ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 20122013 Bộ môn Toán Ứng Dụng MÔN THI : GIẢI TÍCH 2 ____________________________ NGÀY THI : 15062013 THỜI GIAN : 90 phút ______________ (Không sử dụng tài liệu) CA 1 Câu 1: Cho hàm ( , ) ln| 2 | x f x y y y e . Tính , 2 3 A f f B f f f x y xx yy xy tại M(0,1) Câu 2:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 4 1 1 1 3 2 3 3 1 n n n n n ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 20122013 Bộ môn Toán Ứng Dụng MÔN THI : GIẢI TÍCH 2 ____________________________ NGÀY THI : 15062013 THỜI GIAN : 90 phút ______________ (Không sử dụng tài liệu) CA 1 Câu 1: Cho hàm ( , ) ln| 2 | x f x y y y e . Tính , 2 3 A f f B f f f x y xx yy xy tại M(0,1) Câu 2:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 4 1 1 1 3 2 3 3 1 n n n n n ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 20122013 Bộ môn Toán Ứng Dụng MÔN THI : GIẢI TÍCH 2 ____________________________ NGÀY THI : 15062013 THỜI GIAN : 90 phút ______________ (Không sử dụng tài liệu) CA 1 Câu 1: Cho hàm ( , ) ln| 2 | x f x y y y e . Tính , 2 3 A f f B f f f x y xx yy xy tại M(0,1) Câu 2:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 4 1 1 1 3 2 3 3 1 n n n n n
Trường Đại học Bách Khoa Tp HCM Đề thi Học kỳ II: 2011-2012 Mơn: Giải tích 2-CA1 Bộ mơn: Tốn Ứng Dụng Ngày thi 16 tháng 06 năm 2012 Thời gian 90 phút (Sinh viên KHÔNG sử dụng tài liệu) Câu (1,5đ) Cho hàm số f (x, y) = xex+y − 2y sin(y − x) Tính df, d2 f x = 1, y = Câu (1,5đ) Khảo sát cực trị tự hàm z(x, y) = 2x3 + y − x2 − 2y + Câu (1,5đ) Tính diện tích phần mặt nón z = hình cầu x2 + y + z x2 + y nằm Câu (1,5đ) Tính tích phân đường loại hai (x2 + 3y)dx + (x + y)dy, I= C với C nửa bên đường tròn x2 + y = 2y, phần y 1, hướng theo chiều chiều kim đồng hồ Câu (1,5đ) Tính tích phân mặt loại hai (x3 + 1)dydz + (y + 2)dzdx + (z + 3)dxdy, I= S với S phần mặt cầu x2 + y + z = 2, bị cắt mặt phẳng z = 1, lấy phần z 1, mặt phía theo hướng trục Oz ∞ (2n)!! n n=1 (n!) ∞ (−1)n+1 π 2n Câu (1,5đ) Tính tổng chuỗi số 2n+1 (2n + 1)! n=1 Câu (1đ) Khảo sát hội tụ chuỗi số Chủ nhiệm mơn PGS.TS Nguyễn Đình Huy Đáp án đề thi Học kỳ II: 2011-2012 Mơn: Giải tích 2-CA1 Ngày thi 16 tháng 06 năm 2012 Câu (1,5đ) df (1, 1) = (2e2 + 2)dx + (e2 − 2)dy (0, 75đ) d2 f (1, 1) = 2e2 )dx2 + 4(e2 + 1)dxdy + (e2 − 4)dy (0, 75đ) Câu (1,5đ) điểm dừng P1 (0, 1), P2 (1/3, 1) (0,75đ) P1 không điểm cực trị, P2 cực tiểu, fCT = 53 (0,75đ) 27 Câu (1,5đ) √ √ S = x2 +y2 2dxdy (0,75đ), = (0,75đ) Câu (1,5đ) −1 I=− (x2 + 3)dx (0,75đ) = π + (1 − 3)dxdy − D 20 (0,75đ) Câu (1,5đ) (x2 + y + z )dxdydz − I=3 V (0,5đ) S1 √ + 18 π (1,0đ) I= Câu (1đ) an+1 D = lim = < (0,5đ) n→∞ an Theo dấu hiệu D’Alambert chuỗi hội tụ (0,5đ) Câu (1,5đ) ∞ (−1)n+1 π 2n π π = − sin − n+1 (2n + 1)! π 2 n=1 1 (0,75đ) = − + (0,75đ) π Trường Đại học Bách Khoa Tp HCM Đề thi Học kỳ II: 2011-2012 Mơn: Giải tích 2-CA2 Bộ mơn: Tốn Ứng Dụng Ngày thi 16 tháng 06 năm 2012 Thời gian 90 phút (Sinh viên KHÔNG sử dụng tài liệu) Câu (1,5đ) Cho hàm số f (x, y, z) = x3 y +2xy+z điểm M0 (1, −1, 1) → − a) Tính đạo hàm hàm f theo hướng véc-tơ = (1, 2, −2) M0 b) Tìm hướng mà đạo hàm f M0 theo hướng đạt giá trị lớn Tính giá trị lớn Câu (1,5đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = 2x4 + y − 2x2 + y Câu (1,5đ) Tính diện tích phần mặt z = 2xy nằm hình trụ x2 + y = Câu (1,5đ) Chứng minh rằng, tích phân sau không phụ thuộc vào đường không cắt trục hoành x + ex/y dx + − I= x x/y e dy y C Tính I với C đường nối từ điểm (0, 1) đến (−2, 2) Câu (1,5đ) Tính tích phân mặt loại hai (y − x)dydz + (z − y)dzdx + (x − z)dxdy, I= S với S phần mặt biên phía vật thể giới hạn x2 + y = 1, z = + x2 + y , z = ∞ n2 sin n ∞ n.x2n Câu (1,5đ) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa n=1 (n + 1)! Câu (1đ) Khảo sát hội tụ chuỗi số 5n − n n=1 Chủ nhiệm mơn PGS.TS Nguyễn Đình Huy Đáp án đề thi Học kỳ II: 2011-2012 Mơn: Giải tích 2-CA2 Ngày thi 16 tháng 06 năm 2012 Câu (1,5đ) f→ (0, 75đ) − (M0 ) = − √ → − = (1, 0, 3), f→ 10 − (M0 ) = (0, 75đ) Câu (1,5đ) √ √ điểm dừng P1 (0, 0), P2 (1/ 2, 0), P3 (−1/ 2, 0) (0,75đ) P1 không điểm cực trị, P2 , P3 cực tiểu (0,75đ) Câu (1,5đ) S= 2π dϕ √ r √ 5−1 + 4r2 dr (0,75đ), = π (0,75đ) Câu (1,5đ) 1 u = x2 + yex/y , (0,75) I = x2 + yex/y 2 Câu (1,5đ) I = −3 dxdydz = −3 V 2π dϕ (−2,2) =1+ (0,1) dr 1+r2 (0,75đ) e rdz (0,75đ) 9π (0,75đ) I=− Câu (1đ) 2 |an | |5n (1 − )n | (0,5đ) n C = lim n 5n (1 − )n2 = < n→∞ n e Chuỗi hội tụ tuyệt đối nên hội tụ (0,5đ) Câu (1,5đ) ∞ x2n ∞ x2n ex x2 S= − (0,75đ) = e − + , x = (0,5đ) Nếu x x n=1 n! n=1 (n + 1)! x = S = (0,25đ) Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM Bộ mơn Tốn Ứng Dụng ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI : GIẢI TÍCH NGÀY THI : 15/06/2013 THỜI GIAN : 90 phút (Không sử dụng tài liệu) Câu 1: Cho hàm f ( x, y ) CA f yy f xy M(0,1) e x | Tính A f x f y , B f xx y ln | 2y 3n Câu 2:Khảo sát hội tụ chuỗi số n n 1 3n Câu 3: Tính tổng chuỗi số n 1 ( 1)n n 13 n (2n 1) Câu 4:Tính tích phân | x y | dxdy với D nửa hình tròn x y 2, y D Câu 5:Tính diện tích phần mặt paraboloid z x y giới hạn mặt phẳng z 0, y 3x, x y với x, y dương Câu 6:Tính tích phân I xdydz yzdzdx ( z x )dxdy với S mặt biên phía vật thể S giới hạn z x 2 y ,z 1, z Câu 7: Tính tích phân I z 2dx 2xdy 2ydz với C giao tuyến mặt C z x y , z x lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z dương 2 CN Bộ môn duyệt ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CA Câu 1: A=1 (0.5đ), f xx 2 y 2e x (2 y e x ) 3n Câu 2: n un n n 3n Câu 3: (1đ) S n n 1 ( 1)n (2n 1) , f xy (2 y e x ) , f yy n 1 3n 3n e2 x n 4( y e x ) (2 y e x ) e n (0.5đ) (0.5đ) Chuỗi HT (0.5đ)) 2n ( 0.5đ) (0.5đ)),B=1 (0.5đ)) arctan 1 3 (0.5đ) Câu 4: | x y | dxdy d r.r | cos2 sin | dr D 0 3 (0.5đ) | cos 2 | d r dr cos 2 d cos 2 d cos 2 d (0.5đ) = (0.5đ) 3 4 Câu 5: S z x z y dxdy x y dxdy (0.5đ) d r 4r dr D (0.5đ) D ( 125 1) (0.5đ) 72 Câu 6: I xdydz yzdzdx ( z x )dxdy (2 z z )dxdydz (0.5đ) S V 2.V , với V thể tích nón cụt (0.5đ)hoặc 2 dxdy 1 x y x2 y dz x y 1 14 (0.5đ) Câu 7: Chọn S phía phần mp nằm paraboloid, nS I z 2dx 2xdy 2ydzI C = 1 ( 2, 0,1) (0.5đ) (2 0)(2) (2z 0).0 (2 0).1 ds (0.5đ) 5S 2 z x z y dxdy 2.S ( D) 2 (0.5đ) x2 y x dxdy dz (0.5đ) Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI : GIẢI TÍCH NGÀY THI : 15/06/2013 THỜI GIAN : 90 phút (Không sử dụng tài liệu) CA Câu 1: Tìm đạo hàm theo hướng vector u 1, 2, 2 điểm M 1,0,1 x z2 f x, y, z arctan 2 x y Câu 2: Tính tích phân I x y dxdy , D hình tròn tâm O 0,0 , bán kính D R Câu 3: Tính tích phân J xdx x ydy , C biên miền phẳng giới hạn C đường y ln x, y 0, x e, lấy theo chiều kim đồng hồ Câu 4: Tính tích phân K xzdydz x zdzdx ydxdy , S phần mặt cầu S x y z z ứng với z 2 lấy phía nhìn từ phía dương trục Oz n n n2 Câu 5: Khảo sát hội tụ chuỗi số: n n 2 3n 1 2n 3n 2n Câu 6: Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa: S x n n 1! 2 (n !) x n 1 n Câu 7: Tính tổng chuỗi số: S 1 1 n n 1 n 1 CN Bộ môn duyệt ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CA f M 1 (0.5đ) u 1 x2 y dxdy x2 y 1 dxdy I1 I (0.5đ), Câu 1: gradf (1,0,1) 1,0,2 (1đ), Câu 2: I x y 1 I1 1 x y , (0.5đ), I 9 , (0.5đ), cách tính khác I 5 (1đ) Câu 3: e Cách 1: tham số hóa đường cong : J 2x x ln x dx x e ydy 1 2xdx e J1 J2 J3 5e2 e2 e2 , J , J e2 (0.5đ +0.5đ+0.5đ) Đáp số : 4 4 e ln x e2 Cách 2: dùng CT Green: J xy dxdy dx xydy (0.5đ +0.5đ+0.5đ) 4 D Câu 4: gọi S1 phía phần mp bị chắn bên mặt cầu nửa khối cầu J1 S S1 K 297 (0.5đ) xzdydz x zdzdx ydxdy z dxdydz (0.5đ) 297 297 S1 (0.5đ) n2 Câu 5: xét chuỗi trị tuyệt đối n n 1 n 2n n2 Cn n n 2n n n 1 n n 1 (0.5đ) n n 3 n n n n 2n n n 1 n n 3 n 1.e 6 1(0.5đ) n KL: hội tụ (0.5đ) Câu 6: Bán kính hội tụ R x , n | un | d’Alembert MHT: (1đ).Tại n 1 , n 2n ! | un | , (n !)2 | un | n (0.5đ) (2n 2)(2n 4(n 1) 3) 1, n : , chuỗi phân kỳ theo 1 n S 1 1 n n 1 n 1 n 1 1 n n 3 1 Câu 7: 3 1 n 1 3 n 1 1 / n 1 1 3 1 ln 11/ n 3 (1đ) Đề thi cuối kỳ năm học 2013-2014 Trường Đại học Bách Khoa Tp HCM Mơn: Giải tích 2-Ca Bộ mơn: Tốn Ứng Dụng Ngày thi 21 tháng 06 năm 2014 Thời gian 90 phút (Sinh viên KHÔNG sử dụng tài liệu) Câu Tính vi phân cấp hai hàm số f (x, y) = x2 y + x sin y điểm (1, π) Câu Tính tích phân I = x2 + y dxdy, S mặt biên xdydz + z S vật thể Ω giới hạn mặt x2 + y = 1, z = x2 + y z = 0, lấy phía ngồi Câu Tính tích phân đường I = (y − x2 + 2xy)dx + (y + x2 − 2xy)dy, C C nửa đường tròn x2 + y = 1, từ điểm A(0, 1) đến điểm B(0, −1) theo chiều ngược chiều kim đồng hồ − x2 − y ds, S phần mặt cầu Câu Tính tích phân I = S x2 +y +z = bị chắn mặt phẳng y = x, y = 0, lấy phần x 0, y 7n (n!)2 Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số n2n n=1 +∞ (−1)n xn Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau 5n n n=1 +∞ Câu Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa sau +∞ S(x) = n=1 (−1)n x2n+1 n Chủ nhiệm mơn PGS.TS Nguyễn Đình Huy 0, z Đáp án đề thi Học kỳ II: 2013-2014 Mơn: Giải tích 2-CA1 Ngày thi 21 tháng 06 năm 2014 Câu (1,5đ) fx = 2xy + sin y, fy = x2 + x cos y (0,5đ) fxx = 2y, fxy = 2x + cos y, fyy = −x sin y (0,5đ) d2 f (1, π) = 2πdx2 + 2dxdy (0,5đ) Câu (1,5đ) I= = (1 + Ω 2π x2 + y )dxdydz r2 dϕ (0,5đ) rdr (1 + r)dz (0,5đ) 9π = (0,5đ) 10 Câu (1,5đ) C1 : x = 0, y : −1 → (y − x2 + 2xy)dx + (y + x2 − 2xy)dy − I= C∪C1 (y − x2 + 2xy)dx + (y + x2 − 2xy)dy (0,5đ) C1 y dy (−4y)dxdy − = (0,5đ) −1 D 2 =− 3 Câu (1,5đ) =0− S:z= (0,5đ) − x2 − y Hình chiếu S lên mặt phẳng Oxy D : x2 + y (0,5đ) x2 + y dxdy − x2 − y D π/4 π = dϕ rdr = Câu (1đ) 2n n an+1 = (0,5đ) an n+1 n→∞ −−−→ < hội tụ (0,5đ) e Câu (1,5đ) − x2 − y + I= R=5 +∞ (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) n (−1) hội tụ theo Leibnitz n n=1 +∞ x = −5, phân kỳ theo so sánh n=1 n Miền hội tụ (−5, 5] x = 5, (0,5đ) (0,5đ) Câu (1,5đ) Điều kiện hội tụ X = x2 ∈ [0, 1] ⇔ x ∈ [−1, 1] (0,5đ) +∞ (−1)n−1 X n S(x) = −x (0,5đ) n n=1 = −x ln(1 + X) = −x ln(1 + x2 ) (0,5đ) 1, y = 0, y = x, x Đề thi cuối kỳ năm học 2013-2014 Trường Đại học Bách Khoa Tp HCM Mơn: Giải tích 2-Ca Bộ mơn: Tốn Ứng Dụng Ngày thi 21 tháng 06 năm 2014 Thời gian 90 phút (Sinh viên KHÔNG sử dụng tài liệu) x Câu Cho f (x, y) = arctan Tính giá trị biểu thức y ∂ 2f ∂ 2f A= (1, 1) + 2 (1, 1) ∂x∂y ∂y z dxdy, S mặt biên vật thể Ω giới Câu Tính tích phân I = S hạn mặt z = 1− x2 − y2, x2 + y , lấy phía ngồi z= (2y + xy )dx + (2x + x2 y )dy, C Câu Tính tích phân đường I = C nửa đường tròn x2 + y = 2y, từ điểm A(−1, 1) đến điểm B(1, 1) theo chiều ngược chiều kim đồng hồ ds Câu Tính tích phân I = , S phần hữu hạn mặt + 4y S trụ z = − y bị chắn mặt z = x, x = 0, lấy phần y +∞ √ 2n n Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số n 4n − n=1 +∞ n+1 Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau n=1 2n + n (x − 2)n Câu Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa sau +∞ S(x) = n=0 (−1)n x2n 2n + Chủ nhiệm mơn PGS.TS Nguyễn Đình Huy Đáp án đề thi Học kỳ II: 2013-2014 Mơn: Giải tích 2-CA2 Ngày thi 21 tháng 06 năm 2014 Câu (1,5đ) y x fx = = − , f y x + y2 x2 + y x2 − y 2xy fxy = , f = yy (x + y )2 (x2 + y )2 A=0+1=1 (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) Câu (1,5đ) I=− 2zdxdydz (0,5đ) 2ρ cos θ.ρ2 sin θdρ (0,5đ) Ω π/3 2π =− dϕ dθ 0 3π (0,5đ) Câu (1,5đ) C1 : y = 1, x : → −1 =− (2y + xy )dx + (2x + x2 y )dy − I= C∪C1 (2y + xy )dx + (2x + x2 y )dy (0,5đ) C1 −1 (−xy )dxdy − = (2 + x)dx (0,5đ) D = − (−4) = (0,5đ) Câu (1,5đ) S : z = − y Hình chiếu S lên mặt phẳng Oxy D : x = − y , x = 0, y I= (0,5đ) + 4y dxdy + 4y D 1−y 2 = dy dx = (0,5đ) 0 Câu (1đ) √ n √ n a = n n (0,5đ) n 4n − n→∞ −−−→ < hội tụ (0,5đ) Câu (1,5đ) (0,5đ) R=2 +∞ x − = 2, n=1 +∞ x − = −2, (−1)n n=1 2n + 2n + 2n + 2n + (0,5đ) n phân kỳ theo điều kiện cần n 2n + 2n + phân kỳ theo điều kiện cần (−1)n Miền hội tụ (0, 4) Câu (1,5đ) +∞ (−1)n x2n+3 +∞ (−1)n−1 x2n+1 x = 0, S(x) = = x n=0 2n + x n=1 2n + 1 +∞ (−1)n x2n+1 =− = − (arctan x − x) x n=1 2n + x x ∈ [−1, 1]\{0}, S(0) = Chú ý Thiếu biện luận S(0) không bị trừ điểm (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) n n→∞ −−−→ e1/2 = 2n + 2n + (0,5đ) n n→∞ −−−→ e1/2 = (0,5đ) ...Đáp án đề thi Học kỳ II: 20 11 -20 12 Môn: Giải tích 2- CA1 Ngày thi 16 tháng 06 năm 20 12 Câu (1,5đ) df (1, 1) = (2e2 + 2) dx + (e2 − 2) dy (0, 75đ) d2 f (1, 1) = 2e2 )dx2 + 4(e2 + 1)dxdy + (e2 − 4)dy... án đề thi Học kỳ II: 20 13 -20 14 Mơn: Giải tích 2- CA1 Ngày thi 21 tháng 06 năm 20 14 Câu (1,5đ) fx = 2xy + sin y, fy = x2 + x cos y (0,5đ) fxx = 2y, fxy = 2x + cos y, fyy = −x sin y (0,5đ) d2 f... sát hội tụ chuỗi số 5n − n n=1 Chủ nhiệm môn PGS.TS Nguyễn Đình Huy Đáp án đề thi Học kỳ II: 20 11 -20 12 Mơn: Giải tích 2- CA2 Ngày thi 16 tháng 06 năm 20 12 Câu (1,5đ) f→ (0, 75đ) − (M0 ) = − √ →