8. Cấu trúc của luận án
5.2.1. Phân tích tiên nghiệm bài toán 2 và bài toán 3
Nghiên cứu lịch sử, thể chế đào tạo GV, thể chế DH toán ở tiểu học mang lại tình huống cơ sở để tiếp cận phân số dựa trên phép chia:
“Có a đối tượng chia đều cho b người”, trong đó a, b N và b 0.
Hai bài toán sau được thiết kế dựa trên tình huống cơ sở trên.
Bài toán 2: Nhà Lan có 4 anh chị em. Mẹ Lan mua cho họ 3 quả cam. Mỗi người đều muốn có số phần cam như nhau và không muốn quả nào dư lại.
a) Hỏi mỗi người có bao nhiêu cam?
b) Hãy biểu diễn phần cam của mỗi người dưới dạng phân số.
Bài toán 3: Cô giáo muốn thưởng cho 4 học sinh xuất sắc của lớp. Phần thưởng là 5 quả cam. Mỗi bạn đều muốn có số phần cam như nhau và không muốn quả nào dư lại.
a) Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu cam?
b) Hãy biểu diễn phần cam của mỗi bạn dưới dạng phân số.
Bài toán 2
Bài toán 2 được thiết kế với mong muốn cho HS tiếp cận phân số dựa trên phép chia, từ đó xây dựng nghĩa của phân số - thương. Tuy nhiên, có sự khác biệt với tình huống trong SGK: bài toán 2 được gắn liền với tình huống thực tiễn do vậy hoạt động giải toán của HS được thực hiện để tìm kiếm tri thức mới.
Ngoài ra, bài toán 2 còn giới thiệu thêm phân số nhỏ hơn 1 không phụ thuộc vào việc chia phần cái toàn thể như trong bài toán 1.
Bài toán 3
Bài toán 3 đặt HS tự mình giải quyết bài toán đề nghị mà không có bất kì hướng dẫn nào của GV. Nó có mục tiêu cũng tương tự như bài toán 2 nhưng có sự khác biệt chút ít. Trong khi bài toán 2 giới thiệu phân số nhỏ hơn 1 thì bài toán 3 cho phép đưa vào phân số lớn hơn 1.
5.2.1.2. Ngữ cảnh lớp học của bài toán 2 và bài toán 3
Bài toán 2 và bài toán 3 được tổ chức cho HS giải quyết sau bài toán 1. Hai bài toán này xem như là sự gia cố thêm bài toán 1. Nhưng cái toàn thể đã được thay đổi từ 3 quả cam trở thành 1 quả cam.
Hơn thế nữa, hai bài toán này cũng được dạy trong phần hình thành kiến thức mới của bài “ Phân số và phép chia số tự nhiên” trong SGK toán 4.
5.2.1.3. Các biến didactic
B1: Đặc trưng của số r trong phép chia a cho b: r = 0; r = 1; r > 1.
B2: Độ lớn của a so với b: a > b ; a < b.
B3: Giá trị của a so với 1: a > 1 ; a < 1.
B4: Yêu cầu về hành động chia: Có và không có yêu cầu “Chia không dư”
B5: Đặc trưng đối tượng được chia: Chia đều được hay không chia đều được.
5.2.1.4. Những chiến lược có thể
C1: Chiến lược chia hết
Mỗi đơn vị được chia thành b phần bằng nhau. Do đó, tổng số phần bằng nhau có được sau khi chia a đơn vị là a.b. Chia tổng số phần này cho b người nên mỗi người được nhận a phần.
C2: Chiến lược chia có dư
Việc áp dụng phép chia có dư vào giải quyết bài toán sẽ mang lại lời giải: a : b = q (dư r).
C3: Chiến lược chia có dư + phân số đơn vị 1
b.
Trong phép chia a : b có số dư r = 1. Có thể ghi lại kết quả: a : b = q (dư 1). Lúc này, số dư 1 được xem như một đơn vị mới, nó tiếp tục được chia thành b phần bằng nhau, mỗi người nhận thêm 1 phần bằng nhau. Kết quả có thể được viết dưới dạng: a b: q và 1
b ; a b: q 1
b ; a : b = q (dư 1).
C4: Chiến lược chia có dư + phân số r
b.
Trong phép chia a : b có số dư r 1. Có thể ghi lại kết quả: a : b = q (dư r). Sau đó, mỗi đối tượng trong r đối tượng được xem như là các đơn vị mới và được chia thành b phần bằng nhau, tổng số phần có được là r.b phần, chia cho b người, mỗi người nhận được r phần bằng nhau. Vì thế, r < b, kiến thức về phân số đơn vị cho phép viết r
b. Tương tự như chiến lược trên, có nhiều cách biểu diễn kết quả: a b: q và r
b ; a b: q r
b ; a : b = q (dư r).
C5: Chiến lược “Tuổi của thuyền trưởng”
Người thực hiện tuân thủ qui tắc: Mỗi bài toán phải có câu trả lời và câu trả lời này phải đạt được từ những yếu tố có mặt trong bài toán.
Do vậy, có thể ghi nhận một số kết quả như: a b;a b; a – b (với trường hợp
a b ); a : b = q (không quan tâm số dư r).
C6: Chiến lược “số phần / toàn thể”
Mỗi đối tượng trong a đối tượng được chia thành b phần bằng nhau. Mỗi người được phân phối đều a phần bằng nhau. Kiến thức về phân số dựa trên số phần / toàn thể cho phép HS ghi lại kết quả dưới dạng phân số a
5.2.1.5. Bảng giá trị của biến đặc trưng cho bài toán 2, 3 và ảnh hưởng các giá trị của biến đến các chiến lược
Biến B1 B2 B3 B4 B5 Bài toán 2 r = 3 a < b a > 1 Có yêu cầu “chia không dư” Chia đều được Bài toán 3 r = 1 a > b a > 1 Có yêu cầu “chia không dư” Chia đều được
Khi biến B1 nhận giá trị r = 1 và biến B4 lấy giá trị “Chia không dư” sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho C3 xuất hiện.
Trong khi đó B2 với a > b giúp cho C2 có nhiều khả năng vận dụng. Ngoài ra, khi a > 1 được xem như là giá trị của B3 trong cả 2 bài toán đôi khi hạn chế người làm nghĩ đến phân số đơn vị để giải quyết bài toán, tức C3 có ít cơ hội xuất hiện.
Trong bài toán 2, B1 lấy giá trị r = 3 >1 cùng với yêu cầu chia không dư của B4
tạo điều kiện thuận lợi cho C4 xuất hiện.
Biến B5 nhận giá trị “chia đều được” trong cả hai bài toán mang lại sự thuận tiện cho người thực hiện chia các đơn vị ra thành b phần bằng nhau. Hay nói một cách khác, nó góp phần tạo cơ hội cho sự xuất hiện của C1, C2, C3, C4.
5.2.1.6. Những quan sát có thể
Từ việc dự đoán các kiến thức cũ mà HS sẽ sử dụng để giải bài toán 2, chúng tôi phỏng đoán các quan sát có thể gắn liền với các chiến lược:
- Chiến lược “chia hết” C1: Chia mỗi quả cam ra bốn phần bằng nhau. Như vậy có tất cả 3 x 4 = 12 phần. Số cam mỗi em là: 12 : 4 = 3(phần). Đáp số: 3 (phần).
- Chiến lược “chia có dư” C2: 3 : 4 = 0 (dư 3). - Chiến lược “chia có dư + phân số r
b”, C4: Một số quan sát như: 3 : 4 = 0 và 3
4 ; 3 : 4 0 3 4.
- Chiến lược “Tuổi của thuyền trưởng”, C5:
4 + 3 = 7. Đáp số: 7 quả ; 4 - 3 = 1. Đáp số: 1 quả. 3 x 4 =12. Đáp số: 12 quả ; 4 : 3 = 1. Đáp số: 1 quả. - Chiến lược “số phần / toàn thể”, C6: 3
4.
Một cách tương đồng như bài toán 2, có thể dự đoán các quan sát có thể gắn liền với bài toán 3 là:
- Chiến lược “chia hết” C1: Chia mỗi quả cam ra bốn phần bằng nhau. Như vậy có tất cả 5 x 4 = 20 phần. Số cam mỗi em là: 20 : 4 = 5 (phần). Đáp số: 5 (phần).
- Chiến lược “chia có dư” C2: 5 : 4 = 1 (dư 1). - Chiến lược “chia có dư + phân số 1
b”, C3: Một số quan sát như: 5 : 4 = 1 và 5
4 ; 5 : 4 1 5 4. - Chiến lược “Tuổi của thuyền trưởng”, C5:
4 + 5 = 9. Đáp số: 9 quả ; 5 - 4 = 1. Đáp số: 1 quả. 5 x 4 = 20. Đáp số: 20 quả ; 5 : 4 = 1. Đáp số: 1 quả. - Chiến lược “số phần / toàn thể”, C6: 5
4.
5.2.1.7. Môi trường
* Môi trường vật chất: các sản phẩm hình vẽ của HS trên mô hình trái cam, bài làm của cá nhân, lời nói của HS trong lúc thảo luận.
* Môi trường phi vật chất: phép chia đều, chia hết, chia có dư, phân số đơn vị, phân số a
b với a 1.
5.2.2. Tổ chức thực nghiệm
5.2.2.1. Đối tượng
HS lớp 4 được biết phân số a
b với a 1 qua các tình huống số phần / toàn thể.
5.2.2.2. Dàn dựng kịch bản
Pha 1:(HS làm bài cá nhân - 15 phút). Tổ chức cho các em làm bài cá nhân với tình huống nêu trên. HS làm bài trên giấy do GV photo có in sẵn tình huống.
Mục tiêu: Pha 1 được tổ chức cho các em làm việc cá nhân. Điều đó đồng nghĩa với việc chúng tôi muốn tìm hiểu mối quan hệ của cá nhân HS. Mọi ứng xử của trẻ sẽ được thể hiện trên bài làm. Cụ thể hơn, các em sẽ tự mình tìm kiếm tri thức phân số thương thông qua hoạt động giải toán.
Pha 2:(HS làm bài theo nhóm, 10 phút). 6 nhóm hoàn thành bài giống như trên.
Mục tiêu: Trong pha 2, HS không còn giải quyết tình huống đơn lẽ mà có sự cộng tác từ các bạn trong nhóm. Pha này tạo cơ hội cho các em bảo vệ chính kiến của mình. Tuy nhiên, trẻ cũng có thể thấy được nhận định của mình chưa chính xác nếu được bạn khác thuyết phục bằng những chứng cứ hợp lí.
Pha 3: (Hợp thức hóa – 15 phút)
Lớp học vẫn được chia thành 6 nhóm. Các nhóm cùng sửa bài với GV. Các em đưa ra nhận xét, phát biểu. Các nhóm khác nhận xét. GV là người nhận xét, đánh giá sau cùng.
Mục tiêu: Pha 3 là sự nhận xét, đánh giá các kết quả có được từ pha 2 nhưng có sự can thiệp từ GV (rất hạn chế). Đây cũng chính là pha hợp thức hóa của tình huống. Nó cho phép ghi nhận lại những gì quan trọng, các yếu tố mà các em có thể học tập được thông qua tình huống. Điều chúng tôi hi vọng các em học được là một số kiến thức về KN phân số, nghĩa của phân số qua tình huống chia đều a đối tượng cho b người.
5.2.3. Phân tích hậu nghiệm
Thực nghiệm được tiến hành tại lớp 4 của trường Việt Mỹ, thành phố Cần Thơ. Lớp này gồm 25 HS và được chia thành 6 nhóm trong pha 2. Thời gian: bắt đầu 7 giờ và kết thúc 7 giờ 40 phút vào ngày 14/03/2013. Kết quả thể hiện bên dưới đây:
Bảng 5.3: Thống kê chiến lƣợc giải của HS đối với Bài toán 2 và 3 Chiến lược C1 Chiến lược C2 Chiến lược C3 Chiến lược C4 Chiến lược C5 Chiến lược C6 Bài toán 2 6 24% 0 0% 0 0% 0 0% 2 8% 17 68% Bài toán 3 5 20% 3 12% 1 4% 0 0% 0 0% 16 64% Bài toán 2
Kết quả thực nghiệm cho thấy có 6 HS (chiếm 24%) ghi kết quả dưới dạng “3 phần cam”, tức các em này ứng xử theo C1. Họ hành động theo trình tự: mỗi quả cam được chia thành 4 phần bằng nhau, có 3 quả cam nên có tất cả 12 phần, sau đó chia đều cho 4 người, vì vậy mỗi người có 3 phần cam. Nhưng điều đáng quan tâm trong câu b các em này không thành công để biểu diễn kết quả dưới dạng phân số.
Trong 3 chiến lược chia có dư (C2, C3, C4), không có HS nào hành động theo. Điều này cũng có thể được biện minh là do chúng tôi tăng cường thêm sự ràng buộc trong đề bài “không muốn quả nào dư lại”. Có 2 HS trả lời theo C5. Hai em này lấy 4 : 3 = 1 do đó ghi kết quả mỗi người được 1 quả cam. Lí do giải thích cho ứng xử của các em này là vì họ chỉ quen với những phép chia có số bị chia lớn hơn số chia. Do vậy, các em này được đặt vào tình huống phá vỡ hợp đồng.
Chiến lược chiếm ưu thế là C6. Lớp học có tới 17 HS (chiếm 68%) ứng xử theo chiến lược này. Các em vẽ 3 hình tròn biểu thị cho 3 quả cam. Các em chia đều mỗi quả cam thành 4 phần bằng nhau, tiếp tục các em đánh số thứ tự từ 1 4 cho mỗi phần cam (ứng với người thứ nhất đến người thứ tư). Đa số các em đều cho đáp số là 3
4. Riêng H5 ghi thêm 3 : 4 3
4 (cam) ngay trong lời giải của mình. Em này sớm nhận ra được mối quan hệ giữa phép chia hai số tự nhiên và phân số.
Bài toán 3
Có 5 HS ứng xử theo chiến lược chia hết, các em chia mỗi quả cam thành 4 phần bằng nhau, tổng cộng có 20 phần bằng nhau, mỗi bạn được 5 phần. Các em này không ghi phân số trong câu b mà chỉ vẽ ra các hình tròn biểu thị cho số phần cam. Thêm vào đó, có H9 theo C3. Em này ghi lại: “Ta lấy 5 quả chia cho 4 người, mỗi người được 1 quả và 1 phần của quả cam”. H9 cũng chưa đưa ra được phân số để biểu diễn phần cam của mỗi bạn. Kết quả còn ghi nhận 3 HS tiến hành theo C2. Các em đều ghi kết quả dưới dạng 5 : 4 = 1 (dư 1). Có thể nói, họ đã hành động theo cách riêng của bản thân mặc dù đề có ghi “không muốn quả nào dư lại”.
Giống như bài toán 2, chiến lược được các em ưu tiên là C6 (16 HS, chiếm 64%). Câu trả lời của HS đều dưới dạng phân số 5
4. Nhiều em cẩn thận hơn bằng cách vẽ thêm mô hình các quả cam. Tuy nhiên, tồn tại số ít HS không hiểu được yêu cầu của câu b. Các em này chỉ vẽ hình tròn biểu diễn phần chia các quả cam, không ghi thêm gì về phân số cần biểu diễn. Hơn nữa, có một số em có sai lầm về kí hiệu. Ví dụ: H5 ghi: “Số cam mỗi bạn có là: 4 : 5 = 5 (cam)” hay H2 có sự nhầm lẫn giữa tử số và mẫu số, em này đã ghi phân số 4
5 trong câu b của bài toán 3.
Pha 2
Bảng 5.4: Thống kê chiến lƣợc giải của các nhóm đối với Bài toán 2 và 3
Chiến lược C1 Chiến lược C2 Chiến lược C3 Chiến lược C4 Chiến lược C5 Chiến lược C6 Bài toán 2 0 0% 0 0% 0 0% 0 0% 0 0% 6 100% Bài toán 3 0 0% 0 0% 0 0% 0 0% 0 0% 6 100%
Đối với bài toán 2, các em đều lựa chọn chiến lược tối ưu là C6. Các nhóm cho ra được phân số thương 3
4. Thêm vào đó, các nhóm tìm cách giải thích bằng những hình tròn biểu thị cho việc chia phần các quả cam. Điều đáng quan tâm là có 2 nhóm (N4, N6) còn ghi thêm 3 : 4 3
4 trong bài làm của mình. Các em đã sớm phát hiện ra được mối quan hệ của phép chia hai số tự nhiên và phân số.
Một cách tương tự như bài toán 2, các em vẫn ưu tiên cho C6 trong bài toán 3. 100% các nhóm đều hành động theo mô hình chia các quả cam thành các phần bằng nhau rồi dẫn đến phân số thương, nhưng không phải nhóm nào cũng có đáp số đúng. Trong đó, có N1 đã ghi đáp số là 4
5. Nhóm này có sự nhầm lẫn trong việc xác định nhóm người và nhóm đối tượng. Vì vậy, các em ghi hoán đổi vị trí của tử số và mẫu số cho nhau. Ngoài ra, N4 có sự ổn định trong việc hiểu mối quan hệ phép chia số tự nhiên và phân số. Nhóm này cũng ghi 5 : 4 5
4 trong bài giải của mình.
Pha 3
Đối với bài toán 2, cô giáo gọi các nhóm trả lời. Các nhóm đều có kết quả là 3
4. GV gọi H19 giải thích. Em này đã nói: “chia mỗi quả cam thành 4 phần bằng nhau và chia mỗi bạn 3 phần”. Cô giáo vẽ hình tròn biểu diễn phần cam mỗi người có. Tiếp tục, GV thể chế hóa: “Có 3 quả cam chia cho 4 người, mỗi người được 3
4 quả cam hay 3 : 4 3
4 (quả cam)”.
Đối với bài toán 3, hoạt động cũng diễn ra một cách tương tự. Nhưng có H8 đã