8. Cấu trúc của luận án
2.1.4. Cách tiếp cận phân số của người Hy Lạp
Người Hy Lạp sử dụng phân số cũng như các nền văn minh trước. Tuy nhiên, kí hiệu của họ không rõ ràng bởi vì thường có một dấu „ được đặt sau mẫu số của phân số đơn vị. Ví dụ:
Các phân số phức tạp hơn có thể được viết khá hiệu quả, trong đó tử số đã được viết với một thanh ngang bên trên, mẫu số với dấu „.Ví dụ:
Rất nhiều cách biểu diễn tương tự như thế đã được sử dụng, có độ phức tạp ngày càng tăng theo thời gian. Thật vậy, nhà toán học Diophantus (xuất hiện rất muộn trong toán học Hy Lạp) sử dụng một dạng phân số giống như chúng ta ngày nay, nhưng vị trí của tử số và mẫu số ngược nhau.
Tiếp cận phân số của Pythagoras
Bên cạnh đưa ra định lí Pythagoras như chúng ta biết ngày nay, Pythagoras còn có đóng góp lớn thứ hai là phát hiện ra, và chứng minh được không phải tất cả các số là “so sánh được với nhau”. Chính xác hơn, người Hy Lạp trước Pythagoras tin tưởng một cách sâu sắc rằng tất cả mọi thứ được xây dựng trên các số nguyên. Các
(được hiểu theo ngôn ngữ toán học ngày nay là 1
42) (được hiểu theo ngôn ngữ toán học ngày nay là 1
2)
(được hiểu theo ngôn ngữ toán học ngày nay là 51
phân số nảy sinh một cách cụ thể: như là tỉ số các cạnh của hình tam giác (tức là có thể “so sánh được với nhau” và thuật ngữ cổ này ngày nay đã được thay thế bằng từ "hữu tỉ").
Tiếp cận phân số của Euclide và Eudoxe
Trong tác phẩm Algorithm, Euclide đã dùng phân số để giải quyết các phương trình toán học. Ngoài ra, phân số còn được dùng trong thiên văn, kiến trúc, và âm nhạc của người Hy Lạp. Trong tác phẩm Elements, Book II, Euclide viết: “A number is a part of a number, the less of the greater, when it measure the greater; but parts when it does not measure it”. Tạm dịch: “Một số là một phần của một số; phần nhỏ hơn của số lớn hơn khi nó đo lường cho số lớn hơn, nhưng một số là các phần khi nó không đo lường cho nó”. Qua đoạn trích trên, ta có thể hiểu Eucide đã ngầm ẩn hiểu phân số như là tỉ số khi so sánh một số nhỏ hơn với một số lớn hơn. Eulcide cũng thừa nhận phân số đơn vị chỉ khi nó được rút ra từ định nghĩa trên. Khi phân số a
b không thể rút gọn về "một phần", tức là một phân số đơn vị, thì nó cần được phân tích thành “các phần”.
Từ thời Euclide, người ta đã biết đến một tập hợp tham chiếu cho phép so sánh các đại lượng. Tập hợp này bao gồm các tỉ số và tỉ lệ. Đặc biệt, nó bao gồm các tỉ số giữa các số nguyên (có thể được hiểu là phân số hay số hữu tỉ). Tuy nhiên, tập các số hữu tỉ này chưa hoàn toàn được trang bị các cấu trúc cộng và nhân như tập hợp số tự nhiên. Tập hợp các số nguyên có tính chất rời rạc.
Khi muốn đo lường, chẳng hạn đo độ dài, ý nghĩ đầu tiên là so sánh nó với một độ dài khác được chọn làm chuẩn, và người ta gọi độ dài làm chuẩn là “đơn vị”. Người ta gấp đơn vị nhiều lần trên độ dài cần đo để tìm số đo. Nếu kết thúc đúng vào một số nguyên lần thì số nguyên này là số đo của độ dài; nếu không, chúng ta chấp nhận nói rằng số đo này nằm giữa một số nguyên nào đó và số liền sau nó.
Để chính xác hơn người ta thay đổi đơn vị tham chiếu. Muốn như vậy, ý tưởng thứ hai: chọn một phần của đơn vị ban đầu làm qui chiếu; bắt đầu đo lại. Trong hầu
hết trường hợp, ta luôn tìm thấy một số đo không chính xác nhưng cũng chấp nhận được và số đo độ dài xuất hiện một cách tự nhiên như là tỉ số của các số nguyên.
Tỉ lệ của hai độ dài được xem như là một công cụ để so sánh hai độ dài, công cụ này cho biết một tỉ số. Vì thế, Eudoxe đã thêm vào các tỉ lệ ngoài các tỉ số, bằng cách trang bị các “bị chặn” một cách hiệu quả. Chính Eudoxe xuất phát từ hai đại lượng A và B và 2 đại lượng khác kí hiệu là C và D. KN chủ yếu là đẳng thức giữa tỉ lệ của A so với B và tỉ lệ của C so với D. Đẳng thức này xảy ra khi, với mọi số nguyên dương m và n, thứ tự của mA so với nB cũng chính là thứ tự của mC so với nD. Nói khác đi, chúng ta có các phép kéo theo sau đây:
mA > nB khéo theo mC > nD mA = nB khéo theo mC = nD mA < nB khéo theo mC < nD
Tính bắt cầu trong đẳng thức giữa hai tỉ lệ được dễ dàng chứng minh, điều này cho phép đề cập đến “tỉ lệ thức”, trong tiếng Hy Lạp có nghĩa “các độ dài tương ứng có cùng tỉ lệ”. Bước tiếp theo là so sánh các tỉ lệ, bằng cách nói rằng nếu có hai số nguyên m và n sao cho mA > nB và mC > nD thì tỉ lệ của A so với B vượt hơn tỉ lệ của C so với D. Đặc biệt, khi mA = nB thì mọi cặp đại lượng tỉ lệ còn lại C và D thỏa mC = nD và giá trị m/n (tỉ số) được xem là tỉ lệ chung của các cặp đại lượng. Như vậy, Eudoxe đã thực hiện tốt sự mở rộng phạm vi số: các tỉ số là trường hợp đặc biệt của các tỉ lệ. Ngày nay, theo ngôn ngữ toán học chúng ta gọi các tỉ số này là các số hữu tỉ (phân số). Khi đó những tỉ lệ không phải là tỉ số thì được gọi là các số vô tỉ. Trong giai đoạn này, phép cộng hai tỉ lệ chưa được định nghĩa, phép nhân chỉ được trang bị trong trường hợp các tỉ lệ bằng nhau. Nói khác đi, các số ẩn trong phạm vị của các tỉ lệ chưa được mở rộng cho các tính chất và các phép tính nhưng tính thứ tự được mở rộng bởi vì đo là mục tiêu của việc so sánh hai đại lượng.
Chúng ta có thể chuyển sang xây dựng các đại lượng khác như diện tích, thể tích, thời gian, khối lượng, dung tích hay vận tốc. Eudoxe và Euclide biết rõ sự tương tự này nên cung cấp cho chúng ta một lí thuyết tổng quát về các tỉ lệ của các đại lượng, nhưng không phải tất cả các đại lượng đều có thể hình dung được mà chỉ
một số đại lượng có thể có các tỉ lệ. Phạm vi các tỉ lệ chủ yếu được xem xét cho các đại lượng như độ dài, từ đó cấu tạo nên mọi tỉ lệ có thể. Vậy các tỉ lệ đến từ so sánh các bề mặt hay thể tích đều có thể nhận được từ các tỉ lệ chỉ suy ra từ sự so sánh các độ dài. Nói cách khác mô hình xây dựng từ các độ dài là “phổ quát” và có thể dùng để so sánh các tỉ lệ liên quan khác: diện tích, thể tích, dung tích, thời gian,...
Sức mạnh của lí thuyết các tỉ lệ còn thể hiện ở khía cạnh tính toán nhờ vào thứ tự trên các tỉ lệ và bằng cách sử dụng các tỉ lệ đặc biệt, của số so với số (các tỉ lệ này được hiểu là số hữu tỉ). Vì thế, người ta sẽ dùng hai số hữu tỉ để chặn một tỉ lệ mà họ cần ước lượng.
Ví dụ: nhà toán học nổi tiếng Archimet đề xuất một chặn: 3 10 2 3 1
71 7
S
R ,
trong đó S2
R là tỉ lệ giữa diện tích S của một hình tròn so với bình phương bán kính
của nó. Kể từ Euler, người ta chặn bên phải của số bởi phân số 22 7 .
* Bình luận
- Người Hy Lạp bước đầu sử dụng “thanh ngang” trong cách viết phân số. Tuy nhiên, họ lại đặt phía trên của tử số. Điều này không giống như kí hiệu của toán học hiện đại.
- Thế nhưng, nhà toán học Diophantus có đóng góp trong việc kí hiệu phân số. Ông đã kí hiệu giống như ngày nay nhưng lại có sự đảo ngược vị trí của tử số và mẫu số.
- Người Hy Lạp còn đánh dấu hai cách tiếp cận quan trọng cho phân số:
+ Đầu tiên là cách tiếp cận “độ đo”. Bài toán làm nảy sinh cách tiếp cận này là đo một độ dài trong đó có sự so sánh với một độ dài khác làm chuẩn. Theo ngôn ngữ toán học ngày nay, độ dài chuẩn này được xem như là một “đơn vị”. Người ta mở rộng từ việc so sánh độ dài sang so sánh diện tích, thể tích, thời gian, khối lượng, dung tích, vận tốc,…Nếu theo cách tiếp cận này, phân số lấy nghĩa “biểu diễn kết quả của độ đo”. Ngoài ra, nếu chúng ta quan tâm độ dài chuẩn là đơn vị T (đơn vị được chia thanh b phần bằng nhau); độ dài cần so sánh (Đ) là chiếm a phần
bằng nhau. Vậy, ta có thể hiểu được Đ a
bT. Cách hiểu này có thể được xem như là
“cách tiếp cận số phần / toàn thể”. Như vậy, phân số có nghĩa khác “biểu thị a phần được lấy ra từ b phần bằng nhau của một đơn vị”.
+ Cách tiếp cận thứ hai là “tiếp cận tỉ số”. Từ thời Pythagoras, cách tiếp cận này xuất hiện ngầm ẩn trong việc so sánh độ dài hai cạnh của tam giác. Sau đó, nhà toán học Eudoxe chính thức đề xuất một công cụ hiệu quả để so sánh hai độ dài là “tỉ số”. Do đó, cách này có thể áp dụng để so sánh các đại lượng khác. Trong trường hợp này, phân số có nghĩa “biểu diễn quan hệ so sánh giữa hai đại lượng”. Chúng tôi sẽ làm rõ thêm cách tiếp cận này theo ngôn ngữ toán học ngày nay:
Tỉ số biểu diễn mối quan hệ giữa hai hoặc nhiều số, đôi khi có thể được biểu diễn như là phân số. Thông thường, một số các đối tượng được nhóm lại và so sánh trong một tỉ số, quy định cụ thể các mối quan hệ về mặt số lượng giữa mỗi nhóm. Ví dụ, có 12 chiếc xe ở bãi đậu xe trong đó 2 chiếc màu trắng, 6 chiếc đỏ, 4 chiếc vàng. Tỉ số xe ô tô màu vàng với xe ô tô màu trắng là 4-2 và có thể được biểu diễn như 4:2 hoặc 2:1. Tỉ số có thể thường được chuyển đổi thành phân số khi nó biểu diễn như là một tỉ số đối với cái toàn thể. Trong ví dụ trên, tỉ số xe ô tô màu vàng so với tổng số những chiếc xe trong bãi là 4:12 hoặc 1:3. Chúng ta có thể chuyển đổi các tỉ số này thành một phân số và nói rằng 4
12 của những chiếc xe hoặc 1
3 của những chiếc xe trong bãi có màu vàng.
Tuy nhiên, tỉ số không chỉ biểu diễn cho mối quan hệ hai số mà còn được mở rộng cho các đơn vị đại lượng như: quan hệ hai độ dài, quan hệ hai diện tích, quan hệ hai thể tích, quan hệ hai vận tốc,…