8. Cấu trúc của luận án
3.1.1. Phân số trong các giáo trình Số học (Lí thuyết số)
3.1.1.1. Phân số trong giáo trình Số học của Bùi Anh Kiệt [34] Giáo trình này trình bày cách xây dựng tập số Q như sau:
Cho Z là tập các số nguyên.
Gọi D ( , ) /m n m n, Z v, à n 0 . Trên D xây dựng một quan hệ như sau:
( , )a b ( , )c d ad bc
Dễ thấy quan hệ là quan hệ tương đương. Kí hiệu Q D/ ….. Trong Q ta kí hiệu lớp tương đương a b, a
b. Do đó, / , à b 0 a Q a b Z v b . * Bình luận - Mỗi phân số a
b là một phần tử của Q, a được gọi là tử số, b ( b 0) gọi là mẫu số của phân số. Do đó, ta có thể hiểu phân số à hình thức biểu diễn số hữu tỉ qua các số nguyên. Cách tiếp cận này tương tự như của Cantor trong lịch sử.
- Ngoài ra, phân số a
b còn được xem là một lớp tương đương trong tập Q. Tuy
nhiên, tác giả không đề xuất gì thêm về nghĩa của phân số. Chúng tôi có thể hiểu nghĩa phân số trong trường hợp: “biểu diễn một lớp tương đương”.
Tiếp theo, tác giả đưa ra định nghĩa phép cộng và phép nhân trong Q:
, , ,
a b c d Q, ta có:
Phép cộng: a b, c d, ad bc bd, ; Phép nhân: a b, . ,c d ac bd, .
Nói chung, tác giả không đề cập đến các tính chất của hai phép toán trên cũng như không nhắc đến phép trừ và phép chia trên tập Q.
3.1.1.2. Phân số trong giáo trình Lí thuyết số của Trần Diên Hiển - Nguyễn Tiến Tài - Nguyễn Văn Ngọc [21]
Cho N là tập số tự nhiên và *
\ 0
N N
Mỗi cặp số thứ tự (a; b) trong đó a N và b N* được gọi là một phân số. Tập tất cả phân số được kí hiệu là P. Như vậy *
P N N . Ta sẽ sử dung kí hiệu a
b để chỉ phân số
(a;b) trong đó a gọi là tử số, b gọi là mẫu số. Như vậy *
/ và b N
a
P a N
b . Trên
P ta định nghĩa quan hệ “ ” như sau:
, ; a c a P b d b c d khi và chỉ khi ad = bc.
Với quan hệ tương đương trên, tác giả phân chia tập P để được tập thương /P
và được kí hiệu là Q (tập các số hữu tỉ không âm).
* Bình luận
- Có sự khác biệt trong tiến trình hình thành tập Q của 2 tác giả: + Bùi Anh Kiệt [34]: xây dựng tập Q phân số a
b ( a
b là 1 phần tử của Q). (Phương pháp nhúng đẳng cấu, được nhắc đến trong phần lịch sử).
+ Trần Diên Hiển [21]: xây dựng phân số a
b xây dựng tập Q.
- KN phân số trong giáo trình này được đồng nhất với KN phân số hình thành trong nhà trường tiểu học. Cách hình thành phân số như trên là nền tảng để xây dựng tập số hữu tỉ Q. Mỗi số hữu tỉ là một lớp đương đương gồm các phân số tương đương nhau.
- Phân số xuất hiện như là công cụ để xây dựng tập hợp số Q. Với cách trình bày của tác giả, chúng tôi đưa ra một định nghĩa của phân số: Phân số a
b là cặp số thứ tự (a; b) trong đó a N và *
b N . Giống như tác giả trên, tác giả này cũng không nhắc đến nghĩa của phân số. Tuy nhiên, trong cách xây dựng của tác giả này ngầm ẩn sau đó là cách tiếp cận phân số dựa trên lí thuyết tập hợp (được đề cập trong chương 2). Do thế, nghĩa của phân số “biểu diễn một lớp tương đương”.
Tính sắp thứ tự trên tập số hữu tỉ: Tác giả xác nhận tập Q+ cùng với quan hệ “ ” là tập sắp thứ tự hoàn toàn. Ngoài ra, tác giả còn nêu một số tính chất của quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm: tính đơn điệu, tính trù mật, tiên đề Acsimet.
Trong phần này, tính trù mật được trình bày: “Xen giữa hai số hữu tỉ khác nhau tồn tại vô số các số hữu tỉ khác chúng”. Trong phần chứng minh cho tính chất này tác giả đưa ra một kĩ thuật rất thú vị cho kiểu nhiệm vụ “Tìm giá trị x thỏa:
r x s”. Đặt
2
r s
x , thế thì ta có r x s. Quá trình tìm trung bình cộng như thế cho phép tìm vô số giá trị x thỏa mãn đề bài. (Tính trù mật này sẽ được chúng tôi bình luận nhiều hơn trong phần phân tích SGK).
Các phép toán trong tập số hữu tỉ không âm:
Tác giả hình thành các phép tính cộng, trừ, nhân, chia hai phân số như sau: Cho 2 số hữu tỉ r và s có phân số đại diện là a
b và c d tương ứng. Khi đó: ( )a ( )c (ad bc) C C C b d bd ; C( )a C( )c C(ad bc) b d bd ; C( )a C( )c C(a c) b d b d .
Tác giả đưa thêm các tính chất như: giao hoán, kết hợp, phân phối,...
Bên cạnh đó, phần tử nghịch đảo được đề cập: Với mọi số hữu tỉ r 0 tồn tại duy nhất một số hữu tỉ 1
r sao cho 1
1
r r . Khi đó, gọi 1
r là phần tử nghịch đảo của r. Đây là yếu tố lí thuyết cho phép biện minh kĩ thuật chia hai số hữu tỉ (tức chia hai phân số trong SGK toán 4 hiện nay).
Riêng phép chia tác giả không hình thành theo mô hình trên: Ta gọi thương của số hữu tỉ r chia cho s(s 0) là số hữu tỉ q, kí hiệu r s: q, thỏa mãn điều kiện
q s r. Thêm vào đó, kĩ thuật cho kiểu nhiệm vụ này cũng được trình bày như
sau: Đặt 1
q r s , ta có 1 1
( ) ( ) 1
q s r s s r s s r r.
* Nhận xét chung
- Tác giả của các giáo trình Lí thuyết số đề cập đến phân số theo tư tưởng “toán cao cấp” nên không trình bày chi tiết nội dung DH chủ đề phân số. Ngoài ra, không có một tác giả nào đề xuất hoạt động giải toán cho việc DH phân số.
- Hai giáo trình hướng đến việc xây dựng tập Q là sự mở rộng của tập hợp Z, tạo điều kiện phép chia cho số khác 0 trong Q luôn luôn thực hiện được. Đây cũng chính là một trong những ý nghĩa quan trọng cho sự ra đời của phân số.
Phân số được tiếp cận trong các giáo trình Lí thuyết số theo hướng riêng của mỗi tác giả. Vậy các nhà lí luận DH toán sẽ đề cập chúng như thế nào trong các giáo trình PPDH toán?