Đề thi giữa Kỳ Giải Tích 2 Đại học Bách Khoa Hà Nội các năm gần đây giúp sinh viên có cái nhìn tổng quan nhất để chuẩn bị cho kỳ thi giữa kỳ học phần Giải Tích 2. Bám sát cấu trúc đề thi (20172,20182,20192)
BÁCH KHOA-ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI BÀI GIẢI THAM KHẢO GIẢI TÍCH II Đề thi kì 20163-20193 Người biên soạn: Phạm Thanh Tùng (Tự Động Hóa – ĐHBKHN) Hà Nội, Tháng năm 2021 TÀI LIỆU THAM KHẢO: − Bài giảng mơn Giải tích II, thầy Bùi Xuân Diệu − Bài tập giải sẵn Giải tích (Tóm tắt lý thuyết chọn lọc), thầy Trần Bình − Bài tập Tốn học cao cấp, tập hai: Giải tích, GS.TS Nguyễn Đình Trí (chủ biên), PGS.TS Trần Việt Dũng, PGS.TS Trần Xuân Hiền, PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo − Bộ đề cương Giải tích II, Viện Tốn ứng dụng Tin học − Bộ đề thi Giữa kì Cuối kì mơn Giải tích II Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội Tài liệu biên soạn dựa kinh nghiệm cá nhân, dù cố gắng với hạn chế định kiến thức, kĩ chắn tồn lỗi sai tính tốn, lỗi đánh máy, … chưa kiểm tra hết, ý kiến góp ý bạn đọc vui lịng gửi qua link fb “fb.com/tungg810” để kiểm tra, hoàn thiện tài liệu Xin chân thành cảm ơn! PHẦN I: ĐỀ THI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH – Học kì 20163 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị phải kí xác nhận số đề vào thi sinh viên Câu 1: (1đ) Viết phương trình tiếp diện pháp tuyến mặt cong 𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 𝑀(2; −1; 1) Câu 2: (1đ) Tìm hình bao họ đường thẳng 𝑦 = 2𝑐𝑥 − 𝑐 với 𝑐 tham số Câu 3: (1đ) Tìm điểm có độ cong lớn đường cong 𝑦 = ln 𝑥 Câu 4: (1đ) Đổi thứ tự lấy tích phân: 1 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 √2𝑥−𝑥 Câu 5: (2đ) Tính tích phân kép sau: 𝑎) ∬(3𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 miền giới hạn đường 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝐷 𝑏) ∬ 𝐷 𝑥2 𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 : ≤ 𝑥 + 𝑦 ≤ 2𝑥, 𝑦 ≥ 0} + 𝑦2 Câu 6: (1đ) Tính thể tích vật thể 𝑉 giới hạn mặt 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 𝑧 = 2𝑥 + 4𝑦 Câu 7: (2đ) Tính tích phân bội ba ∭𝑉 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 đó: a) 𝑉 giới hạn mặt 𝑧 = 0, 𝑧 = 𝑥 , 𝑦 = 2𝑥 𝑦 = + 𝑥 b) 𝑉 hình cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 2𝑦 Câu 8: (1đ) Tính tích phân +∞ ∫ 𝑒 −𝛼𝑥 − 𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 với 𝛼 ≥ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH – Học kì 20172 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị phải kí xác nhận số đề vào thi sinh viên Câu 1: (1đ) Viết phương trình tiếp diện pháp tuyến mặt cong ln(𝑥 + 3𝑦) − 3𝑧 = điểm 𝑀(1,0, −1) Câu 2: (1đ) Tìm hình bao họ đường cong 𝑐𝑥 − 2𝑦 − 𝑐 + = với 𝑐 tham số Câu 3: (1đ) Tính độ cong đường 𝑦 = ln(sin 𝑥) điểm ứng với 𝑥 = 𝜋/4 Câu 4: (2đ) Tính tích phân sau: 𝑎) ∬(𝑥 − 4𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 miền giới hạn 𝑦 = 𝑥, 𝑥 = 𝑦 = 𝐷 𝑏) ∬(𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 miền giới hạn 𝑦 = −3𝑥 + 1, 𝑦 = −3𝑥 + 2, 𝑦 = 𝑥 𝐷 𝑦 = 𝑥 + Câu 5: (1đ) Tính tích phân sau: 1 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑦5 𝑑𝑦 +1 √𝑥 Câu 6: (1đ) Tính thể tích vật thể 𝑉 giới hạn mặt 𝑧 = 𝑥 + 2𝑦 𝑧 = − 2𝑥 − 𝑦 Câu 7: (1đ) Tính tích phân bội ba ∭𝑉 (3𝑥𝑦 − 4𝑥𝑦𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 miền xác định ≤ 𝑦 ≤ 2, ≤ 𝑥𝑦 ≤ 2,0 ≤ 𝑧 ≤ Câu 8: (1đ) Tính tích phân bội ba ∭𝑉 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 miền giới hạn mặt 𝑦 = √𝑥 + 4𝑧 , 𝑦 = Câu 9: (1đ) Tính tích phân +∞ 2 𝑒 −𝑎𝑥 − 𝑒 −𝑏𝑥 ∫ 𝑑𝑥 với 𝑎, 𝑏 > 𝑥 VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH – Học kì 20172 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị phải kí xác nhận số đề vào thi sinh viên Câu 1: (1đ) Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường cong 𝑥 = sin2 𝑡 , 𝑦 = cos 𝑡 , 𝑧 = sin 𝑡 + điểm 𝑀(1; −2√3; 2) Câu 2: (1đ) Tìm hình bao họ đường thẳng 3𝑐𝑥 − 𝑦 − 𝑐 = 0, với 𝑐 tham số Câu 3: (1đ) Tính độ cong đường cong 𝑥 = sin 𝑡 + 𝑡 cos 𝑡 , 𝑦 = cos 𝑡 + 𝑡 sin 𝑡 điểm ứng với 𝑡 = 𝜋 Câu 4: (2đ) Tính tích phân kép sau: a) ∬ 2𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 miền giới hạn 𝑦 = 𝑥 𝑦 = − 𝑥 𝐷 b) ∬ 𝑦√𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 , vớ𝑖 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 : 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑦} 𝐷 Câu 5: (1đ) Tính thể tích vật thể 𝑉 giới hạn mặt 𝑥 = 9𝑦 + 𝑧 𝑥 = Câu 6: (1đ) Tính tích phân sau: 1 ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑦𝑒 𝑦𝑧 𝑑𝑧 0 𝑥2 Câu 7: (1đ) Tính ∬𝐷 (4𝑥𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷: ≤ 𝑥𝑦 ≤ 4, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 9𝑥 Câu 8: (1đ) : Tính tích phân bội ba ∭𝑉 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 miền xác định 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 𝑧, 𝑧 ≤ √𝑥 + 𝑦 Câu 9: (1đ) Tính tích phân +∞ 3 𝑒 −𝑎𝑥 − 𝑒 −𝑏𝑥 ∫ 𝑑𝑥 với 𝑎, 𝑏 > 𝑥 VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH – Học kì 20173 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị phải kí xác nhận số đề vào thi sinh viên Câu 1: (1đ) Tính độ cong 𝑡 = đường { 𝑥 = 𝑒 −𝑡 − sin 𝑡 𝑦 = 𝑒 −𝑡 − cos 𝑡 Câu 2: (1đ) Lập phương trình pháp tuyến tiếp diện 𝐴(1,1,0) mặt 𝑧 = ln(3𝑥 − 2𝑦) Câu 3: (1đ) Cho hàm vecto 𝑝⃗(𝑡) = (sin 2𝑡 , cos 2𝑡 , 𝑒 −𝑡 ) 𝑟⃗(𝑡) = (𝑡 + 1)𝑝⃗(𝑡) Tính ⃗⃗⃗⃗ 𝑟 ′ (0) 2−𝑥2 Câu 4: (1đ) Đổi thứ tự lấy tích phân 𝐼 = ∫−1 𝑑𝑥 ∫−𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 Câu 5: (1đ) Tính ∬𝐷 (3𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 giới hạn bởi: 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = Câu 6: (1đ) Tính ∬𝐷 (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 2𝑦 − 1)2 𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 giới hạn 𝑥 + 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 3, 𝑥 − 2𝑦 = 1, 𝑥 − 2𝑦 = Câu 7: (1đ) Tính ∭𝑉 𝑧√𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 giới hạn 𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑧 = 0, 𝑧 = Câu 8: (1đ) Tính thể tích vật thể 𝑉 giới hạn 𝑥 = √𝑦 + 𝑧 , 𝑥 = √1 − 𝑥 − 𝑦 Câu 9: (1đ) Tính ∭ 𝑉 3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + Với 𝑉 nửa khối cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1, 𝑧 ≥ Câu 10: (1đ) Tìm giới hạn cos 𝑦 lim ∫ 𝑦→0 sin 𝑦 arctan(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2 VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH – Học kì 20182 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị phải kí xác nhận số đề vào thi sinh viên Câu 1: (1đ) Viết phương trình tiếp diện pháp tuyến mặt cong 𝑥 + 𝑦 − 𝑒 𝑧 − 2𝑦𝑥𝑧 = điểm 𝑀(1,0,0) Câu 2: (1đ) Tìm hình bao họ đường cong sau: (𝑥 + 𝐶)2 + (𝑦 − 2𝐶)2 = Câu 3: (1đ) Tính tích phân kép ∬𝐷 (𝑥 − 4𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 giới hạn parabol 𝑦 = 𝑥 − trục 𝑂𝑥 Câu 4: (1đ) Tính tích phân lặp: ∫ 𝑑𝑥 ∫ 1 − cos 𝜋𝑦 𝑑𝑦 𝑦2 √𝑥−1 Câu 5: (1đ) Tính diện tích phần hình trịn 𝑥 + 𝑦 = 2𝑦 nằm ngồi đường trịn 𝑥 + 𝑦 = Câu 6: (3đ) Tính tích phân bội ba sau: 𝑎) ∭(3𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , miền 𝑉 xác định ≤ 𝑥 ≤ 1, ≤ 𝑦 ≤ 𝑥, ≤ 𝑧 ≤ 𝑥 𝑉 𝑏) ∭(𝑥 − 𝑦 + 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 giới hạn mặt 𝑉 𝑥 − 𝑦 = 0, 𝑥 − 𝑦 = 2, 𝑥 + 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑧 = 0, 𝑧 = 𝑐) ∭ 𝑉 𝑦2 √4𝑧 − 𝑥2 − 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , V miền xác định 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 4𝑧, 𝑦 ≥ Câu 7: (1đ) Tính độ cong điểm 𝑀(−1,0, −1) đường cong giao mặt trụ 4𝑥 + 𝑦 = mặt phẳng 𝑥 − 3𝑧 = +∞ −𝑥 1−cos(𝑥𝑦) 𝑒 𝑑𝑥 𝑥 Câu 8: (1đ) Chứng minh hàm số 𝐼(𝑦) = ∫0 khả vi 𝑅 VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH – Học kì 20182 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị phải kí xác nhận số đề vào thi sinh viên Câu 1: (1đ) Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường cong 𝑥 = sin 𝑡 , 𝑦 = cos 𝑡 , 𝑧 = 𝑒 2𝑡 điểm 𝑀(0,1,1) Câu 2: (1đ) Tính độ cong đường 𝑥 = 𝑡 , 𝑦 = 𝑡 ln 𝑡 , 𝑡 > điểm ứng với 𝑡 = 𝑒 Câu 3: (1đ) Đổi thứ tự lấy tích phân 1 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑥3 Câu 4: (2đ) Tính tích phân sau: 𝑎) ∬ √𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷: ≤ 𝑥 + 𝑦 ≤ 4, 𝑥 + 𝑦 ≥ 𝐷 𝜋 𝜋 𝑏) ∬|cos(𝑥 + 𝑦)|𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 = [0; ] × [0; ] 2 𝐷 Câu 5: (1đ) Tính tích phân: 1−𝑥 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑧 ∫(𝑦 + 𝑧)𝑑𝑦 0 Câu 6: (1đ) Tính thể tích miền giới hạn hai parabol 𝑥 = + 𝑦 + 𝑧 𝑥 = 2(𝑦 + 𝑧 ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗: 𝑅 → 𝑅 \{0 ⃗⃗} Ký hiệu |𝑟⃗(𝑡)| độ dài 𝑟⃗(𝑡) Chứng Câu 7: (1đ) Cho hàm vecto khả vi 𝑟(𝑡) minh: 𝑑(|𝑟⃗(𝑡)|) = 𝑟⃗(𝑡) ⃗⃗⃗⃗ 𝑟 ′ (𝑡) |𝑟⃗(𝑡)| 𝑑𝑡 Câu 8: (1đ) Tính tích phân ∭𝑉 (2𝑦 − 𝑧)2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 hình cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ +∞ −𝑥 sin(𝑥𝑦) 𝑒 𝑑𝑥 𝑥 Câu 9: (1đ) Chứng minh hàm số 𝐼(𝑦) = ∫0 khả vi 𝑅 VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH – Học kì 20183 Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị phải kí xác nhận số đề vào thi sinh viên Câu 1: (1đ) Tìm hình bao họ đường thẳng 𝑥 − 𝑐𝑦 + 𝑐 = Câu 2: (1đ) Viết phương trình tiếp diện pháp tuyến điểm 𝐴(1; 0; 1) mặt 𝑧 = 𝑥𝑒 sin 2𝑦 Câu 3: (1đ) Đổi thứ tự lấy tích phân: 𝑥2 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 −𝑥 Câu 4: (1đ) Tính ∬𝐷 sin(𝑥 + 2𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦, với 𝐷 miền: 𝑥 + 2𝑦 ≤ 𝜋 , 𝑦≥0 Câu 5: (1đ) Tính ∭ 𝑉 𝑥+𝑦+2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (𝑥 + 1)(𝑦 + 1)𝑧 Với 𝑉 xác định ≤ 𝑥 ≤ 1, ≤ 𝑦 ≤ 2, ≤ 𝑧 ≤ 𝑒 Câu 6: (1đ) Tính thể tích miền 𝑉 giới hạn mặt 𝑥 = −(𝑦 + 𝑧 ) 𝑥 = −1 cos 𝑦 Câu 7: (1đ) Tìm giới hạn lim ∫sin 𝑦 arctan(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 𝑦→0 Câu 8: (1đ) Tìm điểm có độ cong nhỏ đường 𝑥 + 4𝑦 = 4𝑥 Câu 9: (1đ) Tính ∭ (𝑦 + 1)2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + Với 𝑉 xác định 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 𝑦 ln(1+𝑥𝑦) Câu 10: (1đ) Cho hàm số 𝐼(𝑦) = ∫0 1+𝑥 𝑑𝑥 Tính 𝐼 ′ (1) 2𝜋 2𝜋 1 = ∫ 𝑑𝜑 ∫(1 + 𝑟 sin 𝜑)2 𝑟𝑑𝑟 + 𝜋 12 = ∫ ( + sin 𝜑 + sin2 𝜑) 𝑑𝜑 + 3𝜋 0 2𝜋 𝜋 11 = ( + ) + 3𝜋 = 𝜋 Câu 9: Tính ∭𝑉 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 với 𝑉 xác định 𝑥 + 𝑦 ≤ 1, 𝑦 + 𝑧 ≤ 4, 𝑧≥0 Giải: Hình chiếu 𝑉 lên 𝑂𝑥𝑦 𝐷: 𝑥 + 𝑦 ≤ Miền 𝑉: { ≤ 𝑧 ≤ √4 − 𝑦 𝐷: 𝑥 + 𝑦 ≤ √4−𝑦2 ⇒ 𝐼 = ∭ 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 ∫ 𝑉 𝐷 𝑧𝑑𝑧 = ∬(4 − 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 0≤𝑟≤1 Đặt { 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 , 𝐽 = 𝑟 ⇒ 𝐷: { ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 2𝜋 2𝜋 1 1 15𝜋 15𝜋 ⇒ 𝐼 = ∫ 𝑑𝜑 ∫[4 − (𝑟 sin 𝜑)2 ] 𝑟𝑑𝑟 = ∫ [2 − (sin 𝜑)2 ] 𝑑𝜑 = = 2 4 0 Hình vẽ minh họa PHAM THANH TUNG Câu 10: Tính tích phân bội ba ∭𝑉 𝑦 𝑒 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, 𝑉: ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 1, ≤ 𝑧 ≤ 𝑥𝑦 + Giải: 0≤𝑥≤𝑦 0≤𝑥≤1 Miền 𝑉: { 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ ⇔ { ≤ 𝑦 ≤ (Đổi thứ tự lấy tích phân 𝑥 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑥𝑦 + ≤ 𝑧 ≤ 𝑥𝑦 + 𝑦 𝑥𝑦+2 𝑦 ⇒ 𝐼 = ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑦 𝑒 𝑧 𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑦 (𝑒 𝑥𝑦+2 − 𝑒)𝑑𝑥 0 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 ∫ 𝑦 (𝑒 𝑥𝑦+2 − 1)𝑑𝑥 = ∫ 𝑦 𝑒 𝑥𝑦+2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 𝑦𝑒 𝑥𝑦+2 𝑑(𝑥𝑦 + 2) − 𝑒 𝑦 0 𝑦 = 𝑦𝑒 𝑥𝑦+2 − 𝑒 𝑦 = 𝑦𝑒 𝑦 | +2 − 𝑒 𝑦 − 𝑒 𝑦 𝑦 ⇒ ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑦 (𝑒 𝑥𝑦+2 − 1)𝑑𝑥 = ∫(𝑦𝑒 0 = 𝑦 +2 𝑒2 𝑒 − 𝑒 𝑦 − 𝑦 )𝑑𝑦 = ∫ 𝑒 𝑦 +2 𝑑(𝑦 ) − − 2 𝑒 𝑒 − 𝑒2 − PHAM THANH TUNG LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ THI GIỮA KÌ 20192 (ĐỀ 3) Câu 1: Viết phương trình tiếp diện pháp tuyến đường cong 𝑥 = 2(𝑡 − sin 𝑡) 𝜋 { 𝑡 = 𝑦 = 2(1 − cos 𝑡) Giải: { 𝑥 = 2(𝑡 − sin 𝑡) 𝑥 ′ (𝑡) = − cos 𝑡 ⇒{ 𝑦 = 2(1 − cos 𝑡) 𝑦 ′ (𝑡) = sin 𝑡 𝜋 𝜋 𝑥 ′ ( ) = 2, 𝑥 ( ) = 𝜋 − 𝜋 2 Tại 𝑡 = ⇒ { 𝜋 𝜋 𝑦 ′ ( ) = 2, 𝑦 ( ) = 2 𝑥−𝜋+2 𝑦−2 phương trình tiếp tuyến: = ⇔𝑦 =𝑥−𝜋+4 𝜋 2 Tại 𝑡 = ⇒ { 𝑥−𝜋+2 𝑦−2 phương trình pháp tuyến: =− ⇔𝑦 = 𝜋−𝑥 2 Câu 2: Tính độ cong đường cong 𝑦 = 𝑒 2𝑥 𝐴(0,1) Giải: 𝑦 = 𝑒 2𝑥 ⇒ 𝑦 ′ (𝑥) = 2𝑒 2𝑥 , 𝑦 ′′ (𝑥) = 4𝑒 2𝑥 Tại 𝐴(0,1) ⇒ 𝑦 ′ (0) = 2, 𝑦 ′′ (0) = Độ cong đường cong điểm 𝐴(0,1) là: 𝐶(𝐴) = |𝑦 ′′ (0)| = (1 + 𝑦 ′ (0)2 )2 5√5 Câu 3: Tìm hình bao họ đường cong 𝑦 = 4𝑐𝑥 + 𝑐 , với c tham số Giải: Đặt 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑐) = 𝑦 − 4𝑐𝑥 − 𝑐 𝐹𝑥′ = Xét { ′ ⇔ {−12𝑐𝑥 = ⇒ Vơ nghiệm ⇒ Họ đường cong khơng có điểm kì dị 𝐹𝑦 = 1=0 Xét { 𝐹=0 𝑦 − 4𝑐𝑥 − 𝑐 = ⇔ { ⇔ {𝑦 − 4𝑐𝑥 − 𝑐 = ′ 3 𝐹𝑐 = −𝑥 = 𝑐 −4𝑥 − 4𝑐 = PHAM THANH TUNG ⇒ 𝑦 − 4(−𝑥)𝑥 — 𝑥4 = ⇔ 𝑦 + 4𝑥 − 𝑥 = Vậy hình bao họ đường cong 𝑦 = −3𝑥 Câu 4: Đổi thứ tự lấy tích phân √2−𝑦 ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 √𝑦 Giải: 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ √2 − 𝑦 Miền lấy tích phân (𝐷): {√ 0≤𝑦≤1 Đổi thứ tự lấy tích phân, chia miền (𝐷) thành phần: (𝐷1 ): { 0≤𝑥≤1 ≤ 𝑥 ≤ √2 (𝐷2 ): { 0≤𝑦≤𝑥 ≤ 𝑦 ≤ √2 − 𝑥 𝑥2 √2 √2−𝑥2 ⇒ 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + ∫ 𝑑𝑥 ∫ 0 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 PHAM THANH TUNG Câu 5: Tính ∬𝐷 4𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦, với 𝐷 miền xác định bởi: 𝑥 + 𝑦 ≤ 1, 𝑥+𝑦 ≥1 Giải: Miền 𝐷: {1 − 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ √1 − 𝑥 0≤𝑥≤1 √1−𝑥 ∬ 4𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝐷 4𝑦𝑑𝑦 = ∫ (2𝑥 | 1−𝑥 √1 − 𝑥 ) 𝑑𝑥 1−𝑥 = ∫[(1 − 𝑥 ) − (1 − 𝑥)2 ]𝑑𝑥 = Câu 6: Tính thể tích miền 𝑉 giới hạn mặt 𝑂𝑥𝑦 mặt 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 − Giải: Miền (𝑉): 𝑥 + 𝑦 − ≤ 𝑧 ≤ Hình chiếu (𝑉) lên 𝑂𝑥𝑦 là: (𝐷): 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 0≤𝑟≤2 Đặt { 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 𝐽 = 𝑟 Miền (𝐷): { ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 0≤𝑟≤2 Miền (𝑉) tọa độ trụ là: (𝑉): { ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 𝑟2 − ≤ 𝑧 ≤ Thể tích miền 𝑉 là: 2𝜋 2𝜋 𝑉(𝑉) = ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑑𝑟 ∫ 𝑟𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟(−𝑟 + 4)𝑑𝑟 = 8𝜋 (đvtt) 𝑉 0 𝑟 −4 0 PHAM THANH TUNG Câu 7: Tính ∭ √𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 2 Với 𝑉 xác định 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1, √3(𝑥 + 𝑦 ) ≤ 𝑧 Giải: Miền 𝑉: √3(𝑥 + 𝑦 ) ≤ 𝑧 ≤ √1 − (𝑥 + 𝑦 ) 𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑 Đặt { 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑 |𝐽| = 𝑟 sin 𝜃 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 0≤𝑟≤1 Miền (𝑉): {0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/6 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 2𝜋 𝜋 ∭ √𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑑𝜃 ∫ 𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑟 = 𝑉 0 − √3 𝜋 Câu 8: Tính ∭𝑉 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, với 𝑉 xác định 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 6, 𝑧 ≥ 𝑥 + 𝑦 Giải: Miền (𝑉) xác định { 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 𝑧 ≥ 𝑥2 + 𝑦2 Hình chiếu (𝑉) lên 𝑂𝑥𝑦 là: (𝐷): 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 Đặt { 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 𝐽 = 𝑟 ⇒ Miền 𝑧=𝑧 ≤ 𝑟 ≤ √2 (𝑉): { ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ √6 − 𝑟 2𝜋 √2 √6−𝑟 ∭ 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑑𝑟 ∫ 𝑉 0 𝑟2 2𝜋 √2 0 11 𝑧 𝑟𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ (6 − 𝑟 − 𝑟 ) 𝑟𝑑𝑟 = 𝜋 PHAM THANH TUNG Câu 9: Tính diện tích miền giới hạn (𝑥 + 𝑦 )2 = 4𝑥𝑦 Giải: Miền (𝐷) giới hạn (𝑥 + 𝑦 )2 = 4𝑥𝑦 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 Đặt { 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 𝐽 = 𝑟 ⇒ Miền (𝐷) giới hạn đường 𝑟 = √2 sin 2𝜑 sin 𝜑 ≥ { cos 𝜑 ≥ 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋/2 Ta có: sin 2𝜑 ≥ ⇔ sin 𝜑 cos 𝜑 ≥ ⇔ [ ⇔[ sin 𝜑 ≤ 𝜋 ≤ 𝜑 ≤ 3𝜋/2 { cos 𝜑 ≤ ⇒ Miền (𝐷) chia thành phần (𝐷1 ): { 𝜋 𝐷1 ∫ 3𝜋 𝑟𝑑𝑟 = 𝜋 ∫ ∫ sin 2𝜑 𝑑𝜑 = 3𝜋 √2 sin 2𝜑 𝑆(𝐷2) = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝜑 𝐷2 𝜋 √2 sin 2𝜑 𝑆(𝐷1) = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝜑 ≤ 𝑟 ≤ √2 sin 2𝜑 ≤ 𝑟 ≤ √2 sin 2𝜑 (𝐷2 ): { ≤ 𝜑 ≤ 𝜋/2 𝜋 ≤ 𝜑 ≤ 3𝜋/2 𝑟𝑑𝑟 = ∫ sin 2𝜑 𝑑𝜑 = 𝜋 ⇒ 𝑆(𝐷) = 𝑆(𝐷1) + 𝑆(𝐷2) = PHAM THANH TUNG Câu 10: Cho hàm số 𝐼(𝑦) = ∫𝑦 sin(𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 )𝑑𝑥 Tính 𝐼 ′ (0) Giải: Đặt 𝑓(𝑥, 𝑦) = sin(𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 ) ⇒ 𝑓𝑦′ = (𝑥 + 2𝑦) cos(𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 ) 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục, khả vi [−1,1] × [−1,1] Ta có: {𝑎(𝑦) = 𝑦, 𝑏(𝑦) = liên tục, khả vi [−1,1] ⇒ Hàm 𝐼(𝑦) khả vi [−1,1] 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) liên tục [−1,1] × [−1,1] 𝑏(𝑦) 𝐼 ′ (𝑦) = 𝑓(𝑏(𝑦), 𝑦) 𝑏𝑦′ (𝑦) − 𝑓(𝑎(𝑦), 𝑦) 𝑎𝑦′ (𝑦) + ∫ 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑎(𝑦) ⇒ 𝐼 ′ (𝑦) = 𝑓(1, 𝑦) − 𝑓(𝑦, 𝑦) + ∫(𝑥 + 2𝑦) cos(𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 ) 𝑑𝑥 𝑦 ⇒𝐼 ′ (0) = 𝑓(1,0) − 𝑓(0,0) + ∫ 𝑥 cos(𝑥 2) sin 𝑑𝑥 = ∫ cos(𝑥 ) 𝑑(𝑥 ) = 2 PHAM THANH TUNG LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ GIỮA KÌ 20193 (ĐỀ 1) Câu 1: Xác định độ cong đường cong 𝑥 = √4𝑦 + điểm (3,1) Giải: 𝑥 = √4𝑦 + ⇔ √4𝑦 = 𝑥 − ⇔ 𝑦 = ⇒ 𝑦 ′ (𝑥) = (𝑥 − 1)2 (𝑥 ≥ 1) 𝑥 − ′′ , 𝑦 (𝑥) = 2 Tại (3,1) ⇒ 𝑦 ′ = 1, 𝑦 ′′ = Độ cong đường cong (3,1) là: 𝐶(3,1) = |𝑦′′| (1 + 𝑦′2 )2 = √2 Câu 2: Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt cong 𝑦 = 3(𝑥 + 𝑧 ) điểm (√2, 3,1) Giải: 𝐹𝑥′ = −6𝑥 Đặt 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 − 3(𝑥 + 𝑧 ) ⇒ { 𝐹𝑦′ = 2𝑦 𝐹𝑧′ = −6𝑧 Tại (√2, 3,1), ta có: 𝐹𝑥′ = −6√2, 𝐹𝑦′ = 6, 𝐹𝑧′ = −6 Phương trình pháp tuyến mặt cong (√2, 3,1) là: 𝑥 − √2 −6√2 = 𝑦−3 𝑧−1 𝑥 − √2 𝑦 − 𝑧 − = ⇔ = = −6 −1 −√2 Phương trình tiếp diện mặt cong (√2, 3,1) là: −6√2(𝑥 − √2) + 6(𝑦 − 3) − 6(𝑧 − 1) = ⇔ −√2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = Câu 3: Tìm hình bao họ đường cong: 𝑦 = (2𝑥 + 3𝑐)4 Giải: Đặt 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑐) = 𝑦 − (2𝑥 + 3𝑐)4 PHAM THANH TUNG Xét { 𝐹𝑥′ (𝑥, 𝑦, 𝑐) = ⇔ {−8(2𝑥 + 3𝑐) = ⇒ Vô nghiệm ′ (𝑥, 𝐹𝑦 𝑦, 𝑐) = 1=0 ⇒ Họ đường cong khơng có điểm kì dị 𝑦 = (2𝑥 + 3𝑐)4 3.2 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑐) = 𝑦 = (2𝑥 + 3𝑐)4 Xét { ′ ⇔{ ⇔ { −2 ⇒ 𝑦 = (2𝑥 − 𝑥) = 𝐹𝑐 (𝑥, 𝑦, 𝑐) = −12(2𝑥 + 3𝑐)3 = 𝑥=𝑐 Vậy hình bao họ đường cong đường 𝑦 = 𝐂â𝐮 𝟒: Tính ∬ √𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 , với D miền phía parabol 𝑦 = 𝑥 nằm phía 𝐷 đường trịn 𝑥 + 𝑦 = Giải: 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 Đặt { 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 |𝐽| = 𝑟 Chia 𝐷 thành hai miền: sin 𝜑 ≤ 𝑟 ≤ √2 (cos 𝜑)2 𝐷1 : 𝐷2 : {𝜋 3𝜋 𝜋 3𝜋 ≤𝜑≤ 4 {𝜑 ∈ [0; ] ∪ [ ; 𝜋] 0≤𝑟≤ PHAM THANH TUNG sin 𝜑 (cos 𝜑)2 𝜋 ⇒ ∬ √𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝐷 𝜋 𝑟 𝑟𝑑𝑟 + ∫ 𝑑𝜑 ∫ 3𝜋 𝜋 sin 𝜑 (cos 𝜑)2 3𝜋 √2 𝑟 𝑟𝑑𝑟 + ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟 𝑟𝑑𝑟 𝜋 𝜋 (sin 𝜑)3 (sin 𝜑)3 √2𝜋 = ∫ 𝑑𝜑 + ∫ 𝑑𝜑 + 6 (cos 𝜑) (cos 𝜑) 3𝜋 𝜋 𝜋 −1 (sin 𝜑)2 (sin 𝜑)2 √2𝜋 = ∫ 𝑑(cos 𝜑) − ∫ 𝑑(cos 𝜑) + (cos 𝜑)6 3 (cos 𝜑)6 3𝜋 √2 −1 −1 − 𝑢2 1 − 𝑢2 √2𝜋 + 4√2 √2𝜋 = ∫ 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢 + = + 𝑢6 𝑢6 45 − √2 𝐂â𝐮 𝟓: Tính ∭ √6𝑦 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 với 𝑉: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 6𝑦 𝑉 Giải: Miền 𝑉: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 6𝑦 ⇔ 𝑥 + (𝑦 − 3)2 + 𝑧 ≤ 𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑 Đặt {𝑦 = + 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑 , 𝐽 = −𝑟 sin 𝜃 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 0≤𝑟≤3 Miền 𝑉 tọa độ cầu suy rộng 𝑉: { ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 ⇒ 𝐼 = ∭ √9 − 𝑥 − (𝑦 − 6𝑦 + 9) − 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 = ∭ √9 − [𝑥 + (𝑦 − 3)2 + 𝑧 ]𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 PHAM THANH TUNG 2𝜋 𝜋 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑑𝜃 ∫ √9 − 𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑟 0 Đặt 𝑟 = sin 𝑡 ⇒ 𝑑𝑟 = cos 𝑡 𝑑𝑡 𝑟 𝜋 𝑡 𝜋 0 𝜋 ⇒ ∫ √9 − 𝑟 𝑟 𝑑𝑟 = ∫ √9 − 9(sin 𝑡)2 9(sin 𝑡)2 cos 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ cos 𝑡 9(sin 𝑡)2 cos 𝑡 𝑑𝑡 0 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 sin 2𝑡 81 81 − cos 4𝑡 81𝜋 ) 𝑑𝑡 = = 81 ∫(sin 𝑡 cos 𝑡)2 𝑑𝑡 = 81 ∫ ( ∫(sin 2𝑡)2 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = 4 16 0 2𝜋 0 𝜋 81𝜋 81 ⇒𝐼= ∫ 𝑑𝜑 ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 = 𝜋 16 0 Câu 6: Tính diện tích miền giới hạn hai đường cong 𝑦 = 𝑥 𝑥 = 𝑦 Giải: Miền 𝐷: { 0≤𝑥≤1 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ √𝑥 Diện tích miền 𝐷 là: √𝑥 𝑆 = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 = ∫(√𝑥 − 𝑥 )𝑑𝑥 = 𝐷 𝑥2 (đvdt) PHAM THANH TUNG Câu 7: Tính thể tích miền giới hạn mặt cong 𝑥 = 𝑦 + 𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = nằm phần khơng gian có 𝑥 khơng âm Giải: Xét giao tuyến hai mặt 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2, 𝑥 = 𝑦 + 𝑧 ⇒ (𝑦 + 𝑧 ) + (𝑦 + 𝑧 )2 = ⇒ 𝑦 + 𝑧 = Hình chiếu 𝑉 lên 𝑂𝑦𝑧 𝐷: 𝑦 + 𝑧 ≤ 𝑦 = 𝑟 cos 𝜑 Đặt { 𝑧 = 𝑟 sin 𝜑 , 𝐽 = 𝑟 𝑥=𝑥 Miền 𝑉: { 𝑦 + 𝑧 ≤ 𝑥 ≤ √2 − (𝑦 + 𝑧 ) 𝐷: 𝑦 + 𝑧 ≤ 𝑟 ≤ 𝑥 ≤ √2 − 𝑟 ⇒ Miền 𝑉 tọa độ trụ 𝑉: { 0≤𝑟≤1 𝐷: { ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 Thể tích miền 𝑉 là: 2𝜋 √2−𝑟 𝑉 = ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑑𝑟 ∫ 𝑉 0 𝑟2 2𝜋 𝑟𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟 (√2 − 𝑟 − 𝑟 ) 𝑑𝑟 0 1 −7 + 8√2 ∫ 𝑟 (√2 − 𝑟 − 𝑟 ) 𝑑𝑟 = ∫ 𝑟√2 − 𝑟 𝑑𝑟 − ∫ 𝑟 𝑑𝑟 = ∫ √2 − 𝑟 𝑑(𝑟 ) − = 12 0 2𝜋 ⇒ 𝑉 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟 (√2 − 𝑟 − 𝑟 ) 𝑑𝑟 = 0 0 −7 + 8√2 𝜋 (đvtt) Câu 8: Tính diện tích mặt cong 𝑧 = 2𝑥 − 2𝑦 nằm hình trụ 𝑥 + 𝑦 = Giải: Hình chiếu phần mặt 2𝑥 − 2𝑦 nằm mặt trụ 𝑥 + 𝑦 = lên 𝑂𝑥𝑦 là: 𝐷: 𝑥 + 𝑦 ≤ Ta có: 𝑧𝑥′ = 4𝑥, 𝑧𝑦′ = 4𝑦 Diện tích cần tính là: PHAM THANH TUNG 𝑆 = ∬ √1 + (𝑧𝑥′ )2 + (𝑧𝑦′ ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ √1 + 16𝑥 + 16𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 𝐷 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 0≤𝑟≤1 Đặt { 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 , 𝐽 = 𝑟 ⇒ 𝐷: { ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 2𝜋 2𝜋 ⇒ 𝑆 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ √1 + 16𝑟 𝑟𝑑𝑟 2𝜋 1 1 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ √1 + 16𝑟 𝑑(𝑟 ) = ∫ 𝑑𝜑 ∫ √1 + 16𝑢𝑑𝑢 2 0 0 (17√17 − 1)𝜋 1 (đvdt) = 2𝜋 (17√17 − ) = 24 24 𝐂â𝐮 𝟗: Tính lim ∫(𝑥 + 3𝑦)√𝑥 + 𝑦 + 1𝑑𝑥 𝑦→0 Giải: Ta có: (𝑥 + 3𝑦)√𝑥 + 𝑦 + liên tục miền [0,1] × [−1,1] ⇒ 𝐼(𝑦) = ∫(𝑥 + 3𝑦)√𝑥 + 𝑦 + 1𝑑𝑥 liên tục [−1,1] chứa 𝑦 = 0 ⇒ 𝐼(𝑦) = ∫(𝑥 + 3𝑦)√𝑥 + 𝑦 + 1𝑑𝑥 liên tục 𝑦 = 0 1 1 −1 + 2√2 lim ∫(𝑥 + 3𝑦)√𝑥 + 𝑦 + 1𝑑𝑥 = 𝐼(0) = ∫ 𝑥√𝑥 + 1𝑑𝑥 = ∫ √𝑥 + 1𝑑(𝑥 ) = 𝑦→0 0 Câu 10: Khảo sát tính liên tục khả vi hàm số: 𝑔(𝑦) = ∫ 𝑑𝑥 𝑥2 + 𝑦2 Giải: Đặt 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 *Khảo sát tính liên tục: PHAM THANH TUNG Xét hàm số 𝑔(𝑦) 𝑦 ≠ 𝑔(𝑦) = ∫ 𝑑𝑥 𝑥 1 = arctan | = arctan 2 𝑥 +𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 Xét hàm số 𝑔(𝑦) 𝑦 = 𝑔(0) = ∫ 𝑑𝑥 −1 = | = −∞ 𝑥2 𝑥 ⇒ 𝑔(𝑦) không xác định 𝑦 = Vậy hàm số 𝑔(𝑦) liên tục với 𝑦 ≠ *Khảo sát tính khả vi: Xét hàm số 𝑔(𝑦) 𝑦 ≠ Vớ𝑖 𝑦 ∈ 𝑅\{0}, 𝑓(𝑥, 𝑦) hàm số liên tục [0; 1] −2𝑦 { ′ 𝑓𝑦 = hàm số liên tục [0; 1] × (−∞; 0) [0; 1] × (0; +∞) (𝑥 + 𝑦 )2 ⇒ 𝑔(𝑦) hàm số khả vi với 𝑦 ≠ Xét hàm số 𝑔(𝑦) 𝑦 ≠ Với 𝑦 = ⇒ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 1 = bị gián đoạn 𝑥 = +𝑦 𝑥 ⇒ Với 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦) khơng liên tục [0; 1] ⇒ 𝑔(𝑦) không khả vi 𝑦 = Vậy hàm số 𝑔(𝑦) khả vi với 𝑦 ≠ PHAM THANH TUNG ... +