Đề thi cuối kỳ môn giải tích 2 năm 2020 có đáp án

Thật ra bài này bằng không ngay từ đầu bằng cách nhận xét: S đối xứng qua Oxz và hàm dưới dấu tích phân lẻ theo biến y.. Các em tự tính nhe.[r]

Giải tích – Đề số 12

Câu 1: Tính fx'(1,1) hàm f x y( , ) 2 4x2y2 biểu diễn hình học đạo hàm riêng hệ số góc tiếp tuyến

Bài giải:

(1,1) 2

x

f  

1 ' (1,1)

2 x

f  

Mặt phẳng y=1 cắt f x y( , ) tạo thành đồ thị C1

Tiếp tuyến C1 điểm M(1,1,2 2) có hệ số góc là:

1 ' (1,1)

2 x

f  

Câu 2: Tìm gtln, gtnn f x y( , )x3y33xy miền 0x2, 1  y2 Bài giải:

2

' ( , )x 3 f x y  x  y=0

2

' ( , )y 3 f x y  y  x=0  x=y=1

khi x=0 =>

( ) , [ 1, 2] ax 8,

f y y y  m    ;

khi x=2 =>

( ) 8, [ 1, 2] max 13,

f y y  y y    

khi y=-1 =>

( )

f x x   x;

'( ) 3

f x  x  vô nghiệm y=2 =>

( ) , (0, 2)

f x x   x x ;

'( )

f x  x 

=>x 2 f  2, 2 8

Max f=13 đạt (2,-1), f =-1 đạt (0,-1)

Câu 3: Khảo sát hội tụ chuỗi số:

( 1)

1 n

n

n n

 

 

Bài giải:

lim | n|

n u   => chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần

Câu 4: Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa

3

1

(2 1)( 3)

3 ln

n

n

n x

n n n

 

 



 

Bài giải:

limn

n n u  x

Để chuỗi hội tụ => x 3 1 => 2x4

x=2 => 1/ 2 3

3

( 1) (2 1) ( 1) ln

3 ln

n n

n

n u

n n

n n n

  





hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

x=4 => 1/ 2 3

3

(2 1)

3 ln

3 ln

n

n u

n n

n n n

 



phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân 2x4

Câu 5:Tính tích phân kép max ,  D

I   x y dxdytrong D miền phẳng giới hạn 0x4, 0 y4

Bài giải:

Trên miền D1 max(x,y)=y, miền D2 max(x,y)=x

Do max , 

D

I   x y dxdy  

1

D D

xdxdy ydxdy

 

   



4 0

0

3 128

x

x

Câu 6: Tính tích phân bội ba V

I  xdxdydz, V vật thể giới hạn xy2z2 0,x2y2z2 2

Bài giải:

Đổi sang toạ độ trụ

2

cos

sin

2 y r

z r V r

x x r z r

  





  



 

   

 

  

     

2

2

2

0 2

7 12

r r

I d dr rxdx



 



 

     

Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai 3

S

I x dydzy dxdzz dxdy với S mặt phía vật thể giới hạn x2z2 y2, 0 y1

Bài giải:

Áp dụng công thức O-G:

3 3 3 ( 2 2)

S V

I x dydzy dxdzz dxdy  x y z dxdydz

Đổi sang toạ độ trụ:

cos

sin

1 z r

x r V r

y y r y

  



  

 

 

   

 

    

 

2 1

2 2

0 0

4 1 9

3 ( ) 3 ( )

3 3 10

r

d rdr r y d y d r r rdr

 

  

Giải tích – Đề số 13

Câu 1: Tính fy'(0,1) hàm f x y( , ) 3 2x2y2 biểu diễn hình học đạo hàm riêng hệ số góc tiếp tuyến

Tương tự câu đề 12

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z (x y e) xy miền   2 x y1 Bài giải

Đặt 2

2

u v

x

u

u v v R

y  



   





 

  

   

2 2

4 .

u v u v

z ue ue e

 

 

Xét  

 

 

2

[-2,1]

1 [-2,1]

m in f 2

ax f

u f e

f u ue

m f e

   

 

  

  



Câu 3: Khảo sát hội tụ chuỗi số

( 1) ( 1)

n n

n n





 

 

Bài giải 1:

Có em giải sau:

( 1) ( 1)

( 1)

n n

n

n n

 

 

( 1)n n

u

n 

 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

Các em nhận xét xem hay sai?

Bài giải 2:

Có:  

 

     

 

1

1

1

1 1

1

n n

n

n

n n

n n

u

n n n

n

  



    

  

 

Vì  

2

1 n

n

n n

 

 

 hội tụ theo tiêu chuẩn leinitz

2

1

n n

  

 phân kỳ chuỗi phân kỳ

Câu 4: Tìm chuỗi Taylor ( ) 22

5

x f x

x x

 

  , x  tìm miền hội tụ chuỗi 0

này

Bài giải ( ) 22

5

x f x

x x x x



  

   

Đăt u=x-1

 

 

0 0

1

9 7 9 7 9 7

( )

2 1 2( 1) 1 2( 1) 1

2 2

9 9 1

7 7 1

2 2 2 2

9

7 1

2

n n

n n

n n n n

n n

n

f x

u u

u u u u

u x

u x

x

   

   



 

     

        



   

          

   

 

    

 

   



Câu 5: Tính tích phân kép

D

I   xy dxdy, D miền phẳng giới hạn

2

1x  y 4.

Bài giải

2

3

15

4 os sin

2

D

I xy dxdy d r c dr



  

    

Câu 6: Tính thể tích vật thể giới hạn x2 y222xy z,  x y z, 0 ( x0)

Bài giải

r(t)=sqrt (sin(2*t))

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8

x y

Đổi sang toạ độ trụ:

cos

sin

x r

y r

z z

 

  

    

Các mặt viết lại là:

 

sin

os sin

r

z r c



 

  

 

 

 

Vì x>0 x2y22 2xy nên y>0 0,

   

 

Miền viết lại toạ độ trụ là: V

 

0

2

0 sin

0 sin os

r

z r c

 



 



 

  

   

  

  

 

 

sin sin os

3

2

0

1

sin sin os

3

r c

o o

V d rdr dz c d

 

  

     

      

Đặt

2

sin os sin

(sin os )

0

1

t c t

dt c d

t

t

  

  

  

    

 

   

 

1 2

1

V t dt



  

Đặt: tsinu

4

2

1

os

3

V c udu

 





  

Câu 7: Tính tích phân mặt loại S

I   xds với S phần mặt phẳng x   y z

nằm hình cầu x2y2z2 4

Bài giải

Vì có tính đối xứng nên

2 2

S S S

I  xds yds zds=2 ( ) 3S xyz ds

2

3 S ds

  =4

3S

Hình cầu có tâm I(0,0,0)

( , )

0 0 2

3

I

d      

2 2

(2 ( ) )

3

S    

Vậy 32

Giải tích – Đề số 11

Câu 1: Vẽ khối  giới hạn x2y2z22y, y x2z2

Câu 2: Trên mặt phẳng xy2z0 tìm điểm cho tổng khoảng cách từ điểm hai mặt phẳng x3z 6 y3z 2 nhỏ

Xét hệ:

    

  

  

  

0

0

0

z y

z x

y x

 (x,y,z)=(3,-1,1)

Điểm (3,-1,1) thuộc mặt phẳng nên tổng khoảng cách từ điểm tới hai mặt x3z 6

3

y z  khoảng cách nhỏ

Câu 3: : Khảo sát hội tụ chuỗi số 3 3 3 2

(3 1)!

1

n

n

n 



 

   Bài giải:

27 )

1 (

) )( (

3

1 

  





n n n

n a

a

n

n n, chuỗi phân kỳ

Câu 4: Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa

2

( 5) ( 2)

3 (2 1) 2

n n

n n

x

n n

 

 

 



Bài giải:

Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa

2

( 5) ( 2)

3 (2 1) 2

n n

n n

x

n n

 

 

 

 =

1

n n



 



2

5( 2) 5( 2)

lim | | lim

3

n n

n n

x x



 

 

Điều kiện cần để chuỗi hội tụ

2

5( 2) x 

<1  3

5 x

     

x=

5

  => ( 1)

(2 1)

n n

n n

  

  hội tụ tuyệt đối

vậy miền hội tụ: 3

5 x

     

Câu 5: Tính tích phân kép

D

I  yx dxdy, D miền phẳng giới

hạn  1 x1,0 y2

Bài giải:

f(x)=0 f(x)=2 x(t)=-1 , y(t)=t x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x^2 f(x)=1

-1 -0.5 0.5

0.5 1.5

x y

Chia D thành phần:

D1 phần yx2 (phía Pparrabol) D2 phần yx2 (phía Parabol)

1

2

D D

I  yx dxdy x ydxdy

2

2

1

2

1

5

3

x

x

dx y x dy dx x ydy 

 

       

Ta làm giảm nhẹ tốn cách nhận xét D đối xứng qua oy hàm f(x,y) chẵn theo biến x nên I lần tích phân nửa bên phải miền D rồi làm tương tự

Câu 6: Tính tích phân bội ba  

V

I  yz dxdydz, V vật thể giới hạn zx2y2,x2y2 4,z 2 x2y2

2

: 4

D x  y 

Đổi sang toạ độ trụ:

2

cos

sin

2

x r

y r V r

z z r z r

  





  



 

   

 

  

  

 

2

2

2 2

0

( sin ) 24

r r

I d dr r r z dz



  



      

Câu 7:

Tính tích phân mặt loại hai (2 ) S

I  xy dydz, với S phần mặt zx2y2 bị cắt mặt z 4, phía theo hướng trục Oz

Bài giải:

Cách 1:



4

2

2 2

:

4

z

Oyz z y

y D

y z

 

  

  

 



Chia S làm phần:

S1: phía trước mp(0yz) x zy2 pháp vecto tạo với ox góc tù S2: phía trước mp(0yz) x  zy2 pháp vecto tạo với ox góc nhọn Do ta có:

   

2

2

2

4

2

2

(2 )dyd ( 2 )dyd

2 2 16

D D

y y

I z y y z z y y z

dy z y y dz dy z y y dz 

 

       

         

 

   

Các em làm đơn giản toán từ đầu cách:

Nhận xét S đối xứng qua oyz hàm x(y,z)=y chẵn theo x x(y,z)=2x lẻ theo x nên ta có:

1

0

2 2

S

S S

ydydz

xdydz xdydz







  với S1 nửa mặt S phía trước

Khi đó:

2

2 2 dyd 16

D

I    zy z  

Giải tích – Đề số 20

Câu 1: Tìm vi phân cấp hai hàm zz x y( , ) hàm ẩn xác định từ phương trình

z xy z e

Bài giải Cách 1:

'

'

0

1

1

1

1

z z

x z z

y z

x y z e x y z e

z

e e

z e

       



  



  

 

 

 



   

 

 

   

' '

2

2

''

3

'

3

1

1

1

z z

x xx

z z

z z

yy

z z

z y

z

e z e

z

e e

e e

z d z dx dy

e e

e z

e 

    



 

  

      

  

 

  

 



Cách 2:

   

2

2

2 2

3

1

( ) ( )

1 1 1

z

z

z

z z z

z z

z z z z

dx dy

dx dy dz e dz dz

e

d dx dy dz d e dz

e dz e dx dy e

d z e dz e d z d z dx dy

e e e e



    



  



 

          

     

Các em cần hiểu rõ vi phân, Chú ý hàm biến làm cách

Câu 2: Tìm cực trị hàm f x y z( , , )x2y3z với hai điều kiện x   y z x2y2 1

Bài giải

Xét:      2

, ,

' ' ' 2

1 3 3

2 1 / 2 1 / 2

3 2

5 7 29 x y z L x L y

L P x P x

y y

x y z

z z x y                                                                        

2 2

, ,

d L x y z   dx dy

Lấy vi phân vế phương trình x2y2  1 xdxydy0

Suy tai P1,2:

dy dx vào ta được:

   

2 2 58

, ,

25 d L x y z   dx dy  dx

    2 0 d L P

d L P

      

Vậy f đạt cức đai P2 cực tiểu P1

Câu 3: Tính tổng

 2

2 1 n n n n      Bài giải

 2  2

2

1

2 1

1

1

n n

n

n

n n n

                   

Câu 4: Tìm Miền hội tụ chuỗi luỹ thừa  

1 2

1

1 ( 2)

1 n n n x n n         Bài giải

Đặt X=(x+2)2

 

1

1

1

| | 1 1

n n n n n n n n X

S u X

n n u R                

Tại X=1  

1 1 1 n n S n n       

Câu 5: Tính tích phân kép ( ) D

I  x y dxdy, D miền phẳng giới hạn đường astroid xacos ,3t yasin , 03t  t / 2, trục tọa độ

Bài giải

Đổi biến:

3

3

3

2 2 2

cos cos cos sin

sin sin cos

sin

3

3 sin cos sin

4

x ar a a

J

a a

y ar

a a

   

  



  

  



 

   

 

 

 

1

2 3

0

2

3 3

0

3

sin 2 cos sin

4 1

sin 2 cos sin 0

2

I d ra ar ar dr

a d





   

   

   

   

Câu 6: Tính tích phân đường loại ( ) C

I  xy dl, C cung bên phải đường

Lemniscate có phương trình tọa độ cực r2 a2cos , a0

Bài giải

r(t)=2sqrt(cos(2t ))

-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2.2 2.4

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8

x y

 

4

2 '2

os sin

I r c r r d





  



   

Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai

S

I yzdydzzxdxdzxydxdy, với S biên vật thể giới hạn xy z 1,x0,y0,z , định hướng phía

Bài giải

Giải tích – Đề số 12

Câu 1: Tính fx'(1,1) hàm f x y( , ) 2 4x2y2 biểu diễn hình học đạo hàm riêng hệ số góc tiếp tuyến

Bài giải:

(1,1) 2

x

f  

1 ' (1,1)

2 x

f  

Mặt phẳng y=1 cắt f x y( , ) tạo thành đồ thị C1

Tiếp tuyến C1 điểm M(1,1,2 2) có hệ số góc là:

1 ' (1,1)

2 x

f  

Câu 2: Tìm gtln, gtnn f x y( , )x3y33xy miền 0x2, 1  y2 Bài giải:

2

' ( , )x 3 f x y  x  y=0

2

' ( , )y 3 f x y  y  x=0  x=y=1

khi x=0 =>

( ) , [ 1, 2] ax 8,

f y y y  m    ;

khi x=2 =>

( ) 8, [ 1, 2] max 13,

f y y  y y    

khi y=-1 =>

( )

f x x   x;

'( ) 3

f x  x  vô nghiệm y=2 =>

( ) , (0, 2)

f x x   x x ;

'( )

f x  x 

=>x 2 f  2, 2 8

Max f=13 đạt (2,-1), f =-1 đạt (0,-1)

Câu 3: Khảo sát hội tụ chuỗi số:

( 1)

1 n

n

n n

 

 

Bài giải:

lim | n|

n u   => chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần

Câu 4: Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa

3

1

(2 1)( 3)

3 ln

n

n

n x

n n n

 

 



 

Bài giải:

limn

n n u  x

Để chuỗi hội tụ => x 3 1 => 2x4

x=2 => 1/ 2 3

3

( 1) (2 1) ( 1) ln

3 ln

n n

n

n u

n n

n n n

  





hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

x=4 => 1/ 2 3

3

(2 1)

3 ln

3 ln

n

n u

n n

n n n

 



phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân 2x4

Câu 5:Tính tích phân kép max ,  D

I   x y dxdytrong D miền phẳng giới hạn 0x4, 0 y4

Bài giải:

Trên miền D1 max(x,y)=y, miền D2 max(x,y)=x

Do max , 

D

I   x y dxdy  

1

D D

xdxdy ydxdy

 

   



4 0

0

3 128

x

x

Câu 6: Tính tích phân bội ba V

I  xdxdydz, V vật thể giới hạn xy2z2 0,x2y2z2 2

Bài giải:

Đổi sang toạ độ trụ

2

cos

sin

2 y r

z r V r

x x r z r

  





  



 

   

 

  

     

2

2

2

0 2

7 12

r r

I d dr rxdx



 



 

     

Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai 3

S

I x dydzy dxdzz dxdy với S mặt phía ngồi vật thể giới hạn x2z2 y2, 0 y1

Bài giải:

Áp dụng công thức O-G:

3 3 3 ( 2 2)

S V

I x dydzy dxdzz dxdy  x y z dxdydz

Đổi sang toạ độ trụ:

cos

sin

1 z r

x r V r

y y r y

  



  

 

 

   

 

    

 

2 1

2 2

0 0

4 1 9

3 ( ) 3 ( )

3 3 10

r

d rdr r y d y d r r rdr

 

  

Giải tích – Đề số 18

Câu 1: Cho

2

2 2, ( , ) (0, 0) ( , )

0, ( , ) (0, 0)

x y

xy x y

f x y x y

x y          Tìm

2 2

2 (0, 0), (0, 0), (0, 0), (0, 0)

f f f f

y x x y

x y           Bài giải  

2 2

'

2 2 2 0

( ) ( , 0) (0, 0)

' , 0, lim

( )

x x

x

y x y x y f x f

f f

x

x y x y 

       2 0

' ( , 0) ' ( , 0)

(0, 0) lim

' (0, ) ' (0, 0)

(0, 0) lim

x x

x

x x

y

f x f x

f

x x

f y f

f

y x y

                    

2 2

'

2 2 2 0

( ) (0, ) (0, 0)

' , 0, lim

( )

y y

y

x x y y x f y f

f f

y

x y x y 

          ' 2 0

' (0, ) 0,

(0, 0) lim

' ( , 0) ' (0, 0)

(0, 0) lim

y y

y

y y

x

f y f

f

y y

f x f

f

x y x

                 

Câu 2: Tìm cực trị hàm f x y( , )4x6y với điều kiện x2y2 13

Bài giải Xét:

2

( , ) ( 13)

h x y  x y x y 

1

2

' 1

' 2

3

13 x

y

h x

h y P x P x

y y x y                                        

h''x 2 , '' h y 2 , '' h xy 0

   

2 2

1

2 2

2

2

2

d h P dx dy

d h P dx dy

  

   

Câu 3: Tính tổng

1

( 2)

3 (2 1) n n

n S

n 



  

    

Câu không giải Em can đảm việc

Câu 4: Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dấu tích phân thành chuỗi, tính

1

1 ln

1 xdx

 

Bài giải Ta có:

1

1

ln ln(1 )

1

n

n x x

x n

 

    



1

1

0

1

ln

1 ( 1)

n

n n

x

dx dx

x n n n

 

 

    

 

 

Câu 5: Tìm diện tích miền phẳng giới hạn x23y2 1,y0,yx

Bài giải

x(t)=cos(t) , y(t)=1/sqrt (3)*sin(t) f(x)=x

f(x)=0

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8

0.2 0.4 0.6 0.8

x y

Trên diện tích cần tìm:

Đổi sang toạ độ cực mở rộng:

cos

3 1

sin

0 1

3

x r

y r

r

 

  



 

 

 



 



   

(Để tìm cận của, ta cho x=y suy tan= 3 r toạ độ cực mở rộng Elip từ đến 1)

1

3 3

D

r

S dxdy d dr

 

 

   

Câu 6: Tính tích phân  xy  xy C

I   x ye dx y xe dy, C phần elip

2

1

16

x y

  từ

Bài giải

Ta có: P Q 1 xy e xy

y x

 

  

  tích phân không phụ thuộc vào đường đi:

0

3

4

64 73

C AO OB

I x dx y dy



             

Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai ( 1)3 S

I  x dydz ydzdx zdxdy, với S mặt

ngoài nửa mặt cầu x2y2z2 2 ,x z0

Bài giải

Gọi S’ mặt hình trịn x2y2 2x mp Oxy

' '

S S S S

I



   

Trên S’(z=0): dz=0

'

0 S

 

Áp Dụng O-G khối V gh S S’:

 2

'

3

S S S V

I x dxdydz



 

    

 

  

2

[3( 1) 5)]

V

I  x   dxdydz với V mặt cầu x2y2z2 2 ,x z0

 

2

2 2

0

2

3

0

sin sin os

8 86

sin sin os

3 15

d d c d

d c d

     

       



    

    

 

      

Giải tích – Đề số 19

Câu 1: Vẽ khối  giới hạn z 4 x x2, 2y2 2 ,y x y z Các em tự vẽ

Câu 2: Tìm cực trị hàm f x y z( , , )2x6y10z với điều kiện x2y2z2 35

Bài giải

Xét L x y z , , 2x6y10zx2y2z2

' '

1

'

2 2

2 1 1

6 1

3

10

5

35 x

y

z

L x

L y x x

P P

y y

L z

z z

x y z

  

 

        

  

     

  

 

  

  

  

  

     

  



 

2 2

2

d L  dx dy dz  

 

2

2

0

0 d L P

d L P 



Vậy hàm f đạt cực đại P2(1,3,5) cực tiểu P1(-1,-3,-5)

Câu 3: Khảo sát hội tụ chuỗi

2

1

( 1)n

n n n

 

  

Bài giải Ta có:

1

( 1)n n

n  n

Suy chuỗi phân kỳ

Câu 4:Tìm chuỗi Maclaurint

0

ln(1 ) ( )

x t

f x dt

t 

  tìm bán kính hội tụ chuỗi

này

Bài giải Ta có:

1

1

0

1

(3 ) ( 1)

ln(1 ) 1

( 1)

( ) ( 1)

( 1) n n

n

n n

n

n n

n n

n

t

t n

x

t t n

f x x

n

 

 



 



 

 

 

   

   



2

1

( ) ( 1)

3 ( 1)

n

n f

n

 

   

 hội tụ tuyệt đối

Vậy bán kính hội tụ 1

3 x

  

Câu 5: Tính diện tích miền phẳng giới hạn 2xx2y26 ,x yx 3,y x

Bài giải

x(t)=1+cos(t) , y(t)=sin(t) x(t)=3+3cos(t) , y(t)=3sin(t) f(x)=-x

f(x)=x*sqrt(3)

1

-3 -2 -1

x y

D

Đổi sang toạ độ cực: cos

sin

2 cos cos

x r

D

y r

r

 

 



 



   

 



 



   

 

6cos

2cos

28

2

3

S D d rdr





 

 



      

Câu 6: Tính tích phân đường C

I   y dl, C cung Cycloid

( sin ), (1 cos ),

xa t t ya  t  t 

Bài giải

x(t )=(t -sin(t)) , y(t )=(1 -cos(t ))

1

0.5 1.5 2.5 3.5

Ta có:

'2 '2

2 sin

t t

t x y  a

2

2 2

0

(1 ost) sin

2 256

15 C

t

I y dl a c a dt

a



    



Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai S

I  z dxdy, S mặt nửa mặt cầu

 2  2

1 4,

x  y z  z

Bài giải

Gọi D: x12y224 hình chiếu S lên mp Oxy

   

 2

2 4 1 2

S D

I z dxdy   x  y dxdy (Pháp vec tơ tạo với Oz góc tù)

 

2 2 0

4

I d r rdr



 

Giải tích – Đề số 17

Câu 1: Cho f x y( , )yln 3 3x y2  Tìm f (0, 0), f (0, 0)

x y

 

 

Bài giải

   

   

0

0

, 0, ln ln

lim lim (0, 0)

0, 0, ln ln

lim lim (0, 0)

x x

y y

f x f f

x x x

f y f y f

y y y

 

 

  

   



   

   



Câu 2: Tìm cực trị có điều kiện: f x y( , )exy; x3y316

Bài giải

Xét:

   3

'

4

'

3

,

3

3 2( )

6 16

xy

xy x

xy x

L x y e x y

L ye x

e

L xe y x y

x y

 

 

  

   



       

 

 



Vậy có điểm dừng là: P(2,2)

 

''

4 ''

4 ''

6

2

5

xy xx

xy yy

xy xy

L y e x

A C e

L x e y

B e

L xy e

 

  

   

 

  

 

   

 

 

   

2 2

2 10

d L P  dx  dy  dxdy e

Lấy vi phân vế P phương trình x3y3 16: 12dx12dy 0 dy dx

Thế vào ta được: d L P2   6dx2 0 Vậy P điểm cực đại

Câu 3: Tính tổng

1

( 1) 2 6 (2 ) n

n

n

 

 

  

Ta có:

 

1 1

1

1

1

( 1) ( 1) 1

2 6 (2 ) 2 ! 2 ! 2 !

1

1 1 1 2 1

2 2 ! 2

2 ! 2 . 1 !

1

1 2 !

1 1

2

n n n

n n n n

n

n n

n n n

n n

n n n

S

n n n n

n

e n

n n

e n

S e

   

   

  



  

 

 

       

 

     

  

  



 



  



Câu 4: Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dấu tích phân thành chuỗi, tính

0 x

xdx e



 

Bài giải

Câu đạo hàm khó sau lấy tích phân khơng tính tổng lai được

Có phương pháp sau khai triển maclaurint, ý tương hay không giải được, em tham khảo nhé:

     

     

 

1

0

1

2

0

0

1

1

1

1 1

x

n n n x

x nx

x x

n n

n

n n x

x

n n

x xe

xe e xe

e e

xdx

xe dx

e n

  

 

 



 

     

 

      

 



       

 

Tới ta lại gặp vấn đề tính tổng Bài Thầy nghĩ khơng tính

Câu 5:

Tính tích phân  2 

0

2

sign x y  dxdy

 với D 0x3, 0 y

f(x)=0 f(x)=3 x(t )=0 , y(t)=t x(t )=3 , y(t)=t f(x)=sqrt (x^2+2) Series

-0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

-0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

x y

D1 D2

A

Trên

2 2

1

2 2

1

: 2 0 ( 2) 1

: 2 0 ( 2) 1

D x y sign x y

D x y sign x y

      

       

   

1

1 2

1 1 ( ) ( ) ( )

D D D

dxdy dxdy dt D dt D dt D dt D

        

Với D=9

Và  

 

2

7

0 2

3

( ) ln ln

2

9 ln ln

D x

dt D dxdy dx dy

y



     

     

  

Câu 6: Tính tích phân đường       C

I   y z dx z x dy x y dz, với C giao

của mặt nón y2z2 x mặt cầu x2y2z24 ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Ox

Bài giải

Nhận xét : mặt nón mặt cầu cắt theo đường tròn nằm mp x=4 Gọi S mặt trước hình trịn có biên C

2 2

4 :

2

x y z

S

x

   

 

 

Áp dụng công thức Stoke

     

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

C

S S

I y z dx z x dy x y dz

z dydz x dxdz y dydx z dydz

      

       

(vì S (x=4): dx=0)

2

0

(1 sin )

d r rdr



  

    

Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai 3 S

I x dydzy dzdxz dxdy, với S mặt

của vật thể giới hạn 1x2y2z24,y x2z2

Bài giải

Dùng O-G:

 2 2

3

V

I   x  y z dxdydz

Đổi sang toạ độ cầu mở rộng:

0

sin cos 4

sin sin

os

z x

y c

 

  

    

  



 

 



 

   

 

    

 



 

2

4

2

0

93

3 .sin 2

5

I d d d

 



     

Giải tích – Đề số 16

Câu 1: Cho f f u v( , ) arctanu,u u x y( , ) 2x3 y v2, v x y( , ) x 2y v

        Tính

2f

x y   

Bài giải

2

2 (6 ) 2

f v u

x

x u v u v



 

  

2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

2

6 2

( ) ( ) ( ) ( )

f uv u v v u uv

x y y

x y u v u v u v u v

   

   

      

         

Câu 2: Cho hình hộp chữ nhật góc phần tám thứ hệ trục Oxyz, có mặt nằm mặt phẳng tọa độ đỉnh nằm mặt phẳng x2y3z Tìm thể tích lớn

Bài giải

Gọi M(a,b,c) thuộc mặt phẳng x2y3z  6 a 2b3c

2

2

6 , ,

'

' 6

b

c

V abc bc b c bc b c

V c bc c

V b b bc

    

   

   

2 1,

3

b c

   điểm dừng: P(1,2/3)

 

   

 

8 ''

'' 3

8

'' '' 6

3

'' 6 '' 2

bb bb

cc cc

bc bc

V P

V c

V b V P

V b c V P



  

  



  

         

   

 

    

 

 



Suy d2f(P) xác định âm nên P điểm cực đại V lớn đạt P: MaxV=V(P)=4/3

Bài dùng bất đẳng thức cosi nhanh không liên quan đến học

Câu 3: Tính tổng 1

1

( 2) ( 2)

n n n n n



 

 

  Bài giải

 2

1

1

( 2) 1 ( 2)

14

( 2) 14

n n

n n

n n

S S

n n n n

 



 

   

     

    

 

          ' 1 1 1

ln 1 ln 1

n

n

n n

x

f x f x x

n x

f x x c x

                   (vì f(0)=0) Ta lại có:

              1 2

1

2 2 ln

7

2 2

2 2 12

7 7 49 49

2

12 12

49 49 49 49

1

49 ln 12

4

n

n n

n n n

n n n

n n m

n n m f S n f

n n n

S n S                                                                

Vậy  2

45

14 14 ln

4

S  S S    

 

Câu 4: Tìm chuỗi lũy thừa hàm f x( )lnx 1x2 tìm bán kính hội tụ chuỗi Bài giải 2 1 1 1

1 (2 1)!!

'( )

2 ! (2 1)!! ( ) 2 ! (2 1)!! 2 ! n n n n n n n n n n

f x x

n x

n x

f x x C

n n n x x n n                             

(C=0 f(0)=0) Dùng D’Alembert dể dàng suy R=1

Câu 5: Tính tích phân kép

2

16 9 D

x y

I    dxdy

 

, D miền phẳng giới hạn

bởi x0,y 0,x4sin ,t y3cos ,t t0, / 2 

Bài giải:

2 2 1 0

3 12

16

D

x y

I dxdy dt r dr





 

      

 

Câu 6: Tính tích phân đường C

I   zdx xdyydz, với C giao mặt phẳng

2

x z mặt cầu x2y2z2 4 theo chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz

Bài giải

Gọi S mặt phần mặt phẳng x+z=2 nằm mặt cầu x2y2z2 4

Áp dụng O-G:

3

C S

I   zdx xdyydz dydz dxdz dxdy

Pháp véc tơ đơn vị S: ( , 0, )

2

n 

 

3 3

( )

2 S 2

I   dS   dt S       

Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai 3 S

I x dydzy dzdx, với S mặt nửa

trên ellipsoid  

2

2

1,

16

x z

y z

   

Bài giải

Gọi S mặt E:

2

1 16

x y

  mặt phẳng Oxy

S S E E

I



   

Trên E (z=0): dz=0

E

 

Áp dụng O-G:  2

3

S S E V

I x y dxdydz



     

Dùng toạ độ cầu mở rộng:

0

4 sin cos 2

1 sin sin

3 cos

x

y V

z

 

  

    

  



 

 



 

   

 

    

 

 

 

2

2 2 2 2

0 0

2 2 2 2

3 16 sin cos sin sin 12 sin

3 16 sin cos sin sin 12 sin

408

V

I d d d

dxdydz 



          

       



 

 



  

Giải tích – Đề số 14

Câu 1: Vẽ khối  giới hạn y 4 x2,y 1 x z2, 0,z2x Các em tự vẽ

Câu 2: Một hộp (hình hộp chữ nhật, khơng có nắp phía trên) làm từ 12m bìa 2 carton Tìm thể tích lớn hộp

Bài giải

Gọi x chiều rộng, y chiều dài, z chiều cao (m) Ta có: 2xz+2yz+xy=12 V=xyz x y z , ,

Ta cần tìm MaxV:

Cách 1: Xét hàm

   

 

 

 

   

' ' '

, , 2

2

2 /

2

2

2

1

2 12

2 12

x

y

x

L x y z xyz xz yz xy

L yz z y

x z

L xz z x

y z x y

L xy x y

z xz yz xy

xz yz xy  

 



   

    

    

   

  

     

   

      

 



  



Hàm có Điểm dừng P(2,2,1) Tính đạo hàm riêng cấp P ta có:

 

2

2

d L P dxdy dxdz dydz

   

Lấy vi phân vế 2xz+2yz+xy=12 P suy ra: dx+dy+2dz=0

 

2 2

d L P dx dy dxdy

     xác định âm

Vậy P điểm cực đại

Và V liên tục góc phần tám thứ có điểm cực đại (P) nên đạt giá trị lớn P: MaxV=V(P)=4

Cách 2: Thế

 

12

xy z

x y

 

 vào biểu thức V:

 

 

12

, ,

2

xy xy

V x y R

x y





 



 2

1

2 12

2 xy

V xy xy

x y

  



Áp dụng côsi cho số (x,y) sô (2xy,(12-xy), (12-xy)) ta được:

 

3

1 2(12 )

2 12

3

2 2 2

xy xy xy xy

V xy xy

x y xy

 

    



Dấu “=” xảy

2 12

x y

x y z

xy xy

 

    



 



Nhận xét: Khơng nghi ngờ cách hay gọn cách Nhưng em nên nhớ học GT2 cực trị max-min Yêu cầu phải biết vận dụng kiến thức học vào tốn thực tế Bài điển hình cho tìm max-min cho hàm biến miền không bị chặn hay

Câu 3: Tính tổng

1

1

( 1)( 2)

n

S

n n n

 

 

 

Bài giải

1 1

( 1)( 2) 2

n n n n n n

 

    

     

Vậy

1

1 1 1

( )

( 1)( 2) 2

n S

n n n

 

   

 



Câu 4:Tìm chuỗi Maclaurint

4 ( ) x dt f x t   

tìm miền hội tụ chuỗi Bài giải

Ta có :

 4 12

4

0

4 4

1

0

1 1 1 1

( )( 1)( 2) ( )

1 2 2 2 2

1 1 ( )

( 1)!

1

( 1) (2 1)!! (2 1)!!

1 ( ) 1

2 ( 1)! 2 ( 1)!

n n n n n n n n n n t t n t n n t t n n                                         Vậy:        

4 5

1 0 0 1

(2 1)!! (2 1)!!

( ) [ ]

2 ( 1)! 4 5 2 ( 1)! 4 5

1

(2 1)!!

2 ( 1)! 4 5

2 3 4 5

lim lim 1

2 2 4 9

1 1

x

x n n

n n n n n n n n n n n

dt n t n x

f x t x

n n n n

t

n x

f x x x

n n

n n

a

a n n

 

0

(2 1)!! (2 1)!!

1 1

2n ( 1)! (2 2)!!

n n

n n

f

n n n n

 



 

 

      

   

 

Dùng quy nạp ta Chứng minh được: (2 1)!!

(2 2)!!

n

n n

 

 (dể đừng lo)

Lúc này:

*

3

(2 1)!! 1

,

(2 2)!! 5

1 1

4

4 n

n N

n n n n

n n

n 

  

  



Do chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn so sánh Vậy: miền hội tụ là: [-1,1]

Câu 5: Tính tích phân

D

y dxdy

 với D miền    

2

2

1,

16

x y

E   C x y 

Bài giải

Ta có: | | | | | |

D E C

I  y dxdy y dxdy y dxdy

Vì E C đối xứng qua Ox,Oy hàm dấu tích chẵn theo biến x,y nên:

   

( , 0) , ( , 0) ,

1 1

2 2

0 0 0

4 | | | |

4 sin 12 sin 4.35 sin

1 140 140.1

3

E x y C x y E x y C x y

I y dxdy y dxdy ydxdy ydxdy

d r rdr d r rdr d r rdr

  

     

   

   

   

   

   

   

 

 

   

 

 

 

   

     

Câu 6: Tìm diện tích phần mặt cầu x2y2z2 18 nằm hình nón

2 2

x y z Bài giải

Tìm diện tích phần mặt cầu x2y2z2 18 nằm hình nón x2y2 z2

2

:

D x y 

2

2 2

0

18 18

2 2 (18 18)

18 18

D

S dxdy d rdr

x y r



 

   

  

  

Câu 7: Tính tích phân mặt loại S

I  yds, với S phần mặt trụ x2y2 4 nằm hai mặt phẳng z0,z3

Bài giải

Chia S làm miền: phía trước(S1) sau mặt(S2) phẳng Oxz Miền D hình chữ nhật: 2

0

y z

  

 

 



3

1 0 2 2

4 y

I dz dy

y 

 



 

Tương tự I2=0 Vậy I=0

Giải tích – Đề số 15

Câu 1: Cho f  f(3xy e2, xy) Tính

2

,

f f

x x y

 

  

Bài giải

Đặt

2

3

xy

u x y

v e

  

 

  

2

(3 , xy) ( , )

f  f xy e  f u v

   

   

2

'' ' '' ''

' '' ''

3 ' '

6 ''

1 ''

xy

u v

xy xy xy xy

uu uv v uv vv

xy xy xy

v uu uv vv

f

f ye f x

f

yf xe f xy e f ye yf xe f

x y

xy e f yf x y e f xye f



 

 

      

 

     

Câu 2: Tìm điểm M hình nón z2 x2y2, cho MA nhỏ nhất, với A(4,2,0)

Bài giải Cách 1: Gọi M(a,b,c)

MA= (a4)2(b2)2c2  (a4)2(b2)2a2b2

2 2 2 2

( 4) ( 2) 2( ) 20

MA  a  b a b  a b  a b  f a b( , )

'

' 4

a

b

f a

f b

  

    a=2,b=1

'' 4, ''

''

a ab

b

f f

f

 

 => f đạt cực tiểu (2,1) đạt (2,1)

Vậy M2,1, 5 Cách 2: Gọi M(x,y,z)

Pháp véc tơ mặt ngồi S: n=(x,y,-z) (vì A nằm phía ngồi mặt nón) MA ngắn MA n, hướng:

2

4

5

x

x y z

z y

x y z

 

 

      



 

Làm hay sai? Suy nghĩ tí nhé.

Câu Tính tổng

1

2 3

5n n

n

 

Bài giải

Ta có  

5 , 1,1 n n x x x x         

Lấy đạo hàm vế:

        2 2 2 3 3 n n n n x x n x x x x n x x                 Thế

1 25 11

16 8 25 x S     

Câu 4: Tìm chuỗi Maclaurint hàm ( ) arctan 3 x f x x  

 tìm bán kính hội tụ chuỗi

Bài giải               2

2

1

0

3 1

'

9 3

1

1

3

n n n n n n n n n n n n x f x x x x x

f x C C

n n                                

Vì:  0 arctan 1

4 4

f     C  

Vậy:    

  1 1

4 3 2 1

n n n n x f x n            

Dùng tiêu chuẩn D’Alembert dể thấy R=3 Câu 5: Tính tích phân max sin , sin 

D

x y dxdy

Chia D làm miền đường thẳng y=x x+y=Pi

f(x)=0 f(x)=x f(x)=Pi x(t )=0 , y(t )=t x(t )=Pi , y(t )=t f(x)=Pi-x

-0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 -0.5

0.5 1.5 2.5 3.5

x y

D1

D2

D3 D4

Pi

Pi

Xét sin sin cos sin

2

x y x y

x y  

1

sin

2

: sin sin

cos

2

x y

y x

D x y

x y  x y

 

 



 

  

 

  

  

 

Em xét tương tự miền lại:

2

, : s inx sin

, : sin sin

D D y

D D x y





1

sin sin sin sin

D D D D D

I   ydxdy ydxdy xdxdy ydxdy

Câu 6: Tính tích phân đường 2 2 2 2 2 2 C

I  yz dx zx dy xy dz, với C giao mặt phẳng xy z mặt cầu 2 4

x y z  ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz

Bài giải

Chọn S mặt phần mp xy z nằm mặt cầu x2y2z2 4 Áp dụng công thức Stoke:

 2  2  2

2 2

(2 2)dyd (2 2) (2 2)

C

S

I y z dx z x dy x y dz

y z z dxdz x dxdy

      

     

Pháp véc tơ đơn vị S: ( , , )

3 3

n

2

( 3) (1 3)

3 S S S

I   xy z dS    dS   dS

2 2

( , )

1 11

( ) (4 )

3

I

44

3

I 

  

Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai

S

I  zdxdy với S nửa mặt cầu x2y2z2 9, phần y  , phía ngồi (phía theo hướng trục Oy) 0

Bài giải Cách 1:

2

0 :

9 y D

x y

   

 

 

2

S D

I zdxdy x y dxdy 2 D

x y dxdy

    (chú ý pháp vecto mặt

ngoài nhé)

3

2 2

0

2 9 18

D

x y dxdy d r rdr



 

        

Cách 2: gọi S1 mặt bên trái hình trịn x2+z2<9 mặt phẳng (Oxz)

1

S S S S

I ydxdy ydxdy ydxdy



   

Trên S1 (y=0) :

1

0

S

dy ydxdy

Trên S+S1: dùng O-G:

1

3

1

( ) 18

2

S S V

I zdxdy dxdydz tt V  



     