TÀI LIỆU ƠN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” CHƯƠNG I: CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Dạng 1: Cực trị tự 1.Lý thuyết 𝐷ạ𝑛𝑔 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑞𝑢á𝑡: 𝑚ộ𝑡 ℎà𝑚 𝑏𝑖ế𝑛 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝐵ướ𝑐 ∶ 𝐺𝑖ả𝑖 ℎệ 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑓′ = 𝑓′ = 𝐵ướ𝑐 : => 𝑐á𝑐 đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 𝑀 (𝑥, 𝑦) 𝐴 = 𝑓′′ Đặ𝑡 𝐵 = 𝑓′′ 𝐶 = 𝑓′′ 𝐵ướ𝑐 : 𝑇ạ𝑖 𝑐á𝑐 đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 𝑐á𝑐 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑣à ∆= 𝐴𝐶 − 𝐵 + 𝑇𝐻1 : ∆ < −> 𝑀 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑝ℎả𝑖 𝑐ự𝑐 𝑡𝑟ị + 𝑇𝐻2: ∆ > +𝐴 > −> 𝑀 𝑙à 𝑐ự𝑐 𝑡𝑖ể𝑢 + 𝐴 < −> 𝑀 𝑙à 𝑐ự𝑐 đạ𝑖 + 𝑇𝐻3: ∆ = 𝑘ℎơ𝑛𝑔 𝑐ó 𝑘ế𝑡 𝑙𝑢ậ𝑛 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑞𝑢á𝑡 Bước 4: Kết luận Bài tập điển hình 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 𝑋é𝑡 ℎệ 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ: Giải 𝑓′ = 3𝑥 − 𝑦 = 𝑓′ = −𝑥 + = => đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 𝑀 (1 ; 3) 𝐴 = 𝑓′′ = 6𝑥 𝐵 Đặ𝑡 = 𝑓′′ = −1 𝐶 = 𝑓′′ = 𝑥=1 => 𝑦=3 𝐵ướ𝑐 : 𝑇ạ𝑖 𝑐á𝑐 đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 𝑀(1 ; 3) 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 𝑐á𝑐 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị 𝐴, 𝐵, 𝐶 TÀI LIỆU ƠN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” 𝐵𝐴==−1 → ∆= 𝐴𝐶 − 𝐵 = −1 < 𝐶 =ℎà𝑚 𝑠ố 𝑡𝑟ê𝑛 𝑘ℎơ𝑛𝑔 𝑐ó 𝑐ự𝑐 𝑡𝑟ị 𝑉ậ𝑦 Tìm cực trị tự hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥𝑦 Giải 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥𝑦 Giải hệ phương trình 𝑓 = 3𝑥 − 3𝑦 = (1) 𝑓 = 3𝑦 − 3𝑥 = (2) (2) 𝑥 = 𝑦 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 (1) 𝑡𝑎 𝑐ó: 3𝑦 − 3𝑦 = → 𝑦=0→𝑥=0 𝑦=1→𝑥=1 => điểm dừng 𝑀(0; 0) ; 𝑀 (1; 1) 𝐴 = 𝑓′′ = 6𝑥 𝐵 Đặt = 𝑓′′ = −3 𝐶 = 𝑓′′ = 6𝑦 𝐴 = ; 𝐵 = −3, 𝐶 = => 𝑀 (0; 0) ko phải cực trị + Tại 𝑀 (0; 0) => ∆= 𝐴𝐶 − 𝐵 = −9 < 𝐴 = ; 𝐵 = −3, 𝐶 = +Tại 𝑀(1; 1) => => 𝑀 (1; 1) cực tiểu ∆= 𝐴𝐶 − 𝐵 = 27 > Vậy 𝑀 (1; 1) cực tiểu hàm số f(𝑀 ) = −1 Tìm cực trị tự hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥 − 2𝑦 + 2𝑥𝑦 − 4𝑥 + 6𝑦 Giải 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥 − 2𝑦 + 2𝑥𝑦 − 4𝑥 + 6𝑦 Giải hệ 𝑓 = −2𝑥 + 2𝑦 − = 𝑥 = −1 → 𝑓 = −4𝑦 + 2𝑥 + = 𝑦= Điểm dừng M(-1;1) TÀI LIỆU ÔN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” 𝐵 = 𝑓′′ 𝐴 = −2 → ∆= 𝐴𝐶 − 𝐵 = > → M(−1; 1) 𝑙à 𝑐ự𝑐 đạ𝑖 Đặt 𝐶 = 𝑓′′ = −4 Vậy M(−1; 1)𝑙à 𝑐ự𝑐 đạ𝑖 hàm số f(M) = Tìm cực trị tự hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + 3𝑥 𝑦 + 9𝑥 − 6𝑥𝑦 − 18𝑥 Giải 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + 3𝑥 𝑦 + 9𝑥 − 6𝑥𝑦 − 18𝑥 Xét hệ phương trình 𝑓′ = 6𝑥𝑦 + 18𝑥 − 6𝑦 − 18 = 𝑓′ = 3𝑦 + 3𝑥 − 6𝑥 = (1) (2) 𝑦 = −3 (1) ↔ 6x(y + 3)– 6(y + 3) => (y + 3)(6x − 6) = → 𝑦=1 Với x = => (2): 3𝑦 − 3𝑦 = → 𝑦 = ±1 => đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 𝑀 (1; 1); 𝑀 (1; −1) 𝑉ớ𝑖 𝑦 = −3 => (2): 3𝑥 + 6𝑥 + 27 = (𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚) 𝐴 = 𝑓′′ = 6𝑦 + 18 Đặ𝑡 𝐵 = 𝑓′′ = 6𝑥 − 𝐶 = 𝑓′′ = 6𝑦 𝐴 = 24 ; 𝐵 = 𝐶 = => 𝑀 (1; 1) cực tiểu ∆= 𝐴𝐶 − 𝐵 = 144 > 𝐴 = 12 ; 𝐵 = 0, 𝐶 = −6 +Tại 𝑀 (1; −1) => => 𝑀 (1; −1) ko phải cực trị ∆= 𝐴𝐶 − 𝐵 = −72 < + Tại 𝑀 (1; 1) => 𝑉ậ𝑦 𝑀 (1; 1) 𝑙à 𝑐ự𝑐 𝑡𝑖ể𝑢 𝑐ủ𝑎 ℎà𝑚 𝑠ố 𝑣à 𝑓(𝑀 ) = −11 Đề thi năm trước (sẽ giải trực tiếp học CLB) Tìm cực trị hàm số sau: 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥 − 2𝑦 + 2𝑥𝑦 − 4𝑥 + 6𝑦 TÀI LIỆU ƠN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 𝑦 + 𝑦 − 2𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + 3𝑥 𝑦 + 9𝑥 − 6𝑥𝑦 − 18𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 4𝑥𝑦 + 4𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 − 6𝑥𝑦 − 180𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑦 + Chương 2: Tích phân Phần 1: Tích phân bội hai ( tích phân kép) I Cơng thức tính tích phân toạ độ đề ( Descartes ) Lý thuyết Nếu hàm số f(x,y) liên tục miền D cho hệ bất phương trình 𝑎≤𝑥≤𝑏 𝜑 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝜑 (𝑥) Thì () 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 () II Cơng thức tính tích phân toạ độ cực 1.Lý thuyết Ta thực phép biến đổi số : 𝑎𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 Đặt 𝑏𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 -> định thức Jacobi: |𝐽| = Ta có: (𝑎𝑥) + (𝑏𝑦) = 𝑟 ≤ 𝑐 Khi D(x,y) -> 𝐷 (r,𝜑), ta I=∬ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑) |𝐽|dr d𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜑 0≤𝑟≤𝑐 => ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 − 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 = TÀI LIỆU ÔN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GĨC HỌC TẬP ĐHXD” Ví dụ minh hoạ VD1: Tính tích (𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 Đặt 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 -> |𝐽|= 𝑟 -> 𝑥 + 𝑦 = 𝑟 ≤ mà ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 𝑛ê𝑛 Giải ≤φ≤ 0≤𝑟≤1 Khi D(x, y) → 𝐷 (r, 𝜑): ≤ φ ≤ , ta I = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑) 𝑟 drd𝜑 => I = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑) dr d𝜑 => I = 𝑟 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑠𝑖𝑛 𝜑 d𝜑 1 => I = 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑠𝑖𝑛𝜑 d𝜑 1 => I = 𝑐𝑜𝑠𝜑 + (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜑) d𝜑 phân | 𝑥 + 𝑦 ≤ 1, ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 sau: TÀI LIỆU ÔN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” 𝜋 16 1 𝑠𝑖𝑛2𝜑 = 𝜋 1 𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝜑 − + − − + 8 16 32 3√2 𝜋 19 = − + 48 32 3√2 => I = VD2: Tính tích phân sau: 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ | 𝑥 + 𝑦 ≤ 2𝑦, 𝑦 ≤ −𝑥 Ta có 𝑥 + 𝑦 ≤ 2𝑦 → 𝑥 + Ta có 𝑥 + (𝑦 − 1) ≤ 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 Đặt 𝑦 − = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 (𝑦 −> Giải − 2𝑦 + 1) ≤ |𝐽| = 𝑟 0≤𝑟≤1 Khi D(x, y) → 𝐷 (r, 𝜑): ≤ φ ≤ 𝜋, ta I = 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑) |𝐽| drd𝜑 → I = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑟 drd𝜑 → I = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑 dr d𝜑 → I = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑 d𝜑 TÀI LIỆU ƠN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” → I = 𝑐𝑜𝑠𝜑 d𝜑 1 I = 𝑠𝑖𝑛𝜑 = − = − 3√2 3√2 Phần 2: Tích phân bội ba I Cơng thức tính tích phân bội ba toạ độ đề 1.Lý thuyết 𝑁ế𝑢 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑚𝑖ề𝑛 𝑉 𝑐ℎ𝑜 𝑏ở𝑖 ℎệ 𝑏ấ𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ ∶ 𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦 (𝑥) 𝑧 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑦 ≤ 𝑧 (𝑥, 𝑦) () 𝑡ℎì 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2.Ví dụ minh hoạ 𝐼 = () (,) (,) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑚𝑖ề𝑛 𝑉 đượ𝑐 𝑐ℎ𝑜 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑏ở𝑖 𝑐á𝑐 𝑚ặ𝑡 𝑝ℎẳ𝑛𝑔 (1 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧) x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1, x + y − z = Giải TÀI LIỆU ƠN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” Vẽ miền V Chiếu V lên mặt phẳng Oxy tam giác OAB cho hệ bất phương trình : 0≤𝑥≤1 0 ≤ 𝑦 ≤ − 𝑥 => 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 ∫ (1+𝑥+𝑦+𝑧)3 𝑑𝑦 −1 𝑑𝑥 = (1 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = = = −1 1 − 𝑑𝑥 𝑑𝑦 (1 + 2𝑥 + 2𝑦) (1 + 𝑥 + 𝑦) 1 − 𝑑𝑥 2(1 + 2𝑥 + 2𝑦) + 𝑥 + 𝑦 1 1 1 𝑑𝑥 − 𝑑𝑥 − − + 2𝑥 2 1+𝑥 1 = − − ln|1 + 2𝑥| + ln|1 + 𝑥| 1 = 𝑙𝑛2 − 𝑙𝑛3 − 𝐼 = 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑣ớ𝑖 𝑉 𝑐ℎ𝑜 𝑏ở𝑖 ℎệ 𝑏ấ𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ: 𝑥≥0 𝑦≥0 𝑥 +𝑦 ≤ 𝑧 ≤ Giải Vẽ miền V Chiếu V lên mặt phẳng Oxy tam giác OAB cho hệ bất phương trình : 0≤𝑥≤2 0 ≤ 𝑦 ≤ 4 − 𝑥 TÀI LIỆU ƠN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” => 𝐼 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥𝑑𝑧 = 𝑥(4 − 𝑥 − 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ √ 𝑥(4 − 𝑥 − 𝑦 )𝑑𝑦 √ 𝑥 = 𝑥(4 − 𝑥 )4 − 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦 1 64 = − (4 − 𝑥 ) 𝑑(4 − 𝑥 ) = − (4 − 𝑥 ) = 15 II Cơng thức tính tích phân bội ba toạ độ trụ 1.Lý thuyết 𝐺𝑖ố𝑛𝑔 𝑛ℎư 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 𝑘é𝑝 𝑡ℎì 𝑡𝑎 𝑛ℎậ𝑛 đượ𝑐 𝑡ℎì 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧) |𝐽|𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 Thông thường miền Ω toạ độ trụ mô tả hệ bất phương trình : 𝜑 ≤ 𝑥 ≤ 𝜑 𝑟 (𝜑) ≤ 𝑦 ≤ 𝑟 (𝜑) 𝑧 (𝑟, 𝜑) ≤ 𝑦 ≤ 𝑧 (𝑟, 𝜑) 𝐾ℎ𝑖 𝑡𝑎 𝑐ó 𝑐ơ𝑛𝑔 𝑡ℎứ𝑐 () 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑑𝜑 𝑟𝑑𝑟 𝑉í 𝑑ụ 𝑚𝑖𝑛ℎ ℎọ𝑎 () (,) (,) 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧)𝑑𝑧 𝐼 = (𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑚𝑖ề𝑛 𝑉 đượ𝑐 𝑐ℎ𝑜 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑏ở𝑖 𝑐á𝑐 𝑚ặ𝑡 z = 0, 𝑎 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 , 𝑥 + 𝑦 = 𝑅 , z ≥ 0, a > TÀI LIỆU ƠN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” Ta có miền Ω: ≤ 2𝜋 𝑅 00≤≤𝜑𝑟 ≤ 𝑟 0≤𝑧≤ 𝑎 => 𝐼 = 𝑑𝜑 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑧 = 2𝜋 𝑟 𝑑𝑟 = 2𝜋 𝑅 𝑎 5𝑎 III Cơng thức tính tích phân bội ba toạ độ cầu 1.Lý thuyết 𝑥 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 0≤𝑟≤𝑎 Công thức liên hệ 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑉ớ𝑖 đ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖ệ𝑛 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 0 𝐼 = 𝑃𝑥, 𝑦(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦(𝑥) 𝑦′(𝑥)𝑑𝑥 VD1: Tính 𝐼 = 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝐶 𝑙à 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙 𝑦 = 𝑥 đ𝑖 𝑡ừ 𝐴(1; 1) đế𝑛 𝑂(0; 0) 15 TÀI LIỆU ƠN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” Giải Ta có C = 𝐴𝐵 ∶ 𝑦 = 𝑥 => 𝑑𝑦 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑥: → => 𝐼 = (𝑥 + 2𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑥 + 2𝑥 = − VD2: Tính 𝐼 = (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥𝑦𝑑𝑦 𝑣ớ𝑖 𝐿 𝑙à 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙 𝑦 = 𝑥 đ𝑖 𝑡ừ 𝐴(1; 1) đế𝑛 𝑂(0; 0) 𝑥=𝑡 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 (0 ≤ 𝑡 ≤ Tham số hoá L: 𝑦 = 𝑡 => 𝑑𝑦 = 3𝑡 𝑑𝑡 => (𝑡 + 2𝑡 )𝑑𝑡 − 𝑡 𝑡 3𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 + 2𝑡 − 3𝑡 = −3𝑡 2𝑡 𝑡 + + = Trường hợp 2: 𝑥 = 𝑥(𝑡) => 𝑑𝑥 = 𝑥′(𝑡)𝑑𝑡 ∶ 𝑦 = 𝑦(𝑡) => 𝑑𝑦 = 𝑦′(𝑡)𝑑𝑡 C = 𝐴𝐵 𝑥: 𝑡 → 𝑡 => 𝐼 = 𝑃𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) 𝑥′(𝑡) + 𝑄𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) 𝑦′(𝑡)𝑑𝑡 VD: 𝑇í𝑛ℎ 𝐼 = 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝐶 𝑙à 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 đ𝑖 𝑡ừ 𝑂(0; 0) đế𝑛 𝐴(1; 1) 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖𝑚 đồ𝑛𝑔 ℎồ Giải 16 TÀI LIỆU ÔN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” 𝑡 𝑑𝑦 = −𝑠𝑖𝑛𝑡𝑑𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 => 𝑑𝑥 Ta có C = 𝐴𝐵 𝑥 𝑦==1 sin ∶ 𝑥: 𝜋 → => 𝐼 = [−𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡 + (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑐𝑜𝑠𝑡]𝑑𝑡 = [𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑑𝑡]𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑛2𝑡 =1 = (𝑠𝑖𝑛𝑡 + Phương pháp 2: Công thức Green 1.Lý thuyết 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝐼 = 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = − 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 = 𝑄 − 𝑃 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑣ớ𝑖 đ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖ệ𝑛: C cung kín P(x,y) Q(x,y) đạo hàm riêng cấp liên tục miền D có biên C Chú ý : Diện tích hình trịn : 𝑆 = 𝜋𝑅 17 TÀI LIỆU ƠN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GĨC HỌC TẬP ĐHXD” Diện tích hình elip 1: 𝑆 = 𝜋 𝑎 𝑏 Ví dụ minh hoạ + = Tính 𝐼 = (𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥 + 2𝑦𝑑𝑦 Trong C biên tam giác OAB, với O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ Giải Cung C kín, có chiều dương 𝑃′ = 𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 3𝑦 Đặt => 𝑄(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 𝑄′ = Do P(x,y) Q(x,y) đạo hàm riêng cấp liên tục miền D có biên C Áp dụng định lý Green, ta có: 𝐼 = 𝑄 − 𝑃 𝑑𝑥𝑑𝑦 = (0 − 3)𝑑𝑥𝑑𝑦 = −3 𝑑𝑥𝑑𝑦 = −3𝑆 VD2: Tính tích phân đường loại hai ∮ 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 với L cung đường tròn 𝑥 + 𝑦 = định hướng ngược chiều kim đồng hồ Giải Ta có: 𝑥 + 𝑦 = thay vào đề bài, ta có : I = −𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 Á𝑝 𝑑ụ𝑛𝑔 đị𝑛ℎ 𝑙ý 𝐺𝑟𝑒𝑒𝑛, 𝑡𝑎 𝑐ó: 𝑃′ = −1 𝑃(𝑥, 𝑦) = −𝑦 => 𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑄′ = 18 TÀI LIỆU ÔN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” => 𝐼 = 𝑄 − 𝑃 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝜋 = (1 − (−1))𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2𝑆 = 𝜋𝑅 = 𝜋 1 B Tích phân mặt 1.Lý thuyết Dạng : Tích phân mặt loại Trường hợp : Giả sử hàm số f (x,y,z) liên tục mặt cong S trơn cho phương trình : 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) 𝑣ớ𝑖 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 Khi : 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆 = 𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥, 𝑦)1 + +𝑧 (𝑥, 𝑦) + 𝑧 (𝑥, 𝑦) Dạng : Tích phân mặt loại hai Cơng thức tính tích phân mặt loại hai Hàm số R(x,y,z) liên tục mặt cong định hướng S trơn cho phương trình : 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) 𝑣ớ𝑖 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 Khi : 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑦 = ± 𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 Dấu + lấy tích phân mặt loại hai theo phía mặt S Dấu – lấy tích phaan mặt loại hai theo phía mặt S Cơng thức Stokes 19 TÀI LIỆU ƠN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” 𝜕𝑅 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 = − 𝜕𝑄 𝜕𝑃 − 𝑑𝑧𝑑𝑥 + − 𝜕𝑦 𝜕𝑧 + 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 Công thức Green trường hợp riêng công thức Stokes Công thức Gauss - Ostrogradski Giả sử V miền giới nội 𝑅 có biên mặt S trơn mảnh Nếu hàm số P,Q,R liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng miền V thì: 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = + + 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Trong mặt lấy tích phân định hướng phía ngồi miền V ( Có thể coi công thức Gauss - Ostrogradski công thức mở rộng công thức Green từ không gian hai chiều khơng gian ba chiều Vì đơi tính tích phân mặt S khơng kín, ta thêm mặt phẳng để áp dụng cơng thức Gauss – Ostrogradski ) Lưu ý: Thể tích hình cầu: 𝑉 = 𝜋𝑅 Thể tích hình nón: 𝑉 = 𝜋𝑅 ℎ Thể tích hình elipsoid: 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐𝜋 Ví dụ minh hoạ Tính tích phân 𝐼 = 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑚ặ𝑡 𝑐ầ𝑢 𝑥 +𝑦 + 𝑧 = ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖 20 TÀI LIỆU ƠN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GĨC HỌC TẬP ĐHXD” Vì V vật thể kín nên áp dụng G-O 𝑃 = 𝑃=𝑥 Đặt 𝑄 = 𝑦 => 𝑄 = 𝑅=𝑧 𝑅 = ′ ′ => 𝐼 = 𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = (1 + + 1)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ′ = 3𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑉ì ầ = 𝜋𝑅 = 𝜋 = 32𝜋 3 Đề thi năm trước (sẽ giải trực tiếp học CLB) 𝑇í𝑛ℎ 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 đườ𝑛𝑔 𝑙𝑜ạ𝑖 ℎ𝑎𝑖 (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦)𝑑𝑦 𝑣ớ𝑖 𝐿 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙 𝑦 = 𝑥 + 𝑛ố𝑖 𝑡ừ đ𝑖ể𝑚 𝐴(0; 1) đế𝑛 đ𝑖ể𝑚 𝐵( 2; 5) 𝑇í𝑛ℎ 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 đườ𝑛𝑔 𝑙𝑜ạ𝑖 ℎ𝑎𝑖 (𝑥 + 1)𝑑𝑥 + (𝑦 + 1)𝑑𝑦 𝑣ớ𝑖 𝐿 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 đườ𝑛𝑔 𝑡𝑟ò𝑛 𝑥 + 𝑦 = 𝑛ằ𝑚 𝑝ℎí𝑎 𝑡𝑟ê𝑛 đườ𝑛𝑔 𝑡ℎẳ𝑛𝑔 𝑥 + 𝑦 = đị𝑛ℎ ℎướ𝑛𝑔 𝑑ươ𝑛𝑔 21 TÀI LIỆU ÔN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GĨC HỌC TẬP ĐHXD” 𝑇í𝑛ℎ 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 đườ𝑛𝑔 𝑙𝑜ạ𝑖 ℎ𝑎𝑖 (𝑥 + 𝑦 + 1)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦𝑑𝑦 𝑣ớ𝑖 𝐿 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 đườ𝑛𝑔 𝑡𝑟ò𝑛 𝑥 + 𝑦 = đị𝑛ℎ ℎướ𝑛𝑔 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖𝑚 đồ𝑛𝑔 ℎồ 𝐶ℎ𝑜 𝐿 𝑙à 𝑏𝑖ê𝑛 𝑐ủ𝑎 𝑡𝑎𝑚 𝑔𝑖á𝑐 𝐴𝐵𝐶 𝑣ớ𝑖 𝐴(0,1); 𝐵(3,3); 𝐶 (1,1)𝑐ó ℎướ𝑛𝑔 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖𝑚 đồ𝑛𝑔 ℎồ 𝐻ã𝑦 𝑡í𝑛ℎ (3𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 𝑇í𝑛ℎ 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 đườ𝑛𝑔 𝑙𝑜ạ𝑖 ℎ𝑎𝑖 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 𝑣ớ𝑖 𝐿 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑒𝑙𝑖𝑝 9𝑥 + 4𝑦 𝑦 𝑥 = 𝑛ố𝑖 đ𝑖ể𝑚 𝑡ừ 𝐴(2,0) đế𝑛 đ𝑖ể𝑚 𝐵(0,3) 𝑡ℎ𝑒𝑜 ℎướ𝑛𝑔 𝑑ươ𝑛𝑔 + 𝑇í𝑛ℎ 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑛𝑔𝑜à𝑖 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑥𝑜𝑖𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 + + =1 4 𝑇í𝑛ℎ 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝑙𝑜ạ𝑖 ℎ𝑎𝑖 (𝑦 + 𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑧 + 𝑥 )𝑑𝑥𝑑𝑧 + (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑒𝑙𝑖𝑝 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 𝑃ℎầ𝑛 𝐼: 𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑡𝑢𝑦ế𝑛 𝑡í𝑛ℎ 𝑐ấ𝑝 1 𝐷ạ𝑛𝑔 1: 𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑐ấ𝑝 𝑐ó 𝑏𝑖ế𝑛 𝑠ố 𝑝ℎâ𝑛 𝑙𝑦 𝐿à 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑐ó 𝑡ℎể 𝑡á𝑐ℎ 𝑟ờ𝑖 𝑚ỗ𝑖 𝑏𝑖ế𝑛 𝑚ộ𝑡 𝑣ế 𝐿ý 𝑡ℎ𝑢𝑦ế𝑡 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 22 TÀI LIỆU ƠN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” => 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 ⎧ 𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝐶ℎú ý: ⎨ 𝑥 = 𝑑𝑥 ⎩ 𝑑𝑦 𝑉𝐷: 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 + 𝑒 𝑑𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 = −𝑒 𝑑𝑦 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 = −𝑒 𝑑𝑦 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑒 + 𝐶 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑙à: − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑒 + 𝐶 2 𝐷ạ𝑛𝑔 2: 𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑐ó 𝑑ạ𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑢 đâ𝑦 đượ𝑐 𝑔ọ𝑖 𝑙à 𝑃𝑇𝑉𝑃 𝑡𝑢𝑦ế𝑛 𝑡í𝑛ℎ 𝑐ấ𝑝 1: 𝑦 + 𝑃(𝑥) 𝑦 = 𝑓(𝑥) => y(x) = 𝑒 ∫ () 𝑓(𝑥) 𝑒 ∫ () 𝑑𝑥 + 𝐶 VD1: y + Đặt P(x) = = 𝑥 ; 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 , 𝑘ℎ𝑖 𝑡𝑎 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑙à: 𝑥 y(x) = 𝑒 ∫ () 𝑓(𝑥) 𝑒 ∫ () 𝑑𝑥 + 𝐶 −> y(x) = 𝑒 ∫ 𝑥 𝑒 ∫ 𝑑𝑥 + 𝐶 −> y(x) = 𝑒 || 𝑥 𝑒 || 𝑑𝑥 + 𝐶 −> y(x) = 𝑥 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 23 TÀI LIỆU ƠN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” −> y(x) = 𝑥 𝑥 + 𝐶 10 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑙à: 𝑦(𝑥) = 𝑉𝐷2 𝑥𝑦 + 𝑦 = 𝑥 𝑥 𝑥 + 𝐶 10 𝑋é𝑡 𝑥 = => 𝑦 = → 𝑑𝑦 = 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 đề 𝑏à𝑖 𝑡ℎ𝑜ả 𝑚ã𝑛 𝑋é𝑡 𝑥 ≠ 𝑐ℎ𝑖𝑎 𝑐ả 𝑣ế 𝑐ℎ𝑜 𝑥 𝑡𝑎 𝑐ó: 𝑦 + 𝑦 = 𝑥 𝑥 Đặt P(x) = ; 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 , 𝑘ℎ𝑖 𝑡𝑎 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑙à: 𝑥 y(x) = 𝑒 ∫ () 𝑓(𝑥) 𝑒 ∫ () 𝑑𝑥 + 𝐶 −> y(x) = 𝑒 ∫ 𝑥 𝑒 ∫ 𝑑𝑥 + 𝐶 −> y(x) = 𝑒 || 𝑥 𝑒 || 𝑑𝑥 + 𝐶 −> y(x) = 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑥 −> y(x) = 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑥 𝑥 −> y(x) = + 𝐶 𝑥 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑙à: 𝑥 + 𝐶 𝑥 10 đườ𝑛𝑔 𝑡ℎẳ𝑛𝑔 𝑥 = 𝑦(𝑥) = Phần II: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.Lý thuyết Tổng quát: 𝑦 + 𝑝𝑦 + 𝑞𝑦 = 𝑓(𝑥) 24 TÀI LIỆU ƠN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” Nghiệm tổng quát: 𝑦 = 𝑦 + 𝑦∗ Các bước làm: Bước 1: 𝑇ì𝑚 𝑦 −𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑡ℎ𝑢ầ𝑛 𝑛ℎấ𝑡: ∶ 𝑦 + 𝑝(𝑥) 𝑦 + 𝑞𝑦 = −𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ đặ𝑐 𝑡𝑟ư𝑛𝑔: 𝑘 + 𝑝𝑘 + 𝑞 = 𝑘 𝑦 = 𝑒 +) TH1: ∆> => => 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ơ 𝑠ở: 𝑘 𝑦 = 𝑒 +) TH2: ∆= => 𝑘 = 𝑘 => 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ơ 𝑠ở: 𝑦 = 𝑒 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑦 . 𝑘 = 𝛼 + 𝛽𝑖 +) TH3: ∆< => => 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ơ 𝑠ở: 𝑦 𝑘 = 𝛼 − 𝛽𝑖 𝑇ừ ∶ 𝑦 = 𝐶 𝑦 + 𝐶 𝑦 𝐵ướ𝑐 2: 𝑇ì𝑚 𝑦 ∗ 𝑇ổ𝑛𝑔 𝑞𝑢á𝑡 ∶ 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑃 (𝑥) Nếu 𝛼 ≠ 𝑘 ≠ 𝑘 => 𝑦∗ = 𝑒 𝑄 (𝑥) Nếu 𝛼 = 𝑘 = 𝑘 => 𝑦∗ = 𝑥 𝑒 𝑄 (𝑥) 𝛼 = 𝑘 Nếu 𝛼 = 𝑘 => 𝑦 ∗ = 𝑥 𝑒 𝑄 (𝑥) 𝑏ậ𝑐 => 𝑄 (𝑥) = 𝐴 𝑏ậ𝑐 => 𝑄 (𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝑏 𝑉ớ𝑖 𝑄 (𝑥) 𝑙à 𝑑ạ𝑛𝑔 𝑏ậ𝑐 đ𝑎 𝑡ℎứ𝑐 𝑐ủ𝑎 𝑃 (𝑥) 𝑏ậ𝑐 => 𝑄 (𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶 => 𝐾ế𝑡 𝑙𝑢ậ𝑛 𝑉𝐷: 𝑦 − 2𝑦 + 𝑦 = 𝑒 25 TÀI LIỆU ƠN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” 𝐺𝑖ả𝑖 −𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑡ℎ𝑢ầ𝑛 𝑛ℎấ𝑡: ∶ 𝑦 − 2𝑦 + 𝑦 = −𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ đặ𝑐 𝑡𝑟ư𝑛𝑔: 𝑘 − 2𝑘 + = => 𝑘 = 𝑘 = => 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ơ 𝑠ở: 𝑦 = 𝑒 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑇ừ ∶ 𝑦 = 𝐶 𝑦 + 𝐶 𝑦 = 𝐶 𝑒 + 𝐶 𝑥 𝑒 𝑋é𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑦 ∗ = 𝐴 𝑒 𝑦 ∗ ′ = 2𝐴 𝑒 𝑦 ∗ ′′ = 4𝐴 𝑒 𝑇ℎ𝑎𝑦 𝑦 ∗ , 𝑦∗ , 𝑦∗ ′′ 𝑣à𝑜 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑏𝑎𝑛 đầ𝑢 𝑡𝑎 𝑐ó 4𝐴 𝑒 − 𝑦∗ + 𝐴 𝑒 = 𝑒 => 𝐴 = 𝑉ậ𝑦 𝑦 = 𝑦 + 𝑦 ∗ = 𝐶 𝑒 + 𝐶 𝑥 𝑒 + 𝑒 Bài tập điển hình xy’ – y = 𝑥 𝑋é𝑡 𝑥 = => 𝑦 = => 𝑦’ = => = ( 𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛) 𝑋é𝑡 𝑥 ≠ 𝑐ℎ𝑖𝑎 𝑣ế 𝑐ℎ𝑜 𝑥 𝑐ó: −1 𝑣à 𝐹(𝑥) = 𝑥 ) 𝑦’ − 𝑦 = 𝑥 ( Đặ𝑡 𝑃(𝑥) = 𝑥 𝑥 → 𝑦(𝑥) = 𝑒 ∫ () 𝑓(𝑥) 𝑒 ∫ () 𝑑𝑥 + 𝐶 → 𝑦(𝑥) = 𝑒 ∫ 𝑥 𝑒 ∫ 𝑑𝑥 + 𝐶 → 𝑦(𝑥) = 𝑒 || 𝑥 𝑒 || 𝑑𝑥 + 𝐶 26 TÀI LIỆU ƠN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” → 𝑦(𝑥) = 𝑒 || 𝑥 𝑒 || 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑥 → 𝑦(𝑥) = 𝑥 ( 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) = 𝑥( + 𝐶) 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑙à 𝑦 = 𝑥(4 + 𝑦 ) 𝑑𝑦 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 (4 + 𝑦 ) → + 𝑦 𝑑𝑥 đườ𝑛𝑔 𝑡ℎẳ𝑛𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑦(𝑥) = 𝑥( + 𝐶) 𝑦 𝑥 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 → 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 = +𝑐 4+𝑦 2 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑙à a) 𝑦" − 𝑦′ − 2𝑦 = (2𝑥 + 1)𝑒 𝑦 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 = +𝐶 2 𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑡ℎ𝑢ầ𝑛 𝑛ℎấ𝑡: 𝑦” − 𝑦 − 2𝑦 = 𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ đặ𝑐 𝑡𝑟ư𝑛𝑔: 𝑘 − 𝑘 − = 𝑦 = 𝑒 𝑘 = −1 → 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ơ 𝑠ở: => 𝑘 = 𝑦 = 𝑒 𝑦 = 𝐶 𝑦 + 𝐶 𝑦 = 𝐶 𝑒 + 𝐶 𝑒 𝑥é𝑡 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1) 𝑒 => 𝑦 ∗ = (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒 => 𝑦∗ = 𝑒 (𝐴 + 𝐴𝑥 + 𝐵) => 𝑦 ∗ = 𝑒 (𝐴 + 𝐴 + 𝐴𝑥 + 𝐵) => 𝑒 (2𝐴 + 𝐴𝑥 + 𝐵) − 𝑒 (𝐴 + 𝐴𝑥 + 𝐵) − 2𝑒 (𝐴𝑥 + 𝐵) = 2𝑥 + => 2𝐴𝑥 + 𝐴 − 2𝐵 = 2𝑥 + => 𝐴 = −1 −2𝐴 = → 𝐴 − 2𝐵 = 𝐵 = −1 => 𝑦 ∗ = 𝑒 (−𝑥 − 1) 𝑉ậ𝑦 𝑦 = 𝑦 + 𝑦∗ = 𝑐1 𝑒 + 𝑐2 𝑒 + (−𝑥 − 1)𝑒 (1 − 𝑦 )𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 27 TÀI LIỆU ƠN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” → (1 − 𝑦 )𝑑𝑥 = 2𝑥𝑦𝑑𝑦 𝑋é𝑡 𝑥 = => 𝑑𝑥 = => = (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛) 𝑋é𝑡 𝑦 − = → 𝑦 = ±1 → 𝑑𝑦 = (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛) 𝑋é𝑡 𝑥(𝑦 − 1) ≠ 𝑐ó ∶ 𝑑𝑥 2𝑦𝑑𝑦 = − 𝑦 𝑥 → ∫ →∫ = ∫ =∫ ( ) → 𝑙𝑛|𝑥| = −𝑙𝑛|1 − 𝑦 | + 𝐶 ⎧ đườ𝑛𝑔 𝑡ℎẳ𝑛𝑔 𝑥 = ⎪ đườ𝑛𝑔 𝑡ℎẳ𝑛𝑔 𝑦 = 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑙à: ⎨ đườ𝑛𝑔 𝑡ℎẳ𝑛𝑔 𝑦 = −1 ⎪𝑙𝑛|𝑥| = −𝑙𝑛|1 − 𝑦 | + 𝑐 ⎩ Đề thi năm trước (sẽ giải trực tiếp học CLB) Giải phương trình vi phân sau: 1 𝑦 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 𝑦 + 2𝑦 + 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 + 𝑦 = 𝑥 𝑥 𝑦 + 2𝑦 + 𝑦 = 4𝑒 (x + 1)(y − 1)dx + 𝑦𝑑𝑦 = 𝑦 + 2𝑦 = 𝑥 − 𝑥𝑦 − 𝑦 = 𝑥 𝑦 − 𝑦 − 2𝑦 = (2𝑥 + 1)𝑒 (1 − 𝑦 )dx + 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 28 TÀI LIỆU ƠN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” 10 𝑦 − 5𝑦 + 5𝑦 = 2𝑒 29 ... TÀI LIỆU ÔN THI GIẢI TÍCH THAM GIA GROUP FB ĐỂ NHẬN NHIỀU TÀI LIỆU:” GÓC HỌC TẬP ĐHXD” → I =