ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 2 tại M(0,1) Câu 2:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 4 1 1 1 3 2 3 3 1 n n n n n ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 20122013 Bộ môn Toán Ứng Dụng MÔN THI : GIẢI TÍCH 2 ____________________________ NGÀY THI : 15062013 THỜI GIAN : 90 phút ______________ (Không sử dụng tài liệu) CA 1 Câu 1: Cho hàm ( , ) ln| 2 | x f x y y y e . Tính , 2 3 A f f B f f f x y xx yy xy tại M(0,1) Câu 2:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 4 1 1 1 3 2 3 3 1 n n n n n ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 20122013 Bộ môn Toán Ứng Dụng MÔN THI : GIẢI TÍCH 2 ____________________________ NGÀY THI : 15062013 THỜI GIAN : 90 phút ______________ (Không sử dụng tài liệu) CA 1 Câu 1: Cho hàm
Trường Đại học Bách khoa Tp.HCM ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ Bộ mơn Tốn Ứng dụng Mơn thi : GIẢI TÍCH - Ngày thi: 27/06/2015 - Thời gian: 90 phút CA Không sử dụng tài liệu Câu 1: Cho hàm f x, y , z arctan x y z xy x Tính df 0, 0,1 z Câu 2: Tính diện tích phần mặt phẳng x y z bị giới hạn mặt trụ y x mặt phẳng z Câu 3: Tính tích phân I xdxdy với miền D giới hạn x y , x y, x D 1 Câu 4: Tính tích phân I y xy z z dx xy x dy y xy dz với C giao tuyến 2 C mp x z mặt cầu x y z lấy hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía nửa dương trục Oz Câu 5: Khảo sát hội tụ chuỗi số Câu 6: Cho chuỗi lũy thừa: 1.3.5 2n 1 23n 2 n 1 1.4.7 n 1 3n 3n 1 x n Tìm BKHT tính tổng chuỗi x=0 2.4.6 2n n 1 y3 2 Câu 7: Cho tích phân I h x xy x y dx h x x y dy C Tìm hàm h(x) thỏa h(0)=1 cho tích phân tích phân không phụ thuộc đường với đường cong C Tính tích phân với hàm h(x) tìm câu C phần parabol y x từ A 0,1 đến B 1, 3 CHỦ NHIỆM BỘ MÔN DUYỆT Trường Đại học Bách khoa Tp.HCM ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ Bộ mơn Tốn Ứng dụng Mơn thi : GIẢI TÍCH - Ngày thi: 27/06/2015 - Thời gian: 90 phút CA Không sử dụng tài liệu Câu Cho f x, y x xy arctan y Tìm d grad f 1,1 (độ dài vector gradient) x Câu Tính tích phân I x y z dxdydz , miền giới hạn x y z 1, z x y 3x x3 Câu Tính tích phân đường I xy dx x y dy , với C phần đường parabol y y C y x2 , từ điểm 1,1 đến 1,1 Câu Tính tích phân I x y dx zx y dy x z dz , C giao tuyến mặt trụ C x2 y mặt paraboloid z x2 y , lấy chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc tọa độ 8n n Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số arctan n n 1 n 1 ! Câu Cho chuỗi lũy thừa 1 n 1 n 3n n x Tìm BKHT tính tổng chuỗi x n n.2 Câu Cho S phần mặt paraboloid z x y nằm mặt phẳng z x lấy hướng cho pháp vecto hướng với nửa dương trục Oz Tính tích phân I e x y z dydz y 3e x y z xz dxdz 2e x y z dydx S CHỦ NHIỆM BỘ MÔN DUYỆT Đáp án: CA Câu 1: df 2dx dy 2dz (2 đhr 0.5+0.5; dh thứ vp 0.5) Câu 2: S ds S S z x z y dxdy (0.5đ) = dx 2 Dxy 2 x 1 1 dy (0.5đ) 2 x2 7.794 (0.5đ) x 12 1 x Câu 3: I dx xdy (1.0đ) 34 11.33 (0.5đ) Câu 4: Có cách 2 x z cos t C1 C : (0.5đ) I sin t 2 cos t sin t dt (0.5đ) 2 4.44 (0.5đ) y sin t C2 Gọi S phần mp nằm hình cầu lấy pháp vecto hướng với nửa dương trục Oz (0.5đ) I y x 1 dxdy z y dzdx y x dydz (0.5đ) S I y x 1 z y y x ds (0.5đ) 2 4.44 (0.5đ) 2 S Câu 5: un 1 1.3.5 2n 1 2n 1 23n 1 32 n 1.1.4.7 3n 3n 1 2n 1 23 un 1 16 (0.5đ) lim n un n 3n 1 27 (0.5đ) lim Vậy chuỗi HT (0.5đ) Câu 6: R (0.5đ) Thiếu dấu ||, không cho điểm n 3n 1 Khi x=0: 1n n 1 2.4.6 2n Câu 7: h x e x (0.5đ) 3 1 (0.5đ) e (0.5đ) 3 n 1 n ! 1,3 y3 I d e x x y 12e 32.29 (0.5đ) 0,1 Đáp án: CA Câu : f x 1,1 34 (0.5), f y 1,1 (0.5) grad f 1,1 5, 3 grad f 1,1 (0.5đ) 2 2 Nếu đạo hàm, viết sai grad f(1,1) : 0.5đ 2 Câu 2: I d d sin cos sin sin cos sin d (1.0đ) 3 0 2 Hoặc I d r rdr r cos r sin z dz 1 r (1đ) 4 (0.5đ) (0.5đ) Lưu ý : sv sử dụng thêm tính đ/x cần tính 2z Câu 3: 3x x3 x x dx x x Cách 1: I x2 1 x2 2 xdx (1.0) 0.97 (0.5) Cách 2: C1 : y 1, x :1 1, D : 1 x 1,1 y x , C C1 Pdx Qdy 3x y x dxdy (0.5) D 36 1.03 (0.5) 35 3x 36 x3 36 34 I xy dx x y dy (2) 0.97 (0.5đ) 35 C1 y y 35 35 Nếu sai kết cuối kết phần : (1.5đ) Câu 4: Cách 1: Chọn S phần mặt phẳng z nằm trụ x2 y 1, lấy phía theo hướng trục Oz I xdydz xdzdx z y dxdy (0.5đ) S y dxdy 2 (0.5đ +0.5đ) x y 1 Cách 2: Chọn S mặt z x2 y nằm trụ x2 y 1, lấy phía theo hướng trục Oz, I xdydz xdzdx z y dxdy (0.5) S x x y 1 xy x y y dxdy 2 (0.5+0.5) Lưu ý: Ở cách 2, sv tính pháp vector chuyển qua mặt đúng, phần lại sai, trừ 0.5 Cách 3: C : x cos t , y sin t , z , t : 2 (0.5đ) 2 sin I t cos t sin t cos dt 2 (0.5+0.5) 8n b bn (0.5đ) n1 Câu 5: an ~ bn HT (0.5đ) Chuỗi HT (0.5đ) n 1! bn n2 Tính ln giới hạn (1đ) Câu 6: R (0.5đ) Thiếu dấu ||, không cho điểm n 1 n n 3n 1 n 1 1 (0.5đ) ln (0.5đ) n n n2 4 n n 1 n 1 n 1 Câu 7: Chọn S1 mp z x lấy phía dưới, V vật thể giới hạn z x2 y , z x G O I 1dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy (0.5đ) V I d S1 2cos r r 2r cos dr 5 7.854 (0.5đ) Trƣờng Đại học Bách khoa Tp.HCM Đề thi cuối học kỳ năm học 2015-2016 Bộ mơn Tốn Ứng dụng Mơn: Giải tích – CA Ngày thi: 25 tháng năm 2016 Thời gian thi: 90 phút ĐỀ THI KHÔNG SỬ DỤNG TÀI LIỆU Câu 1: Cho hàm số f x, y, z 2 x y z z Tìm đạo hàm hàm f theo hƣớng vecto u 0,1,1 điểm M 1,1, 2 Câu 2: Tính tích phân I 2 xy y dx 2xy x dy với C biên miền C D : x2 y 4x,0 y, x y lấy theo chiều kim đồng hồ Câu 3: Tính tích phân I V x2 y z dxdydz với V : x y z z, x y z ,0 x,0 y Câu 4: Tính tích phân I x3 yz dydz y xy dzdx z x dxdy với S mặt trụ S z y ; phần giới hạn mặt phẳng z 0, x 0,2 x z ; lấy phía dƣới Câu 5: Tính diện tích xung quanh vật thể giới hạn z 3n n 1 Câu 6: Khảo sát hội tụ chuỗi số n 2n Câu 7: Tìm bán kính hội tụ R chuỗi lũy thừa n1 chuỗi x x2 y , z x2 y n2 n 2 n2 n3 1n1 1.3.5 2n 1 xn 2n n ! tính tổng Chủ nhiệm Bộ mơn PGS.TS Nguyễn Đình Huy Trƣờng Đại học Bách khoa Tp.HCM Đề thi cuối học kỳ năm học 2015-2016 Bộ mơn Tốn Ứng dụng Mơn: Giải tích – CA Ngày thi: 25 tháng năm 2016 Thời gian thi: 90 phút ĐỀ THI KHÔNG SỬ DỤNG TÀI LIỆU Câu 1: Cho S phía mặt cầu x2 y z z Tính pháp vecto đơn vị mặt S 1 1 M , , 2 2 Câu 2: Tính tích phân I xydxdy với miền D giới hạn y 2 x, y x, y x x D Câu 3: Tính tích phân I e x y y sin x xy y dx cos x e x y x y dy với C nửa C đƣờng tròn x2 y 2x 0, y lấy ngƣợc chiều kim đồng hồ Câu 4: Cho S mặt trụ x2 y 2x phần nằm mặt phẳng z 0, z 1, lấy phía ngồi Tính tích phân I e z cos y x dydz y 1 dzdx z 1 dxdy S Câu 5: Dùng cơng thức Stokes để tính tích phân I z 1 dx 2x y dy y z dz C với C giao tuyến mặt z x y , z x y lấy theo ngƣợc chiều kim đồng hồ nhìn từ chiều dƣơng trục Oz xuống 3.6.9 3n ln 1 n n1 n 1! Câu 6: Khảo sát hội tụ chuỗi số Câu 7: Tính tổng chuỗi số 1 n1 n n 1 n 1! 2n Chủ nhiệm Bộ môn PGS.TS Nguyễn Đình Huy Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH HỌC KỲ 162 Ngày thi: 03-07-2017 Thời gian : 09 phút Giờ thi: CA Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Câu 1: Cho hàm f (x, y, z) = ln x3 + 3yz ∂f − (1, 1, 0) → u = (2, −2, 1) Tính df (1, 1, 0), → 2 x +y +z ∂− u Câu 2: Tính thể tích vật thể giới hạn z = 0, z = − x2 , y = 0, 2y + z = (1 − z)ds với S phần mặt cầu x = S√ √ mặt phẳng y = −x 3, x = y Câu 3: Tính tích phân I = − y − z nằm Câu 4: Dùng cơng thức Stokes để tính tích phân I = (z +2xy )dx+32xyzdy+(y +z x)dz C với C đường cong x + 2y = z z = 4y lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z dương Câu 5: Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n=3 n−2 n n(n−2) n+2 n+1 (n+2)(n+1) ∞ 2.5.8 (3n + 2) 22n−1 (n!) n=1 ∞ Câu 6: Tìm miền hội tụ D chuỗi lũy thừa (−1)n n=1 π x = 4n−1 + (2n)! n Sinh viên khơng sử dụng tài liệu Phó chủ nhiệm mơn TS.Nguyễn Bá Thi x2n tính tổng chuỗi ĐÁP ÁN Câu 1: fx (M ) = 2, fy (M ) = −1, fz (M ) = (1đ), df (M ) = 2dx − dy + 3dz (0.5đ) ∂f (1, 1, 0) = (0.5đ) − ∂→ u Phần tính đhr đh cho 0.5đ 2− z2 Câu 2: V = (1 − z)ds + S,z≥0 dϕ r √ =2 − π3 (1 − z)ds (0.5đ) − x2 − y Dxy π z 64 dz (0.5đ) = (0.5đ) S,z≤0 1− = −2 z=4−x2 ,z=0 2− dx dy (0.5đ) = dxdz Câu 3: I = 4−x2 2 4− x2 − y2 dxdy+ Dxy 1+ − x2 − y 2 − x2 − y dxdy dr (0.5đ) = 2π (0.5đ) − r2 Câu 4: Chọn S mp z = 4y phần nằm paraboloid, lấy phía trên, − n→ (0, −4, 1)(0.5đ) S = √ 17 −4 I= (32yz − 4xy) √ + (3z − z ) √ + (3y − 3z ).0 ds 17 17 S = [(32y.4y − 4xy) − 4(2.16y )] dxdy (0.5đ) = (0.5đ) x2 +2y ≤4y ∞ n(n−2) (n+2)(n+1) n+2 n−2 √ , lim n un = (0.5đ) < ⇒ HT (0.25đ) Câu 5: n n+1 e n=3 ∞ 2.5.8 (3n + 2) un+1 , lim = (0.5đ) < ⇒ HT (0.25đ) 22n−1 (n!) un n=1 Câu 6: R = → D = [−1, 1] (0.5đ) ∞ ∞ (−1)n−1 ∞ (−1)n 4n−1 (−1)n + (−2x)2n − (x2 )n (0.5đ) x2n = (2n)! n n n=1 n=1 n=1 4.(2n)! ∞ (−1)n−1 ∞ (−1)n = (−2x)2n − − (x2 )n = [cos(−2x) − 1]−ln(1+x2 )(0.5đ) n=0 (2n)! n n=1 π π π2 = cos − − ln + = − − ln + (0.5đ) 4 16 16 Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH HỌC KỲ 162 Ngày thi: 03-07-2017 Thời gian : 90 phút Giờ thi: CA Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Câu 1: Cho f (x, y, z) = earctan x+z y ∂f (2, 1, −1) ∂u u = (1, −1, 1) Tính Câu 2: Cho (L) đường gấp khúc ABC, AB cung y = − x2 , BC cung y = (x − 1)2 tọa độ điểm A(−1, 0), B(0, 1), C(1, 0) C Tính I = A cos2 ydx − (2xy + x sin 2y)dy theo đường cong (L) (x + 2z)dxdydz, với Ω miền giới hạn x2 + y + z ≤ Câu 3: Tính tích phân I = Ω 1, z ≥ −1 + x2 + y , y ≥ 2dydz +(y −2x−z)dxdy, với S phần mặt trụ z = 2x−x2 Câu 4: Tính tích phân I = S nằm hai mặt phẳng y = 3x, y = −2x mặt phẳng z = 0, lấy phía theo hướng trục Oz Câu 5: Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n 1.4.7 (3n (−1) Câu 6: Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa + 1) + ln n (2n)!!2n +∞ n2 + 4n2 − n (x − 2)n Câu 7: Tính tổng S chứng minh phân kỳ chuỗi số sau : Sinh viên không sử dụng tài liệu Phó chủ nhiệm mơn TS.Nguyễn Bá Thi ∞ (−1)n n(2n + 3) ĐÁP ÁN π e4 ∂f π Câu 1: ∇f (2, 1, −1) = (1, −1, 1) (0.5đ), ∇(M ), u = e (0.5đ) , (2, 1, −1) = 2 ∂u √ π e (0.5đ) Câu 2: Gọi C đường y = 0, x : → −1, C ∪ L biên âm miền phẳng D cos2 ydx − (2xy + x sin 2y)dy = − −2ydxdy (0.5đ) L∪C D I=− −2ydxdy − D −1 =− cos ydx − (2xy + x sin 2y)dy C dx 1−x2 2ydy + dx (1−x)2 2ydy − −1 x.1dx = 11 11 −0= 15 15 Mỗi tính 0.5đ Nếu kép sai chiều C, cho 0.5 Câu 3: I = π dϕ √ dr 1−r2 −1+r r(r cos ϕ + 2z)dz = π cận z : (0.5đ), cận : r, ϕ (0.5đ), đáp số : (0.5đ) Câu 4: Dxy : ≤ x ≤ 2, −2x ≤ y ≤ 3x (2, 0, y − 2x − 2x + x2 )(2x − 2, 0, 1)dxdy (0.5đ) I=− Dxy =− = (x2 + y − 4)dxdy Dxy 3x dx −2x (x2 =− + y − 4)dy (0.5đ) 80 (0.5đ) 3n + an+1 (0.5đ)= lim = (0.5đ) Kết luận hội tụ : (0.5đ) Nếu n→∞ 4(n + 1) n→∞ an thiếu trị tuyệt đối kết luận đúng, cho 0.5đ Câu 5: D = lim Câu 6: Bán kính hội tụ R = 4, (0.5đ) Hai cận phân kỳ theo Điều kiện cần Cauchy Cn (0.5đ) (−1)n ∞ (−1)n − (0.5đ) 3n 2n + ∞ (−1)n = − ln + 3 2n + 1 2π = − ln + arctan = − ln + − (1đ) 3 34 Câu 7: S = ∞ Điều chỉnh đáp án CA dxdy Câu : I = 4 − x2 − y Dxy Câu : = 4n−1 + x2n (2n)! n = +∞ (−1)n (2x)2n − 4(2n)! ∞ (−1)n−1 n (x ) n (cos 2x − 1) − ln(1 + x2 ) = +∞ n (−1) = 4π +∞ n (−1) 4n−1 + x2n (2n)! n = +∞ (−1)n (2x)2n + 4(2n)! ∞ (−x2 )n n (cos 2x − 1) − ln(1 + x2 ) Điều chỉnh đáp án CA Câu : I = − =− −1 dx D 1−x2 cos2 ydx − (2xy + x sin 2y)dy −2ydxdy − C 2ydy + Câu : S = − ln + 3 dx ∞ (1−x)2 2ydy − −1 (−1)n = − ln + 2n + 3 1dx = 41 11 +2= 15 15 arctan − + 2π = − ln + − 34 ... Tp.HCM Đề thi cuối học kỳ năm học 20 15 -20 16 Bộ mơn Tốn Ứng dụng Mơn: Giải tích – CA Ngày thi: 25 tháng năm 20 16 Thời gian thi: 90 phút ĐỀ THI KHÔNG SỬ DỤNG TÀI LIỆU Câu 1: Cho S phía mặt cầu x2 ... 2r cos dr 5 7.854 (0.5đ) Trƣờng Đại học Bách khoa Tp.HCM Đề thi cuối học kỳ năm học 20 15 -20 16 Bộ mơn Tốn Ứng dụng Mơn: Giải tích – CA Ngày thi: 25 tháng năm 20 16 Thời gian thi: ... 0.5đ 2 z2 Câu 2: V = (1 − z)ds + S,z≥0 dϕ r √ =2 − π3 (1 − z)ds (0.5đ) − x2 − y Dxy π z 64 dz (0.5đ) = (0.5đ) S,z≤0 1− = 2 z=4−x2 ,z=0 2 dx dy (0.5đ) = dxdz Câu 3: I = 4−x2 2 4− x2 − y2 dxdy+