ĐỀ THI GIỮA HỌC KỲ GIẢI TÍCH 2 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM

I HỌC BÁCH KHOA TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng – Toán ứng dụng Đề chính thức (Đề thi 18 câu|4 trang) ĐỀ THI GIỮA HỌC KỲ Môn thi: Giải Tích 2 – Ca 2 Ngày thi: 18032019 Thời gian làm bài: 45 phút Câu 1. Cho

Trang 1

[CTCT] – CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : Facebook.com/Chungtacungtien

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

Khoa Khoa học ứng dụng – Toán ứng dụng

Đề chính thức (Đề thi 18 câu|4 trang)

ĐỀ THI GIỮA HỌC KỲ Môn thi: Giải Tích 2 – Ca 1

Ngày thi: 18/03/2019 Thời gian làm bài: 45 phút

Câu 1 Một nhà máy sản xuất xe oto áp dụng mô hình dùng sức lao động kết hợp tự động hóa sản

xuất Họ xác định rằng tổng chi phí cho thiết bị và nhân công mỗi năm được tính bởi hàm:

𝐶(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2+ 3𝑦2− 15𝑥 − 20𝑦 + 4𝑥𝑦 + 39 (đơn vị; triệu đô la)

Trong đó x là chi phí thuê nhân công (triệu đô la/năm), y là chi phí cho thiết bị tự động hóa (triệu đô la/năm) Tìm x, y để tổng chi phí cho thiết bị và nhân công mỗi năm là ít nhất

A 𝑥 =5

4, 𝑦 =

5

2 (đv: Triệ u đô la)

B 𝑥 =5

2, 𝑦 =

5 4

C 𝑥 =4

5, 𝑦 =

2 5

D Các câu khác sai

Câu 2 Tìm GTLN M và GTNN m của 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑥2−𝑦2 (2𝑥 2 + 3𝑦 2) trên miền

𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 ∶ 𝑥2+ 𝑦2 ≤ 1}

A M =2

e, m = 0

B M = 2e, m = 0

C M =3

e, m = 0

D M = 3e, m = 0

Câu 3 Viết cận tích phân 𝐼 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝐷: 𝑥 ≤ 2 − 𝑦2 , 𝑥 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 0

𝐴 𝐼 = ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

2−𝑦 2

−𝑦

0

−1

𝐵 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

−𝑥

−√2−𝑥

1 0

𝐶 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

−𝑥

√2−𝑥

1 0

Trang 2

𝐷 𝐼 = ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

−𝑦

2−𝑦 2

0

−1

𝐂â𝐮 𝟒.Miệ n xác đị nh củ a hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) = arccos𝑥√3

𝑦 𝑙à:

A Miền chứa trục Ox nằm giữa 2 đường thẳng 𝑦 = ±𝑥√3, bỏ đi gốc tọa độ O

B Toàn bộ mặt phẳng bỏ đi gốc tọa độ O

C Miền chứa trục Oy nằm giữa 2 đường thẳng 𝑦 = ±𝑥√3, bỏ đi gốc tọa độ O

D Tập hợp những điểm nằm trên 2 đường thẳng 𝑦 = ±𝑥√3,

Câu 5 Một nông dân dự định rào một bãi cỏ hình chữ nhật để chăn thả gia súc ngay bên bờ sông

(giả sử bờ sông thẳng) với 320m lưới rào Biết rẳng người nông dân không cần rào mặt dọc theo bờ sông, xác định kích thước bãi cỏ để diện tích chăn thả vật nuôi là lớn nhất

A 70m x 180m

B Các câu khác sai

C 60m x 200m

D 80m x 160m

Câu 6 Cho đường cong C là giao tuyến của mặt cong 𝑆: 𝑥2 + 2𝑦 2 − 5 + 4𝑥 và mặt phẳng 𝑦 = 3

Hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong C tại điểm 𝑀(0,3,4) l

A Các câu khác SAI

B Đạo hàm riêng theo biến y của hàm z tại điểm M

C Vecto gradient của hàm z tại điểm M

D Đạo hàm riêng theo biến x của hàm z tại điểm M

Câu 7 Cho tích phân 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 ∫0 1 √1−𝑥 √4−𝑥 2 2√𝑥2+ 𝑦2𝑑𝑦 +∫ 𝑑𝑥 ∫1 2 0 √4−𝑥 2√𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑦

𝐴 ∫ 𝑑𝜑

𝜋

2

0

∫ 𝑟2𝑑𝑟

2 1

𝐵 ∫ 𝑑𝜑

𝜋

0

∫ 𝑟𝑑𝑟

2 1

𝐶 ∫ 𝑑𝜑

𝜋

2

0

∫ 𝑟𝑑𝑟

2 1

𝐷 ∫ 𝑑𝜑

𝜋

0

∫ 𝑟2𝑑𝑟

2 1

Câu 8 Thể tích vật thể Ω được tích bởi 𝑉(Ω) = ∫ 𝑑𝑥−1 1 ∫0 1−𝑥 2𝑦𝑑𝑦 Vật thể này có thể được giới hạn bởi

A Trụ 𝑦 = 1 − 𝑥 2, 3 mp 𝑧 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 𝑦

Trang 3

B Trụ 𝑦 = 1 − 𝑥 2, 2 mp 𝑧 = 0 𝑣à 𝑧 = 𝑦

C Trụ 𝑦 = 1 − 𝑥2, 2 mp 𝑧 = 𝑦 𝑣à 𝑥 = 𝑦

D Trụ 𝑦 = 1 − 𝑥2, 3 mp 𝑧 = 0, 𝑥 = 0, 𝑧 = 𝑦

Câu 9 Tính 𝐼 = ∬ (2𝑥𝑦 − 3)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 , trong đó D là miền giới hạn bởi 𝑦 ≤ 2 − 𝑥 2 , 𝑦 ≥ 0, 𝑦 ≥ 𝑥,

𝑦 ≥ −𝑥 , kết quả đúng là :

A 7

B -7

C 14

D -14

𝐂â𝐮 𝟏𝟎 Cho hàm số f(x, y) = ln (xy + 2x

2

y2− x + 1) Tính df(1, −2)

𝐴 −2𝑑𝑥 + 𝑑𝑦

3

𝐵 2𝑑𝑥 − 𝑑𝑦

3

𝐶 2𝑑𝑥 + 𝑑𝑦

3

𝐷.Các câu khác SAI

Câu 11 Cho hàm 𝑧 = 𝑦 𝑒𝑓(

𝑥

𝑦 )

Tính 𝑧𝑦′ (2,1) biết 𝑓(2) = 5, 𝑓 ′ (2) = 1

A −𝑒5

B 𝑒5

C 3𝑒5

D −3𝑒 5

Câu 12 Tính tích phân 𝐼 = ∬ 𝑒−𝑦2𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 , với D được giới hạn bởi : 0 ≤ 𝑧 ≤ 1, 𝑧 ≤ 𝑦 ≤ 1

Kết quả nào sau đây là đúng ?

𝐴 1 − 1

𝑒

𝐶.1

2−

1

3𝑒

D.1

2−

1

𝑒

Câu 13 Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥𝑦sinx Tính 𝑓𝑥𝑦𝑦′′′ (𝜋, 0)

Trang 4

A.−𝜋2

B.−1

C.𝜋2

D Các câu khác đều SAI

Câu 14 Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦4− 𝑥3 + 2𝑥𝑦 − 𝑧 2 Tính 𝑓𝑦𝑧′′

A 𝑦𝑥−1 𝑧𝑙𝑛𝑦 − 2𝑧

B Các câu khác đều SAI

C 𝑦𝑥+ 𝑦𝑥−1𝑧𝑙𝑛𝑦

D 𝑦𝑥−1 (1 + 𝑧𝑙𝑛𝑦)

Câu 15 Gỉa sử nhiệt độ tại điểm (x,y,z) trong không gian 0xyz được cho bởi công thức:

𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 80

𝑥2 + 2𝑦 2 + 3𝑧 3

Trong đó T được tính bằng oC và x,y,z được tính bằng mét (m) Tại điểm (1,1,-2), tốc độ giảm nhiệt nhanh nhất theo hướng nào?

A 𝑢⃗ (1,2,18)

B 𝑢⃗ (1,2,6)

C 𝑢⃗ (1,2, −18)

D 𝑢⃗ (1,2, −6)

Câu 16 Tìm hệ số của số hạng (𝑥 − 1)(𝑦 − 2) trong khai triển Taylor của hàm

𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (2𝑥 + 3𝑦 − 1) ở lân cận điểm (1,2)

𝐴 −1

2

𝐵 − 6

49

𝐶.12

49

𝐷 − 1

49

Câu 17 Cho 𝐼 = ∬(𝑥2+ 𝑦2 − 2𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 vớ i D đướ c cho bớ i 𝑥 − 𝑦 ≤ 2, 𝑦 + 𝑥 ≥ 0, 𝑥 2 +

𝑦2 − 2𝑥 + 2𝑦 + 1 ≤ 0 Đổi biến bằng cách đặt 𝑥 = 1 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = −1 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑, đẳng thức nào

dưới đây là đúng ?

Trang 5

𝐴 𝐼 = ∫ 𝑑

𝜋

4

−𝜋4

𝜑 ∫(𝑟2 − 2)𝑟𝑑𝑟

1

0

𝐵 𝐼 = ∫ 𝑑

3𝜋

4

𝜋

4

𝜑 ∫(𝑟2 − 2)𝑟𝑑𝑟

1

0

𝐶 𝐼 = ∫ 𝑑

3𝜋

4

𝜋

4

𝜑 ∫(𝑟2 − 2)𝑑𝑟

1

0

𝐷 𝐼 = ∫ 𝑑

5𝜋

4

3𝜋

4

𝜑 ∫(𝑟2 − 2)𝑑𝑟

1

0

Câu 18 Nhận dạng mặt bậc 2 sau : 𝑦 = √𝑥2 − 2𝑥 + 3𝑧

A Mặt Parapoloid Elliptic

B Mặt cầu

C Mặt Parapoloid Hyperpolic

D Mặt Ellipsoid

Đáp án được biên soạn bởi Ban chuyên môn CLB CTCT- Chúng Ta Cùng Tiến*

Trang 6

Câu 1 Cho 𝐼 = ∬(√𝑥2 + 𝑦2− 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦, với miền 𝐷 giới hạn bởi 𝑥2+ 𝑦2 ≤ −2𝑦, 0 ≤ 𝑥 ≤ − 𝑦

√3 và thực hiện đổi biến 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑, công thức nào dưới đây là đúng?

𝐴 𝐼 = ∫ 𝑑

−𝜋3

3𝜋

2

𝜑 ∫ 𝑟(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜑)𝑑𝑟

−2𝑠𝑖𝑛𝜑

0

𝐵 𝐼 = ∫ 𝑑

−𝜋

3

3𝜋

2

𝜑 ∫ 𝑟2(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜑)𝑑𝑟

0

𝐶 𝐼 = ∫ 𝑑

−𝜋3

−𝜋

2

𝜑 ∫ 𝑟(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜑)𝑑𝑟

0

𝐷 𝐼 = ∫ 𝑑

−𝜋3

−𝜋2

𝜑 ∫ 𝑟2(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜑)𝑑𝑟

0

Câu 2 Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑒−𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 Tính 𝑓𝑥𝑥′′ + 𝑓𝑦𝑦′′

𝐴 2

𝐵 𝑒−𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥

𝐶 0

𝐷 𝑒−𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦

𝐂â𝐮 𝟑.Viết khai triển Maclaurint đến cấp 4 của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) = sin (2𝑥

2+ 𝑦4)

1 + arctan (𝑥𝑦)

A 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 + 2𝑥 3𝑦 + 𝑦4+ 𝑅4

B 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2 − 2𝑥 3𝑦 + 𝑦4+ 𝑅4

C 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2 − 2𝑥 2𝑦2 + 𝑦4+ 𝑅4

D Các câu kia đều sai

Trang 7

Câu 4 Miền xác định của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥2+ 𝑦2 − 4 + ln (9 − 𝑥 2− 𝑦2) là :

A Hình vành khăn tâm 𝑂(0, 0) bán kính 2 và 3, bỏ đường tròn bán kính 2

B Hình vành khăn tâm 𝑂(0, 0) có bán kính 2 và 3

C Hình vành khăn tâm 𝑂(0, 0) bán kính 2 và 3, bỏ đường tròn bán kính 3

D Tập hợp những điểm nằm trên 2 đường tròn cùng tâm tạo 𝑂(0, 0) có bán kính 2 và 3

Câu 5 Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) = arctan (𝑥2 +2𝑦

3𝑥−𝑦 2 ) Tính 𝑑𝑓(0,2)

𝐴 1

8(3𝑑𝑥 − 2𝑑𝑦)

𝐵 1

8(3𝑑𝑥 + 2𝑑𝑦)

𝐶 1

8(−3𝑑𝑥 + 2𝑑𝑦)

Câu 6 Một nông dân dự định rào một bãi cỏ hình chữ nhật để chăn thả gia súc ngay bên bờ sông (giả sử bờ sông là thẳng) với diện tích 3200 𝑚2 Biết rằng người nông dân không cần rào mặt dọc theo bờ sông Tìm kích thước bãi cỏ để chiều dài hàng rào là ngắn nhất

A 20𝑚 x 160𝑚

B Không có giá trị nào

C Các câu kia sai

D 40𝑚 x 80𝑚

Câu 7 Cho tích phân 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑦𝑑𝑦0 √2 0𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 ∫√2 2 0 √4−𝑥 2𝑥𝑦𝑑𝑦

𝐴 𝐼 = ∫ 𝑑𝜑

𝜋

4

0

∫ 𝑟3𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑑𝑟

2

0

𝐵 𝐼 = ∫ 𝑑𝜑

𝜋

2

0

2

0

𝐶 𝐼 = ∫ 𝑑𝜑

𝜋

4

0

2

0

𝐷 𝐼 = ∫ 𝑑𝜑

𝜋

2

0

2

0

Trang 8

Câu 8 Tìm GTLN 𝑀và GTNN 𝑚 của 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 3𝑦 2 + 𝑥 − 𝑦 trên miền 𝐷: 𝑥 = 1, 𝑦 = 1, 𝑥 +

𝑦 = 1

A 𝑀 = 2, 𝑚 = 0

B 𝑀 = 4, 𝑚 = 2

C 𝑀 = 4, 𝑚 = 1

D 𝑀 = 2, 𝑚 = 1

Câu 9 Tính 𝐼 = ∬ sin(𝑥2 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦, trong đó 𝐷 giới hạn bởi 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 Kết quả đúng là:

𝐴 1 −cos (𝜋

2)

2

𝐵 1

2−

cos (𝜋2)

2

𝐶 1

2−

cos (𝜋2)

4

𝐷 0

Câu 10 Viết cận tích phân 𝐼 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 , 𝐷: 𝑥 ≤ 𝑦2 , 𝑥 ≥ 0, 𝑥 − 𝑦 ≤ 2

A 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 ∫0 1 𝑥−2−√𝑥𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 B 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 ∫0 1 𝑥−2√𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

C 𝐼 = ∫ 𝑑𝑦 ∫−1 0 𝑦2+𝑦 2 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 D 𝐼 = ∫ 𝑑𝑦 ∫−1 0 𝑦2−𝑦 2 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

Câu 11 Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧𝑥+ 𝑦2− 𝑥𝑦𝑧 Tính 𝑓𝑥𝑧′′

A 𝑧𝑥−1 (1 + 𝑧𝑙𝑛𝑥) − 𝑦

B 𝑧𝑥+ 𝑧𝑥−1 𝑧 𝑙𝑛𝑥 − 𝑦

C 𝑧𝑥−1 𝑧 𝑙𝑛𝑥 − 𝑦

D Các câu khác SAI

Câu 12 Nhận dạng mặt bấc 2 sau : 𝑥 = √2𝑦 − 3𝑧 − 𝑦2

A Mặt Paraboloid Hyperbolic

B Mặt nón

C Mặt Ellipsoid

D Mặt Paraboloid Elliptic

Câu 13 Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) = √8 − 4𝑥2− 𝑦2 + 2𝑦 và điểm 𝐴(1,3) Tốc độ biến của hàm theo

phương vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ tại 𝐴 với 𝐵(1, −3) là:

A Vector gradient của hàm tại A

B Đạo hàm riêng của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) tại A theo x

C Đạo hàm riêng của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) tại A theo y

D Các câu khác SAI

Trang 9

Câu 14 Tính 𝐼 = ∬ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦,𝐷 trong đó 𝐷 giới hạn bởi 𝑧 − 𝑦2 + 9 = 0 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0, kết quả đúng

là

𝐴 124

12

𝐵 125

12

𝐶 126

12

𝐷 127

12

Câu 15 1 𝑚𝑜𝑙 chất khí lý tưởng có phương trình 𝑃𝑉 = 8.31𝑇 trong đó P(kPa) là áp suất, V(lít) là

thể tích và T(K) là nhiệt độ Biết áp suất tăng với tốc độ 0.05kPa/s và nhiệt độ tăng với tốc độ

0.15 0 𝐾

𝑠 Hãy ước lượng tốc độ biến thiên tức thời của thể tích khi 𝑝 = 30𝑘𝑃𝑎, 𝑇 = 320°𝐾

A giảm 0.11 lít/s

B Tăng 0.19 lít/s

C Tăng 0.11 lít/s

D Giảm 0.19 lít/s

Câu 16 Để giải quyết vấn đề lan truyền của một loại vi khuẩn X, người ta nghiên cứu một hợp chất

gồm hai loại thuốc Kết quả nghiên cứu trong phòng thí nghiệm cho thấy khoảng thời gian lan truyền(tính bằng ngày) được tính bởi 𝐷(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 2𝑦 2 − 18𝑥 − 24𝑦 + 2𝑥𝑦 + 120 Trong đó x là

liều lượng loại thuốc thứ nhất (trăm miligram), y là liệu lương loại thuốc thứ hai (trăm miligram) Tìm hiểu lượng cần thiết cho loại thuốc để khoảng thời gian lan truyền là ngắn nhất

A 𝑥 = 3, 𝑦 = 6 (đvt: trăm miligram)

C 𝑥 = 6, 𝑦 = 12 (đvt: trăm miligram)

D 𝑥 = 6, 𝑦 = 3 (đvt: trăm miligram)

Câu 17 Giả sử qua một miền nào đó trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, điện thế V được cho bởi 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

5𝑥 2 − 3𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 (dvt: Vôn) Tại điểm 𝑃(1,2,3) tốc độ điện thế giảm nhanh nhất theo huống nào

sau đây?

A 𝑢⃗ (−5,0, −1)

B 𝑢⃗ (10, −3,2)

C 𝑢⃗ (5,0,1)

D 𝑢⃗ (−10,3,2)

Câu 18 Thể tích vật thể Ω được tính bởi 𝑉(Ω) = ∫ 𝑑𝑥 ∫0 2 −√2𝑥−𝑥 √2𝑥−𝑥 2 2 2𝑥𝑑𝑦 Vật thể này có thể được giới hạn

A Trụ 𝑥2+ 𝑦2 = 2𝑥, 2 𝑚𝑝 𝑧 = 0, 𝑦 = 2𝑥

Trang 10

B Trụ 𝑥2+ 𝑦2 = 2𝑥, 2 𝑚𝑝 𝑧 = 0, 𝑧 = 2𝑥

C Trụ 𝑥2+ 𝑦2 = 2𝑥, 2 𝑚𝑝 𝑧 = 0, 𝑧 = −2𝑥

D Trụ 𝑥2+ 𝑦2 = 2𝑥, 2 𝑚𝑝 𝑧 = 0, 𝑦 = −2𝑥

Trang 11

Câu 1 Một nhà máy sản xuất xe oto áp dụng mô hình dùng sức lao động kết hợp tự động hóa sản

xuất Họ xác định rằng tổng chi phí cho thiết bị và nhân công mỗi năm được tính bởi hàm:

𝐶(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2+ 3𝑦2− 15𝑥 − 20𝑦 + 4𝑥𝑦 + 39 (đơn vị; triệu đô la)

Trong đó x là chi phí thuê nhân công (triệu đô la/năm), y là chi phí cho thiết bị tự động hóa (triệu đô la/năm) Tìm x, y để tổng chi phí cho thiết bị và nhân công mỗi năm là ít nhất

A 𝑥 =5

4, 𝑦 =

5

2 (đv: Triệ u đô la)

B 𝑥 =5

2, 𝑦 =

5 4

C 𝑥 =4

5, 𝑦 =

2 5

Câu 2 Tìm GTLN M và GTNN m của 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑥2−𝑦2 (2𝑥 2 + 3𝑦 2) trên miền

𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 ∶ 𝑥2+ 𝑦2 ≤ 1}

A M =2

e, m = 0

B M = 2e, m = 0

C M =3

e, m = 0

D M = 3e, m = 0

Câu 3 Viết cận tích phân 𝐼 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝐷: 𝑥 ≤ 2 − 𝑦2 , 𝑥 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 0

𝐴 𝐼 = ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

2−𝑦 2

−𝑦

0

−1

𝐵 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

−𝑥

−√2−𝑥

1 0

𝐶 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

−𝑥

√2−𝑥

1 0

Trang 12

𝐷 𝐼 = ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

−𝑦

2−𝑦 2

0

−1

𝐂â𝐮 𝟒.Miệ n xác đị nh củ a hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) = arccos𝑥√3

𝑦 𝑙à:

A Miền chứa trục Ox nằm giữa 2 đường thẳng 𝑦 = ±𝑥√3, bỏ đi gốc tọa độ O

B Toàn bộ mặt phẳng bỏ đi gốc tọa độ O

C Miền chứa trục Oy nằm giữa 2 đường thẳng 𝑦 = ±𝑥√3, bỏ đi gốc tọa độ O

D Tập hợp những điểm nằm trên 2 đường thẳng 𝑦 = ±𝑥√3,

Câu 5 Một nông dân dự định rào một bãi cỏ hình chữ nhật để chăn thả gia súc ngay bên bờ sông

(giả sử bờ sông thẳng) với 320m lưới rào Biết rẳng người nông dân không cần rào mặt dọc theo bờ sông, xác định kích thước bãi cỏ để diện tích chăn thả vật nuôi là lớn nhất

A 70m x 180m

C 60m x 200m

D 80m x 160m

Câu 6 Cho đường cong C là giao tuyến của mặt cong 𝑆: 𝑥2 + 2𝑦 2 − 5 + 4𝑥 và mặt phẳng 𝑦 = 3

Hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong C tại điểm 𝑀(0,3,4) l

A Các câu khác SAI

B Đạo hàm riêng theo biến y của hàm z tại điểm M

C Vecto gradient của hàm z tại điểm M

D Đạo hàm riêng theo biến x của hàm z tại điểm M

Câu 7 Cho tích phân 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 ∫0 1 √1−𝑥 √4−𝑥 2 2√𝑥2+ 𝑦2𝑑𝑦 +∫ 𝑑𝑥 ∫1 2 0 √4−𝑥 2√𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑦

𝐴 ∫ 𝑑𝜑

𝜋

2

0

∫ 𝑟2𝑑𝑟

2 1

𝐵 ∫ 𝑑𝜑

𝜋

0

∫ 𝑟𝑑𝑟

2 1

𝐶 ∫ 𝑑𝜑

𝜋

2

0

∫ 𝑟𝑑𝑟

2 1

𝐷 ∫ 𝑑𝜑

𝜋

0

∫ 𝑟2𝑑𝑟

2 1

Câu 8 Thể tích vật thể Ω được tích bởi 𝑉(Ω) = ∫ 𝑑𝑥−1 1 ∫0 1−𝑥 2𝑦𝑑𝑦 Vật thể này có thể được giới hạn bởi

A Trụ 𝑦 = 1 − 𝑥 2, 3 mp 𝑧 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 𝑦

Trang 13

B Trụ 𝑦 = 1 − 𝑥 2, 2 mp 𝑧 = 0 𝑣à 𝑧 = 𝑦

C Trụ 𝑦 = 1 − 𝑥2, 2 mp 𝑧 = 𝑦 𝑣à 𝑥 = 𝑦

D Trụ 𝑦 = 1 − 𝑥2, 3 mp 𝑧 = 0, 𝑥 = 0, 𝑧 = 𝑦

Câu 9 Tính 𝐼 = ∬ (2𝑥𝑦 − 3)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 , trong đó D là miền giới hạn bởi 𝑦 ≤ 2 − 𝑥 2 , 𝑦 ≥ 0, 𝑦 ≥ 𝑥,

𝑦 ≥ −𝑥 , kết quả đúng là :

A 7

B -7

C 14

D -14

𝐂â𝐮 𝟏𝟎 Cho hàm số f(x, y) = ln (xy + 2x

2

y2− x + 1) Tính df(1, −2)

𝐴 −2𝑑𝑥 + 𝑑𝑦

3

𝐵 2𝑑𝑥 − 𝑑𝑦

3

𝐶 2𝑑𝑥 + 𝑑𝑦

3

𝐷.Các câu khác SAI

Câu 11 Cho hàm 𝑧 = 𝑦 𝑒𝑓(

𝑥

𝑦 )

Tính 𝑧𝑦′ (2,1) biết 𝑓(2) = 5, 𝑓 ′ (2) = 1

A −𝑒5

B 𝑒5

C 3𝑒5

D −3𝑒 5

Câu 12 Tính tích phân 𝐼 = ∬ 𝑒−𝑦2𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 , với D được giới hạn bởi : 0 ≤ 𝑧 ≤ 1, 𝑧 ≤ 𝑦 ≤ 1

Kết quả nào sau đây là đúng ?

𝐴 1 − 1

𝑒

𝐶.1

2−

1

3𝑒

D.1

2−

1

𝑒

Câu 13 Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥𝑦sinx Tính 𝑓𝑥𝑦𝑦′′′ (𝜋, 0)

Trang 14

A.−𝜋2

B.−1

C.𝜋2

D Các câu khác đều SAI

Câu 14 Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦4− 𝑥3 + 2𝑥𝑦 − 𝑧 2 Tính 𝑓𝑦𝑧′′

A 𝑦𝑥−1 𝑧𝑙𝑛𝑦 − 2𝑧

B Các câu khác đều SAI

C 𝑦𝑥+ 𝑦𝑥−1𝑧𝑙𝑛𝑦

D 𝑦𝑥−1 (1 + 𝑧𝑙𝑛𝑦)

Câu 15 Gỉa sử nhiệt độ tại điểm (x,y,z) trong không gian 0xyz được cho bởi công thức:

𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 80

𝑥2 + 2𝑦 2 + 3𝑧 3

Trong đó T được tính bằng oC và x,y,z được tính bằng mét (m) Tại điểm (1,1,-2), tốc độ giảm nhiệt nhanh nhất theo hướng nào?

A 𝑢⃗ (1,2,18)

B 𝑢⃗ (1,2,6)

C 𝑢⃗ (1,2, −18)

D 𝑢⃗ (1,2, −6)

Câu 16 Tìm hệ số của số hạng (𝑥 − 1)(𝑦 − 2) trong khai triển Taylor của hàm

𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (2𝑥 + 3𝑦 − 1) ở lân cận điểm (1,2)

𝐴 −1

2

𝐵 − 6

49

𝐶.12

49

𝐷 − 1

49

Câu 17 Cho 𝐼 = ∬(𝑥2+ 𝑦2 − 2𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 vớ i D đướ c cho bớ i 𝑥 − 𝑦 ≤ 2, 𝑦 + 𝑥 ≥ 0, 𝑥 2 +

𝑦2 − 2𝑥 + 2𝑦 + 1 ≤ 0 Đổi biến bằng cách đặt 𝑥 = 1 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = −1 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑, đẳng thức nào

dưới đây là đúng ?

Trang 15

𝐴 𝐼 = ∫ 𝑑

𝜋

4

−𝜋4

𝜑 ∫(𝑟2 − 2)𝑟𝑑𝑟

1

0

𝐵 𝐼 = ∫ 𝑑

3𝜋

4

𝜋

4

𝜑 ∫(𝑟2 − 2)𝑟𝑑𝑟

1

0

𝐶 𝐼 = ∫ 𝑑

3𝜋

4

𝜋

4

𝜑 ∫(𝑟2 − 2)𝑑𝑟

1

0

𝐷 𝐼 = ∫ 𝑑

5𝜋

4

3𝜋

4

𝜑 ∫(𝑟2 − 2)𝑑𝑟

1

0

Câu 18 Nhận dạng mặt bậc 2 sau : 𝑦 = √𝑥2 − 2𝑥 + 3𝑧

A Mặt Parapoloid Elliptic

B Mặt cầu

C Mặt Parapoloid Hyperpolic

D Mặt Ellipsoid

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	0,98 MB