪ C2 ∪ BA AD C3 DA làm thành đờng cong kÝn Bao quanh R +) Theo Green  ∂N ∂M  ∫L Mdx + Ndy = ∫∫R  ∂x − ∂y dA +) Do vËy ∫ Mdx + Ndy = ∫ + ∫ + ∫ + ∫ + ∫ + ∫ + ∫ = ∫ + ∫ + ∫ = ∫ L C1 AB C2 BA AD C3 DA C1 C2 C3 C §PCM 31 Nếu C1 đường tròn x2 + y2= C2 quỹ đạo đóng đơn tuỳ ý chứa C1 Hình 21.20, sử dụng tập 29 chứng minh −y x ∫C x + y dx + x + y dy = ∫x C1 −y x dx + dy +y x + y2 tính tích phân bên vế trái cách tính tích phân bên vế phải Hình 21.20 Gi¶i:  −y   x  y − x2 +) Ta cã:  = ' = '  y 2  x 2 x +y  (x + y )  x + y  95 B mụn gii tớch -đại học thủy lợi Bi tp: GII TCH NHIU BIN S +) áp dụng 29 ta cã −y x dx + dy = 2 ∫ x y x y + + − C ∪ C ( 1) víi −C1 lµ hớng ngợc với hớng C1 hình vẽ y x −y x dx + dy = ∫ dx + dy +) VËy ∫ 2 2 x +y x + y2 C2 x + y C1 x + y +) Phơng trình tham số C1 x = cos t ; y = sin t víi t1 = ; t2 = 2π +) VËy I = 2π 2π 0 ∫ ( − sin t.( − sin t ) + cos t.cos t ) dt = dt = A.22 Tích phân mặt định lý phân nhánh Tìm divF : a F = (y - z)i + (z - x)j + (x - y)k HD: + L = y – z, M = z – x, N = x – y ∂( y − z ) ∂( z − x) ∂ ( x − y ) + + + div F = ∂x ∂y ∂z ++ = + + + =0 b F = (2 z − sin e y ) i + xy j − xz k HD: + L = z − sin e y ; M = xy; N = − xz ∂ (2 z − sin e y ) ∂ ( xy ) ∂ (− xz ) + div F = + + ∂x ∂y ∂z ++ = + x − x + =0 c F = xy i + xz j + (2z - yz) k HD: ∂ ( xy ) ∂ ( xz ) ∂ (2 z − yz ) div F = + + ∂x ∂y ∂z = y + + (2 − y ) = x d F = e sin y i + e x cos y j + e z sin x k ∂ (e x sin y ) ∂ (e x cos y ) ∂ (e z sin x) div F = + + ∂x ∂y ∂z = e x sin y − e x sin y + e z sin x = e z sin x x y z e F = i + j + k; r = x + y + z r r r   x x 2  x  ∂  x + y + z − x ∂  2   x2 + y + z y2 + z2 r=  x +y +z = = x2 + y2 + z r3 ∂x ∂x 96 Bộ mụn gii tớch -đại học thủy lợi Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ x  y z ∂  ∂  ∂  r r r divF =   +   +   ∂x ∂y ∂z y + z z + x2 x2 + y 2 = + + = r3 r3 r3 r Từ đến sử dụng định lý phân nhánh tìm thông lợng trờng vectơ cho tr−íc qua mỈt S cho tr−íc: F = xi – yj + zk; S mặt trụ cho ví dụ F = xi + yj + zk; S mặt Elipsoid x2/a2+y2/b2+z2/c2 = HD: ∂x ∂y ∂z ++ div F = + + =3 ∂x ∂y ∂z + ∫∫ FndA = ∫∫∫ div FdV S + R = 3∫∫∫ dV R = π abc = 4π abc 3 F = x i + y3j + z3k; S mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2 HD: ∂x ∂y ∂z ++ div F = + + = 3( x2 + y + z ) = a2 ∂x ∂y ∂z + + ∫∫ FndA = ∫∫∫ div FdV S + = 3a R ∫∫∫ dV R = 3a π a = 4π a Nếu R vectơ dương xi + yj + zk r = x + y + z độ dài nó, tìm div trường lực trung tâm F = f(r )(R/r), f(r ) hàm khả vi HD: x y z + F = f ( r )( R / r ) = f (r ) i + f (r ) j + f (r ) k r r r x y z       ∂  f (r )  ∂  f (r )  ∂  f ( r )  r r  r + div F =  +  ∂x ∂y ∂z x  ∂  f (r )  2 2 r  ∂f x f ( r )( y + z ) ∂f x x f (r )( y + z )  = + = + + ∂x ∂x r r3 ∂r r r r3 + 97 B mụn gii tớch -đại học thủy lợi Bi tp: GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ  ∂f x ∂f y ∂f z   f (r )( y + z ) f ( r )( z + x ) f (r )( x + y )  + + + div F =  + +  +   ∂r r ∂r r   r3 r3 r3  ∂r r  ∂f ( r ) f (r ) +2 + div F = ∂r r Nếu n số nguyên dương f(r) =1/rn 7, div trường lực F n=2, trường hợp HD: + n = 2: f ( r ) = ⇒ f '( r ) = − r r ∂f ( r ) f (r ) + div F = +2 = ∂r r n + n ≠ : f ( r ) = n ⇒ f '( r ) = − n+1 r r ∂f ( r ) f (r ) − n + div F = +2 = n+1 ∂r r r + div F ≠ 0, ∀n ≠ 11 Sử dụng định lý phân nhánh dể tìm thơng lượng trường F mặt hình hộp 10 nếu: a F = x2i + y2j + z2k; HD: ∂x ∂y ∂z + div F = + + = 2( x + y + z) ∂x ∂y ∂z + ∫∫ FndA = ∫∫∫ div FdV = 2∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz S R R 3 1  = 2∫∫∫ ( x + y + z )dxdydz = 2∫∫  y + z +  dydz = = 36 2 0 0 0 b F = xzi +xyj +yzk HD: ∂xz ∂xy ∂yz + div F = + + = ( x + y + z) ∂x ∂y ∂z + + ∫∫ FndA = ∫∫∫ div FdV = ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz S R + R 1  = ∫∫∫ ( x + y + z )dxdydz = ∫∫  y + z +  dydz = = 18 2 0 0 0 A.23 Định lý Stoke Chng minh rng tớch cht (c) dẫn đến tính chất (d), nghĩa là, chứng minh curl∇f = HD: ∂f ∂f ∂f + F lµ tr−êng Gradient ⇔ F = ∆f ⇔ L i + M j + N k = i+ j+ k x y z 98 B mụn gii tớch -đại häc thđy lỵi Bài tập: GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ + L= ∂f ∂f ∂f , M = , N= ∂x ∂y ∂z  ∂N ∂M   ∂M ∂L   ∂L ∂N  − − − k + curl F =   i+  j+  ∂z   ∂z ∂x   ∂y  ∂x ∂y  ∂N ∂M ∂ f ∂2 f + − = − =0 ∂y ∂z ∂z∂y ∂y∂z + T−¬ng tù ®−a ra: curl F = Nếu trường véc tơ F = − yi + xj + 0k trường vận tốc đối lưu sau, biểu diễn trường mặt phẳng xy (nghĩa là, vẽ vừa đủ véc tơ vận tốc tác động vào điểm khác nhau) để hiểu chất chuyển động Rồi sau tính curlF , cho C đường tròn R = r cos θ i + r sin θ j + 0k ( ≤ θ ≤ 2π ) mặt phẳng xy , kiểm tra công thức ( curlF ) n = ∫ F.dR A C đường trịn miền trong mặt phẳng xy HD: i j k ∂ ∂ ∂ + curl F = = 2k ∂x y z y x + Véc tơ pháp tuyến cđa ®−êng cong kin (C): n = k 1 + F dR = ∫ − ydx + xdy + 0dz ∫ AC AC += A 2π ∫  − r sin θ ( − r sin θ ) + r cos θ r cos θ  dθ = A curl F n = 2π ∫ rdθ 2π r 2π r = =2 A r2 Từ suy điều phải chøng minh += F = y ( x − z ) i + ( x + z ) j + y cos xzk ; C biên hình vng ≤ x ≤ , ≤ y ≤ , z = HD: + L = y(x - z), M = 2x + z , N = y cos xz  ∂N ∂M   ∂L ∂N   ∂M ∂L  + curl F =  − − − k i +   j + ∂z   ∂z ∂x   ∂y  ∂x ∂y  + = ( y cos xz − z ) i + ( − y + zy sin xz ) j + ( 3x + z ) k + Vectơ đơn vị: n = k nên curl F n = 3x + z 99 Bộ môn gii tớch -đại học thủy lợi Bi tp: GII TCH NHIỀU BIẾN SỐ 2 + ∫ F dR = ∫∫ (3x + 5)dA = ∫ ∫ (3x + 5)dxdy = = 32 C 0 S F = yi + ( x + y ) j + ( x + y + z ) k ; C đường ellipse mặt phẳng z = x giao với trụ x2 + y = HD: + L = y, M = x + y, N = x + y + z curl F = i − j + 0k + ∫ F dR = ∫∫ ( curl F ) n dA C S víi n = (- 1, 0, 1) ⇒ curl F n = −1 + Nªn ∫ F dR = − ∫∫ dA ; ∫∫ dA b»ng diƯn tÝch cđa ®−êng trßn x + z = C S S + = −π F = ( y + z ) i + ( sin y − x ) j + ( e z + x ) k ; C đường tròn x + y = , z = HD: + L = 3y+z, M = siny – 3x, N = e z + x + curl F = - 6k + n = k + ∫ FdR = ∫∫ ( curl F ) n dA = ∫∫ −6dA C S S + = −6π 11 F = e x i + ( x + z ) sin y j + ( y − x + yz ) k ; C biên phần tam giác mặt phẳng x + y + z = góc phần tám thứ HD: Curl F = ( y + z − sin y 3i ) + ( −2 x) j + ( sin y ) k n = i + j + k Nªn curl F n = 2y + 2z + 2x ∫ F dR = ∫∫ (2 y + z + x)dA = ∫∫ dxdy = 27 C S 0≤ x , y ≤ Trong tập 12 đến 15, kiểm tra định lý Stokes F , S , C cho 13 F = xyi + yzj + zxk , S phần mặt phẳng x + y + z = nằm góc phần tám thứ nhất, C biên định hướng theo chiều ngược chiều kim đồng hồ theo nghĩa HD: L = xy, M = yz, N =zx curl F = - y i - z j – x k n = i + j + k nªn curl F n = - (x + y + z) ∫C FdR = ∫∫S −( x + y + z )dA = −0≤∫∫x, y≤1 dxdy = 100 B mụn gii tớch -đại häc thđy lỵi Bài tập: GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ x2 y2 15 F = ( x + y ) i + ( y + z ) j + ( z + x ) k , S đĩa ellipse + ≤ , z = , C biên a b định hướng ngược chiều kim đồng hồ theo nghĩa HD: L = x+y, M = y+z, N =z+x curl F = - i – j – k n = k nªn curl F n = -1 + ∫ FdR = ∫∫ − dA = −π ab C S 17 Lặp lại tập 16 F = xz 2i + x3 j + cos xzk S nửa ellipsoid x + y + z = với n hướng lên HD: F = xz i + x j + cos xz k + curl F = ( xz − z sin xz ) j + 3x k + ∫∫ ( curl F ) ndA = ∫∫ ( xz − z sin xz ) dzdx + 3x dxdy S S  ∂ ( xz − z sin xz ) ∂ ( x )  dxdydz − ∫∫ x dxdy + = ∫∫∫  + ∂y ∂z  V  S1   + Trong ®ã V = { x + y + z = 1; z ≥ 0} ; S1 = { x + y ≤ 1; z = 0} 2π + = 0− ∫ ∫ ( 3r 0 2π cos θ ) rdrdθ = −3 ∫ cos θ dθ ∫ r dr = = − 2 0 101 3π ... gian công sức để biên soạn ? ?Tài liệu hướng dẫn giải số tập? ?? giáo trình Giải tích nhiều biến số Simmon Cuốn tài liệu giúp sinh viên tháo gỡ phần khó khăn việc tìm lời giải tốn, khơng phải đáp án hồn... thủy lỵi Bài tập: GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ 16 Giải tập 15 P nằm ellipsoid x2 y2 z2 + + = Gợi ý: Sử dụng đạo hàm a2 b2 c2 hàm Nn 17 Giải tập 15 P nằm paraboloid z = − x − y Hướng dẫn: Bài tốn... x tan y + y tan x Hướng dẫn: ∂z = tan y + y.sec 3x, ∂x ∂z = x.sec 2 y + tan 3x, ∂y z = cos(3 x y ) 15 B mụn gii tớch -đại học thđy lỵi Bài tập: GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ Hướng dẫn: ∂z = −3.sin(3x