ĐỀ THI THỬ CUỐI kỳ GIẢI TÍCH 2 HK182

– CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage: facebook.com/Chungtacungtien/ Đề thi thử cuối kì Câu 1: Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 𝑦 − 2𝑚𝑥 + 𝑚2 𝑥 𝑦 − 2𝑦 Tìm tất giá trị thực m để ∇𝑓(2,3) // 𝑣⃗ = (6,1) Câu 2: tính tích phân bội 𝐼=∭ √𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +𝑦 +(𝑧−2)2 , V hình cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ Câu 3: Cho miền phẳng D giới hạn 𝑦 = 𝑥 , 𝑦 = (𝑥 − 2)2 , 𝑥 = 2, C biên D, lấy theo chiều kim đồng hồ a) Chứng diện tích 𝐷 tính tích phân ∫𝑐 −𝑥𝑑𝑦 b) Tìm diện tích miền 𝐷 theo cách tính Câu 4: Tìm diện tích phần mặt 𝑧 = √𝑥 + 𝑦 nằm hình cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2𝑧 Câu 5: Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∑∞ 𝑛=0 Câu 6: Khảo sát hội tụ chuỗi số (−1)𝑛 3𝑛+1 𝑛+2 √𝑛+1 ∑∞ 𝑛=1 𝑛 (1 Group: facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ + 2𝑛 (𝑥 − 1)𝑛 −2𝑛2 ) – CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage: facebook.com/Chungtacungtien/ Lời giải Câu 1: Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 𝑦 − 2𝑚𝑥 + 𝑚2 𝑥 𝑦 − 2𝑦 Tìm tất giá trị thực m để ∇𝑓(2,3) // 𝑣⃗ = (6,1) Giải: ∇𝑓 = ∇ (𝑓 ′ 𝑥 , 𝑓 ′ 𝑦 ) = ( 6𝑥 𝑦 − 6𝑚𝑥 + 2𝑚2 𝑥𝑦, 6𝑥𝑦 + 𝑚2 𝑥 − 6𝑦 ) = ∇f(2,3) = (12𝑚2 − 24𝑚 + 108,4𝑚2 + 18) ∇𝑓(2,3) // 𝑣⃗ => 12𝑚2 −24𝑚+108 = 4𝑚2 +18  −12𝑚2 − 24 = 𝑚=0 [ 𝑚 = −2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Câu 2: tính tích phân bội 𝐼 = ∭ √𝑥 +𝑦 +(𝑧−2)2 , V hình cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ Giải: 0≤𝑟≤1 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 Đặt : { 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 => { 𝑧=𝑧 −√1 − 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ √1 − 𝑟 2𝜋 𝐼= ∫ 2𝜋 𝑑𝑧 𝑑𝜑 ∫ 𝑟𝑑𝑟 ∫ 𝑜 = ∫ √1−𝑟 𝑑𝜑 ∬ 𝐷 −√1−𝑟 √𝑟 + (𝑧 − 2)2 𝑟 𝑟>0 𝑑𝑟𝑑𝑧 , 𝐷 = { 𝑟 + 𝑧2 ≤ √𝑟 + (𝑧 − 2)2 Xem r, z hai biến (tương tự x, y) ∬ 𝐷 𝑟 √𝑟 + (𝑧 − 2)2 √1−𝑧 𝑑𝑟𝑑𝑧 = ∫ [∫ −1 𝑟 √𝑟 + (𝑧 − 2)2 Group: facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ 𝑑𝑟] 𝑑𝑧 – CHÚNG TA CÙNG TIẾN [(√𝑟 ∫ −1 Fanpage: facebook.com/Chungtacungtien/ + (𝑧 − 2)2 |√1−𝑧 ] 𝑑𝑧 = ∫ (√1 − 𝑧 + (𝑧 − 2)2 − |𝑧 − 2|) 𝑑𝑧 = −1 2𝜋 Do đó: 𝐼 = ∫0 𝑑𝜑 = 3 2𝜋 Câu 3: Cho miền phẳng D giới hạn 𝑦 = 𝑥 , 𝑦 = (𝑥 − 2)2 , 𝑥 = 2, C biên D, lấy theo chiều kim đồng hồ c) Chứng diện tích 𝐷 tính tích phân ∫𝑐 −𝑥𝑑𝑦 d) Tìm diện tích miền 𝐷 theo cách tính Giải a) Dùng công thức Green: ∫−𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑆𝐷 𝐶 b) 𝑆(𝐷) = ∫1 −𝑥 2𝑥𝑑𝑥 + ∫4 −2𝑑𝑦 + 𝐷 ∫2 −𝑥(𝑥 − 2)𝑑𝑥 = Câu 4: Tìm diện tích phần mặt 𝑧 = √𝑥 + 𝑦 nằm hình cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2𝑧 Giải: Chiếu xuống 𝑂𝑥𝑦 ∶ 𝐷 = {𝑥 + 𝑦 ≤ 1} 𝑆 = ∬ √1 + (𝑧𝑥′ )2 + (𝑧𝑦′ ) 2𝜋 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ √2𝑟𝑑𝑟 = 𝜋 √2 𝐷 Câu 5: Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∑∞ 𝑛=0 (−1)𝑛 3𝑛+1 4𝑛+2 √𝑛+1 (𝑥 − 1)𝑛 Giải 3𝑛+2 𝜌 = lim ( 𝑛+2 𝑛→∞ √𝑛 + 4𝑛+3 √𝑛 + 3𝑛+1 ) = lim (3 √𝑛 + 1) √𝑛 + 4 => − < 𝑥 − < => − < 𝑥 < 3 3 Group: facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ = – CHÚNG TA CÙNG TIẾN 𝑥 = − : ∑∞ 𝑛=0 𝑥= ∑∞ 𝑛=0 Fanpage: facebook.com/Chungtacungtien/ : phân kỳ 16 √𝑛+1 3(−1)𝑛 : Hội tụ theo tiêu chuẩ Leibnitz 16 √𝑛+1 Miền hội tụ: (− , ] 3 Câu 6: Khảo sát hội tụ chuỗi số ∑∞ 𝑛=1 𝑛 (1 + 2𝑛 −2𝑛2 ) Giải −2n Cn = √n (1 + ) → < => HT 2n e n Group: facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ ... ∇f (2, 3) = ( 12? ?? ?2 − 24