Đang tải... (xem toàn văn)
Olympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVienOlympic Toan SinhVien
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC CHÍNH THỨC MƠN GIẢI TÍCH Ngày thi: 09/03/2019 Thời gian làm bài: 75 phút Không sử dụng tài liệu ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN BỘ MƠN TỐN – LÝ Câu (2 điểm) a) Chứng minh b) Cho dãy dãy hội tụ xác định theo công thức truy hồi sau: Chứng minh dãy hội tụ tính Câu (2 điểm) Cho số thực số nguyên dương thỏa mãn Chứng minh phương trình sau có nghiệm : Câu (2 điểm) a) Cho b) Cho hàm số thực cho Chứng minh liên tục hàm số thực cho Chứng minh liên tục liên tục với liên tục với mọị Câu (2 điểm) Cho hàm số thực liên tục có đạo hàm cấp cấp hai liên tục cho Chứng minh với tồn cho Câu (2 điểm) Cho hàm số thực khả vi cho Chứng minh -Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Q.TRƯỞNG BM TỐN - LÝ CAO THANH TÌNH ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI GT1 CHỌN ĐỘI ÔN TẬP DỰ THI OLYMPIC BỘ MƠN TỐN – LÝ Năm học 2020 - 2021 Ngày thi: 26/12/2020 Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Bài Tìm giới hạn sau (nếu có): a) b) c) Bài Cho dãy số Chứng minh dãy xác định công thức sau: Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: a) b) Bài Chứng minh chuỗi hội tụ chuỗi -Hết - hội tụ ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN BỘ MƠN TỐN – LÝ ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC MÔN GIẢI TÍCH NĂM 2019-2020 Ngày thi: 07/12/2019 Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (2 điểm) Tính giới hạn (nếu có) a) b) Câu (2 điểm) a) Nếu b) Giả sử , tìm hai hàm số liên tục cho Hãy tính Câu (2 điểm) Một nơng dân có 2400m hàng rào muốn rào lại cánh đồng hình chữ nhật tiếp giáp với sơng Ơng khơng cần rào cho phía giáp bờ sơng Hỏi ơng rào cánh đồng với diện tích lớn bao nhiêu? ` Câu (2 điểm) Chứng minh hàm số Câu (2 điểm) Cho hàm số liên tục Chứng minh tồn đồng biến thỏa cho -Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm tính với ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN BỘ MƠN TỐN – LÝ ĐỀ THI OLYMPIC GIẢI TÍCH Năm học 2016-2017 Ngày thi: /11/2016 Thời gian làm bài: phút Không sử dụng tài liệu Câu (4 điểm) Tính giới hạn sau a/ b/ Câu (2 điểm) Khai triển Maclaurin hàm Câu (4 điểm) Xét hội tụ tích phân sau đến Tính a/ b/ -Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Trưởng BM Tốn - Lý TS DƯƠNG TƠN ĐẢM ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN ĐỀ THI GT CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC DỰ THI OLYMPIC BỘ MƠN TỐN – LÝ Năm học 2020 - 2021 Ngày thi: 13/04/2021 Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Bài Cho dãy số Tìm xác định công thức Bài Giả sử hàm khả vi đoạn Chứng minh rằng: , Bài Xét tính hội tụ chuỗi sau: a) b) c) d) Bài Giả sử Áp dụng: Tìm ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN BỘ MƠN TỐN – LÝ ĐỀ THI GT CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC DỰ THI OLYMPIC Năm học 2022 - 2023 Ngày thi: 04/03/2023 Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Bài Cho dãy số {xn }n 1 , {yn }n 1 xác định công thức x1 a, y1 b, xn1 xn yn , yn1 xn yn (a, b ) Chứng minh dãy {xn }n 1 , {yn }n 1 có giới hạn hữu hạn lim xn lim yn n n Bài Giả sử: 1) hàm f ( x ) xác định có đạo hàm cấp ( p q) f ( p q ) ( x ) liên tục đoạn [a, b] , ( p, q ) 2) hàm f ( x ) có đạo hàm cấp ( p q 1) f ( p q 1) ( x) khoảng (a, b) 3) thỏa mãn đẳng thức f ( a) f (a ) f ( p ) ( a ) , f (b) f (b) f ( q ) (b) Chứng minh tồn c (a, b) cho f ( p q 1) (c ) Bài Giả sử hàm f ( x )C ( , ) với số thực x, h ta có đẳng thức h f ( x h) f ( x ) h f x 2 Chứng minh f ( x ) ax bx c , a, b, c số Bài Giả sử hàm f ( x) khả vi liên tục đoạn [a, b] f ( a) Chứng minh bất đẳng thức: b M (b a) [ f ( x)]2 dx , với M sup{| f ( x) |} a a x b -Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN VÀ HỌC SINH NĂM 2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi có 02 trang) Bảng A Bài A.1 Cho (xn )∞ n=1 dãy số xác định điều kiện x1 = 2019, xn+1 = ln(1 + xn ) − 2xn + xn ∀n ≥ 1 (2 điểm) Chứng minh (xn )∞ n=1 dãy số không âm (2 điểm) Chứng minh tồn số thực c ∈ (0, 1) cho |xn+1 − xn | ≤ c|xn − xn−1 | ∀n ≥ (2 điểm) Chứng minh dãy (xn )∞ n=1 có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Bài A.2 (6 điểm) Gọi D tập hợp tất hàm số f : R → [0, +∞) cho |f (x) − f (y)| ≤ |x − y| với x, y ∈ R Với x0 , y0 hai số thực cho trước, tìm max|f (x0 ) − f (y0 )| f ∈D Bài A.3 (6 điểm) Một doanh nghiệp sản xuất ơ-tơ có hàm sản xuất hàm Cobb-Douglas: Q = K L3 ; đó, K L ký hiệu số đơn vị vốn tư số đơn vị lao động mà doanh nghiệp th được, cịn Q ký hiệu số ơ-tơ sản xuất Giả sử giá thuê đơn vị vốn tư wk , giá thuê đơn vị lao động wl và, ngồi chi phí thuê lao động vốn tư bản, doanh nghiệp phải chịu chi phí cố định C0 Khi đó, hàm số C = wk K + wl L + C mơ tả tổng chi phí mà doanh nghiệp phải bỏ ra, thường gọi hàm chi phí sản xuất Năm 2019 doanh nghiệp dự định sản xuất 2000 ô-tô Nếu bạn chủ doanh nghiệp, để chi phí sản xuất thấp nhất, bạn thuê đơn vị vốn tư đơn vị lao động năm 2019 biết C0 = 100, wl = wk = 8? Bài A.4 Cho f hàm số khả vi liên tục [0, 1] có f (1) = 1/2 (Xem tiếp trang sau) (4 điểm) Chứng minh Z Z |f (x)|dx ≤ x|f (x)|dx (2 điểm) Tìm ví dụ hàm số f khả vi liên tục [0, 1], với f (1) = 0, cho Z Z |f (x)|dx < x|f (x)|dx 0 Bài A.5 Cho f : [0, +∞) → [0, +∞) hàm số liên tục đơn điệu không tăng (4 điểm) Giả sử tồn giới hạn: Z lim f (x) + x→+∞ x f (t)dt < +∞ Chứng minh lim xf (x) = x→+∞ (2 điểm) Tìm ví dụ hàm số f : [0, +∞) → [0, +∞) liên tục, đơn điệu không tăng, cho Z x lim x→+∞ f (x) + f (t)dt = +∞ lim xf (x) = x→+∞ HẾT Ghi chú: Thí sinh khơng phép sử dụng tài liệu, cán coi thi khơng giải thích thêm 2/2 UBND Tỉnh Quảng Bình Trường Đại học Quảng Bình MỘT SỐ BÀI TỐN DÃY SỐ, LUYỆN THI OLYMPIC TOÁN Biên soạn: Th.s Phan Trọng Tiến Một số kiến thức nhắc lại: Dãy số ánh xạ từ tập số tự nhiên (hoặc số nguyên không âm) vào tập số thực f : N → R Đặt an = f (n), n ∈ N, dùng ký hiệu {an } để dãy số Dãy số {an } gọi là: - dương (âm) an > (an < 0) với n; - không âm (không dương) an ≥ (an ≤ 0) với n; - đơn điệu tăng (giảm) an+1 ≥ an (an+1 ≤ an ) với n; - tăng (giảm) ngặt an+1 > an (an+1 < an ) với n; - hội tụ tới a ∈ R (hoặc có giới hạn hữu hạn a), với số ε > cho trước bé tùy ý, tồn n(ε) ∈ N cho |an − a| < ε, ∀n ≥ n0 Trong trường hợp thế, ta nói dãy {an } hội tụ, gọi a giới hạn dãy {an } viết lim an = a n→∞ - phân kỳ +∞, với số A > cho trước lớn tùy ý, tồn n(A) ∈ N cho an > A, ∀n ≥ n(A) Trong trường hợp thế, ta viết lim an = +∞ n→∞ - phân kỳ −∞, với số A > cho trước lớn tùy ý, tồn n(A) ∈ N cho an < −A, ∀n ≥ n(A) Trong trường hợp thế, ta viết lim an = −∞ n→∞ - dãy Cauchy (hoặc dãy bản), với số ε > cho trước bé tùy ý, tồn n(ε) ∈ N cho |am − an | < ε, ∀m, n ≥ n(ε) Định lý hội tụ đơn điệu nói dãy số đơn điệu (tăng giảm) bị chặn có giới hạn hữu hạn 22 Cho f g hàm liên tục [a; b], khả vi khoảng mở (a; b) giả sử f (a) = f (b) = Chứng minh tồn x ∈ (a; b) cho g (x)f (x) + f (x) = 23 Cho f hàm liên tục [a; b]; a > khả vi khoảng mở (a; b) Chứng minh f (b) f (a) = , tồn x0 ∈ (a; b) cho x0 f (x0 ) = f (x0 ): a b 24 Giả sử f liên tục [a; b] khả vi (a; b) Chứng minh f (b) − f (a) = b2 − a2 phương trình f (x)f (x) = x có nghiệm (a; b) 25 Giả sử f g liên tục, khác [a; b] khả vi (a; b) Chứng minh g (x0 ) f (x0 ) f (a)g(b) = f (b)g(a) tồn x0 ∈ (a; b) cho = f (x0 ) g(x0 ) a0 a1 an−1 + + + + an = : Chứng n+1 n minh đa thức P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + + an có nghiệm (0; 1) 26 Giả sử a0 ; a1 ; ; an số thực thoả mãn 27 Cho f khả vi liên tục [a; b] khả vi cấp hai (a; b), giả sử f (a) = f (a) = f (b) = Chứng minh tồn x1 ∈ (a; b) cho f 00 (x1 ) = 28 Cho f liên tục [0; 2] khả vi cấp hai (0; 2) Chứng minh (f (0) = 0; f (1) = f (2) = tồn x0 ∈ (0; 2) cho f 00 (x0 ) = 29 Cho f liên tục [0, 1] khả vi (0, 1), f (x) 6= −1, ∀x ∈ [0, 1] f (0) = 0, f (1) = 1 CMR: ∃ξ ∈ (0, 1) cho f (ξ) = [1 + f (ξ)]2 30 Cho hàm số f (x) có đạo hàm (0, +∞) hàm Cho a, b hai số thực thỏa mãn điều kiện < a < b Chứng minh phương trình sau có af (b) − bf (a) nghiệm thuộc (a, b): xf (x) − f (x) = b−a 31 Cho f hàm liên tục [0, 1], khả vi (0, 1) cho f (0) = 0, f (1) = Chứng minh tồn điểm x1 , x2 , , x2009 , < x1 < x2 < < x2009 < cho f (x1 ) + f (x2 ) + + f (x2009 ) = 2009 UBND Tỉnh Quảng Bình Trường Đại học Quảng Bình MỘT SỐ BÀI TỐN HÀM LIÊN TỤC, LUYỆN THI OLYMPIC TOÁN Biên soạn: Th.s Phan Trọng Tiến Một số kiến thức nhắc lại: Cho X ⊂ R Ta gọi ánh xạ f từ X vào R hàm số Tập X gọi tập xác định hàm f Hàm đơn điệu: Ta nói hàm số f đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) tập E ⊂ R với cặp x1 , x2 ∈ E mà x1 < x2 f (x1 ) ≤ f (x2 ) (f (x1 ) ≥ f (x2 )) Hàm f gọi đơn điệu tăng ngặt (đơn điệu giảm ngặt) tập E ⊂ R với cặp x1 , x2 ∈ E mà x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 )) Hàm số đơn điệu tăng (ngặt) hay đơn điệu giảm (ngặt) gọi chung hàm đơn điệu (ngặt) Hàm bị chặn: Hàm số f gọi bị chặn tập D ⊂ R tồn số M cho f (x) ≤ M, ∀x ∈ D Hàm f gọi bị chặn tập D ⊂ R tồn số m cho f (x) ≥ m, ∀x ∈ D Hàm f vừa bị chặn vừa bị chặn D gọi bị chặn D Như suy rằng: hàm f bị chặn D tồn số M ≥ cho |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ D Giới hạn hàm số: Số thực l gọi giới hạn hàm số f x dần đến x0 ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0: ∀x ∈ X mà < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − l| < ε Lúc kí hiệu: lim f (x) = l hay f (x) → l x → x0 x→x0 Định lý chuyển qua dãy: Điều kiện cần đủ để lim f (x) = l với dãy (xn )n ⊂ X x→x0 mà xn → x0 n → ∞ f (xn ) → l n → ∞ Giới hạn vô giới hạn vô cùng: Nếu với số M > tồn số δ > cho f (x) > M (f (x) < −M ) với x thoả mãn bất đẳng thức < |x − a| < δ ta nói f có giới hạn +∞ (−∞) x tiến tới a ký hiệu: lim f (x) = +∞ (lim f (x) = −∞) x→a x→a Bây ta giả thiết hàm f xác định tập không bị chặn Số L gọi giới hạn f x tiến +∞(−∞) với ε > tồn số M > cho với x ∈ X thoả mãn bất đẳng thức x > M (x < −M ) ta có: |f (x) − L| < ε Ký hiệu: lim f (x) = L ( lim f (x) = L) x→+∞ x→−∞ Nếu với số E > tồn số M > cho f (x) > E (f (x) < −E) với x ∈ X thoả mãn x > M ta nói hàm f có giới hạn +∞(−∞) x tiến +∞ ký hiệu: lim f (x) = +∞ ( lim f (x) = −∞) x→+∞ x→−∞ Tương tự cho lim f (x) = −∞ lim f (x) = −∞ x→+∞ x→+∞ Hàm liên tục: Hàm f gọi liên tục điểm x0 nếu: Tồn giới hạn lim f (x); f (x0 ) = lim f (x) x→x0 x→x0 Theo ngơn ngữ ε − δ Hàm f gọi liên tục x0 với ε > tồn số δ > cho với x : |x − a| < δ ta có |f (x) − f (x0 )| < ε Tính chất hàm liên tục: 1) Nếu f liên tục [a, b] f (a).f (b) < có điểm c ∈ (a, b) cho f (c) = 2) Giả sử f liên tục [a, b] f (a) = A 6= B = f (b) Khi f nhận giá trị trung gian A B (Ta nói : f lấp đầy đoạn [A, B]) Hàm số gọi liên tục tập X ⊂ R với số dương ε (nhỏ tùy ý), ta tìm số dương δ cho ∀x, y ∈ X, |x − y| ≤ δ ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ε Định lý Cantor: Hàm liên tục đoạn liên tục đoạn Nếu hàm f liên tục đoạn [a, b] f bị chặn đoạn [a, b] Hơn f đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn đó, tức có α, β ∈ [a, b] để f (β) = f (x) f (α) = max f (x) x∈[a,b] x∈[a,b] Bài 1.1 Cho f hàm liên tục R cho f (f (x)) = x với x ∈ R a) Chứng minh phương trình f (x) = x ln ln có nghiệm b) Hãy tìm hàm thoả mãn điều kiện không đồng x R Bài 1.2 Cho f : [a, b] → [a, b] hàm liên tục cho f (a) = a, f (b) = b f (f (x)) = x với x ∈ [a, b] Chứng minh f (x) = x với x ∈ [a, b] Bài 1.3 Cho f hàm liên tục R thoả mãn f (f (f (x))) = x với x ∈ R a) Chứng minh f (x) = x R Hãy tìm tốn tổng qt b) Tìm hàm f xác định R thoả mãn f (f (f (x))) = x f (x) không đồng x Bài 1.4 Cho f hàm liên tục đơn ánh (a, b) Chứng minh f hàm đơn điệu ngặt (a, b) Bài 1.5.Cho hàm số f : [a, b] → [a, b] thoả mãn điều kiện |f (x) − f (y)| < |x − y| với x ∈ [a, b], x 6= y Chứng minh phương trình f (x) = x ln ln có nghiệm [a, b] Bài 1.6 Cho f hàm liên tục R thoả mãn hai điều kiện sau: a) f hàm đơn điệu giảm R b) f hàm bị chặn R Chứng minh phương trình f (x) = x ln ln có nghiệm Trong trường hợp, xem điều kiện nghiệm có đảm bảo khơng ? Bài 1.7 Cho f hàm liên tục R Chứng minh phương trình f (f (x)) = x có nghiệm phương trình f (x) = x có nghiệm Bài 1.8 Cho f hàm liên tục R thoả mãn |f (x)| < |x| với x 6= a) Chứng minh f (0) = b) Chứng minh < a < b tồn K ∈ [0, 1) cho |f (x) ≤ K|x|, ∀x ∈ [a, b] Bài 1.9 Cho f hàm liên tục R thoả mãn ba điều kiện đây: a) f (x) + f (2x) = 0, ∀ ∈ R b) f (x2 ) = f (x), ∀x ∈ R c) f (x) = f (sin x), ∀x ∈ R Chứng minh f hàm f (x) = k < x→∞ x Bài 1.10 Cho f hàm không âm, liên tục [0, +∞) lim Chứng minh tồn xo ∈ [0, +∞) cho f (xo ) = xo UBND Tỉnh Quảng Bình Trường Đại học Quảng Bình MỘT SỐ BÀI TỐN TÍCH PHÂN, LUYỆN THI OLYMPIC TỐN Biên soạn: Th.s Phan Trọng Tiến Một số kiến thức nhắc lại: MĐ Nếu f hàm liên tục [a, b] f (x) ≥ 0∀x ∈ [a, b] Rb f (x)dx ≥ a MĐ Nếu f, g hai hàm liên tục [a, b] f (x) ≥ g(x)∀x ∈ [a, b] Rb f (x)dx ≥ a Rb g(x)dx a MĐ Nếu f hàm liên tục [a, b] f (x) ≥ 0∀x ∈ [a, b] f không đồng Rb [a, b] f (x)dx > a b R Rb MĐ Nếu f hàm liên tục [a, b] f (x)dx ≤ |f (x)|dx a Số thực µ = b−a Rb a f (x)dx gọi giá trị trung bình hàm f [a, b] a Mệnh đề: Nếu hàm f khả tích đoạn [a, b] m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] tồn Rb số µ ∈ [m, M ] cho f (x)dx = µ(b − a) a Hệ quả: Nếu f hàm liên tục [a, b] tồn điểm c ∈ [a, b] Rb cho f (x)dx = f (c)(b − a) a 32 Cho f, g hàm liên tục [a, b] Chứng minh Rb 2 Rb Rb a) f (x)g(x)dx ≤ (f (x))2 dx (g(x))2 dx a a a b) R1 √ xn − xdx ≤ √ (n + 1) n + c) Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ [a, b], Rb f (x)dx a Rb a dx ≥ (b − a)2 f (x) HD b) Z1 x √ n Z1 − xdx = √ Z1 12 Z1 21 p n n n n x x (1 − x)dx ≤ x dx x (1 − x)dx ≤√ n+1 Z1 n Z1 x dx − x n+1 dx 12 1 21 ≤√ − n+1 n+1 n+2 1 √ √ ≤√ √ = n + n + n + (n + 1) n + 33 Cho f hàm liên tục R Đặt F (x) = Rx f (t)dt Chứng minh f hàm chẵn F hàm lẻ, f hàm lẻ F hàm chẵn 34 Cho f hàm liên tục nhận giá trị dương [0, 1] π R2 π f (sin x)dx a) Chứng minh = f (sin x) + f (cos x) π π R2 R2 dx dx √ b) Tính tích phân I = ; J = cos 2x tgx 1+e 1+ 35 Cho f hàm chẵn liên tục [−a, a], a > 0; g hàm liên tục nhận giá trị dương [−a, a] g(−x) = , ∀x ∈ [−a, a] g(x) Ra f (x)dx Ra a) Chứng minh = f (x)dx −a + g(x) π R2 cos x √ b) Tính I = dx x2 + − π2 − x + Ra dx c) Tính lim a→+∞ −a (1 + x2 )(1 + ex ) 36 Cho f hàm liên tục [0, 1] Chứng minh π π R2 R2 Rπ f (sin x)dx a) f (sin x)dx = f (cos x)dx = 20 0 Rnπ Rπ b) f (cos2 x)dx = n f (cos2 x)dx 0 37 Cho f hàm liên tục nhận giá trị dương tuần hoàn với chu kỳ R R1 f (x) Chứng minh dx ≥ 1, ∀n ∈ N∗ f (x + ) n 38 Cho f hàm khả vi liên tục [a, b], f (a) = ≤ f (x) ≤ 1, ∀x ∈ [a, b] Chứng minh i Rb 2 Rb Rb 1h a) f (x)dx ≥ (f (b))2 − (f (a))2 ; b) (f (x))3 dx ≤ f (x)dx a a a Rx Rx Rx HD F (x) = ( f (t)dt)2 − (f (t))3 dt, x ∈ [a, b] F (x) = f (t)dt.f (x) − (f (x))3 = a a i a h Rx f (x) f (t)dt − (f (x)) a Đặt G(x) = Rx f (t)dt − (f (x))2 Ta có x G (x) = 2f (x) − 2f (x).f (x) = 2f (x)(1 − f (x)) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] 39 Cho f ∈ C[a,b] ; x1 , x2 , · · · , xn ∈ [a, b], k1 , k2 , · · · , kn > Chứng minh tồn xo ∈ [a, b] cho Rxn Rx2 Rx1 k1 f (x)dx + k2 f (x)dx + · · · + kn f (x)dx = xo xo xo Giải: Xét hàm Zx1 ϕ(x) = k1 Zx2 f (t)dt + · · · + kn f (t)dt + k2 x Zxn x f (t)dt x Ta dễ dàng kiểm tra k1 ϕ(x1 ) + k2 ϕ(x2 ) + · · · + kn ϕ(xn ) = Mặt khác ϕ hàm liên tục [a, b] ki > với i = 1, n, tồn xo ∈ [a, b] Rxn Rx1 Rx2 cho ϕ(xo ) = 0, hay k1 f (x)dx + k2 f (x)dx + · · · + kn f (x)dx = xo xo xo 40 Tìm tất hàm f liên tục [0, 1] cho Rx f (t)dt = R1 f (t)dt x HD Lấy đạo hàm hai vế 41 Cho f hàm khả vi liên tục [a, b], f (a) = f (b) = Chứng minh a) Rb xf (x).f (x)dx = − a Rb [f (x)]2 dx 2a Rb b) Giả sử [f (x)]2 dx = Hãy chứng minh a Zb a [f (x)]2 dx Zb [xf (x)]2 dx ≥ a 42 Cho f hàm liên tục [0, π] cho Zπ Zπ f (x) sin xdx = f (x) cos xdx = 0 Chứng minh phương trình f (x) = có hai nghiệm phân biệt (0, π) Giải: 10 Giả sử f có khơng q nghiệm (0, π) Th1: f vơ nghiệm (0, π) Do tính liên tục f ta suy f không đổi dấu (0, π) Rπ Khơng tính tổng qt, giả sử f (x) > với x ∈ (0, π) Khi f (x) sin xdx > 0, mâu thuẫn Th2: f có nghiệm xo ∈ (0, π) Dễ thấy hàm g(x) = f (x) sin(x − xo ) không đổi dấu (0, π) Do Zπ f (x) sin(x − xo )dx > 0 Mặt khác từ giả thiết cho ta có Zπ Zπ f (x) sin(x − xo )dx = cos xo Zπ f (x) sin xdx − sin xo f (x) cos xdx = 0 Mâu thuẫn chứng tỏ f có hai nghiệm phân biệt (0, π) 43 Cho f hàm khả vi [−1, 1] cho Z0 Z1 f (x)dx = −1 f (x)dx Chứng minh tồn c ∈ (−1, 1) cho f (c) = Giải: Theo định lý giá trị trung bình tích phân, tồn x1 ∈ [−1, 0], x2 ∈ [0, 1] cho R0 −1 f (x)dx = f (x1 ), R1 f (x)dx = f (x2 ) * Nếu x1 6= x2 6= x1 6= x2 Theo định lý Rolle, tồn c ∈ (x1 , x2 ) ⊂ (−1, 1) cho f (c) = * Nếu x1 = x2 = 0, Z0 Z1 f (x)dx = f (0) = −1 f (x)dx Nếu f (x) 6= f (0), ∀x ∈ (0, 1] g(x) = f (x) − f (0) 6= với x ∈ (0, 1] Vì g(x) khơng đổi dấu (0, 1] Z1 Z1 g(x)dx − f (0) 6= g(x)dx = 0 11