Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2 x √ 4 − x 2 . Câu 2: Tìm số thực m > 0 để tích phân sau hội tụ I = + R∞ 0 √ 1 + x 2 xm(1 + xm+1) dx. Câu 3: Tính tích phân suy rộng I = + R∞ ln 2 dx (1 − e 2x)e x . Câu 4: Tính thể tích vật thể được tạo ra khi cho miền D giới hạn bởi y = √ 2 − x, x = y, y = 0 quay quanh trục Oy. Câu 5: Tìm nghiệm phương trình vi phân (xy0 − y) arctan y x = Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2 x √ 4 − x 2 . Câu 2: Tìm số thực m > 0 để tích phân sau hội tụ I = + R∞ 0 √ 1 + x 2 xm(1 + xm+1) dx. Câu 3: Tính tích phân suy rộng I = + R∞ ln 2 dx (1 − e 2x)e x . Câu 4: Tính thể tích vật thể được tạo ra khi cho miền D giới hạn bởi y = √ 2 − x, x = y, y = 0 quay quanh trục Oy. Câu 5: Tìm nghiệm phương trình vi phân (xy0 − y) arctan y x = Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2 x √ 4 − x 2 . Câu 2: Tìm số thực m > 0 để tích phân sau hội tụ I = + R∞ 0 √ 1 + x 2 xm(1 + xm+1) dx. Câu 3: Tính tích phân suy rộng I = + R∞ ln 2 dx (1 − e 2x)e x . Câu 4: Tính thể tích vật thể được tạo ra khi cho miền D giới hạn bởi y = √ 2 − x, x = y, y = 0 quay quanh trục Oy. Câu 5: Tìm nghiệm phương trình vi phân (xy0 − y) arctan y x = Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2 x √ 4 − x 2 . Câu 2: Tìm số thực m > 0 để tích phân sau hội tụ I = + R∞ 0 √ 1 + x 2 xm(1 + xm+1) dx. Câu 3: Tính tích phân suy rộng I = + R∞ ln 2 dx (1 − e 2x)e x . Câu 4: Tính thể tích vật thể được tạo ra khi cho miền D giới hạn bởi y = √ 2 − x, x = y, y = 0 quay quanh trục Oy. Câu 5: Tìm nghiệm phương trình vi phân (xy0 − y) arctan y x = Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2 x √ 4 − x 2 . Câu 2: Tìm số thực m > 0 để tích phân sau hội tụ I = + R∞ 0 √ 1 + x 2 xm(1 + xm+1) dx. Câu 3: Tính tích phân suy rộng I = + R∞ ln 2 dx (1 − e 2x)e x . Câu 4: Tính thể tích vật thể được tạo ra khi cho miền D giới hạn bởi y = √ 2 − x, x = y, y = 0 quay quanh trục Oy. Câu 5: Tìm nghiệm phương trình vi phân (xy0 − y) arctan y x =
ĐỀ THI CUỐI KỲ CHÍNH QUY HKI -2014-2015 Mơn Thi: Giải tích Ngày thi: 31/01/2015 Thời gian: 90 phút Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bộ mơn Tốn - Ứng dụng CA Hình thức thi: TỰ LUẬN Câu 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = √ x − x2 +∞ Câu 2: Tìm số thực m > để tích phân sau hội tụ I = +∞ Câu 3: Tính tích phân suy rộng I = ln √ + x2 dx xm (1 + xm+1 ) dx (1 − e2x )ex Câu 4: Tính thể tích vật thể tạo cho miền D giới hạn √ y = − x, x = y, y = quay quanh trục Oy Câu 5: Tìm nghiệm phương trình vi phân (xy − y) arctan y =x x thỏa điều kiện y(1) = Câu 6: Giải phương trình vi phân y − 3y + 2y = 2xe2x Câu 7: Giải hệ phương trình vi phân x (t) = x(t) − y(t) + et , y (t) = x(t) + 3y(t) − Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu Chủ nhiệm môn PGS.TS.Nguyễn Đình Huy Đáp án CA 1) y= √ TXD: (−2, 0) ∪ (0, 2) TCĐ: x = 0, x = ±2 x − x2 √ √ 4x2 − Cực đại (− 2, −1), cực tiểu ( 2, 1) y = x2 (4 − x2 )3 √ √ −2 −2 +2 x BBT: f (x) f (x) + −∞ − −1 || −∞ || +∞ ) Tìm m > để HT: I = − +∞ + Vẽ ĐT +∞ √ + x2 dx = xm (1 + xm+1 ) + +∞ = I1 + I2 Hàm f (x) > 0, ∀x > Suy I1 hội tụ m < xm 1 x → +∞ : f ∼ 2m Suy I2 hội tụ m > x Vậy I hội tụ < m < dx dt +∞ +∞ ) Tính I = ln x Đặt t = ex ⇒ I = 2x e (1 − e ) (1 − t2 )t2 +∞ 1 t+1 1 +∞ I= + dt = ln − I = − ln 1−t t t−1 t 2 √ ) Tính Vy , D : y = − x, y = x, y = 38π √ Cách 1: Vy = 2π x.xdx + 2π x − xdx(1đ) = 15 38π 2 Cách 2: Vy = π −1 [(2 − y ) − y ]dy(1đ) = 15 y ) Tìm nghiệm phương trình vi phân (xy − y) arctan = x thỏa điều kiện y(1) = x y y y = y + x Đặt u = x arctan x dx arctan udu = =⇒ u arctan u − ln(1 + u2 ) = ln |x| + C x y y y2 Thay điều kiện: C = Vậy nghiệm arctan + ln(1 + ) = ln |x| x x x x → 0+ : f ∼ ) Giải y − 3y + 2y = 2xe2x Nghiệm y0 = C1 ex + C2 e2x yr = x(Ax + B)e2x =⇒ A = 1, B = −2 Vậy y = C1 ex + C2 e2x + (x2 − 2x)e2x ) Giải hệ phương trình vi phân x (t) = x(t) − y(t) + et , y (t) = x(t) + 3y(t) − Cách 1: Khử x y − 4y + 4y = et + =⇒ y(t) = C1 e2t + C2 te2t + et + Suy x = −C1 e2t + C2 (2t − 2)e2t − 2et + Cách 2: Khử y : x − 4x + 4x = −2et + ĐỀ THI CUỐI KỲ CHÍNH QUY HKI -2014-2015 Mơn Thi: Giải tích Ngày thi: 31/01/2015 Thời gian: 90 phút Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bộ mơn Tốn - Ứng dụng CA Hình thức thi: TỰ LUẬN x2 − 2x + Câu 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x2 − Câu 2: Tìm tất giá trị m > để tích phân I = +∞ Câu 3: Tính tích phân suy rộng sau: I = Câu 4: Cho miền phẳng D : y ≥ 0, y ≤ x3 + x dx hội tụ x2 + arctan xm √ x3 x dx +1 √ 3x, x2 + y ≤ Tính thể tích vật thể tạo D quay quanh trục Ox Câu 5: Tìm nghiệm phương trình: xy − y(2y ln x − 1) = 0, thỏa điều kiện y(1) = Câu 6: Tìm nghiệm phương trình y + 2y + y = cos x Câu 7: Giải hệ phương trình : x (t) = 7x(t) + 3y(t) − 2, y (t) = 3x(t) − y(t) + 8t Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu Chủ nhiệm mơn PGS.TS.Nguyễn Đình Huy Đáp án CA x2 − 2x + TXD: x = ±2 TCĐ: x = ±2, TCN: y = x2 − x2 − 5x + y =2 Cực đại (1, 0), cực tiểu (4, 43 ) (x − 4)2 ) x −∞ −2 1) y= BBT: f (x) + || +∞ f (x) || − + −∞ || −∞ || − +∞ +∞ + Vẽ ĐT x3 + x dx m x + arctan x Hàm f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (0, 2], Ta so sánh x → 0+ Lưu ý: Khơng nhận xét f dương trừ 0.25đ x3 α > : f ∼ = Suy Tp PK x x3 x3 α = : f ∼ Suy Tp PK 2x2 x3 α < : f ∼ α = α Suy HT α − < ↔ α < x 3 x −3 Vậy I hội tụ < α < √ +∞ +∞ +∞ 2t2 dt √ x π 3 ) Tính I = x ⇒ I = = dx Đặt t = = arctan t 3 x +1 t +1 √ ) Tính Vx , D : y ≥ 0, y ≤ 3x, x2 + y2 ≤ √ 8π 2 √ Vx = π x dx + − x2 dx = ) Tìm m > để HT: I = ) Tìm nghiệm phương trình vi phân xy − y(2y ln x − 1) = thỏa điều kiện y(1) = ln x y + y=2 y Đặt z = y −1 x x ln x ln x + Ta pt z − z = −2 =⇒ z = x +C x x x Thay điều kiện: C = −1 Vậy nghiệm y = (ln x + 1) − x ) Giải y + 2y + y = cos x Nghiệm ytn = C1 e−x + C2 xe−x yr = A cos x + B sin x =⇒ A = 0, B = Vậy y = C1 e−x + C2 xe−x + sin x x (t) = 7x(t) + 3y(t) − 2, y (t) = 3x(t) − y(t) + 8t Cách 1: Khử x, ta pt y − 6y + 16y = −56t + 23 11 =⇒ y(t) = C1 e−2t + C2 e8t + t − Suy x = −C1 e−2t + C2 e8t − t + 16 Cách 2: Khử y, ta pt x − 6x + 16x = 24t − Cách 3: Dùng TR - VTR ) Giải hệ phương trình vi phân P = −1 3 ,D = −2 0 , P −1 = P 10 X Y = P −1 x y → X Y −2t = C1 e + 65 t − 12 8t 1 C2 e80 − 10 t + 16 → x y =P X Y Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng ĐỀ THI GIẢI TÍCH HK171 Ngày thi: 09-01-2018 Thời gian: 90 phút Giờ thi : CA Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu Câu : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x3 − x Câu : Cho miền phẳng D giới hạn : y ≤ −x2 + 2x + 3, y ≤ x2 + 2x + 1, y ≥ Tính diện tích miền D +∞ Câu : Tìm tất số thực m để tích phân sau hội tụ : I = x + e−x − √ dx xm x3 + x Câu : Tính tích phân sau đây: ln(1 − x) √ dx I= 1−x Câu : Tìm nghiệm phương trình vi phân y − 6y − 16y = (12 − 20x)e−2x , thỏa điều kiện y(0) = −3, y (0) = −5 Câu : Trong mạch điện có điện trở R, tụ điện với điện dung C điện áp E(t), điện lượng dQ Q qua thời gian t thỏa mãn phương trình vi phân R + Q = E Tìm dt C điện lượng Q, đơn vị C, theo thời gian t, đơn vị s (giây), biết R = 2Ω, C = 0.01F, E = 10 sin 60t(V ) Q(0) = Tìm giá trị Q sau 0.1s Phó chủ nhiệm môn duyệt TS Nguyễn Bá Thi ĐÁP ÁN CA Câu 1: 1.5đ y = x x−2 √ D = (−∞, 0) ∪ 2, +∞ y = x3x−2 (x3 + 1) y = ⇔ x = −1 √ x −∞ −1 +∞ y − √0 + || || + +∞ y +∞ || +∞ √ Cực tiểu (−1, 3) : 0.5đ (Khơng trình bày BBT cho điểm) TCĐ : x = 0, TCX trái/phải : y = ±x : 0.5đ, đồ thị : 0.5đ Sai BBT không chấm đồ thị Câu 2: 2đ √ 1+ (x + 2x)dx + S = √ (−x2 + 2x + 2)dx = + Mỗi tp, cận + giá trị : 0.5đ+0.5đ Nếu viết không đúng, xác định miền hình vẽ, 0.5đ Câu 3: 1đ < m < Mỗi : 0.5đ 2 Câu 4: 1.5đ I = −4, Tp phần + nguyên hàm + kết Câu 5: 2đ y0 = C1 e−2x + C2 e8x 0.5đ, yr = x(Ax + B)e−2x 0.5đ, yT Q = C1 e−2x + C2 e8x + (x2 − x)e−2x , 0.5đ y = (x2 − x − 2)e−2x − e8x 0.5đ Câu 6: 2đ e p(t)dt = e50t 0.5 sin 60t cos 60t QT Q (t) = −3 + Ce−50t 0.5đ 122 61 Nghiệm riêng C = 0.5đ 61 Q(0.1) 0.5đ Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng ĐỀ THI GIẢI TÍCH HK171 Ngày thi: 09-01-2018 Thời gian: 90 phút Giờ thi : CA Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu √ Câu : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 , x ≤ x arctan >0 x+1 Câu : Cho đường cong (C) : x = y − Viết phương trình tiếp tuyến (d) đường cong (0, 2) Gọi D miền phẳng giới hạn đường cong (C), tiếp tuyến (d) trục Ox Tính thể tích vật thể tạo (D) quay xung quanh Ox +∞ Câu : Tìm tất số thực α để tích phân sau hội tụ : I = +∞ Câu : Tính tích phân sau đây: I = (x − sin x)α √ dx x3 + x x3 + x dx (x2 + 1)(x4 + 6x2 + 10) Câu : Tìm nghiệm x(t), y(t) hệ phương trình vi phân x (t) = 2x + y − 5t2 + y (t) = 4y − 2x + t − Câu : Theo định luật Newton, vận tốc nguội lạnh vật tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ vật nhiệt độ môi trường xung quanh Hãy tìm nhiệt độ T vật theo thời gian t, biết nhiệt độ ban đầu vật 100o C, đặt vào phịng có nhiệt độ 25o C sau 10 phút nhiệt độ vật 50O C Đến nhiệt độ vật 40o C? (Lấy đơn vị thời gian phút.) Phó chủ nhiệm môn duyệt TS Nguyễn Bá Thi ĐÁP ÁN CA Câu 1: 1.5đ y= y = √ x3 + 3x2 , x ≤ x arctan x+1 ,x > x √ +2x , x < 0, x = −3 (x3 +3x2 )2 ,x x2 +(x+1)2 >0 x −∞ −3 −2 +∞ y + || + √0 − || + π y −∞ 4 √ Cực đại (−2, 4), cưc tiểu (0, 0), 0.5đ (khơng trình bày cực đại cưc tiểu bảng biến thiên cho điểm), π TCX : y = x + 1, TCN : y = 0.5đ , đồ thị : 0.5đ Không có BBT BBT sai, khơng chấm đồ thị Câu 2: 2đ x+8 0.5đ −4 (x + 8) √ x+8 dx + π ) − Vx = π ( x+4 16 −4 −8 Pt tiếp tuyến : y = dx y [(y − 4) − (4y − 8)] dy, 1đ hay Vx = 2π 8π Vx = 0.5đ (Nếu tính theo x 1đ) Câu 3: 1đ − < α < Mỗi : 0.5đ Câu 4: 1.5đ π − arctan : Đổi biến + nguyên hàm + kết I= 2 Câu 5: (a) 2đ Khử x : y − 6y + 10y = 10t2 − 2t + 0.5đ y0 0.5đ, yT Q 0.5đ , cơng thức tính xT Q 0.5đ x = (−y + 4y + t − 1) Nghiệm y = e3t (C1 cos t + C2 sin t) t2 + t + 2 (b) Khử y :x − 6x + 10x = 20t − 9t − x = e3t (C cos t + C sin t) + 2t2 + 3t Nghiệm : y = x − 2x + 5t2 − Câu 6: 2đ dT = k(T − 25) 0.5 dt TT Q (t) = 25 + Cekt 0.5đ, 1 C = 75, k = ln , 0.5đ 10 t = 14.65 phút : 0.5đ Phương trình ... y(t) = C1 e2t + C2 te2t + et + Suy x = −C1 e2t + C2 (2t − 2)e2t − 2et + Cách 2: Khử y : x − 4x + 4x = −2et + ĐỀ THI CUỐI KỲ CHÍNH QUY HKI -2 014 -2 015 Mơn Thi: Giải tích Ngày thi: 31/ 01/ 2 015 Thời... 0.5đ 12 2 61 Nghiệm riêng C = 0.5đ 61 Q(0 .1) 0.5đ Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng ĐỀ THI GIẢI TÍCH HK1 71 Ngày thi: 09- 01- 2 018 Thời gian: 90 phút Giờ thi : CA Hình thức thi. .. − 10 t + 16 → x y =P X Y Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng ĐỀ THI GIẢI TÍCH HK1 71 Ngày thi: 09- 01- 2 018 Thời gian: 90 phút Giờ thi : CA Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu