8. Cấu trúc của luận án
2.2.1. Cách tiếp cận phân số của người Ấn Độ
Người Hindu được cho là nhóm người đầu tiên biểu diễn phân số với những con số hơn là “từ ngữ”. Brahmagupta (c. 628) và Bhaskara (c. 1150) là các nhà toán học Hindu đi đầu để viết phân số như chúng ta biết hôm nay, nhưng không có thanh ngang. Họ đã viết một số ở trên một số khác để chỉ một phân số. Ví dụ:
Bước tiếp theo trong sự phát triển các kí hiệu của phân số là việc bổ sung thanh ngang. Công lao của người Ả Rập là đã thêm vào thanh ngăn cách tử số và mẫu số (đôi khi được viết theo chiều ngang, đôi khi nghiêng) mà bây giờ chúng ta sử dụng để tách biệt tử số và mẫu số. Thanh ngang vào thời điểm này có tên là “vinculum”.
Năm 150 trước Công nguyên, các nhà toán học Ấn Độ viết "Sthananga Sutra", trong đó có các tác phẩm về lí thuyết số, các phép toán số học và các phép toán với phân số.
Phương pháp viết một số tự nhiên dưới một số khác và các tính toán với phân số xuất hiện lần đầu tiên trong tác phẩm Aryabhatta khoảng 499 CE. Trong tiếng Phạn, phân số luôn luôn được biểu diễn bởi một số nguyên tiếp theo là một phân số. Trong khi số nguyên được viết trên một dòng, phân số được đặt bên dưới nó và được viết trên hai dòng. Nếu phân số được viết mà không cần thêm bất kì dấu hiệu
(được hiểu theo ngôn ngữ toán học ngày nay là 7
cụ thể thì người ta hiểu rằng nó được cộng vào các số nguyên trên nó. Nếu nó được đánh dấu bằng một vòng tròn nhỏ hoặc một cây thập tự (hình dạng của dấu "cộng" ở phương Tây) được đặt bên phải của nó, người ta hiểu rằng nó được trừ đi từ các số nguyên. Ví dụ, Bhaskara viết:
Tức là, 6 1 2 1 1 1 4 5 9
Theo ngôn ngữ toán ngày nay lần lượt là 6 1
4 , 1 1
5 , 2 1 9.
Vào năm 550, nhà toán học Ấn Độ, Aryabhata dùng các liên phân số để nghiên cứu và giải các phương trình tuyến tính. Ông cũng quan tâm đến sự che khuất của mặt trăng và mặt trời, miêu tả các quy luật của thiên văn học.
Kí hiệu phân số của người Ai Cập tiếp tục được sử dụng trong thời Hy Lạp và thời Trung Cổ, bất chấp những lời phàn nàn từ Almagest của Ptolemy về những vụng về của các kí hiệu so với các lựa chọn thay thế chẳng hạn như kí hiệu Babylon - cơ số 60.