8. Cấu trúc của luận án
3.2.2. Cách hình thành khái niệm phân số trong các sách giáo khoa
3.2.2.1. Giai đoạn ngầm ẩn
Chương trình toán 2 giới thiệu các phân số: 1
2, 1
3, 1
4, 1
5. Trong khi đó, SGK toán 3 cho HS làm quen với những phân số đơn vị 1
b với b 10.
Trong bài “Phép chia”, các tác giả SGK toán 2 [23] trình bày KN “phần bằng nhau” của một đơn vị.
6 ô chia thành 2 phần bằng nhau, mỗi phần có 3 ô. Ở đây, người ta chỉ ngầm ẩn giới thiệu về KN “phần bằng nhau” chứ không giới thiệu trực tiếp phân số. SGK cũng đưa thêm nhiều bài tập theo kiểu tiếp cận so sánh số lượng của một bộ phận của tập so với toàn tập hợp đó. Chính vì lẽ đó, chúng ta có thể gọi tên cách tiếp cận này là “tiếp cận kiểu tập hợp”.
Phân số đơn vị chính thức được nghiên cứu trong bài “MỘT PHẦN HAI”, [23,tr.110]:
1 2
1 2
Các phân số đơn vị ở lớp 2 mang tên “một phần hai‟, “một phần ba”,…, không có tên “phân số”. Tình huống đưa vào các phân số: chia các đơn vị thành b phần bằng nhau, lấy đi “một” phần, có được phân số 1
b. Đặc trưng của đơn vị được chọn là một số hình chia đều được thành các phần bằng nhau: hình vuông, tam giác cân, hình tròn, tam giác đều, hình thoi, hình ngôi sao 5 cánh,…
Lớp 3 ôn lại các phân số đơn vị đã được học ở lớp 2 và tiếp tục giới thiệu thêm 1 1 1 1 1
, , , ,
6 7 8 9 10. Tình huống giống nhau: chia các hình thành các phần bằng nhau, người ta tác động đến một số phần nào đó, từ đó làm nảy sinh KN phân số. Chẳng hạn, một bài tập được đưa ra trong SGK toán 3 [25,tr.110] như sau:
Hình 1 Hình 2 Hình 3
* Bình luận
- Nói chung, các tác giả theo tiến trình: chia một đơn vị thành b phần bằng nhau, sau đó tô màu một phần để có được phân số 1
b. Do đó, trong tình huống này tạo nên các phân số có dạng 1
b hay phân số đơn vị. Điều này dẫn đến phân số 1
b lấy nghĩa
“biểu thị một phần lấy ra từ đơn vị được chia thành b phần bằng nhau”.
4 Đã tô vào 1
6 hình nào?
Chia hình vuông thành hai phần bằng nhau Lấy một phần, được một phần hai hình vuông Một phần hai viết là 1
2.
- Chính cách tiếp cận đặc trưng như thế dẫn đến kết quả các phân số luôn có tử
số bằng 1, mẫu số b, b 10, vì thế phân số tạo nên luôn luôn nhỏ hơn 1. Tóm lại, SGK toán 2 và 3 hoàn toàn giới thiệu các phân số đơn vị. Tuy nhiên,
các tác giả không nêu tên phân số mà chỉ đề cập một cách ngầm ẩn thông qua KN “phần bằng nhau”. Phân số được xem như là “công cụ ngầm ẩn” để giải quyết các dạng toán “Tìm một trong các phần bằng nhau của một số” và “So sánh số bé bằng một phần mấy số lớn”.
3.2.2.2. Giai đoạn tường minh
TÌNH HUỐNG TIẾP CẬN PHÂN SỐ THEO SỐ PHẦN / TOÀN THỂ
SGK toán 4 [27,tr.106] hình thành KN phân số:
Chia hình tròn thành 6 phần bằng nhau, tô màu vào 5 phần. Ta nói: Đã tô màu vào năm phần sáu hình tròn. Ta viết: 5 6, đọc là năm phần sáu. Ta gọi 5 6 là phân số. Phân số 5 6 có tử số là 5, mẫu số là 6.
Mẫu số là số tự nhiên viết dưới dấu gạch ngang. Mẫu số cho biết hình tròn được chia thành 6 phần bằng nhau.
Tử số là số tự nhiên viết trên gạch ngang. Tử số cho biết 5 phần bằng nhau đã được tô màu.
Ngoài ra, SGK còn nêu lên cách viết mẫu số, tử số và điều kiện của mẫu số thông qua nhận xét: “Mỗi phân số có tử số và mẫu số”. Tử số là số tự nhiên viết trên gạch ngang. Mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới gạch ngang”. SGV nêu lên ràng buộc: “GV chỉ nên cho HS nhận biết phân số có tử số và mẫu số đều là số tự nhiên, mẫu số phải khác không. Chưa nên giải thích gì thêm”.
* Những ghi nhận từ cách tiếp cận phân số theo số phần / toàn thể theo quan điểm của DH thông qua hoạt động giải toán
Trong SGV [28,tr.185] có đoạn trích sau:
- GV hướng dẫn HS quan sát một hình tròn (như hình vẽ trong SGK), GV có thể nêu các câu hỏi để thông qua phần trả lời, HS nhận biết được:
* Hình tròn đã được chia thành 6 phần bằng nhau. * 5 phần (trong số 6 phần bằng đó) đã được tô màu.
- GV nêu: * Chia hình tròn thành 6 phần bằng nhau, tô màu vào 5 phần. Ta nói đã tô màu vào năm phần sáu hình tròn.
Năm phần sáu viết thành 5
Ta gọi 5
6 là phân số. Phân số 5
6 có tử số là 5, mẫu số là 6. (cho vài HS nhắc lại).
- Ghi nhận đầu tiên trong hoạt động: tình huống chưa thật sự chứa đựng một « đề toán ». Nó chỉ mô tả quá trình thực hiện tô màu số phần của phân số. SGK không yêu cầu bất kì câu hỏi gì cho HS. Nhìn chung, HS chưa được đặt trong tình huống giải quyết vấn đề. Trẻ không có điều kiện để huy động kiến thức cũ vào giải quyết kiểu nhiệm vụ mới. Ở đây, HS có kiến thức ban đầu về phân số đơn vị (đã học ở lớp 2, 3) nhưng chưa được GV khai thác để dẫn dắt các em vào tình huống giới thiệu phân số mới. Tóm lại, việc hình thành kiến thức mới không được tổ chức thông qua hoạt động giải toán.
- Ghi nhận thứ hai trong hoạt động: GV làm việc là chính, vai trò của HS chỉ là trả lời các câu hỏi của GV, các em không có cơ hội giải bài toán để khám phá ra tri thức mới. Trẻ có thêm một nhiệm vụ khác là nhắc lại các phát biểu của GV.
Một số câu hỏi được đặt ra:
- Có thể xây dựng các tình huống DH chứa đựng hoạt động giải toán mà trong đó HS sử dụng kiến thức cũ (phân số đơn vị) để tìm kiếm tri thức mới (phân số a
b,
1
a ) hay không?
- Các em sẽ giải quyết bài toán trong tình huống đó ra sao? Đâu là những khó khăn của trẻ?
* Những ghi nhận về cách tiếp cận phân số
- SGK giới thiệu KN phân số phù hợp với cách được đề cập trong lịch sử và các giáo trình PPDH toán. Cách tiếp cận này mang lại yếu tố trực quan nhưng chưa cho phép giới thiệu phân số không thực sự (phân số có mẫu số lớn hơn tử số). Như vậy, phân số chính thức trở thành đối tượng tường minh (có tên, được nghiên cứu các tính chất, phép tính trong các bài học sau).
- Tình huống nảy sinh KN phân số cũng tương tự như đã được phân tích trong SGK toán 2, 3. Nhưng ở đây, đơn vị được chia ra b phần bằng nhau, tác động vào a
phần để có phân số a
b. SGK cũng giải thích khá rõ ý nghĩa của mẫu số, tử số trong đoạn trích.
- Các đơn vị được chia thành b phần bằng nhau chịu sự ràng buộc của thể chế: đó là một số dạng hình học có thể chia được về mặt trực giác như: hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn, tam giác đều, lục giác đều, …
- Phân số được tạo ra bởi cách tiếp cận này luôn luôn có tử số nhỏ hơn mẫu số. Hay nói một cách khác, chúng là các phân số nhỏ hơn 1. Do đó, theo cách tiếp cận này SGK chưa cho phép đề xuất các phân số lớn hơn 1.
- Như vậy, phân số a
b (a < b) được tạo thành lấy nghĩa “biểu thị số phần lấy ra từ đơn vị được chia thành b phần bằng nhau”. Đây là trường hợp tổng quát của phân số đơn vị ở lớp 2, 3. Tuy nhiên, vì phân số chưa được nghiên cứu trong tình huống gắn liền với cách sử dụng của nó nên chỉ mang nghĩa hình thức.
- Có nhiều cách khác nhau để mô hình hóa các phân số theo cách tiếp cận số phần / toàn thể, trong đó có 3 loại mô hình cơ bản:
+ Mô hình diện tích: Một hình tròn được chia thành 5 phần bằng nhau và người ta đã tô màu 4 phần, có phân số 4
5.
+ Mô hình tập hợp: Có 5 đối tượng được vẽ và 4 trong số chúng đã được khoanh tròn, có phân số 4
5.
+ Mô hình tuyến tính: Đoạn 0,1 của trục số được chia ra 5 thành phần bằng nhau, 4 phần đầu đã được lựa chọn, có phân số 4
5.
Hai mô hình đầu tồn tại trong SGK toán 2, 3, và 4 nhưng mô hình cuối thì chưa hiện hữu. Hay nói một cách khác, SGK chưa đề cập cách tiếp cận bên dưới đây mà được nhắc đến rất nhiều khi DH số tự nhiên. Chẳng hạn, SGK toán 2 [23,tr.146] có bài tập 2:
?
a)
111 112 … 114 … 116 117 … … 120 Do đó, chúng tôi đề xuất một dạng toán tương tự: Viết tiếp phân số thích hợp vào chỗ chấm:
0 1
15 2
15 ... ... 1
Cách tiếp cận này được xem như cách tiếp cận tia số (được nhắc đến trong lịch sử). Nó có hiệu quả trong các bài tập so sánh phân số. Ngoài ra, nó cho thấy tập hợp
Q* có tính chất trù mật, khác với tập hợp số rời rạc N, tức trên 0,1 không tồn tại số tự nhiên nào nhưng có rất nhiều phân số. Cách tiếp cận tia số được hiểu như một “trường hợp con” của cách tiếp cận số phần / toàn thể và cách tiếp cận độ đo.
Ngoài ra, cách tiếp cận này còn tạo cơ hội cho HS tiếp thu thêm một nghĩa mới của phân số khác với các nghĩa đã được nêu ở trên. Phân số a
b lấy nghĩa “biểu thị một điểm cụ thể trên tia số”. SGK chưa tạo điều kiện cho HS tiếp cận phân số theo “nghĩa đúng” này.
Trong trường hợp này, một số câu hỏi đặt ra:
- Có thể xây dựng hoạt động giải toán với mong muốn đưa vào DH phân số với nghĩa “biểu thị một điểm cụ thể trên tia số”?
- Nên chăng cần thiết kế tình huống để HS thấy được tính chất trù mật của tập hợp các phân số khác với tính rời rạc của tập hợp số tự nhiên hay không?
- HS sẽ ứng xử ra sao nếu các em được đặt trong tình huống như trên? Có những khó khăn nào trẻ có thể gặp phải?
* Những ghi nhận từ cách tiếp cận phân số theo tia số theo quan điểm của DH thông qua hoạt động giải toán
Số 2
- Mặc dầu, SGK không đề xuất cách tiếp cận phân số theo tia số. Nhưng GV có thể linh hoạt tổ chức sao cho HS tham gia vào quá trình kiến tạo tri thức mới không chỉ đơn thuần là trả lời câu hỏi của GV, GV thông báo kiến thức.
- Do đó, chúng tôi đề nghị hoạt động giải toán:
“An đã phát biểu như sau: chỉ tìm được duy nhất giá trị x thỏa 2 4 5 x 5. Em có đồng ý với nhận định của An không? Vì sao?”
Tình huống trên được ví như một tình huống giả định trong thực tế. Để giải quyết vấn đề này HS cần huy động kiến thức cũ: so sánh hai số tự nhiên, có thể biểu diễn các phân số trên tia số chỉ ra có nhiều giá trị x. Các em khám phá ra tính chất trù mật của tập hợp các phân số.
TÌNH HUỐNG TIẾP CẬN PHÂN SỐ DỰA TRÊN PHÉP CHIA
SGK toán 4 [27,tr.106] còn tiếp cận phân số dựa trên phép chia trong bài “PHÂN SỐ VÀ PHÉP CHIA SỐ TỰ NHIÊN”: “Có 3 cái bánh, chia đều cho 4 em. Hỏi mỗi em được bao nhiêu phần của cái bánh”. SGK trình bày: 3 : 4 3
4.
Đến đây, việc giới thiệu phân số có sự phối hợp của 2 cách đã được đề cập trước đó: xuất phát từ nhu cầu thực tế và nhu cầu của nội bộ toán học.
Nhu cầu thực tế ở chỗ: SGK đưa ra tình huống như trên có từ thực tiễn cuộc sống. Đó là kết quả của những phép chia không hết. Chứng tỏ, trong thực tế có những tình huống cho phép làm nảy sinh KN số mới – phân số.
Nhu cầu nội bộ toán học ở chỗ: KN phân số ra đời cho phép thực hiện mọi phép chia thông qua nhận xét sau trong SGK: “Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số, tử số là số bị chia và mẫu số là số chia”. Ngầm ẩn sau đó, phân số ra đời còn có một ý nghĩa khác. Nó cho phép mọi phương trình đại số dạng b x a (b 0) luôn có nghiệm (điều này đã được làm rõ trong lịch sử và thể chế đào tạo GV). Bên cạnh đó, tác giả còn nêu lên mối quan hệ của một phần tử của tập N với tập số Q*: “Mọi số tự nhiên có thể viết thành một
phân số có tử số là số tự nhiên đó và có mẫu số bằng 1”. Mối quan hệ sẽ tỏ ra rất hữu dụng khi thực các phép tính đại số.
Nếu trong bài trên tác giả chỉ giới thiệu các phân số nhỏ hơn 1 thì các phân số lớn hơn 1 lại đề cập trong bài kế tiếp “PHÂN SỐ VÀ PHÉP CHIA SỐ TỰ NHIÊN” (tiếp theo) [27,tr.109]: “Chia đều 5 quả cam cho 4 người. Tìm phần cam của mỗi người”. SGK ghi: 5 : 4 5
4. Trong bài này, SGK còn giới thiệu tường minh thêm các phân số lớn hơn 1, phân số bằng 1, phân số nhỏ hơn 1 và mối quan hệ giữa chúng. Điều này bổ sung thêm một kĩ thuật so sánh hai phân số trong đó có một phân số lớn hơn 1 và phân số còn lại nhỏ hơn 1.
* Những ghi nhận từ cách tiếp cận phân số dựa trên phép chia theo quan điểm của DH thông qua hoạt động giải toán
- SGK đưa ra những đề toán: “Có 3 cái bánh, chia đều cho 4 em. Hỏi mỗi em được bao nhiêu phần của cái bánh” hay “Chia đều 5 quả cam cho 4 người. Tìm phần cam của mỗi người”. Trong tình huống này, phân số xuất hiện gắn liền với cách sử dụng của nó. Điều đó góp phần mang lại nghĩa đúng cho phân số, không phải là nghĩa hình thức.
- Giá như HS được đặt mình vào những tình huống trên và chính bản thân các em giải quyết chúng thì lúc này trẻ đã tham gia vào hoạt động giải toán. Thế nhưng, SGV không có định hướng như vậy. SGV nêu ra các bước tổ chức cho GV. Họ sẽ đặt các câu hỏi để HS trả lời, sau đó GV thông báo kiến thức cho HS. Vì vậy, trong trường hợp như thế trẻ tiếp nhận tri thức như một bản tin. Điều này không dẫn dắt các em đến việc khám phá kiến thức.
- Ngoài ra, chúng tôi cũng có một phát hiện khá thú vị. Nguyên nhân GV làm hết không phải do GV hay bởi HS mà từ phía của tình huống làm nảy sinh tri thức: “Chia đều 5 quả cam cho 4 người. Tìm phần cam của mỗi người”. Tình huống không yêu cầu HS “chia không dư” cũng như không đòi hỏi buộc HS phải biểu diễn kết quả dưới dạng phân số. Do vậy, với kiến thức cũ: phép chia hết, phép chia có dư
hay phân số đơn vị không cho phép HS có thể tìm ra được kết quả biểu diễn bởi phân số. Chính lúc này, tình huống buộc GV phải tác động vào.
- Nhận định trên của chúng tôi có cơ sở bởi một thực nghiệm của tác giả Phạm Ngọc Bảo (2002) [1] đã được kiểm chứng. Ông thiết lập tình huống thực nghiệm với HS và kết quả chỉ ra rằng: HS gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết những tình huống nhắm tới thiết lập mối quan hệ giữa phép chia hai số tự nhiên và phân số, giữa phân số đơn vị với phân số thương, được đưa vào bởi SGK.
Một số câu hỏi được rút ra theo quan điểm DH thông qua hoạt động giải toán: - Có thể xây dựng các tình huống DH phân số thương mà trong đó HS giải quyết