giải mẫu đề thi cuối kỳ môn giải tích 1( đề 3)

12 837 0
giải mẫu đề thi cuối kỳ môn giải tích 1( đề 3)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

GIẢI MẪU ĐỀ THI CUỐIGIẢI TÍCH 1 Bản quyền thuộc về Ngân Hàng Đề Thi ĐH Bách Khoa HCM https://www.facebook.com/nganhangdethibkhcm 1 Câu 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = 3 √ x 3 − 2x 2 1.1 Hướng dẫn giải - Tập xác định của hàm số: D = R - Ta viết lại hàm số: y = (x 3 − 2x 2 ) 1 3 - Đạo hàm của hàm số: y  = 1 3 (x 3 − 2x 2 ) − 2 3 (3x 2 − 4x) = 1 3 3x 2 − 4x 3  (x 3 − 2x 2 ) 2 = 1 3 3x 2 − 4x 3  x 4 (x − 2) 2 = 1 3 3x − 4 3  x(x − 2) 2 y  = 0 ⇔ x = 4 3 + Điểm làm đạo hàm không xác định là: x = 0 và x = 2 - Bảng biến thiên: x y  y −∞ 0 4 3 2 +∞ + − 0 + + −∞−∞ 00 − 3 √ 32 3 − 3 √ 32 3 00 +∞+∞ - Kết luận: + Hàm số đồng biến trên: (−∞, 0] ∪  4 3 , +∞  + Hàm số nghịch biến trên:  0, 4 3  1 + Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y CĐ = 0 + Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 3 và y CT = − 3 √ 32 3 - Tìm điểm uốn: + Ta có: y  = 1 3 3x − 4 3  x(x − 2) 2 = 1 3 (3x − 4)x − 1 3 (x − 2) − 2 3 + Logarith hóa 2 vế: ln(y  ) = ln  1 3  + ln|3x − 4| − 1 3 ln|x| − 2 3 ln|x − 2| ⇒ y  y  = 3 3x − 4 − 1 3x − 2 3(x − 2) = 27(x 2 − 2x) − 3(3x − 4)(x − 2) − 6(3x 2 − 4x) 9x(x − 2)(3x − 4) = −8 3x(x − 2)(3x − 4) ⇒ y  = 1 3 3x − 4 3  x(x − 2) 2  −8 3x(x − 2)(3x − 4)  ⇒ y  = −8 9 3  x 4 (x − 2) 5 - Bảng xét điểm uốn và dạng đồ thị: x y  −∞ 0 2 +∞ + + − - Các điểm mà làm cho y  đổi dấu là các điểm uốn. - Các khoảng mà làm cho y  mang dấu (+) tức là lõm, dấu (−) là lồi. - Các điểm đặc biệt dùng để vẽ đồ thị: x = 0 ⇒ y = 0 x = 4 3 ⇒ y = − 3 √ 32 3 ≈ −1, 0582 x = 2 ⇒ y = 0 - TIỆM CẬN ĐỨNG: + Do tập xác định của hàm số là R nên: 2 ⇒ hàm số không có tiệm cận đứng. - TIỆM CẬN XIÊN: a = lim x→∞ 3 √ x 3 − 2x 2 x = lim x→∞ 3  1 − 2 x = 1 b = lim x→∞ ( 3 √ x 3 − 2x 2 − x) = lim x→∞  x  3  1 − 2 x − 1  = lim x→∞ 3  1 − 2 x − 1 1 x = lim x→∞ − 2 3 3   1 − 2 x  2 = − 2 3 ⇒ tiệm cận xiên là y = x − 2 3 ⇒ không có tiệm cận ngang. - ĐỒ THỊ HÀM SỐ: + Lưu ý là ta vẽ tiệm cận xiên trước. 2 Câu 2 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi cung y = e − x 2 , 0 ≤ x ≤ +∞ quay quanh trục Ox. 3 2.1 Hướng dẫn giải - Ta có công thức tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi cung quay quanh trục Ox là: S = 2π  b a |f(x)|  1 + [f  (x)] 2 dx - Do hàm f(x) = e − x 2 luôn dương với mọi x nên |f (x)| = e − x 2 . - Đạo hàm của hàm f (x): f  (x) = − 1 2 e − x 2 - Lúc đó ta có: S = 2π  +∞ 0 e − x 2  1 + 1 4 e −x dx + Đặt: t = e − x 2 ⇒ t 2 = e −x ⇒ 2tdt = −e −x dx ⇒ dx = − 2 t dt + Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = +∞ ⇒ t = 0 + Tích phân trở thành: S = 2π  0 1 t 2 √ 4 + t 2  − 2 t  dt = 2π  1 0 √ 4 + t 2 dt = 2πI 1 + Đặt: u = √ 4 + t 2 ⇒ du = t √ 4 + t 2 dt dv = dt ⇒ v = t + Vậy tích phân I 1 trở thành: I 1 = t √ 4 + t 2 | 1 0 −  1 0 t 2 √ 4 + t 2 dt = √ 5 −   1 0 √ 4 + t 2 dt +  1 0 −4 √ 4 + t 2 dt  ⇒ 2I 1 = √ 5 +  1 0 4 √ 4 + t 2 dt 4 ⇒ I 1 = √ 5 2 + 2  1 0 dt √ 4 + t 2 + Mà ta đã biết công thức tích phân bất định sau:  dx √ x 2 ± a 2 = ln|x + √ x 2 ± a 2 | + C + Nên suy ra: ⇒ I 1 = √ 5 2 + 2ln(t + √ t 2 + 4)| 1 0 = √ 5 2 + 2ln  1 + √ 5 2  - Vậy diện tích cần tính là: S = 2π  √ 5 2 + 2ln  1 + √ 5 2  = π  √ 5 + 4ln  1 + √ 5 2  3 Câu 3 Tìm α để tích phân sau hội tụ I =  1 2 0 dx x α √ 1 − 4x 2 Tính tích phân khi α = −2 3.1 Hướng dẫn giải - Ta thấy 2 cận của tích phân làm cho biểu thức dưới dấu tích phân không xác định. Nên ta tách ra thành 2 tích phân suy rộng loại 2 như sau: I =  1 4 0 dx x α √ 1 − 4x 2 +  1 2 1 4 dx x α √ 1 − 4x 2 = I 1 + I 2 - Xét tích phân I 1 : I 1 =  1 4 0 dx x α √ 1 − 4x 2 5 Xét khi x → 0 + : + Khi α < 0: 1 x α √ 1 − 4x 2 ∼ 0 ⇒ I 1 hội tụ. + Khi α = 0: 1 x α √ 1 − 4x 2 ∼ 1 √ 1 − 4x 2 ∼ 1 ⇒ I 1 hội tụ. + Khi α > 0: 1 x α √ 1 − 4x 2 ∼ 1 x α - Như vậy thì để I 1 hội tụ thì trong trường hợp này α phải thỏa 0 < α < 1 - Tổng hợp lại thì với α < 1 thì I 1 hội tụ! - Xét tích phân I 2 : I 2 =  1 2 1 4 dx x α √ 1 − 4x 2 + Xét khi x → 1 2 − : + Khi α < 0: 1 x α √ 1 − 4x 2 = 1 x α  (1 + 2x)(1 − 2x) ∼ 1 √ 2 1 2 α  (1 − 2x) = 1 √ 2 1 2 α  2  1 2 − x  = 1 2 −α+1  1 2 − x  1 2 ⇒ do đây là tích phân suy rộng loại 2 và α = 1 2 < 1 nên I 2 hội tụ. + Khi α = 0: 1 x α √ 1 − 4x 2 ∼ 1 2  1 2 − x  1 2 ⇒ I 2 hội tụ. + Khi α > 0: 1 x α √ 1 − 4x 2 ∼ 1 2 −α+1  1 2 − x  1 2 6 ⇒ I 2 hội tụ. KẾT LUẬN: Do I 2 đã hội tụ nên để cho I hội tụ thì I 1 phải hội tụ. Vậy α < 1 thỏa mãn. * Tính tích phân khi α = −2 - Khi α = −2 thì ta có tích phân sau: I =  1 2 0 x 2 √ 1 − 4x 2 dx = 1 2  1 2 0 x 2  1 4 − x 2 dx + Đặt: x = 1 2 sin t với − π 2 ≤ t ≤ π 2 ⇒ dx = 1 2 cos tdt + Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 1 2 ⇒ t = π 2 - Tích phân trở thành: 1 8  π 2 0 sin 2 t = 1 8  π 2 0  1 2 − cos 2x 2  dt =  x 16 − sin 2x 32  | π 2 0 = π 32 4 Câu 4 Giải phương trình: a) y  =  2x + y x  2 , y(1) = 2 b) y  − 2y  + 2y = e 2x (3 cos x − sin x) 4.1 Hướng dẫn giải 4.1.1 Câu a y  =  2x + y x  2 =  2 + y x  2 7 - Đặt: u = y x ⇒ y = ux ⇒ y  = u  x + u - Thay vào phương trình ta được: u  x + u = (2 + u) 2 ⇔ du dx .x + u = 4 + 4u + u 2 ⇔ du u 2 + 3u + 4 = dx x - Lấy tích phân 2 vế:  du u 2 + 3u + 4 =  dx x ⇔ I 1 =  dx x - Tính I 1 : + Biến đổi:  du u 2 + 3u + 4 =  du  u + 3 2  2 + 7 4 + Đặt: u + 3 2 = √ 7 2 tan t với − π 2 < t < π 2 ⇒ du = √ 7 2 1 cos 2 t dt + Và ta suy ra được: t = arctan  u + 3 2  2 √ 7  + Tích phân I 1 trở thành:  √ 7 2 1 cos 2 t 7 4 tan 2 t + 7 4 dt =  √ 7 2 1 cos 2 t 7 4 1 cos 2 t dt = 2 √ 7 t - Vậy ta được: 2 √ 7 t = ln|x| + C ⇔ C = 2 √ 7 arctan  u + 3 2  2 √ 7  − ln|x| 8 ⇔ C = 2 √ 7 arctan  y x + 3 2  2 √ 7  − ln|x| - Thay điều kiện ban đầu y(1) = 2 vào ta được: C = 2 √ 7 arctan  2 + 3 2  2 √ 7  = 2 √ 7 arctan √ 7 - Vậy nghiệm của phương trình là: 2 √ 7 arctan  y x + 3 2  2 √ 7  = ln|x|+ 2 √ 7 arctan √ 7 4.1.2 Câu b y  − 2y  + 2y = e 2x (3 cos x − sin x) - Phương trình đặc trưng: k 2 − 2k + 2 = 0 ⇔ k 1 = 1 −i ∨k 2 = 1 + i - Với k 1 = 1 −i, nghiệm của phương trình thuần nhất: y 0 = e x (C 1 cos x − C 2 sin x) - Ta có: f(x) = e 2x (3 cos x − sin x) = e αx [P n (x) cos βx + Q m (x) sin βx] + Từ đó suy ra được: α = 2 ; β = −1 ; P n (x) bậc 0 ; Q m (x) bậc 0 - Nghiệm riêng có dạng: y r = x s e αx (H k (x) cos βx + T k (x) sin βx) + Trong đó: s = 0 vì α + βi = 2 −i không là nghiệm của phương trình đặc trưng. Bậc của H k (x) và T k (x) xác định bởi: k = max{m, n} = max{0, 0} = 0 (m, n là bậc của đa thức P n (x) và Q m (x)). + Khi đó ta được: y r = e 2x (A cos x − B sin x) 9 y  r = 2e 2x (A cos x − B sin x) + e 2x (−A sin x − B cos x) = e 2x [(2A − B) cos x + (−A − 2B) sin x] y  r = 2e 2x [(2A−B) cos x+(−A−2B) sin x]+e 2x [−(2A−B) sin x+(−A−2B) cos x] = e 2x [(3A − 4B) cos x + (−4A − 3B) sin x] + Thêm nhân thêm hệ số để cộng theo vế, ta được: 2y r = e 2x (2A cos x − 2B sin x) −2y  r = e 2x [(−4A + 2B) cos x + (2A + 4B) sin x] y  r = e 2x [(3A − 4B) cos x + (−4A − 3B) sin x] + Cộng 2 vế lại, ta được: y  r − 2y  r + 2y r = e 2x [(2A −4A + 2B + 3A −4B) cos x + (−2B + 2A + 4B − 4A −3B) sin x] = e 2x [(A − 2B) cos x + (−2A − B) sin x] + Từ đó ta có: e 2x [(A − 2B) cos x + (−2A − B) sin x] = e 2x (3 cos x − sin x) + Từ đó ta có hệ sau:  A − 2B = 3 −2A − B = −1 ⇒  A = 1 B = −1 - KẾT LUẬN: Nghiệm tổng quát của phương trình là: y = e x (C 1 cos x − C 2 sin x) + e 2x (cos x − sin x) 5 Câu 5 Giải hệ phương trình:  x  = x + 2y + e t (1) y  = −x + 3y (2) 10 [...]...5.1 Hướng dẫn giải 5.1.1 Phương pháp khử - Cộng 2 vế của phương trình (1) và (2) lại ta được: x + y = 5y + et (3) - Đạo hàm 2 vế của phương trình (2) theo biến t, ta được: y = −x + 3y ⇒ x = −y + 3y (4) - Thay (4) vào (3), ta được: −y + 3y + y = 5y + et ⇔ y − 4y + 5y = −et + Phương trình đặc trưng: k 2 − 4k + 5 = 0 ⇒ . GIẢI MẪU ĐỀ THI CUỐI KÌ GIẢI TÍCH 1 Bản quyền thuộc về Ngân Hàng Đề Thi ĐH Bách Khoa HCM https://www.facebook.com/nganhangdethibkhcm 1 Câu 1 Khảo sát và vẽ đồ. + √ 5 2  3 Câu 3 Tìm α để tích phân sau hội tụ I =  1 2 0 dx x α √ 1 − 4x 2 Tính tích phân khi α = −2 3.1 Hướng dẫn giải - Ta thấy 2 cận của tích phân làm cho biểu thức dưới dấu tích phân không xác. cận xiên trước. 2 Câu 2 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi cung y = e − x 2 , 0 ≤ x ≤ +∞ quay quanh trục Ox. 3 2.1 Hướng dẫn giải - Ta có công thức tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi cung quay

Ngày đăng: 20/04/2014, 12:54

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan