giải mẫu đề thi cuối kỳ môn giải tích 1( đề 3)

GIẢI MẪU ĐỀ THI CUỐI KÌ GIẢI TÍCH 1 Bản quyền thuộc về Ngân Hàng Đề Thi ĐH Bách Khoa HCM https://www.facebook.com/nganhangdethibkhcm 1 Câu 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = 3 √ x 3 − 2x 2 1.1 Hướng dẫn giải - Tập xác định của hàm số: D = R - Ta viết lại hàm số: y = (x 3 − 2x 2 ) 1 3 - Đạo hàm của hàm số: y  = 1 3 (x 3 − 2x 2 ) − 2 3 (3x 2 − 4x) = 1 3 3x 2 − 4x 3  (x 3 − 2x 2 ) 2 = 1 3 3x 2 − 4x 3  x 4 (x − 2) 2 = 1 3 3x − 4 3  x(x − 2) 2 y  = 0 ⇔ x = 4 3 + Điểm làm đạo hàm không xác định là: x = 0 và x = 2 - Bảng biến thiên: x y  y −∞ 0 4 3 2 +∞ + − 0 + + −∞−∞ 00 − 3 √ 32 3 − 3 √ 32 3 00 +∞+∞ - Kết luận: + Hàm số đồng biến trên: (−∞, 0] ∪  4 3 , +∞  + Hàm số nghịch biến trên:  0, 4 3  1 + Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y CĐ = 0 + Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 3 và y CT = − 3 √ 32 3 - Tìm điểm uốn: + Ta có: y  = 1 3 3x − 4 3  x(x − 2) 2 = 1 3 (3x − 4)x − 1 3 (x − 2) − 2 3 + Logarith hóa 2 vế: ln(y  ) = ln  1 3  + ln|3x − 4| − 1 3 ln|x| − 2 3 ln|x − 2| ⇒ y  y  = 3 3x − 4 − 1 3x − 2 3(x − 2) = 27(x 2 − 2x) − 3(3x − 4)(x − 2) − 6(3x 2 − 4x) 9x(x − 2)(3x − 4) = −8 3x(x − 2)(3x − 4) ⇒ y  = 1 3 3x − 4 3  x(x − 2) 2  −8 3x(x − 2)(3x − 4)  ⇒ y  = −8 9 3  x 4 (x − 2) 5 - Bảng xét điểm uốn và dạng đồ thị: x y  −∞ 0 2 +∞ + + − - Các điểm mà làm cho y  đổi dấu là các điểm uốn. - Các khoảng mà làm cho y  mang dấu (+) tức là lõm, dấu (−) là lồi. - Các điểm đặc biệt dùng để vẽ đồ thị: x = 0 ⇒ y = 0 x = 4 3 ⇒ y = − 3 √ 32 3 ≈ −1, 0582 x = 2 ⇒ y = 0 - TIỆM CẬN ĐỨNG: + Do tập xác định của hàm số là R nên: 2 ⇒ hàm số không có tiệm cận đứng. - TIỆM CẬN XIÊN: a = lim x→∞ 3 √ x 3 − 2x 2 x = lim x→∞ 3  1 − 2 x = 1 b = lim x→∞ ( 3 √ x 3 − 2x 2 − x) = lim x→∞  x  3  1 − 2 x − 1  = lim x→∞ 3  1 − 2 x − 1 1 x = lim x→∞ − 2 3 3   1 − 2 x  2 = − 2 3 ⇒ tiệm cận xiên là y = x − 2 3 ⇒ không có tiệm cận ngang. - ĐỒ THỊ HÀM SỐ: + Lưu ý là ta vẽ tiệm cận xiên trước. 2 Câu 2 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi cung y = e − x 2 , 0 ≤ x ≤ +∞ quay quanh trục Ox. 3 2.1 Hướng dẫn giải - Ta có công thức tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi cung quay quanh trục Ox là: S = 2π  b a |f(x)|  1 + [f  (x)] 2 dx - Do hàm f(x) = e − x 2 luôn dương với mọi x nên |f (x)| = e − x 2 . - Đạo hàm của hàm f (x): f  (x) = − 1 2 e − x 2 - Lúc đó ta có: S = 2π  +∞ 0 e − x 2  1 + 1 4 e −x dx + Đặt: t = e − x 2 ⇒ t 2 = e −x ⇒ 2tdt = −e −x dx ⇒ dx = − 2 t dt + Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = +∞ ⇒ t = 0 + Tích phân trở thành: S = 2π  0 1 t 2 √ 4 + t 2  − 2 t  dt = 2π  1 0 √ 4 + t 2 dt = 2πI 1 + Đặt: u = √ 4 + t 2 ⇒ du = t √ 4 + t 2 dt dv = dt ⇒ v = t + Vậy tích phân I 1 trở thành: I 1 = t √ 4 + t 2 | 1 0 −  1 0 t 2 √ 4 + t 2 dt = √ 5 −   1 0 √ 4 + t 2 dt +  1 0 −4 √ 4 + t 2 dt  ⇒ 2I 1 = √ 5 +  1 0 4 √ 4 + t 2 dt 4 ⇒ I 1 = √ 5 2 + 2  1 0 dt √ 4 + t 2 + Mà ta đã biết công thức tích phân bất định sau:  dx √ x 2 ± a 2 = ln|x + √ x 2 ± a 2 | + C + Nên suy ra: ⇒ I 1 = √ 5 2 + 2ln(t + √ t 2 + 4)| 1 0 = √ 5 2 + 2ln  1 + √ 5 2  - Vậy diện tích cần tính là: S = 2π  √ 5 2 + 2ln  1 + √ 5 2  = π  √ 5 + 4ln  1 + √ 5 2  3 Câu 3 Tìm α để tích phân sau hội tụ I =  1 2 0 dx x α √ 1 − 4x 2 Tính tích phân khi α = −2 3.1 Hướng dẫn giải - Ta thấy 2 cận của tích phân làm cho biểu thức dưới dấu tích phân không xác định. Nên ta tách ra thành 2 tích phân suy rộng loại 2 như sau: I =  1 4 0 dx x α √ 1 − 4x 2 +  1 2 1 4 dx x α √ 1 − 4x 2 = I 1 + I 2 - Xét tích phân I 1 : I 1 =  1 4 0 dx x α √ 1 − 4x 2 5 Xét khi x → 0 + : + Khi α < 0: 1 x α √ 1 − 4x 2 ∼ 0 ⇒ I 1 hội tụ. + Khi α = 0: 1 x α √ 1 − 4x 2 ∼ 1 √ 1 − 4x 2 ∼ 1 ⇒ I 1 hội tụ. + Khi α > 0: 1 x α √ 1 − 4x 2 ∼ 1 x α - Như vậy thì để I 1 hội tụ thì trong trường hợp này α phải thỏa 0 < α < 1 - Tổng hợp lại thì với α < 1 thì I 1 hội tụ! - Xét tích phân I 2 : I 2 =  1 2 1 4 dx x α √ 1 − 4x 2 + Xét khi x → 1 2 − : + Khi α < 0: 1 x α √ 1 − 4x 2 = 1 x α  (1 + 2x)(1 − 2x) ∼ 1 √ 2 1 2 α  (1 − 2x) = 1 √ 2 1 2 α  2  1 2 − x  = 1 2 −α+1  1 2 − x  1 2 ⇒ do đây là tích phân suy rộng loại 2 và α = 1 2 < 1 nên I 2 hội tụ. + Khi α = 0: 1 x α √ 1 − 4x 2 ∼ 1 2  1 2 − x  1 2 ⇒ I 2 hội tụ. + Khi α > 0: 1 x α √ 1 − 4x 2 ∼ 1 2 −α+1  1 2 − x  1 2 6 ⇒ I 2 hội tụ. KẾT LUẬN: Do I 2 đã hội tụ nên để cho I hội tụ thì I 1 phải hội tụ. Vậy α < 1 thỏa mãn. * Tính tích phân khi α = −2 - Khi α = −2 thì ta có tích phân sau: I =  1 2 0 x 2 √ 1 − 4x 2 dx = 1 2  1 2 0 x 2  1 4 − x 2 dx + Đặt: x = 1 2 sin t với − π 2 ≤ t ≤ π 2 ⇒ dx = 1 2 cos tdt + Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 1 2 ⇒ t = π 2 - Tích phân trở thành: 1 8  π 2 0 sin 2 t = 1 8  π 2 0  1 2 − cos 2x 2  dt =  x 16 − sin 2x 32  | π 2 0 = π 32 4 Câu 4 Giải phương trình: a) y  =  2x + y x  2 , y(1) = 2 b) y  − 2y  + 2y = e 2x (3 cos x − sin x) 4.1 Hướng dẫn giải 4.1.1 Câu a y  =  2x + y x  2 =  2 + y x  2 7 - Đặt: u = y x ⇒ y = ux ⇒ y  = u  x + u - Thay vào phương trình ta được: u  x + u = (2 + u) 2 ⇔ du dx .x + u = 4 + 4u + u 2 ⇔ du u 2 + 3u + 4 = dx x - Lấy tích phân 2 vế:  du u 2 + 3u + 4 =  dx x ⇔ I 1 =  dx x - Tính I 1 : + Biến đổi:  du u 2 + 3u + 4 =  du  u + 3 2  2 + 7 4 + Đặt: u + 3 2 = √ 7 2 tan t với − π 2 < t < π 2 ⇒ du = √ 7 2 1 cos 2 t dt + Và ta suy ra được: t = arctan  u + 3 2  2 √ 7  + Tích phân I 1 trở thành:  √ 7 2 1 cos 2 t 7 4 tan 2 t + 7 4 dt =  √ 7 2 1 cos 2 t 7 4 1 cos 2 t dt = 2 √ 7 t - Vậy ta được: 2 √ 7 t = ln|x| + C ⇔ C = 2 √ 7 arctan  u + 3 2  2 √ 7  − ln|x| 8 ⇔ C = 2 √ 7 arctan  y x + 3 2  2 √ 7  − ln|x| - Thay điều kiện ban đầu y(1) = 2 vào ta được: C = 2 √ 7 arctan  2 + 3 2  2 √ 7  = 2 √ 7 arctan √ 7 - Vậy nghiệm của phương trình là: 2 √ 7 arctan  y x + 3 2  2 √ 7  = ln|x|+ 2 √ 7 arctan √ 7 4.1.2 Câu b y  − 2y  + 2y = e 2x (3 cos x − sin x) - Phương trình đặc trưng: k 2 − 2k + 2 = 0 ⇔ k 1 = 1 −i ∨k 2 = 1 + i - Với k 1 = 1 −i, nghiệm của phương trình thuần nhất: y 0 = e x (C 1 cos x − C 2 sin x) - Ta có: f(x) = e 2x (3 cos x − sin x) = e αx [P n (x) cos βx + Q m (x) sin βx] + Từ đó suy ra được: α = 2 ; β = −1 ; P n (x) bậc 0 ; Q m (x) bậc 0 - Nghiệm riêng có dạng: y r = x s e αx (H k (x) cos βx + T k (x) sin βx) + Trong đó: s = 0 vì α + βi = 2 −i không là nghiệm của phương trình đặc trưng. Bậc của H k (x) và T k (x) xác định bởi: k = max{m, n} = max{0, 0} = 0 (m, n là bậc của đa thức P n (x) và Q m (x)). + Khi đó ta được: y r = e 2x (A cos x − B sin x) 9 y  r = 2e 2x (A cos x − B sin x) + e 2x (−A sin x − B cos x) = e 2x [(2A − B) cos x + (−A − 2B) sin x] y  r = 2e 2x [(2A−B) cos x+(−A−2B) sin x]+e 2x [−(2A−B) sin x+(−A−2B) cos x] = e 2x [(3A − 4B) cos x + (−4A − 3B) sin x] + Thêm nhân thêm hệ số để cộng theo vế, ta được: 2y r = e 2x (2A cos x − 2B sin x) −2y  r = e 2x [(−4A + 2B) cos x + (2A + 4B) sin x] y  r = e 2x [(3A − 4B) cos x + (−4A − 3B) sin x] + Cộng 2 vế lại, ta được: y  r − 2y  r + 2y r = e 2x [(2A −4A + 2B + 3A −4B) cos x + (−2B + 2A + 4B − 4A −3B) sin x] = e 2x [(A − 2B) cos x + (−2A − B) sin x] + Từ đó ta có: e 2x [(A − 2B) cos x + (−2A − B) sin x] = e 2x (3 cos x − sin x) + Từ đó ta có hệ sau:  A − 2B = 3 −2A − B = −1 ⇒  A = 1 B = −1 - KẾT LUẬN: Nghiệm tổng quát của phương trình là: y = e x (C 1 cos x − C 2 sin x) + e 2x (cos x − sin x) 5 Câu 5 Giải hệ phương trình:  x  = x + 2y + e t (1) y  = −x + 3y (2) 10 [...]...5.1 Hướng dẫn giải 5.1.1 Phương pháp khử - Cộng 2 vế của phương trình (1) và (2) lại ta được: x + y = 5y + et (3) - Đạo hàm 2 vế của phương trình (2) theo biến t, ta được: y = −x + 3y ⇒ x = −y + 3y (4) - Thay (4) vào (3), ta được: −y + 3y + y = 5y + et ⇔ y − 4y + 5y = −et + Phương trình đặc trưng: k 2 − 4k + 5 = 0 ⇒ . GIẢI MẪU ĐỀ THI CUỐI KÌ GIẢI TÍCH 1 Bản quyền thuộc về Ngân Hàng Đề Thi ĐH Bách Khoa HCM https://www.facebook.com/nganhangdethibkhcm 1 Câu 1 Khảo sát và vẽ đồ. + √ 5 2  3 Câu 3 Tìm α để tích phân sau hội tụ I =  1 2 0 dx x α √ 1 − 4x 2 Tính tích phân khi α = −2 3.1 Hướng dẫn giải - Ta thấy 2 cận của tích phân làm cho biểu thức dưới dấu tích phân không xác. cận xiên trước. 2 Câu 2 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi cung y = e − x 2 , 0 ≤ x ≤ +∞ quay quanh trục Ox. 3 2.1 Hướng dẫn giải - Ta có công thức tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi cung quay