Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng hợp ôn tập tất cả các dạng bài tập có lời giải chi tiết môn giải tích hàm 1 biến, các đề bài bài ôn tập và các bài mẫu để luyện tập thêm. Mong sẽ giúp ích đến các bạn thật nhiều trong quá trình ôn tập
ÔN THI GIẢI TÍCH HÀM BIẾN BÀI 2.11 a) Cho E r Q : r Tìm inf E , sup E Giải: Tìm inf E : Do E nên inf E Tìm sup E : Ta có r 3, x E cận E (1) Lấy b cận tùy ý E Ta chứng minh b (2) Thật vậy, giả sử b Theo tính trù mật Q R , tồn số q Q cho b q Suy q E q b (mâu thuẫn với q b ) Vậy b Từ (1) (2) ta được: sup E b) Cho E t Q c :1 t Tìm inf E , sup E Tìm inf E : Ta có t 1, t E cận E (1) Lấy a cận tùy ý E Ta chứng minh a (2) Thật vậy, giả sử a Theo tính trù mật Qc R , tồn số s Qc cho s a Suy s E s a (mâu thuẫn với s a ) Vậy a Từ (1) (2) ta được: inf E Tìm sup E : Ta có t t 2, t E cận E (3) Lấy b cận tùy ý E Ta chứng minh b (4) Thật vậy, giả sử b Theo tính trù mật Qc R , tồn số p Qc cho b p Suy p E p b (mâu thuẫn với p b ) Vậy b Từ (3) (4) ta được: sup E Page Bài tập tương tự: c) Cho A r Q : r Tìm inf A, sup A d) Cho B t Qc : t Tìm inf B , sup B ……………………………………………………………………………………………………………… BÀI 2.11 Sử dụng nguyên lý quy nạp toán học, chứng minh với n : a) 3n 1 2n chia hết cho n b) 1 1 k n 1 k 1 n c) (2k 1)3 n2 (2n2 1) d) n n ! n 1 k 1 Giải: a) 3n 1 2n chia hết cho Đặt un 3n 1 2n Với n u1 0, chia hết cho Giả sử un 3n 1 2n chia hết cho 4, với n Ta chứng minh: un1 3n1 1 2(n 1) chia hết cho Thật vậy: un1 3.3n 2n 3(3n 1 2n) 4n 3un 4n Mà un chia hết cho 4n chia hết cho 4, suy un1 chia hết cho Vậy: 3n 1 2n chia hết cho 4, với n n b) 1 1 k n 1 k 1 Với n , ta có: n 1 1 k n (đúng) k 1 Giả sử n 1 1 k n 1 , với n k 1 Ta chứng minh: n1 1 1 k (n 1) 1 k 1 Page Thật vậy, ta có: n1 n 1 k 1 k 1 n 1 (n 1) 1 n 1 (n 1) (n 1) n 1 (n 1) 1 k 1 k 1 n Vậy: 1 1 k n 1 , với n k 1 n c) (2k 1)3 n2 (2n2 1) k 1 Với n , ta có: n (2k 1)3 (2.11)2 12 (2.12 1) n2 (2n2 1) (đúng) k 1 Giả sử n (2k 1)3 n2 (2n2 1) , với n k 1 n1 Ta chứng minh: (2k 1)3 (n 1)2[2(n 1)2 1] k 1 Thật vậy, ta có: n1 n k 1 k 1 (2k 1)3 (2k 1)3 [2(n 1) 1]3 n2 (2n2 1) [2(n 1) 1]3 2n4 8n3 11n2 6n 1 (n 1)(2n3 6n2 5n 1) (n 1)2 (2n2 4n 1) (n 1)2[2(n2 2n 1) 1] (n 1)2 [2(n 1)2 1] n Vậy: (2k 1)3 n2 (2n2 1) , với n k 1 d) n n ! n 1 2n.n ! (n 1)n Với n , ta có: 2n.n ! 21.1! (1 1)1 (n 1)n (đúng) Giả sử 2n.n ! (n 1)n , với n Ta chứng minh: 2n1.(n 1)! (n 2)n1 Thật vậy, ta có: 2n1.(n 1)! 2(n 1).2n.n ! 2(n 1).(n 1)n 2(n 1)n1 Ta cần chứng minh: 2(n 1)n1 (n 2)n1 (1) (2) n1 n n1 1 (n 1) 2 Theo bất đẳng thức Bernoulli ta có: n 1 n 1 n 1 Page Suy ra: (n 2)n1 2(n 1)n1 Do bất đẳng thức (2) Từ (1) (2) ta được: 2n1.(n 1)! (n 2)n1 Vậy: 2n.n ! (n 1)n hay n n ! n 1 , với n !! Cách khác để chứng minh bất đẳng thức (2): Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho (n 1) khơng âm: Ta có: 2(n 1)n1 2.(n 1)(n 1) (n 1) (2 n 2)( n 1) ( n 1) (gồm số (2 n 2) n số (n 1) ) (2n 2) (n 1) (n 1) n1 (2n 2) n(n 1) n1 n 1 n 1 (n 1)(n 2) n1 n1 n 2 n 1 Ở sử dụng bất đẳng thức: 1) Bất đẳng thức Bernoulli: Cho số a 1 Ta có: (1 a)n na, n 2) Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm a1, a2 , , an : a1 a2 an n a1.a2 an Dấu '' '' xảy a1 a2 an n Bài tập tương tự: e) 7n 1 3n chia hết cho , n n f) 1 i 2 g) 13 23 n3 (1 n)2 , n n h) k 1 n , n , n 2n i n , n k ……………………………………………………………………………………………………………… BÀI 3.3 Tính giới hạn dãy số sau: a) xn c) xn n n n n 1 1.2 2.3 n(n 1) b) xn 1 1 1 n n d) xn 3 Giải: Page n a) xn n2 n(n 1) n2 n n2 2n n n n 1 lim Suy ra: lim xn lim 2 2n 1 1 1 1 ( n 1) 1 n 1 b) xn 1 1 1 n n 1 n n n 1 n 1 n n Suy ra: lim xn lim n 1 1 1 1 1 1 n n 1 1.2 2.3 n(n 1) 1 n 1 c) xn Suy ra: lim xn lim 1 n 1 n d) xn 1 1 1 1 1 1 1 n n n 3 3 3 38 n 1 Suy ra: lim xn lim n 1 3 310 Bài tập tương tự: Tính giới hạn dãy số sau: e) xn f) xn n 1 n 1 n 1 3 2n 1 n2 1 2n 1 1 g) xn 1 1 1 n 2n h) xn 36 144 n (n 1) i) xn n 1 2! 3! 4! n! 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 n 1 1 n 1 n n n ……………………………………………………………………………………………………………… j) xn Page BÀI 3.4 Dùng nguyên lý kẹp, tính giới hạn dãy số a) xn n2 n3 n2 n3 n2 n3 n Giải: a) Với số nguyên k thỏa k n , ta có: Khi đó: n2 n3 n Suy ra: n Hay n2 n3 n n3 n3 n n2 n3 n xn n xn Mặt khác: lim n3 n3 n3 n3 n n2 n3 n n2 n3 xn n2 n3 n n2 n3 n2 n3 k n2 n3 n2 n3 n2 , n N n3 , n N , n N lim n3 n3 1 Vậy: lim xn Bài tập tương tự: c) xn n2 1 e) xn n2 n2 n (1)n cos( n !) n 1 d) xn f) xn n2 n2 n n2 1.3.5 (2n 1) 2.4.6 (2n) ……………………………………………………………………………………………………………… BÀI 3.9 Hãy chứng minh dãy số cho công thức truy hồi bên hội tụ tìm giới hạn dãy số a) x1 0, xn1 xn , n b) a1 2, an1 , n an Giải: a) x1 0, xn1 xn , n Ta có: x1 0, x2 x1 , x3 x2 Ta chứng minh: xn xn1 xn , n N Bước 1: Xét n x1 x2 x1 (đúng) Page Bước 2: Giả sử xn xn1 xn , n N Ta chứng minh xn1 xn2 xn1, n N Thật vậy, ta có: xn1 xn xn2 xn1 xn1 xn (đúng xn1 xn ) Vậy ( xn ) dãy tăng bị chặn nên ( xn ) dãy số hội tụ Đặt a lim xn , lim xn1 a a a3 Suy ra: lim xn1 lim xn a a a a Vậy lim xn b) a1 2, an1 , n an Ta có: a1 2, a2 a1, a3 a2 a1 a2 Ta chứng minh: an an1 an , n N Bước 1: Xét n a1 a2 a1 (đúng) Bước 2: Giả sử an an1 an , n N Ta chứng minh an1 an2 an1, n N Thật vậy, ta có: an1 1 an an2 an1 an1 2 1 an an1 (đúng) an an an1 Vậy (an ) dãy giảm bị chặn nên (an ) dãy số hội tụ Đặt b lim an , lim an1 b 1 Suy ra: lim an1 lim 2 b b 2b 1 b an b Vậy lim an Page Bài tập tương tự: d) x1 5, xn1 c) x1 2, xn1 xn , n 1 , n an e) a1 1, an1 f) u1 0, un1 xn 2, n , n un ……………………………………………………………………………………………………………… BÀI 3.16 Dùng tiêu chuẩn Cauchy xét hội tụ dãy số sau a) xn cos1 21 cos 22 cos n 2n Giải: Ta chứng minh ( xn ) dãy Cauchy 1 Lấy tùy ý, tồn N ℕ cho N log Khi đó: xn p xn cos(n 1) 2 n1 n2 n2 cos(n 2) n 2 cos(n p) n p cos(n p) n p p 1 p 1 n1 n 1 2 1 2 n p , n N , p N 2N Vậy ( xn ) dãy Cauchy, ( xn ) dãy hội tụ n 2n1 cos(n 2) n1 cos(n 1) Bài tập tương tự: c) an sin1 e) sn sin 2 2 sin n n n d) bn sin(1!) sin(2!) sin(n !) 1.2 2.3 n(n 1) f) xn cos1 cos cos n 1! 2! n! ……………………………………………………………………………………………………………… BÀI 4.12 Chứng minh hàm số sau liên tục tập hợp tương ứng: a) f ( x ) x 4, x b) f ( x ) x sin x, x c) f ( x) , x [1; ) x d) f ( x ) x , x [0; ) Page Giải: a) f ( x ) x 4, x Lấy tùy ý dãy ( xn ), ( xn ) cho lim( xn xn ) Khi đó: f ( xn ) f ( xn ) (3xn 4) (3xn 4) 3( xn xn ) n Vậy f liên tục b) f ( x ) x sin x, x Lấy tùy ý dãy ( xn ), ( xn ) cho lim( xn xn ) Khi đó: f ( xn ) f ( xn ) ( xn sin xn ) ( xn sin xn ) ( xn xn ) (sin xn sin xn ) ( xn xn ) 2cos Ta có: cos xn xn x xn sin n 2 xn xn x xn x xn x xn x xn sin n cos n sin n sin n , n 2 2 x xn x xn x xn Mà lim sin n sin n sin , suy lim 2 cos n 2 x xn x xn 00 Do đó, lim f ( xn ) f ( xn ) lim ( xn xn ) cos n sin n 2 Vậy f liên tục c) f ( x) , x [1; ) x Lấy tùy ý dãy ( xn ),( xn ) [1; ) cho lim( xn xn ) Khi đó: f ( xn ) f ( xn ) 1 ( xn xn ) xn xn xn xn Ta có: f ( xn ) f ( xn ) ( xn xn ) xn xn , với xn , xn xn xn Mà lim xn xn , suy lim f ( xn ) f ( xn ) Vậy f liên tục [1; ) d) f ( x ) x , x [0; ) Lấy tùy ý dãy ( xn ), ( xn ) [0; ) cho lim( xn xn ) Page Khi đó: f ( xn ) f ( xn ) xn xn Ta có: xn xn Do đó: xn xn Suy ra: Mà lim xn xn xn xn , với xn , xn xn xn xn xn xn xn xn xn xn xn hay f ( xn ) f ( xn ) xn xn xn xn xn xn , với xn , xn xn xn , suy lim f ( xn ) f ( xn ) Vậy f liên tục [0; ) Bài tập tương tự: Chứng minh hàm số sau liên tục tập hợp tương ứng: e) f ( x) , x 1; x f) f ( x ) x cos x, x g) f ( x ) x 1, x [1; ) h) f ( x ) ln x, x [1; ) ……………………………………………………………………………………………………………… BÀI 4.13 Chứng minh hàm số sau không liên tục tập hợp tương ứng: a) f ( x) x x, x b) f ( x) sin x , x c) f ( x) , x (0; ) x d) f ( x ) ln x, x (0;1] Giải: a) f ( x) x x, x Chọn dãy ( xn ), ( xn ) với: xn n ; xn n n Ta có: lim( xn xn ) lim n 1 1 Mà: lim f ( xn ) f ( xn ) lim n n n n n n lim 2 n n Vậy f không liên tục b) f ( x) sin x , x Page 10 (1 x ) arctan x x (1 x ).arctan x lim lim lim 1 x x x 1 x arctan x x x Ta có: lim x x x 1 1 x arctan x lim 2 Vậy: E (1) f) F lim (tan x)cos x lim eln(tan x ) x 2 x 2 cos x lim ecos x.ln(tan x ) x 2 cos x ln(tan x) ln(tan x) lim lim tan x Xét lim cos x.ln(tan x) lim sin x x x x x 2 2 2 cos x cos x cos x lim x cos x lim sin x.tan x sin x x Vậy: F e0 Bài tập tương tự: g) lim x a a ln x 1 x1 xb b ln x 1 (b 0) h) lim x0 tan x sin x x3 e x e x x x0 x sin x i) lim 1 j) lim sin x arcsin x x0 1 k) lim x x0 tan x l) lim (1 x)ln x x m) lim x1 ( x 1) ln x 1 n) lim x ln 1 arctan x x x o) lim cos x x x0 ……………………………………………………………………………………………………………… Page 15 BÀI 5.11 Áp dụng định lý Lagrange, chứng minh bất đẳng thức sau a) e x ex , x b) c) d) x ln(1 x) x, x 1 x arctan x arctan y x y , x, y n p1 1 , p 0, n p (n 1) p n p Giải: a) e x ex , x Xét hàm số f (t ) et , t Lấy số thực x tùy ý Ta có: f liên tục [1; x] có đạo hàm f (t ) et , t (1; x) Theo định lý Lagrange, tồn số c (1; x) cho: f (c) Hay ec ex e x 1 e x e1 x 1 (1) Vì c nên ec e Từ đẳng thức (1) ta có: ex e e x 1 Suy ra: e x e e( x 1) Vậy: e x ex , x b) x ln(1 x) x, x 1 x Xét hàm số f (t ) ln t , t (0; ) Lấy số thực x tùy ý Ta có: f liên tục [1 ; x] có đạo hàm f (t ) , t (1; x) t Theo định lý Lagrange, tồn số c (1 ; x) cho: f (c) f (1 x) f (1) (1 x) 1 Page 16 ln(1 x) c x Hay Mà c x Suy ra: 1 1 1 x c ln(1 x) 1 1 x x x ln(1 x) x 1 x Vậy: arctan x arctan y x y , x, y c) ● Nếu x y bất đẳng thức cho hiển nhiên ● Nếu x y : Khơng tính tổng qt, giả sử x y Xét hàm số f (t ) arctan t , t R Ta có: f liên tục [ x ; y ] có đạo hàm f (t ) 1 t , t ( x ; y ) Theo định lý Lagrange, tồn số c ( x ; y ) cho: f (c) f (c ) Hay Mà 1 c 1 c2 Suy f ( y ) f ( x) yx f ( y ) f ( x) yx arctan y arctan x arctan y arctan x yx yx 1 c 1, c R arctan y arctan x yx hay arctan y arctan x y x Vậy: arctan x arctan y x y , x, y d) n p1 1 , p 0, n , n p (n 1) p n p Xét hàm số f (t ) với t , p R t , p Với số tự nhiên n , ta có: f liên tục [n 1 ; n] có đạo hàm f (t ) p t p1 , t (n 1; n) Page 17 Theo định lý Lagrange, tồn số c (n 1 ; n) cho: f (c) Hay p c p1 l n p f (n) f (n 1) n (n 1) (1) (n 1) p Mà c n c p1 n p1 , p c p1 p c Từ (1) (2) suy ra: Vậy: n p1 p1 l n n p1 p , p p n p 1 (n 1) , p p (2) p n p1 1 , p 0, n , n p (n 1) p n p Bài tập tương tự: e) sin x x, x f) b ba ba , a, b thỏa mãn b a ln a b a g) ln x ln y x y , x, y h) e e ……………………………………………………………………………………………………………… Bài 5.17 Viết khai triển Maclaurin hàm số sau đến cấp sử dụng khai triển để tính gần giá trị f (0,001) b) f ( x) ( x x3 )e x a) f ( x) x sin x Giải: x3 x5 a) f ( x) x sin x x x ( x ) x3 ( x6 ) 3! f (0, 001) (0, 001)3 (0, 001)5 1 (0, 001)5 (0, 001)2 (999999,8).1015 6 x x x3 x x5 x x x3 b) f ( x) ( x x3 )e x xe x x3e x x 1 x3 1 ( x6 ) 1! 2! 3! 1! 2! 3! 4! 5! x x2 x3 x 13 x5 x ( x ) 24 40 Page 18 f (0, 001) 0, 001 (0, 001) 3.(0, 001)3 7.(0, 001) 13(0, 001)5 7(0, 001)6 (1, 001).103 24 40 Bài tập tương tự: Viết khai triển Maclaurin hàm số sau đến cấp sử dụng khai triển để tính gần giá trị f (0,001) c) f ( x) (1 x ) cos x d) f ( x) ( x x3 ) ln(1 x) ……………………………………………………………………………………………………………… Bài 6.1 Không dùng công thức Newton-Leibniz tính tích phân x dx Giải: Xét f ( x) x , x 0;1 Vì f liên tục đoạn 0;1 nên f khả tích Riemann đoạn 0;1 Đặt x1 0, x2 i 1 , x3 , , xi , , xn1 n n n Chọn ti xi1 i n Ta có: 1 n n x dx lim f (ti ) lim n n i1 n n i1 lim 12 22 32 n n Xét dãy số sn n3 i n i f lim n n n n i1 (n 1)n(2n 1) Ta có: s2 s1 1 12 s3 s2 1 22 s4 s3 14 32 sn1 sn n(n 1)(2n 1) (n 1)n(2n 1) n2 6 Suy ra: ( s2 s1 ) ( s3 s2 ) ( s4 s3 ) ( sn1 sn ) 12 22 32 n Page 19 Hay 12 22 32 n sn1 s1 Khi đó: n(n 1)(2n 1) 1 2 n(n 1)(2n 1) n n x dx lim lim n n 6 n3 ● Cách xây dựng dãy số sn : Gọi sn an3 bn cn thỏa mãn sn1 sn n (*) Khai triển, đồng hệ số (*) để tìm a, b, c ● Để tính tổng T 13 23 33 n3 , ta đặt sn an bn3 cn2 dn thỏa mãn sn1 sn n3 Bài tập tương tự: Khơng dùng cơng thức Newton-Leibniz tính tích phân b) xdx c) x( x 1)dx ……………………………………………………………………………………………………………… Bài 6.11 Tính tích phân suy rộng sau a) c) x 3x eax cos xdx dx b) d) (a 0) 0 xe x dx arctan x 2 (1 x ) dx Giải: a) A c x 3x dx lim c c 1 dx lim dx c ( x 2)( x 1) x x 1 x c c2 1 lim ln lim ln x ln x 1 lim ln ln c c x 1 c c 1 2 c 1 c ln ln1 ln ln lim ln c 1 c b) B xe x dx lim c x xe c dx Page 20 Đặt ux du dx , x dv e dx , v ex c c c B lim (x.e x ) e x dx lim c.ec (e x ) c 0 c c 1 lim c c e c) I (c 1) lim 1 c (ec ) eax cos xdx lim c.ec ec c lim 1 c ec 1 (a 0) c ax e c lim cos xdx du a.eax dx u eax , dv cos xdx v sin x , c c c I lim (eax sin x) a.eax sin xdx lim eac sin c a eax sin xdx c c 0 Đặt Tiếp tục đặt: u eax dv sin xdx du a.eax dx v cos x c c ax ac Khi đó: I lim e sin c a e cos x a.eax cos xdx c , , c ac ac lim e sin c a e cos c a.eax cos xdx c c ac lim e sin c a.cos c a a a.eax cos xdx c lim eac sin c a.cos c a a I c Suy ra: (1 a ).I a lim c sin c a.cos c e ac (*) Mặt khác, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: sin c a.cos c (sin c cos c )(12 a ) a sin c a.cos c eac 1 a2 eac Page 21 1 a2 lim Vì c e ac , a nên lim sin c a.cos c e ac c 0 Do đó, từ (*) suy ra: (1 a ).I a a Vậy: I 1 a2 d) J arctan x 2 (1 x ) c c dx lim arctan x 2 (1 x ) dx Đặt t arctan x x tan t , dx (1 tan t )dt x0 t0 x c t arctan c arctan c J lim c d t 2 (1 tan t ) d t cos t dt lim d (1 tan t )dt lim d t.cos tdt lim d d t d 2 (1 tan t ) dt lim d t dt cos t ( t 0; nên cos t ) du dt u t , dv cos tdt , v sin t d d d J lim (t.sin t ) sin tdt lim d sin d (cos t ) 0 d d 2 Đặt lim d sin d cos d 1 1 d Bài tập tương tự: e) 2 x 3x g) arctan x x dx dx f) x ex dx h) e ax dx (a 0) ……………………………………………………………………………………………………………… Bài 6.12 Tính tích phân suy rộng sau a) c) b) ln xdx dx (2 x) x 1 dx x 1 x d) x ln xdx Page 22 Giải: 2 x 1 dx lim x dx lim a0 a0 x x a a) M x 1 8 x lim a a0 3 a 2 a 1 b) N ln xdx lim ln xdx a0 Đặt a u ln x , du dv dx , vx dx x 1 ln a N lim ( x ln x) x dx lim a ln a x lim a ln a a lim 1 a a a x a0 a0 a0 a0 a a (ln a) lim 1 a a0 a lim a a a0 a2 lim a a 1 a0 b dx dx lim (2 x) 1 x b1 (2 x) 1 x c) P Đặt t 1 x x 1 t , dx 2tdt x t 1 x b t 1 b b P lim b1 dx lim (2 x) 1 x b1 1b 2tdx (1 t ).t lim b1 1b 1 t dx lim 2 arctan t b1 1 b lim arctan1 arctan 1 b 2.0 b1 1 d) Q x ln xdx lim x ln xdx a0 Đặt u ln x , dv xdx , a du ln x dx x x v Page 23 1 x2 a2 1 x2 Q lim x ln xdx lim ln x ln x dx lim ln a x.ln x.dx a a x a0 a0 a0 a a Tiếp tục đặt: u ln x , du dx x x2 v x2 a Khi đó: Q lim ln a ln x a a0 dv xdx , a a2 a2 a2 lim ln a ln a a0 4 2 a2 a2 lim ln a a 2 a2 a2 x x 1 dx lim ln a ln a x a0 a lim a ln a ln a a a0 4 lim a ln a a a a0 ln a ln a Xét lim a ln a lim lim lim a lim (a ) 1 a0 a0 a0 a0 1 a 0 a a a 1 a a2 Vậy Q lim a ln a a 0 2 0 02 4 Bài tập tương tự: e) 2 x dx 1 x g) f) dx 1 x ln h) xdx x sin x dx ……………………………………………………………………………………………………………… Bài 7.1 Tìm tổng chuỗi số sau a) n1 c) n1 (1) n1 2n1 2n 1 2n b) n1 d) n 3n 6n n(n 1)(n 2) n1 Giải: Page 24 a) (1) n1 2n1 n1 Gọi an (1) n1 2n1 n n n1 ( 1) Sn a1 a2 a3 a4 an n1 1 1 2 Vậy : (1)n1 n1 b) n1 2n 3n n1 6n lim Sn n n 1 n1 n n Gọi an 2 3 n n 1 1 1 Sn a1 a2 a3 an 3 2 3 n 2 3 n n n 1 1 n n 1 1 1 1 1 Suy ra: c) n 3n n1 6n 2n 1 n1 2n Gọi an lim S n 2 n 1 2n 2n 2n 1 Sn a1 a2 a3 a4 an1 an n1 n 16 2 2n 2n 1 2Sn n2 n1 2 5 n n n 1 n n 1 S n S n n2 n2 n1 n1 n 2 4 8 2 Page 25 1 1 2n 1 Suy ra: Sn 1 n3 n2 n 2 1 1 2n 1 1 n3 n2 n 2 n1 1 n 2n n 1 n n 3. n 2 2 1 Bằng nguyên lý quy nạp, dễ dàng chứng minh 2n n , n Do đó: n 2n n , n n2 n n Vì lim nên lim n n Vậy 2n 1 n1 2n d) n n lim Sn lim 3 3. n 3.0 2.0 n(n 1)(n 2) n1 Ta có: an 1 (n 2) n 1 n(n 1)(n 2) n(n 1)(n 2) n(n 1) (n 1)(n 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn a1 a2 a3 an 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 n(n 1) (n 1)(n 2) Vậy 1 1 1.2 (n 1)(n 2) 1 1 1 n(n 1)(n 2) lim Sn lim 1.2 (n 1)(n 2) 0 n1 Bài tập tương tự: Tìm tổng chuỗi số sau e) n1 g) 2n f) n n1 n3 n1 ( n 1)(n 2).2 n ln n 1 n1 h) n1 n n ( n 1) n ……………………………………………………………………………………………………………… Page 26 Bài 7.6 Xét hội tụ chuỗi số sau (n !)2 a) n1 (2n)! b) n ( n1) n 1 c) n1 n 1 d) 2n.n ! n1 nn (n 1)n n1 3n n n 2 Giải: a) (n !)2 n1 (2n)! (n !) Đặt an (2n)! Dựa vào dấu hiệu D Alembert ta có: an1 lim n an 2 (( n 1)!) 1 n ( n 1) (2n 2)! lim lim lim 1 n n (2 n 1)(2n 2) n (n !) 2 n n (2n)! Vậy b) (n !)2 hội tụ n1 (2n)! 2n.n ! n1 nn Đặt an 2n.n ! nn Dựa vào dấu hiệu D Alembert ta có: an1 lim n Vậy an 2n1 (n 1)! 2.n n 2 (n 1) n1 lim lim lim lim 1 n n n n n n ( n 1) n n 1 n e n ! n n nn 2n.n ! n1 nn n 1 c) n1 n 1 hội tụ n ( n1) n 1 Đặt an n 1 n ( n1) Page 27 Dựa vào dấu hiệu Cauchy ta có: n 1 an lim n n 1 n n lim n lim n1 1 n 1 n n 1 Vậy n1 n 1 d) (n 1)n n1 3n n n Đặt an n ( n1) e2 n 1 lim n n 1 n1 lim n n 1 n 1 n1 lim n 1 n 1 n1 1 n ( n1) hội tụ 2 (n 1) n 3n n n 2 Dựa vào dấu hiệu Cauchy ta có: n lim n Vậy an lim n (n 1) n n (n 1)n n1 3n n n 3n n n 2 lim n (n 1) n 3.n n n e 1 n n lim 2 hội tụ Bài tập tương tự: g) (n 1)3 n1 i) h) n3 3n (1)n (n 2) n n1 n.n n 32n.(n !) n1 n 2n 2 j) (n 2).n n n1 ( n 1) n2 1 ……………………………………………………………………………………………………………… Bài 7.7 Xét hội tụ chuỗi số sau n 1 a) (1)n n2 n1 b) (1)n n1 n 1 n n2 Giải: Page 28 a) n 1 (1)n n n1 Đặt an (1) n n 1 n2 n 1 1 n n Ta có: lim an lim n Suy ra: lim an n Vậy n 1 (1)n n phân kỳ n1 * Lưu ý: Nếu an hội tụ lim an n n1 Nếu lim an n b) n 1 n1 n2 n (1)n Đặt un an phân kỳ n1 n 1 n n2 Xét un1 un Suy un n2 n 3n n 1 n n2 n 1 n2 n n 3n (n 3n 4)(n n 2) 0, n dãy số giảm Mặt khác: lim un n Vậy theo dấu hiệu Leibniz (1)n n1 n 1 n n2 hội tụ Bài tập tương tự: e) (1)n n1 g) f) 2n (1)n n1 n n 1 n (1)n n1 h) n1 3n 2n 3n 3sin n cos n n2 ……………………………………………………hết……………………………………………………… Biên soạn: Quang Vũ Page 29