8. Cấu trúc của luận án
2.3.3. Cách tiếp cận phân số theo quan điểm lí thuyết tập hợp
Sự hạn chế của tập hợp N trong việc giải quyết các vấn đề đại số đã thôi thúc các nhà toán học tìm cách mở rộng tập hợp số N thành Q.
- Xuất phát từ tập số tự nhiên N, người ta có thể lần lượt xây dựng hệ thống số nguyên, hệ thống số hữu tỉ Q, hệ thống số thực R rồi tới hệ thống số phức.
- Việc xây dựng hệ thống số cũng được xuất phát theo một trình tự khác như sau: đi từ hệ thống số tự nhiên N qua hệ thống số biểu diễn bởi phân số Q* (tức là
hệ thống số hữu tỉ không âm) tới hệ thống số hữu tỉ Q, còn hai bước sau thì giống như con đường thứ nhất. Có thể sơ đồ hóa 2 con đường trên như sau:
* Con đường thứ nhất: N Z Q R C. * Con đường thứ hai: N Q* Q R C.
Hai phương pháp mở rộng hệ thống số mà các nhà toán học thường sử dụng:
i) Phương pháp nhúng đẳng cấu
Theo phương pháp nhúng đẳng cấu, ta làm các việc sau đây:
- Xây dựng một tập hợp mới B, định nghĩa các phép toán cộng, nhân, và quan hệ thứ tự “<” trong B.
- Chứng minh rằng B cũng có các tính chất cơ bản như A và ngoài ra còn thỏa mãn yêu cầu nói trên mà A chưa thỏa mãn.
- Trong B chỉ ra một bộ phận A‟ đẳng cấu với A (đẳng cấu đối với các phép cộng, nhân và quan hệ thứ tự “<” trong A và trong B).
ii) Phương pháp bổ sung
Giả sử đã có sẵn một hệ thống số A (đối với các phép toán cộng, nhân và quan hệ thứ tự nhỏ hơn) có một số tính chất nhất định nhưng chưa thỏa mãn một yêu cầu nào đó. Ta làm các công việc sau đây:
- Bổ sung vào A một tập hợp C để được tập hợp B A C rồi định nghĩa các phép toán cộng, nhân và quan hệ thứ tự nhỏ hơn trong B sao cho nếu hạn chế trên A thì những quan hệ mới này trùng với những phép toán và quan hệ thứ tự đã có sẵn trong A.
- Chứng minh rằng B cũng có các tính chất cơ bản như A và ngoài ra còn thỏa mãn yêu cầu nói trên mà A chưa thỏa mãn.
Bảng 2.1: So sánh phƣơng pháp bổ sung và phƣơng pháp nhúng đẳng cấu
Phƣơng pháp bổ sung Phƣơng pháp nhúng đẳng cấu
- Kí hiệu N+ là tập hợp số tự nhiên khác 0, M là tập con của N N gồm tất cả các cặp (a, b) mà a không chia hết cho b. Xét quan hệ tương đương R
(a, b) R (c, d) ad = bc Xét tập hợp *
( / )
Q N M R trong
đó các phần tử của M/R được viết dưới dạng ,a c
b d ,…
- Định nghĩa quan hệ thứ tự trong Q* (3 trường hợp)
i) m n, N, m < n hiểu theo quan hệ nhỏ hơn trong N. ii) a c, M R/ b d , a c ad bc b d iii) m N, a M R/ b a m mb a b ; a m a bm b - Kí hiệu N+ là tập hợp số tự nhiên khác 0. Đối với tập hợp N N ta xét quan hệ tương đương R
(a, b) R (c, d) ad = bc Xét tập thương *
/
Q N N R mà
các phần tử của nó được viết dưới dạng ,
a c b d ,…
- Định nghĩa quan hệ thứ tự trong Q*
a c
ad bc b d
* Bình luận
- Tương tự như đã thực hiện đối với quan hệ thứ tự, khi định nghĩa phép cộng và phép nhân trong Q*, nếu dùng phương pháp bổ sung thì ta phải chia nhiều trường hợp, còn nếu dùng phương pháp nhúng đẳng cấu thì ta chỉ cần đưa ra một định nghĩa tổng quát. Ta thấy trong trường hợp này dùng phương pháp nhúng đẳng cấu hợp lí hơn phương pháp bổ sung.
- Trong các cách mở rộng hệ thống số như trên, phân số đóng vai trò như một phần tử của tập hợp Q*.
2.3.4. Cách tiếp cận phân số của của George Cantor (1845 - 1918)
Năm 1872, Cantor bắt đầu suy nghĩ về những con số có thể được biểu diễn như là phân số, được gọi là số hữu tỉ. Chúng bao gồm các số tự nhiên bởi vì tất cả các số tự nhiên n có thể được viết dưới dạng phân số
1
n
. Hơn nữa, giữa bất kỳ hai số hữu tỉ, có vô số các số hữu tỉ khác. Vì thế, Cantor đã chứng minh rằng trong thực tế chúng có rất nhiều. Có một cách rất hay để thấy được đều này là viết các phân số trong một mảng như sau:
Phân số xuất hiện nhiều hơn một lần là các phân số bằng nhau, ví dụ 1 = 1/1 = 2/2, … Bây giờ, có thể tạo ra một danh sách các phân số bằng cách bắt đầu ở góc trên bên trái của mảng và di chuyển lên xuống theo đường chéo:
Nếu chúng ta bỏ qua những số hữu tỉ đã gặp trước đây thì điều này mang lại dãy số sau:
Bây giờ, cho tương ứng phân số 1
2 với số 1, 1
3 với số 2, 3
2 với 3,... Ánh xạ này là một song ánh, chứng minh rằng tập hợp các số hữu tỉ dương có cùng bản số với
tập hợp các số tự nhiên. Điều này có thể được mở rộng để cho thấy rằng tập hợp các số hữu tỉ có cùng bản số với tập hợp các số tự nhiên.
Trong quá trình phát triển lí thuyết tập hợp, Cantor đã tiếp cận số tự nhiên theo đặc trưng bản số. Bên cạnh đó, ông còn đóng góp rất lớn khi đưa ra định nghĩa lí thuyết tập hợp về số hữu tỉ. Cụ thể:
Tập hợp các số nguyên Z đóng kín đối với phép cộng, trừ, và nhân, nhưng nó không đóng kín đối với phép chia. Ví dụ, 5 ÷ 7 không có ý nghĩa trong các số nguyên. Để đạt được tính chất đóng kín như mong muốn, Cantor mở rộng hệ thống các số nguyên: Cho Y ( , ) : ,p q p q Z q; 0 . Sau đó, định nghĩa quan hệ trên Y:
( , )p q ( ', ')p q p q. ' p q'. .
Tập hợp các lớp tương đương của Y được kí hiệu là Y/ . Dưới quan hệ tương đương nêu trên, Y / được xem như một hệ thống số mới – các số hữu tỉ (được viết tắt là Q, trong đó Q được xem như là từ viết tắt của “thương”). Trong thực tế, nếu người ta xem xét số hữu tỉ là nghĩ đến kí hiệu p/q cũng như lớp tương đương
(pk qk, ) :k Z k, 0 . Các qui tắc phép tính của số hữu tỉ được định nghĩa: [(p, q)] + [(r, s)] = [(ps+qr, qs)] ; [(p, q)]·[(r, s)] = [(pr, qs)].
* Bình luận
- Cantor đã xây dựng thành công tập hợp số hữu tỉ Q. Từ đây, có thể hiểu mỗi phân số như là một phần tử của tập hợp Q. Lúc này, mỗi phân số a
b có thể được định nghĩa như một cặp số tự nhiên (a, b) có thứ tự trong đó b khác 0. Lúc này, phân số chính thức lấy cơ chế của KN toán học.
- Tuy nhiên, chúng ta cũng có thể hiểu mỗi phân số a
b như là lớp tương đương
(ak bk, ) : , ,a b k Z k b; , 0 . Vì thế, “biểu diễn một lớp tương đương” được xem như một nghĩa mới của phân số.
2.3.5. Kết luận giai đoạn 3
- Tình huống để đưa đến một định nghĩa chính xác cho phân số là sự ảnh hưởng mạnh mẽ của sự phát triển lí thuyết tập hợp. Chính vì thế, các nhà toán học cần phải
xem xét cơ sở của các tập hợp số. Đóng góp chính thuộc về nhà toán học Cantor: xây dựng thành tập hợp số Q và mang lại nghĩa mới cho phân số: “biểu diễn một lớp tương đương”.
- Sự xuất hiện của định nghĩa phân số làm cho nó mang cơ chế của KN toán học. Đặc trưng thứ tự và các phép tính của nó được đề cập một cách tường minh. Phạm vi hoạt động chủ yếu của phân số trong giai đoạn này: số học, lí thuyết tập hợp, hình học, xác suất – thống kê,...
2.4. Kết luận chƣơng 2
2.4.1. Các giai đoạn nảy sinh và phát triển
Cũng giống như các KN toán học khác, lịch sử hình thành KN phân số trải qua rất dài và nảy sinh gắn liền với các tình huống thực tiễn. Quá trình này có thể được phân chia thành 3 giai đoạn tương ứng với 3 cơ chế hoạt động của nó.
2.4.1.1. Giai đoạn 1
Trong giai đoạn này, phân số lấy cơ chế của một KN tiền toán học. Nó xuất hiện như là một công cụ ngầm ẩn để giải quyết các bài toán: nhu cầu chia đều a đối tượng cho b người (con thú săn được, hoa màu,…), nhu cầu đo đạc.
2.4.1.2. Giai đoạn 2
Phân số lấy cơ chế của KN cận toán học. Nó được dùng như một công cụ nhưng không được định nghĩa. Các nhà toán học tập trung nghiên cứu các liên phân số.
2.4.1.3. Giai đoạn 3
Tập hợp số hữu tỉ được định nghĩa bởi Cantor. Các nhà toán học chính thức nghiên cứu KN, quan hệ thứ tự và các phép tính đại số của Q. Khi đó, phân số lấy cơ chế của một KN toán học. Lúc này, phân số trở thành công cụ tường minh để giải quyết các bài toán trong nhiều lĩnh vực toán, trong đó có lí thuyết tập hợp.
2.4.2. Phạm vi tác động của khái niệm phân số và các bài toán có liên quan
2.4.2.1. Phạm vi tác động của khái niệm phân số
KN phân số xuất hiện đầu tiên ngầm ẩn dưới dạng bài toán chia đều thức ăn, ngân quỹ, xác định số phần bằng nhau lấy ra trong tổng thể,…,sau đó, nó được dùng như một công cụ để giải quyết các bài toán trong: đo lường, số học, đại số, hình
học, số luận, xác suất thống kê, lí thuyết tập hợp,…Một số lĩnh vực khác mà phân số cũng xuất hiện như một công cụ: kinh tế thương gia, vật lí, thiên văn, thần học, kinh thánh, thơ ca,…
2.4.2.2. Các bài toán có liên quan
- Bài toán chia đều thức ăn, ngân quỹ,…, liên quan đến đo đạc. - Bài toán xác định số phần bằng nhau lấy ra trong tổng thể.
- Các bài toán liên quan đến số học, đại số, hình học và lí thuyết tập hợp. Chẳng hạn, giải phương trình b x a (b khác 0), hay xác định độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật khi biết diện tích và độ dài một cạnh.
2.4.3. Các đối tượng có liên quan
KN đầu tiên có liên quan mật thiết đến KN phân số là chia đều. Phân số ban đầu được hình thành thông qua việc chia đều các vật thể. Những KN khác có vai trò quan trọng lịch sử hình thành KN phân số: phân số Ai Cập, phần bằng nhau, tỉ số, tỉ lệ, số đo đại lượng (độ dài, diện tích, thể tích, vận tốc,…), liên phân số, phương trình, tia số, đường thẳng thực.
Một số KN khác có vị trí quan trọng trong cách tiếp cận của lí thuyết tập hợp: số hữu tỉ, lớp thương, phần tử,…
2.4.4. Các cách tiếp cận khái niệm phân số
Từ việc nghiên cứu các tài liệu lịch sử, chúng tôi nhận thấy việc mở rộng hệ thống số từ số tự nhiên sang số biểu diễn bởi phân số được tiến hành theo hai cách: xuất phát từ nhu cầu của cuộc sống và xuất phát từ nội bộ toán học. Thứ nhất, phân số ra đời để giải quyết các vấn đề thực tế: nhu cầu đo đạc (nhiều khi ta gặp cả những đại lượng không chứa đựng một số tự nhiên lần đơn vị đo) và nhu cầu chia những vật ra nhiều phần bằng nhau. Thứ hai, tập hợp số biểu diễn bởi phân số ra đời xuất phát từ nội bộ toán học: để cho phép chia các số nguyên cho một số khác 0 luôn luôn thực hiện được, hoặc các phương trình dạng b x a (b khác 0) luôn luôn có nghiệm. Trong quá trình mở rộng như trên, phân số được tiếp cận chủ yếu theo 6 cách:
2.4.4.1. Cách tiếp cận dựa trên số phần của cái toàn thể
Cách tiếp cận này liên quan đến bài toán: “Lấy ra một số phần của một đối tượng được chia thành các phần bằng nhau”. Theo bài toán này, phân số a
b lấy nghĩa “biểu thị a phần được lấy ra từ b phần bằng nhau của một đơn vị”. Trong lịch sử, KN về đại lượng phân số phát triển từ thời cổ đại khi “phân số” đã được quan niệm như “không chia được và không chia hết”. Một đại lượng phân số không được xem như là một số trong nhiều thế kỉ, đúng hơn, nó đã được sử dụng như một đơn vị mới biểu diễn cho một phần hoặc các phần của một số cho đến khi Stevin (1548-1620) tuyên bố rằng đại lượng này là một con số bằng cách định nghĩa phân số như là “một phần của các bộ phận của cái toàn thể”.
- Cấu trúc KN phân số theo cách tiếp cận số phần / toàn thể:
+ Nếu a là một toàn thể được kí hiệu là T, được chia thành n phần Pi với 1 i b
thì 1 b i i T P .
+ Mỗi phần Pi có mối quan hệ cụ thể đối với toàn thể được kí hiệu là: R(Pi,T). Trong quá trình chia cái toàn thể thành các phần, các phần Pi có thể bằng nhau hoặc không bằng nhau. Nếu các phần này bằng nhau thì quan hệ giữa một trong số các phần Pi (Pi=P) và toàn thể là T b P. Chúng ta có thể nói rằng phần P là một phân số hay P 1 T
b .
+ Trong cấu trúc KN này, 4 thành phần cần được quan tâm: (i) Toàn thể T: chúng ta xem như là một điểm khởi đầu. (ii) Quan hệ R(P,T)=1
b: biểu diễn mối quan hệ giữa một trong các phần bằng nhau và toàn thể.
(iii) Phần bằng nhau P: có mối quan hệ với toàn thể T được xem như một phân số đơn vị 1
b.
- Các cách biểu diễn cho phân số theo số phần / toàn thể:
(i) Biểu diễn bằng lời nói bao gồm các thuật ngữ cho các phân số, dựa trên các thuật ngữ phổ biến trong các phân số đơn vị và các qui tắc đọc bất kì phân số theo tử số và mẫu số của nó.
(ii) Biểu diễn bằng số: bao gồm các kí hiệu số học phổ biến cho phân số. (iii) Biểu diễn bằng hình vẽ: Bao gồm các đối tượng liên tục và rời rạc.
+ Đối với các đại lượng liên tục: chúng ta thường sử dụng các hình hình học (hình vuông, hình tròn, hình chữ nhật, đoạn thẳng,…) bởi vì các hình này có trục đối xứng nên có thể thao tác chia các phần bằng nhau khá đơn giản. Ngoài ra, phân số luôn phải gắn liền với một đơn vị, nên một phân số tương ứng với những biểu diễn của nhiều trường hợp khác nhau (3/4 hình chữ nhật, 3/4 hình vuông, 3/4 hình tròn, 3/4 quả cam, 3/4 kg, 3/4 mét, … Vì thế mà 3/4 hình vuông vẫn có thể “bé hơn” 1/2 hình tròn.
+ Đối với các đại lượng không liên tục: chúng ta quan tâm đến một số hình vẽ căn bản của nhóm các đối tượng với những cách khác nhau nhằm chỉ ra chúng được phân phối như thế nào.
(iv) Biểu diễn bằng kí hiệu: R T P( , ) 1
b ; P 1 T
b ; T b P ; T P C.
2.4.4.2. Cách tiếp cận độ đo
Người ta tìm thấy phân số từ các số tự nhiên qua các số đo và tỉ lệ, giải quyết nhu cầu tìm một đơn vị đo lường chung đối với hai đại lượng. Trong lịch sử, thuật ngữ bao gồm số đo đại lượng và tỉ lệ là “tính có thể so sánh được” được định nghĩa bởi nhà toán học Hy Lạp, Euclide (thế kỷ 3, trước công nguyên) như sau: “Những độ lớn được cho là có thể so sánh được với nhau nếu được đo lường bởi cùng đơn vị đo, và chúng không thể so sánh được nếu chúng không có đơn vị đo lường chung”.
Theo ý nghĩa hiện đại, nếu A và B (khác 0) là hai số có thể so sánh được với nhau nếu tồn tại đại lượng C sao cho A = mC và B = nC với m, n là các số nguyên và n 0. Euclide không xem đại lượng C như là một số, nhưng như là “một phần hay các phần của một số”.
Do vậy, cách tiếp cận này xuất phát từ tình huống: “Thực hiện phép đo cho một đại lượng”. Đại lượng có thể là: độ dài, diện tích, thể tích, vận tốc, dung tích,…Nếu