ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 1 – ĐỀ 1 Câu 1. lim → = (0.5đ+0.5đ) Câu 2. L’Hospital lim → ( ) = lim → (0.5đ) = lim → = 1. Hai VCB tương đương (0.5đ) Câu 3. lim → arctan = lim → × = 2. (0.5đ) Điểm = 0 là điểm gián đoạn bỏ được. (0.5đ) Câu 4. Áp dụng CT Leibnitz ( ) = ( + 1)(sin )( ) + 100( + 1)′(sin )( ) (0.5đ) ( ) = ( + 1) sin( + 50 ) + 100 sin( + ) = ( + 1) sin − 100 cos . (0.5đ) Câu 5. Xét ( ) = , ( ) = . (0.5đ) Ta có = (0.01) ≈ (0) + (0) × 0.01 =1.01 (0.5đ) Câu 6. TXĐ: R. Đạo hàm = ( ) . = 0: = −√3, = √3. (0.5đ) = −√3 là điểm cực tiểu = −√3 = − √ . = √3 là điểm cực đại Đ = √3ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 1 – ĐỀ 1 Câu 1. lim → = (0.5đ+0.5đ) Câu 2. L’Hospital lim → ( ) = lim → (0.5đ) = lim → = 1. Hai VCB tương đương (0.5đ) Câu 3. lim → arctan = lim → × = 2. (0.5đ) Điểm = 0 là điểm gián đoạn bỏ được. (0.5đ) Câu 4. Áp dụng CT Leibnitz ( ) = ( + 1)(sin )( ) + 100( + 1)′(sin )( ) (0.5đ) ( ) = ( + 1) sin( + 50 ) + 100 sin( + ) = ( + 1) sin − 100 cos . (0.5đ) Câu 5. Xét ( ) = , ( ) = . (0.5đ) Ta có = (0.01) ≈ (0) + (0) × 0.01 =1.01 (0.5đ) Câu 6. TXĐ: R. Đạo hàm = ( ) . = 0: = −√3, = √3. (0.5đ) = −√3 là điểm cực tiểu = −√3 = − √ . = √3 là điểm cực đại Đ = √3ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 1 – ĐỀ 1 Câu 1. lim → = (0.5đ+0.5đ) Câu 2. L’Hospital lim → ( ) = lim → (0.5đ) = lim → = 1. Hai VCB tương đương (0.5đ) Câu 3. lim → arctan = lim → × = 2. (0.5đ) Điểm = 0 là điểm gián đoạn bỏ được. (0.5đ) Câu 4. Áp dụng CT Leibnitz ( ) = ( + 1)(sin )( ) + 100( + 1)′(sin )( ) (0.5đ) ( ) = ( + 1) sin( + 50 ) + 100 sin( + ) = ( + 1) sin − 100 cos . (0.5đ) Câu 5. Xét ( ) = , ( ) = . (0.5đ) Ta có = (0.01) ≈ (0) + (0) × 0.01 =1.01 (0.5đ) Câu 6. TXĐ: R. Đạo hàm = ( ) . = 0: = −√3, = √3. (0.5đ) = −√3 là điểm cực tiểu = −√3 = − √ . = √3 là điểm cực đại Đ = √3ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 1 – ĐỀ 1 Câu 1. lim → = (0.5đ+0.5đ) Câu 2. L’Hospital lim → ( ) = lim → (0.5đ) = lim → = 1. Hai VCB tương đương (0.5đ) Câu 3. lim → arctan = lim → × = 2. (0.5đ) Điểm = 0 là điểm gián đoạn bỏ được. (0.5đ) Câu 4. Áp dụng CT Leibnitz ( ) = ( + 1)(sin )( ) + 100( + 1)′(sin )( ) (0.5đ) ( ) = ( + 1) sin( + 50 ) + 100 sin( + ) = ( + 1) sin − 100 cos . (0.5đ) Câu 5. Xét ( ) = , ( ) = . (0.5đ) Ta có = (0.01) ≈ (0) + (0) × 0.01 =1.01 (0.5đ) Câu 6. TXĐ: R. Đạo hàm = ( ) . = 0: = −√3, = √3. (0.5đ) = −√3 là điểm cực tiểu = −√3 = − √ . = √3 là điểm cực đại Đ = √3
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH –Học kì 20141 ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH – Học kì 20141 Khóa 59 - Thời gian làm bài: 60 phút Khóa 59 - Thời gian làm bài: 60 phút Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu giám thị phải ký xác nhận số đề vào thi Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu giám thị phải ký xác nhận số đề vào thi Câu (1 điểm) Tìm giới hạn lim Câu (1 điểm) Tìm giới hạn lim → → Câu (1 điểm) Khi → 0, VCB ( ) = ( )= có tương đương khơng? Câu (1 điểm) Điểm ) Câu (1 điểm) Khi → 0, VCB ( )= có tương đương không? − ln(1 + ) = điểm gián đoạn loại hàm số sau = arctan arcsin = Câu (1 điểm) Sử dụng vi phân, tính gần giá trị Câu (1 điểm) Tìm cực trị hàm số sau Câu (1 điểm) Tìm cực trị hàm số sau +3 Câu (2 điểm) Tính tích phân sau +2 Câu (2 điểm) Tính tích phân sau = Câu (1 điểm) Cho ( ) hàm số khả vi biết (1 + ) − (1 + ) → Tìm (1) Câu (1 điểm) Tìm , lim → ∈ = a) ∫ b) ∫( + 2) sin Câu (1 điểm) Cho ( ) hàm số khả vi biết (1 + ) − (1 + ) lim → Tìm (1) Câu (1 điểm) Tìm , cho −1+ + = = b) ∫( + 1) cos lim = ( + 1) cos Câu (1 điểm) Sử dụng vi phân, tính gần giá trị − arctan = điểm gián đoạn loại hàm số sau Câu (1 điểm) Điểm = ( + 1) sin a) ∫ ( )= +1 Câu (1 điểm) Tính đạo hàm cấp 100 hàm số sau +1 Câu (1 điểm) Tính đạo hàm cấp 100 hàm số sau = ( = lim → ∈ = cho ln(1 + ) + + = VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH –Học kì 20141 ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH – Học kì 20141 Khóa 59 - Thời gian làm bài: 60 phút Khóa 59 - Thời gian làm bài: 60 phút Chú ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu giám thị phải ký xác nhận số đề vào thi Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu giám thị phải ký xác nhận số đề vào thi Câu (2 điểm) Tìm giới hạn sau Câu (2 điểm) Tìm giới hạn sau a) lim → b) lim (1 + ) → a) lim → b) lim (1 − ) → Câu (1 điểm) Tìm phân loại điểm gián đoạn hàm số sau arctan = + Câu (1 điểm) Tìm phân loại điểm gián đoạn hàm số sau Câu (1 điểm) Cho hàm số ( ) = Câu (1 điểm) Cho hàm số ( ) = (0) Tính Câu (1 điểm) Sử dụng vi phân, tính gần giá trị = √1.02 = sin − Câu (1 điểm) Sử dụng vi phân, tính gần giá trị Câu (1 điểm) Tìm cực trị hàm số sau Câu (1 điểm) Tìm cực trị hàm số sau +3 Câu (2 điểm) Tính tích phân sau +2 Câu (2 điểm) Tính tích phân sau = a) ∫( + 1) a) ∫( + 3) b) ∫ Câu (1 điểm) Cho Câu (1 điểm) Cho lim → ( )−5 = −1 lim → ( )+3 = −2 Tìm lim ( ) Tìm lim ( ) Câu (1 điểm) Tìm tiệm cận hàm số sau Câu (1 điểm) Tìm tiệm cận hàm số sau → → = sin = √1.01 = b) ∫ (0) Tính = sin VIỆN TỐN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH – Học kì 20141 VIỆN TỐN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH 1– Học kì 20141 Khóa: K59 Thời gian: 60 phút Khóa: K59 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu giám thị phải ký xác nhận số đề vào thi Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu giám thị phải ký xác nhận số đề vào thi Câu Tìm tập xác định hàm số y = arcsin ( x + 1) Câu Tìm tập xác định hàm số y = arccos (1 − x ) 1 − cos x x ≠ 0, liên tục x = x2 m x = 1 − cos x x ≠ 0, liên tục x = x2 m x = Câu Tìm m để hàm số f ( x ) = Câu Tìm m để hàm số f ( x ) = Câu Khi x → 0+ cặp vô bé sau có tương đương khơng? α ( x ) = x + x β ( x ) = esin x − cos x Câu Khi x → cặp vô bé sau có tương đương khơng? α ( x ) = x + x β ( x ) = e tan x − cos x Câu Tìm cực trị hàm số f ( x ) = ln( x + 2) − x Câu Tìm cực trị hàm số f ( x ) = x − ln( x + 3) Câu Tính tích phân ( x + 1)dx ∫ ( x + 2)( x + 3) Câu Tính tích phân (2 − x )(3 − x ) x ≤ 3, x > x − Câu Tính f '(3) với f ( x ) = x−2 Câu Tính giới hạn lim − x →3 x − ln( x − 2) Câu Tính tích phân ∫ arcsin xdx Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục [1, +∞) khả vi (1, +∞) thỏa mãn lim f ( x ) = f (1) Chứng minh tồn c > cho x →+∞ ( x + 2)dx ∫ ( x + 3)( x + 4) (3 − x )( x − 4) x ≤ 4, x > 4 − x Câu Tính f '(4) với f ( x ) = x −1 Câu Tính giới hạn lim − x→2 x − ln( x − 1) Câu Tính tích phân ∫ arccos xdx Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục ( −∞,1] khả vi ( − ∞,1) thỏa mãn lim f ( x ) = f (1) Chứng minh tồn c < cho x →−∞ f '(c ) = f '(c ) = Câu 10 Tìm tất hàm số f ( x ) khả vi ℝ thỏa mãn f (a ) − f (b) ≤ a − b sin(a − b) , ∀a, b ∈ ℝ Thang điểm: Mỗi câu điểm -HẾT - Câu 10 Tìm tất hàm số f ( x ) khả vi ℝ thỏa mãn f (a ) − f (b) ≤| a − b || e( a −b ) − |, ∀a, b ∈ ℝ Thang điểm: Mỗi câu điểm -HẾT - VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 1– Học kì 20141 ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH – Học kì 20141 Khóa: K59 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu giám thị phải ký xác nhận số đề vào thi 2x + Câu Tìm hàm số ngược hàm số y = 4x + Câu Phân loại điểm gián đoạn x = π hàm số f ( x ) = + tan x Câu Cho hàm số f ( x ) = xe3 x Tính đạo hàm cấp cao f (5) ( x ) Câu Chứng minh x arctan x ≥ ln(1 + x ), ∀x ≥ Câu Tính giới hạn lim(cos x)cot x Khóa: K59 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu giám thị phải ký xác nhận số đề vào thi Câu Tìm hàm số ngược hàm số y = Câu Phân loại điểm gián đoạn x = hàm số f ( x ) = ∫ arctan(2 x )dx Câu Chứng minh ln( x + 1) ≤ x, ∀x ≥ Câu Tính giới hạn lim(sin x) tan x π x→ Câu Tính tích phân ∫ arctan(3x )dx e x cos x − − x x →0 x3 e x sin x − x Câu Tính giới hạn lim x →0 x2 Câu Tính giới hạn lim dx Câu Tính tích phân ∫ ( x + 2)2 ( x + 3)2 Câu Tính tích phân Câu Tính đạo hàm cấp cao y (19) (0) với y = arcsin x Câu 10 Cho hàm số f : (0, +∞ ) → ℝ thỏa mãn f ( x ) ≤ f ''( x ) ≥ với x > Chứng minh f '( x ) ≤ với x > Thang điểm: Mỗi câu điểm -HẾT - + 5cot x Câu Cho hàm số f ( x ) = xe2 x Tính đạo hàm cấp cao f (6) ( x ) x →0 Câu Tính tích phân 3x + 5x + dx ∫ ( x + 3) ( x + 4) 2 Câu Tính đạo hàm cấp cao y (17) (0) với y = arccos x Câu 10 Cho hàm số f : ( −∞, 0) → ℝ thỏa mãn f ( x ) ≤ f ''( x ) ≥ với x < Chứng minh f '( x ) ≥ với x < Thang điểm: Mỗi câu điểm -HẾT - ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH – ĐỀ Câu lim = → (0.5đ+0.5đ) Câu L’Hospital lim = lim ( = lim × → ( (0.5đ) ) = ( + 1)(sin )( = ( + 1) sin( + 50 ) + 100 sin( + Câu Xét ( ) = ( )= , = Câu TXĐ: R Đạo hàm = −√3 điểm cực tiểu = + + Câu + ) = = 0: − √3 = − = ∫( + √ (1) = lim ( ) ( ) → = −2 → (0.5đ) (0.5đ) (0.5đ) (0.5đ) Đ = ) √3 = √ (0.5đ) (0.5đ) (0.5đ) + ∫( + 1) (sin ) = ( + ) ( ) → ( ) + ( + 1) sin + cos + (0.5đ) → = lim (0.5đ) (0.5đ) ( ) −2 ( ) ( ) = (1 ) − ( 1) = (0.5đ) ( × = − lim ) (0) × 0.01 =1.01 (1 ) = Câu Ta có = lim (0.5đ) = √3 = √3 điểm cực đại +1+ = ∫ ( + 1) khả vi 1, nên (1) Suy = (0.01) ≈ (0) + = −√3, + ( + 1) sin − ∫ sin Ta có = lim + 100( + 1)′(sin )( + ln | − 1| + b) ∫( + 1)(1 + cos ) = ( ) = điểm gián đoạn bỏ ) = ( + 1) sin − 100 cos (0.5đ) Ta có =∫ Câu a) ∫ Suy (0.5đ) → = (0.5đ) Điểm → Câu Áp dụng CT Leibnitz ) = lim = Hai VCB tương đương → Câu lim arctan ( ) → → Cách Dùng khai triển hữu hạn ) = lim = − lim → → ( + = −2 + )=2+ (0.5đ) (0.5đ) ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH – ĐỀ Câu lim → ( ) = Câu L’Hospital lim = lim (0.5đ+0.5đ) = lim → = Hai VCB tương đương → Câu lim arctan = lim × → ( ) ) = ( + 1)(cos )( = ( + 1) cos( + 50 ) + 100 cos( + Câu Xét ( ) = , ′( ) = = Câu TXĐ: R Đạo hàm = −√2 điểm cực tiểu = − + Câu + ) = = 0: − (0.5đ) = (0.02) ≈ (0) + (0.5đ) = √2 (0.5đ) = √2 điểm cực đại (0) × 0.02 =1.02 Đ = √2 = ) ( ) (1) = lim ( ) → − ∫( + 2) (sin ) = ( ( ) ( ) → = lim → − ( + 2) sin − cos + + ) (0.5đ) (0.5đ) (0.5đ) ( ) −3 ( ) ( ) = (1 ) − ( 1) = (0.5đ) ( × = − lim (0.5đ) (0.5đ) (1 ) = Câu Ta có = lim √ (0.5đ) = ∫ ( + 2) → = −3 √ ) − ln | + 1| + khả vi 1, nên (1) Suy + 100( + 1)′(cos )( (0.5đ) (0.5đ) +1− − ( + 2) sin + ∫ sin Ta có = lim ) = −√2, −√2 = − = ∫( b) ∫( + 2)(1 − cos ) = ( = điểm gián đoạn bỏ ) = ( + 1) cos + 100 sin (0.5đ) Ta có =∫ Câu a) ∫ Suy (0.5đ) = (0.5đ) Điểm → Câu Áp dụng CT Leibnitz ( (0.5đ) → ( ( → Cách Dùng khai triển hữu hạn ) ) ) = lim = − lim → → ( ( ) = + + )=3+ (0.5đ) (0.5đ) ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH – ĐỀ Câu a) lim = lim → =1 → b) lim(1 + ) = → ( → (0.5đ+0.5đ) ( ) = (0.5đ) ) = → Câu Hàm số có điểm gián đoạn = lim = điểm gián đoạn bỏ = lim → = Điểm → lim = ∞ Điểm → Câu Hàm ( ) = (0.5đ) = −1 (0.5đ) = −1 điểm gián đoạn loại hai = + +1+ Đạo hàm ( (0.5đ) )( )= ( ) =( ! ) (0.5đ) (0) = ( ) (0)( ) = −10! ( ) Câu Xét hàm số ( ) = √ Ta có = (1.02) ≈ (1) + Câu TXĐ: ≠ Đạo hàm Câu a) ∫( + 1) lim → → = lim = → ) −√3 = −√3 ( ( ) − 5) = lim = −√3, (0.5đ) = √3 (0.5đ) = √3 điểm cực tiểu = √3 = √3 (0.5đ) ) − (0.5đ) + (0.5đ) = ln | | − ln | (0.5đ) → ( − 1) ( ) + 1| + (0.5đ) = × = (0.5đ) Suy lim ( ) = → = 0: hàm số khơng có tiệm cận đứng → × sin lim ( − ) = lim → Tiệm cận xiên ≈1.006667 = 0: = ( + 1) − ∫ Câu Ta có lim (0.5đ) Câu lim Đ = = ∫( + 1) ( = ∫( − b) ∫ (1) × 0.02 = + = −√3 điểm cực đại = ( + 1) (0.5đ) (0.5đ) → =2 = ∞ lim → = lim → sin = 2, đặt = (0.5đ) sin sin − sin − = lim − = lim = → → (0.5đ) ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH – ĐỀ Câu a) lim = lim → = → b) lim(1 − ) = → ( → = lim lim = ∞ Điểm → = −1 Điểm → → ( ) Câu Hàm số có điểm gián đoạn lim (0.5đ+0.5đ) = (0.5đ) = ) = → (0.5đ) =1 = điểm gián đoạn bỏ (0.5đ) = điểm gián đoạn loại hai Câu Hàm ( ) = = − +1− (0.5đ) Đạo hàm ( )( ( )=− ) =( ! ) (0.5đ) (0) = ( ) (0)( ) = −10! ( ) Câu Xét hàm số ( ) = √ Ta có = (1.01) ≈ (1) + = −√2 điểm cực đại Câu a) ∫( + 3) = ( + 3) = ∫( Câu Ta có lim (0.5đ) Câu lim lim → Đ = = −√2 = − = ( + 3) + → ( ) = 1.0025 = 0: = ∫( + 3) ( − ∫ b) ∫ (1) × 0.01 = + ≠ Đạo hàm Câu TXĐ: (0.5đ) (0.5đ) √ = −√2, ( ( ) + 3) = lim (0.5đ) = √2 = ) √ (0.5đ) (0.5đ) − → = √2 = √2 điểm cực tiểu + (0.5đ) = ln | | + ln( (0.5đ) ) (0.5đ) ( − 2) ( ) + 2) + (0.5đ) = × = (0.5đ) Suy lim ( ) = −3 → = 0: hàm số khơng có tiệm cận đứng → = lim → × sin lim ( − ) = lim → Tiệm cận xiên → = = ∞ lim → = lim → sin = 1, đặt = (0.5đ) 1 sin sin − sin − = lim − = lim = → → (0.5đ) ĐÁP ÁN ĐỀ Câu +) Điều kiện xác định: −1 ≤ 2x + ≤ , +) ⇔ −1 ≤ x ≤ Tập xác định D = [ − 1,0] − cos2x = +) Hàm số liên tục x = ⇔ m = f (0) = lim f ( x ) = x →0 x →0 x2 Câu +) lim f ( x ) = lim x →0 x → 0+ : + ) α ( x ) = x + x ~ x , +) β ( x ) = (e sinx −1) + (1 − cos2x) , e sinx −1 ~ sinx ~ x , − cos2x ~ 2x ⇒ β ( x ) ~ x Vậy α ( x ) ~ β ( x ) Câu Khi Câu +) x > −2, f '( x ) = −x −1 −1 = = ⇔ x = −1 x+2 x+2 +) Xét dấu f '( x ) ta có f ( x ) đạt cực đại x = −1 Câu +) I = ∫ ( x + 1)dx −1 = ∫ + dx ,+) I = − ln | x + | +2 ln | x + | +C ( x + 2)( x + 3) x + x + Câu +) f +' (3) = lim x →3+ x−3 (2 − x )(3 − x) = +) f −' (3) = lim− = KL: f ' (3) = f +' (3) = f −' (3) = x → x−3 x−3 Câu +) I = lim x→3 L' ( x − 2) ln( x − 2) − x + ( x − 2) ln( x − 2) − x + ln( x − 2) = lim x →3 , +) = lim x →3 = ( x − 3) ln[1 + ( x − 3)] ( x − 3) 2( x − 3) Câu +) ∫ arcsin xdx = x arcsin x − ∫ xdx 1− x ,+) = x arcsin x + − x + C 1 Câu +) Xét g ( x ) = f , x ∈ (0,1] , g (0) := lim g ( x ) = lim f ( x ) = f (1) ⇒ g (0) = g (1) x →+∞ x →0 x + +) g ( x) thỏa mãn định lí Rolle [0,1] nên ∃x0 ∈ (0,1) | g '( x0 ) = 0, đặt c = x ta có f '(c) = Câu10.+) ∀x0 ∈ ℝ , f ( x ) − f ( x0 ) ≤ x − x0 sin( x − x0 ) , ∀x ≠ x0 ⇒ +) f ( x ) − f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) ≤ sin( x − x0 ) , ∀x ≠ x0 ⇒ f '( x0 ) = lim =0 x → x0 x − x0 x − x0 f ' ≡ ⇒ f = const (thỏa mãn) Thang điểm: dấu +) 0,5 điểm ĐÁP ÁN ĐỀ Câu +) Điều kiện xác định: −1 ≤ − 2x ≤ , +) ⇔ ≤ x ≤ Tập xác định D = [0,1] − cos4x = +) Hàm số liên tục x = ⇔ m = f (0) = lim f ( x ) = x →0 x →0 x2 Câu +) lim f ( x ) = lim x →0 x → : + ) α ( x ) = x + x ~ x , +) β ( x ) = (e tan x −1) + (1 − cos4x) , e tanx −1 ~ tan x ~ x , − cos4x ~ 8x ⇒ β ( x ) ~ x Vậy α ( x ) ~ β ( x ) Câu Khi Câu 4.+) x > −3, f '( x ) = − x+2 = = ⇔ x = −2 x+3 x+3 +) Xét dấu f '( x ) ta có f ( x ) đạt cực tiểu −2 x = −2 Câu +) I = ∫ ( x + 2)dx −1 = ∫ + dx ,+) I = − ln | x + | +2 ln | x + | +C ( x + 3)( x + 4) x + x + Câu +) f +' (4) = lim x →4 + 4− x (3 − x )( x − 4) = −1 +) f −' (4) = lim− = −1 KL: f ' (4) = f +' (4) = f −' (4) = −1 x → x−4 x−4 Câu +) I = lim x→2 L' ( x − 1) ln( x − 1) − x + ( x − 1) ln( x − 1) − x + ln( x − 1) = lim x →2 , +) = lim x →2 = ( x − 2) ln[1 + ( x − 2)] ( x − 2) 2( x − 2) Câu +) ∫ arccos xdx = x arccos x + ∫ xdx 1− x ,+) = x arccos x − − x + C 1 Câu +) Xét g ( x ) = f + , x ∈ [ − 1,0) , g (0) := lim g ( x ) = lim f ( x ) = f (1) ⇒ g (0) = g ( −1) x x →0− x →−∞ +) g ( x) thỏa mãn định lí Rolle [ − 1,0] nên ∃x0 ∈ ( −1,0) | g '( x0 ) = 0, ta có f '( x + 2) = Câu10.+) ∀x0 ∈ ℝ , f ( x ) − f ( x0 ) ≤ x − x0 e x − x − , ∀x ≠ x0 ⇒ +) f ( x ) − f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) ≤ e x − x0 − , ∀x ≠ x0 ⇒ f '( x0 ) = lim =0 x → x x − x0 x − x0 f ' ≡ ⇒ f = const (thỏa mãn) Thang điểm: dấu +) 0,5 điểm ĐÁP ÁN ĐỀ Câu +) x ≠ − , y = 2x + 3 − 5y 1 − 5x ⇔x= , y ≠ +) Hàm số ngược cần tìm: y = ,x ≠ 4x + 4y − 2 4x − Câu + ) lim f ( x ) = 0, lim f ( x ) = +) lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) ⇒ x = x→ π− x→ π+ x→ π+ x→ π− π 1 2 điểm gián đoạn loại 2 Câu +) ( xe3x ) = x (e3x )(5) + C51 ( x ) '(e3x )(4) , +) = 35 xe3x + 5.34 e3x (5) Câu +) Xét hàm số f ( x ) = x arctan x − ln(1 + x ), x ≥ , f '( x ) = arctan x > 0, ∀x > +) ⇒ f ( x ) đồng biến x ≥ ⇒ f ( x ) ≥ f (0) = 0, ∀x ≥ Câu +) I = lim(cos x )cot x = lim ecot x ln cos x = e x →0 lim cot x ln cos x x →0 x →0 ln cos x L ' − tan x = lim = 0, ⇒ I = x → t anx x → cos2 x +) lim cot x ln cos x = lim x→0 Câu +) I = ∫ arctan(2 x )dx = x arctan(2 x ) − ∫ 2xdx , +) I = x arctan(2 x ) − ln(1 + 4x ) + C + 4x L' e x sin x − x L ' e x sin x + e x cos x − 2e x cos x = lim , + ) = lim = x →0 x →0 x →0 x2 2x Câu +) lim Câu +) dx ∫ ( x + 2) ( x + 3) Câu +) y ' = 1− x 2 2 1 = ∫ + + dx, + ) = -2ln|x+2|+2ln|x+3|+C x+2 x+3 (x+2)² x+2 (x+3)² x+3 ⇒ (1 − x ) y ' = − x ⇒ (1 − x ) y ''− xy ' = −x 1− x = − xy ' ⇒ (1 − x ) y ''− xy ' = +) ⇒ ( (1 − x ) y ''− xy ' ) = ⇒ (1 − x ) y ( n +2) − n.2x y ( n +1) − n( n − 1) y n − x y ( n +1) − ny n = , (n) ⇒ y ( n +2) (0) = n y ( n ) (0) ⇒ y (19) (0) = 172 y (17) (0) = ⋯ = (17!!) y '(0) = (17!!) 2 Câu 10 +) Phản chứng, giả sử có x0 > cho f '( x0 ) > Do f ''( x ) ≥ nên f '( x ) ≥ f '( x0 ), ∀x > x0 x →+∞ +) Theo Lagrange: ∃c ∈ ( x0 , x ) | f ( x ) = f ( x0 ) + f '(c)( x − x0 ) ≥ f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ) → + ∞ > (trái gt) Thang điểm: dấu +) 0,5 điểm ĐÁP ÁN ĐỀ Câu +) x ≠ − , y = 3x + 4 − 6y 3 − 6x 3 ⇔x= , y ≠ +) Hàm số ngược cần tìm: y = ,x ≠ 5x + 5y − 5 5x − 5 Câu +) lim f ( x ) = 0, lim f ( x ) = +) lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) ⇒ x = điểm gián đoạn loại x →0+ x →0− Câu +) ( xe2x ) (6) x →0+ x →0− +) = 26 xe2x + 6.25 e2x = x ( e 2x )(6) + C61 ( x ) '( e2x )(5) , Câu +) Xét hàm số x − ln( x + 1), x ≥ f '( x) = − x = ≥ x +1 x +1 +) ⇒ f ( x ) đồng biến, f ( x ) ≥ f (0) = 0, ∀x ≥ lim tan x ln sin x Câu +) I = lim(sin x ) tan x = limπ e tan x ln sin x = e π x→ x→ x→ π L' +) lim tan x ln sin x = lim ln sin x = lim x→ π x→ π cotx cot x = 0, ⇒ I = 1 2 sin x π x→ − Câu +) I = ∫ arctan(3x )dx = x arctan(3x ) − ∫ 3xdx , +) I = x arctan(3x ) − ln(1 + 9x ) + C + 9x L' e x cos x − − x L ' e x cos x − e x sin x − −2e x sin x = + = lim , ) l i m =− x →0 x → x → x 3x 6x Câu +) lim Câu +) ∫ dx 2 1 = ∫ + + dx, + ) = -2ln|x+3|+2ln|x+4|+C 2 ( x + 3) ( x + 4) x+3 x+4 (x+3)² x+3 (x+4)² x+4 Câu +) y ' = −1 1− x ⇒ (1 − x ) y ' = − − x ⇒ (1 − x ) y ''− xy ' = x 1− x = − xy ' ⇒ (1 − x ) y ''− xy ' = +) ⇒ ( (1 − x ) y ''− xy ' ) = ⇒ (1 − x ) y ( n +2) − n.2x y ( n +1) − n(n − 1) y n − x y ( n +1) − ny n = , (n) ⇒ y ( n +2) (0) = n2 y ( n ) (0) ⇒ y (17) (0) = 152 y (15) (0) = ⋯ = (15!!) y '(0) = − (15!!) 2 Câu 10 +) Phản chứng, giả sử có x0 < cho f '( x0 ) < Do f ''( x ) ≥ nên f '( x ) ≤ f '( x0 ), ∀x < x0 x →−∞ +) Theo Lagrange: ∃c ∈ ( x, x0 ) | f ( x ) = f ( x0 ) + f '(c)( x − x0 ) ≥ f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ) → + ∞ > (trái gt) Thang điểm: dấu +) 0,5 điểm ... ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH 1? ?? Học kì 2 014 1 ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH – Học kì 2 014 1 Khóa: K59 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh không... ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH –Học kì 2 014 1 ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH – Học kì 2 014 1 Khóa 59 - Thời gian làm bài: 60 phút Khóa 59 - Thời... (1 điểm) Tìm tiệm cận hàm số sau → → = sin = ? ?1. 01 = b) ∫ (0) Tính = sin VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH – Học kì 2 014 1 VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ ĐỀ THI