SKKN: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp cho các em học sinh lớp 12 có một tài liệu tham khảo cô đọng nhất, lượng bài tập từ dễ đến khó và đầy đủ các dạng. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức, kỹ năng tính diện tích, thể tích. Học sinh thấy được những ứng dụng của tích phân trong thực tiễn, khi đó học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân, gặp bài toán thực tế các em sẽ không còn cảm giác không làm được nữa, mà sẽ giải quyết được bài toán đó rất nhanh gọn.

MỤC LỤC Trang 1. Lời giới thiệu……………………………………………………………………  2  2.Tên sáng kiến…………………………………………………………………….  3  3.Tác giả sáng kiến………………………………………………………………   3  4.Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến……………………………………………………   3  5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến……………………………………………………   3  6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu…………………………………………   3  7. Mô tả bản chất của sáng kiến …………………………………………………   3                                                          NỘI DUNG 5  Phần 1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng …………………………   5  Dạng 1   5  Dạng 2…………   6  Phần 2. Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể   10  Dạng 1   10  Dạng 2   11            Loại 1   11            Loại 2   13            Loại 3   15            Loại 4……   17  8. Những thơng tin cần được bảo mật……………………………………………   21  9. Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến……………………………….  21  10. Đánh giá lợi ích thu được……………………………………………………   21  11. Danh sách những tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử…………………….  21        1    BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Bắt đầu từ năm học 2016 – 2017 đến nay Bộ Giáo Dục và Đào Tạo đã thực hiện  đổi mới trong thi cử, trong đó mơn Tốn cùng với các bộ mơn khác chuyển từ hình thức  thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Trong đề thi minh họa của Bộ Giáo Dục và  Đào Tạo và trong các đề thi chính thức của Bộ Giáo Dục ln có những bài tốn thực tế.  Những bài tốn thực tế đó thường gây ra cho học sinh lúng túng và nhiều khi các em học  sinh thường bỏ qua những bài tốn thực tế đó. Một trong những bài tốn thực tế đó là về  tính diện tích hình phẳng hoặc thể tích của một vật thể dựa vào tích phân. Vấn đề tính  diện tích của các hình quen thuộc như tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác,… gọi chung  là đa giác học sinh đều đã biết cơng thức tính diện tích từ các lớp dưới. Cũng tương tự  như vậy vấn đề thể tích các khối như (khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng trụ,  khối chóp, ….gọi chung là khối đa diện) học sinh đều được học cơng thức tính thể tích.  Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn khơng đơn giản đối với các học  sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể hố, trừu tượng hố. Việc dạy và  học các vấn đề này ở chương trình tốn lớp dưới vốn đã gặp rất nhiều khó khăn bởi nhiều  ngun nhân, trong đó yếu tố “trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa đang cịn  thiếu. Do đó khi học về vấn đề tính diện tích của các hình phẳng, tính thể tích của các vật  thể ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Đa số các em học sinh  thường có cảm giác nhìn vào bài tốn là đã khơng muốn đọc rồi bởi vì nó dài và cịn khó  nữa. Có chăng nếu em nào đó mà học khá hơn một chút thì khi học vấn đề này nhìn chung  các em thường vận dụng cơng thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, thiếu tư duy  thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc khơng giải được, đặc biệt là những  bài tốn cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Càng khó khăn hơn  cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân cịn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” cịn hạn  chế. Trong sách giáo khoa bài tập về vấn đề đó cịn ít, hoặc lượng bài tập rất hạn chế cịn  2    sơ sài. Trên các diễn đàn thì tài liệu nhiều vơ kể nhưng cũng gây hoang mang cho học  sinh vì khơng biết nên tham khảo tài liệu nào hay bỏ tài liệu nào, chưa kể các tài liệu viết  rất lan man, nhiều bài tốn thậm chí cịn đánh đố học sinh. Nhận thức được vấn đề đó nên  tơi viết đề tài “ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ ” nhằm giúp cho các em học sinh lớp 12 có một tài liệu  tham khảo cơ đọng nhất, lượng bài tập từ dễ đến khó và đầy đủ các dạng. Từ đó giúp học  sinh phát huy tốt kiến thức, kỹ năng tính diện tích, thể tích. Học sinh thấy được những  ứng dụng của tích phân trong thực tiễn, khi đó học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực  và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân, gặp bài tốn thực tế các em sẽ khơng cịn cảm  giác khơng làm được nữa, mà sẽ giải quyết được bài tốn đó rất nhanh gọn.  Tên sáng kiến     “Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể”  Tác giả sáng kiến     - Họ và tên: Tơ Ngọc Dũng     - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân – Huyện Vĩnh Tường –   Tỉnh Vĩnh Phúc.    - Số điện thoại: 0976378504    - Email: dung.thpt.nvx@gmail.com  Chủ đầu tư tạo sáng kiến   - Họ và tên: Tô Ngọc Dũng  Lĩnh vực áp dụng sáng kiến   - Nghiên cứu giảng dạy mơn Tốn lớp 12 trong trường THPT.  Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử Từ tháng 09 năm 2018 đến tháng 02 năm 2019  Mô tả chất sáng kiến: - Để giúp các em học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân. Ứng dụng tích phân  trong các bài tốn thực tế về diện tích hình phẳng và thể tích vật thể.  3    - Nêu các dạng tốn, các phương pháp giải cho từng dạng tốn, hướng dẫn cho học sinh  luyện tập rèn luyện kỹ năng, say mê hứng thú với mơn học.  - Giúp học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề, khơng nhớ cơng thức một cách máy móc,  khơng cịn cảm giác run sợ trước những bài tốn thực tế này.  4    NỘI DUNG Phần ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Dạng 1. Nếu hàm số y  f ( x ) liên tục đoạn  a;b  diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x  a,x  b là: b S   f  x  dx a Bài 1: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số  y  x  , trục hồnh Ox, trục tung và đường thẳng  x    Giải: Diện tích S của hình phẳng cần tìm là  2 11 3 S   x  dx     x  1 dx    x  1 dx      4 0 Chú ý:  Nếu phương trình  f(x) = 0 có  k nghiệm phân biệt  x1 , x2 , …, xk  thuộc   (a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ), (x1 ; x2), …, (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu khơng đổi.  b Khi đó để tính tích phân  S   f ( x) dx  ta có thể tính như sau:  a x1 b S   f ( x) dx  a x2 b  f ( x)dx   f ( x)dx    f ( x)dx   a x1 xk   Bài Cho hàm số  y  x  3x   có đồ thị (C ). Tính diện tích của hình phẳng giới  hạn bởi đồ thị (C ), trục hồnh, trục tung và đường thẳng  x   .    y f x =  x 3-3  x 2 +2 A -2 O1 -1 B x (C)      Hình 3  5    Giải: Từ đồ thị ta thấy:  x  3x   0,x  0;1  và  x  3x   0,x  1;2     Do đó diện tích hình phẳng cần tìm là:  2 3 S   x  3x  dx    x  3x   dx    x  3x   dx    0 Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số  y  x  x  , trục hoành Ox và các đường thẳng  x  1,x    Giải:   Diện tích S của hình phẳng:  S  x  x  dx  1  x  x   dx  1 85   12 Dạng 2. Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x ), y  g( x ) liên tục đoạn  a;b  hai đường thẳng x  a,x  b có diện tích S tính theo cơng thức: b S   f ( x)  g ( x) dx a   Bài Tính diện  tích  của  hình phẳng giới  hạn bởi  đồ  thị  hai  hàm  số  y  x  x   và  y  x    Giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm   x                                x  x  x  x  x  x  2    x   x   Diện tích hình phẳng cần tính là  2     S   x  x  x dx    x  3x  x dx   x  x  x dx   2           x  3x  x dx    x  3x  x dx  1   Bài 5. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn  bởi đồ thị hàm số  y  x  x  và đồ thị hàm số  y  x  x   Giải:  6    x   Phương trình hồnh độ giao điểm:  x  x  x  x  x  x  x    x      x  2  Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là   1   S   x  x  x dx   x  x  x dx   x  x  x dx   2 2 37        x  x  x dx    x  x  x dx      12 12 2   Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  y  x  x , đường thẳng  y   và đường thẳng  x    Giải:  x   x    Phương trình hồnh độ giao điểm:  x  x     x   1 Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm:  S   x  x dx   x  x dx  0 2 1     Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ): y  x 3x   và đường thẳng   y = x  (đồ thị như hình vẽ).  y x O -3 -2 -1 -1 d -2 (C) -3                                                 Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là :   x  x  x  x 3x   x  x( 3x   1)        4  x  2 3x   16 x  7    Diện tích của hình phẳng cần tính:  2 x x 1 S x  dx   x  dx   x x  4dx    x x  4dx   4 2 2 S  56 56 56  56 112 28       9 9.4 9.4   Bài (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2016 – 2017)  Ơng An có một mảnh  vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m  và độ dài trục bé bằng 10m  Ơng muốn trồng  hoa trên một dải đất rộng  8m  và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ).  Biết  kinh phí để trồng  hoa là  100.000   đồng /1m  Hỏi  ơng An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó ?  8m (Số tiền được làm trịn đến hàng nghìn) A.   7.862.000  đồng.  B.   7.653.000  đồng.  C.   7.128.000  đồng.  D.   7.826.000  đồng.  Giải: x y2    Phương trình đường elip là   64 25 Diện  tích hình  phẳng  cần  tìm  là  S  2 4 25x 25  dx  2.38,2644591   (đổi biến  số  64 hoặc bấm máy tính casio).  Vậy số tiền ơng An cần là:  2.38,2644591.100000  7652891  7653000    Chọn đáp án B.      Bài 9. Ơng Hùng muốn làm một cổng đồng có hình dạng  và kích thước giống như hình vẽ kế bên, biết đường cong  phía  trên  là  một  parabol.  Giá  1m2 cổng  đồng  có  giá  là  7.000.000 đồng. Vậy ơng Hùng phải trả bao nhiêu tiền để  làm cổng đồng như vậy. (làm trịn đến hàng nghìn)      Giải:  8      Hình 7  Ta có mơ hình cổng đồng trong mặt phẳng tọa độ như hình vẽ trên. Diện tích cổng đồng  gồm diện tích hình chữ nhật và diện tích phần giới hạn bởi parabol   P   và trục hồnh.  Từ tọa độ 3 điểm thuộc parabol   P   ta tìm được phương trình của parabol   P   là: 2,5 2 15 55  P  : y   x   S     x   dx  5.1,5       m    25 25 2 2,5  Vậy số tiền ông Hùng cần trả để làm cổng đồng là:  55 7000000  64170000  (đồng)    Bài 10 Người ta trồng hoa vào phần đất được gạch sọc được giới hạn bởi cạnh  AB, CD,   đường trung bình  MN  của mảnh đất hình chữ nhật  ABCD  và một đường cong hình sin  (như hình vẽ). Biết  AB  2 (m )  và  AD  2(m )  Tính diện tích phần cịn lại A.   4    B.   4(  1)       4    C.   4  D.             Bài 11 (THPT Chun Đại học Vinh)  Trong Cơng viên Tốn học có những mảnh đất  mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một lồi hoa và nó được tạo thành bởi  một trong những đường cong đẹp trong tốn học. Ở đó  y có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành  từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ  Oxy   là  16y  x (25  x )   như  hình  vẽ  bên.  Tính  diện  x tích  S   của  mảnh  đất  Bernoulli  biết  rằng  mỗi  đơn  vị  trong hệ tọa độ Oxy  tương ứng với chiều dài   mét.  A.   S  125 (m )   B.   S  125 250 125 (m )   C.   S  (m )  D S  (m )   3 Giải: Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là  x  5, x  0, x    Diện tích của mảnh đất Bernoulli bằng 4 lần diện tích của mảnh đất nhỏ trong góc phần  tư thứ nhất.  9    Ta có:  S   125  Chọn đáp án D x 25  x dx  Bài 12. Một khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính bằng   (m). Trên đó người  thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với  tâm nửa hình trịn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường trịn (phần tơ màu),  cách nhau một khoảng bằng  (m), phần cịn lại của khn viên (phần khơng tơ màu)  dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ  Nhật Bản là 100.000  đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất  đó? (Số tiền được làm trịn đến hàng nghìn) 4m 4m 4m Giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương trình   nửa đường trịn là:    y  R2  x2  2   x  20  x   Phương trình parabol   P   có đỉnh là gốc  O  sẽ có dạng  y  ax  Mặt khác   P   qua điểm  M  2;4                                                                                   Hình 8  do đó:   a  2   a   Phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi   P   và nửa đường  2 trịn.   (phần tơ màu) Ta có:  S1   2   20  x  x dx  11,94m     Vậy phần diện tích trồng cỏ là  Strongco  Shinhtron  S1  19, 47592654   Vậy số tiền cần có là  Strongxo  100000  1.948.000  (đồng)    Phần ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ Dạng 1: Tính thể tích vật thể   Cắt vật thể C hai mặt phẳng  P  Q  vng góc với trục Ox x  a, x  b a  b  Một mặt phẳng vng góc với Ox điểm x a  x  b  cắt C theo thiết diện có diện tích S  x  Giả sử S  x  hàm liên tục đoạn a;b  10    Khi thể tích vật thể C giới hạn hai mặt phẳng  P  Q  tính theo b cơng thức V   S  x dx a Bài 13 Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng  x   và  x  , có thiết  diện bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục  Ox  tại điểm có hồnh độ  x 0  x  3  là  một hình chữ nhật có hai kích thước bằng  x  và   x , bằng:  A. V    B. V  18    C. V  20    D. V  22    Giải: Diện tích của hình chữ nhật có hai kích thước  x  và   x  bằng:  x  x Do vậy thể tích của vật thể đã cho bằng V   x  x dx    x   t  Đặt   x  t  x   t  xdx  tdt  Đổi cận      x   t    0   Suy ra V  2  t dt   t   18  Chọn B   3   Bài 14 Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng có phương trình  x   và  x  , biết  rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox  tại điểm có hồnh độ  x  0;2  là một phần tư đường trịn bán kính  2x , ta được kết quả nào sau đây?  A. V  32   B. V  64    16    C. V  D. V  8   Giải:   1 Ta có diện tích thiết diện là  S  x    x   x 2 1 x5  16 Thể tích cần tìm là V    x dx       Chọn C   0   Dạng 2: Tính thể tích khối trịn xoay Loại   Tính thể tích vật thể trịn xoay quay miền D giới hạn đường y  f  x ; y  ; x  a; x  b quanh trục Ox tính 11              theo công thức b              V    f  x dx a Bài 15 Tính thể tích V  của vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường  y  , y  0, x  1, x   quanh trục Ox x Giải:    4 2 Thể tích cần tìm  V      dx  4  dx  3   x x 1   Bài 16. Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các  đường  y  x  2x ,   y  0, x   và  x  Giải: Thể tích cần tìm:  1 V    ( x  x) dx    ( x  x  x )dx   ( 0 x5 x 8  x4  )    15   Bài 17. Cho hình thang cong (H )  giới hạn bởi các đường  y  e x , y  0, x  1, x    Tính thể tích V  của vật thể trịn xoay sinh ra khi cho hình  (H )  quay quanh trục hồnh.  Giải:   Thể tích cần tìm  V     e 1 x  dx    e x dx  1 e  e 2    Bài 18. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong  y  sin x ,  trục hồnh và hai đường  thẳng  x  0, x    Tính thể tích V  của khối trịn xoay thu được khi quay hình này  quanh trục Ox   Giải:     Thể tích cần tìm  V     sinx  dx    sin xdx     0   Bài 19. Kí hiệu (H )  là hình phẳng giới hạn bởi đường cong  y  tan x ,  trục hồnh và hai   đường thẳng  x  0, x    Tính thể tích V  của khối trịn xoay thu được khi quay hình  (H )  xung quanh trục Ox 12    Giải:     4   Thể tích cần tìm  V     tanx  dx    tan2 xdx        4  0   Bài 20 Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn  đường sau quanh trục hồnh Ox.  y  x  x , y = 0, x = 0, x = 1.  Giải: Thể tích cần tìm  1 5 3 15   V    x  x dx    ( x  x  x )dx   ( x  x  x )  38    2   Bài 21. Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn  đường sau quanh trục hồnh Ox.  y  ln x , y = 0, x = 1, x = e.  e e Giải:  Thể tích cần tìm  V     ln x  dx    ln  x  dx   1  u  ln x du  ln x dx  x   Đặt    dv  dx v  x e e e e e e 2 2 Do đó   ln xdx  uv      vdu  x ln x  -  x2lnx dx  e ln e  ln  2 ln xdx    e  I   1 x 1 1  u  ln x du  dx I  ln xdx ,     Đặt     x   dv  dx  v  x e  e e e e I   ln x  ( x ln x)   dx  e ln e  ln  ( x)  e  (e  1)    1 1 e e Suy ra  V    (ln x) dx    ln xdx = (e – 2).  1   Bài 22 Tính  thể  tích  V   của  khối  trịn  xoay  khi  quay  hình  phẳng  giới  hạn  bởi  y  sin 2x cos x, y  0, (0  x  )  xung quanh trục hoành Ox   Giải:     2 Thể tích cần tìm  V     sin 2x cosx  dx    sin 2x.cos xdx  0 2   Loại Hình phẳng D giới hạn đường y  f  x ; y  g  x  hai đường 13    x  a; x  b (với f  x  g  x   0, x  a; b  ) thể tích khối tròn xoay sinh quay b D quanh trục Ox tính cơng thức: V    f  x   g  x  dx   a   Bài 23 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số  y  x  x  và  y  x  khi quay quanh  trục  Ox  tạo thành khối trịn xoay có thể tích bằng bao nhiêu?  Giải: x  Xét phương trình hồnh độ giao điểm  x  x  x  x  x  1     x  Thể tích khối trịn xoay cần tìm là   V    2 x  x  2  x     x dx    3 x  x  x dx    x  x        2                                    Bài 24 Thể tích vật thể trịn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường  y  x ,  y  x  quay quanh trục hoành bằng bao nhiêu?  Giải: x  x2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm   x  x  x       x  4 Thể tích khối trịn xoay cần tìm là V                                                             x     x dx      x x  x4 128  x dx          80  16 15 Bài 25 Cho hình phẳng   H   giới hạn bởi các đường  y  x ,  y  x  và  x   Tính  thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình   H   quanh trục hồnh.  Giải: x   Phương trình hồnh độ giao điểm là  x  x    x 0  x  x   Thể tích khối trịn xoay cần tìm là V    x  x dx   14    x  Xét phương trình:  x  x       x  1 4 Do đó V    x  x dx    x  x dx    x  x dx     x  x dx   2 1          x3 x2  x3 x2  41                                              Bài 26. Gọi (H )là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = –x2  , trục hồnh và  đường  thẳng y = x + 2 .  Giải: Gọi V1 là thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi  bốn  đường y = x + , y = 0, x = -2, x = 1 quanh trục hoành Ox .  1 V1    ( x  2) dx    ( x  x  4)dx   ( 2 2 x3  x  x)  9   2 Gọi V2 là thể tích của vật thể trên trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn  đường  y = 4- x2 , y = 0, x = x = 2  quanh trục hoành Ox.  2 53 2 y V2    (4  x ) dx    (16  x  x )dx    15 Thể tích của vật thể trịn xoay cần tính là :   d 53 188 V  V2  V1   9    (C) 15 15     x -3 -2   -1 O -1   -2       Loại Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng D giới hạn đường x  g  y  , trục tung hai đường y  c , y  d quanh trục Oy tính theo d cơng thức: V    g  y dy   c Bài 27. Cho hình phẳng giới hạn bởi các các đường:  y  ln x ,  trục tung, và  hai đường  thẳng  y = 0, y = 1 .Tính thể của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng trên quanh  trục tung .  Giải:   y Ta có  y  ln x  x  e   15    Do đó thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng tạo bởi đồ thị hàm số  x  e y , trục tung và hai đường thẳng  y = 0, y = 1 là :  V    e y dy   2y 1  e   (e  e0 )  (e  1)   2   Bài 28 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong  (C) :  x  y  , trục tung, hai  đường thẳng  x = , y = 2. Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình  phẳng (H) quanh trục tung.                                          Giải: Ta có   (C ) : x  y   y   x  y   x      , y  0       Gọi V1 là thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi nửa elip  (E ) , trục tung và hai đường  y = 0, y = 1   quanh trục tung .  1   11 11 2 V1    (  x ) dx   (4  x )dx     40 12 Gọi V2 là thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi  đường  thẳng  y = 2, trục tung và hai đường y = 0, y =1  quanh trục tung.  2 V2    dx    4dx  8   0 Thể tích của vật thể trịn xoay cần tính là :  V  V2  V1  8  11 85   12 12   Loại Một số tốn khác Bài 29. Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường trịn có phương trình  (C):  x  y  16  với  y   (hình vẽ). Quay nửa hình trịn đó quanh trục hồnh ta được một mặt cầu có bán  hính bằng   Tính thể tích của mặt cầu này.  y Giải:   (P) Ta có  x  y  16  y  16  x    vì  y   . Khi đó thể tích khối cầu là :   V   4  16  x 2  dx  2  16  x  dx    x -2 -r -1 r -1   256     2     3        16    O   Bài 30 Một khối cầu có bán kính bằng 5 dm, người ta cắt bỏ hai đầu bằng hai mặt phẳng  vùng vng góc với một đường kính của khối cầu và cách tâm khối cầu một khoảng bằng  4 dm để làm một chiếc lu đựng nước. Thể tích cái lu bằng  A 500 2296  952 dm3    B dm3       C dm   15 27 [6]  D 472 dm Giải: Chọn D Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau,   mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích  R V1     R  x  dx     25  x  dx  2 d 14   Vậy thể tích của chiếc lu là :  14 472 V  Vc  2V1   53     3                                                                                           Bài 31 Có một vật thể là hình trịn xoay có dạng giống  cm B như một cái ly như hình vẽ dưới đây. Người ta đo được  A O đường kính của miệng ly là  4cm  và chiều cao là  6cm  Biết  rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là  một parabol. Tính thể tích  V  cm   của vật thể đã cho.  A.  V  12   C.  V  72    cm B.  V  12   D.  V  72   I Giải: Chọn A   Chọn gốc tọa độ  O  trùng với đỉnh  I  của parabol   P   Vì parabol   P   đi qua các điểm  A  2;6  , B  2;6    và  I  0;0    nên  parabol   P    có  phương  trình  y x   Ta  có  2 x  x  y  Khi đó thể tích của vật thể đã cho là  2  V     y  dy  12  cm3                                        0 y                Bài 32 Một vật thể bằng gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy bằng  10  cm   Cắt khối  trụ bởi một mặt phẳng có giao  tuyến với đáy là một đường kính của đáy và tạo với đáy  góc  45o  Thể tích của khối gỗ bé là    A 2000 1000 cm3                B cm3        3 17        C 2000 2000 cm3                D cm3   [8]   Giải: Chọn A                                 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó khúc gỗ bé có đáy là nửa hình trịn có phương  trình:  y  100  x ,  x   10,10  Một một mặt phẳng cắt vng góc với trục  Ox  tại điểm  có hồnh độ  x ,  x   10,10 , cắt khúc gỗ bé theo thiết diện có diện tích là  S  x   (xem hình).  1 100  x   2 2000 100  x dx  cm3   Dễ thấy  NP  y  và  MN  NP tan 45o  y  100  x  Suy ra   S  x   MN PN  10 Khi đó thể tích khúc gỗ bé là :    V   10 S  x  dx  10 10         Bài 33. Gọi V  là thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các  đường  y  x , y    và  x    quanh  trục  Ox   Đường  y M thẳng  x  a, (0  a  4)   cắt  đồ  thị  hàm  y  x   tại  M   (hình vẽ bên). Gọi V1  là thể tích khối trịn xoay tạo thành  khi  quay  tam  giác  OMH   quanh  trục  Ox   Biết  rằng  O V  2V1  Tính  a   A.   a  2,   H a C.   a  2   B.   a    D a  Giải: Ta có V    xdx  8  V1  4   Mặt khác ta lại tính được V1  a   a   4  a  Từ đó suy ra được a    Chọn đáp án B.    18      a   x Bài 34 Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối trịn xoay được tạo thành khi quay  hình phẳng giới hạn bởi các đường  y  x   (đồ thị như hình vẽ bên dưới) và trục  Ox   quay quanh trục Ox  Biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là  2 dm  và   dm  Tính  thể tích V  của lọ   A.  V  8 dm   B.  V  15 dm         C.  V   dm         D.  V  17  dm   Bài 35. Coi cái trống trường là vật thể giới hạn bởi một mặt cầu bán kính  R  0, 5m  và  hai mặt phẳng song song cách đều tâm  I  Biết chiều cao của trống là  h  0, 8m  Tính thể  tích V  của cái trống A.  V  472 (m )     B.  V  375 (m )   59 C.  V  59 (m )         D.  V  472 (m )   375 39 Bài 36 Gọi  (H )  là phần giao của hai khối   hình trụ có bán kính  a,  hai trục hình trụ  vng góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích V  của  (H )   A.  V(H ) 2a    B.  V(H )  2a   C.  V(H )  a3   a D.  V(H )  a   a Giải:   Dùng hệ trục tọa độ Oxyz, từ đó tìm ra được diện tích thiết diện  S x   a  x   a a 0 Thể tích của khối (H) cần tìm là: V(H )   S x dx   a  x dx  2a   Chọn đáp án A  Bài 37. Cho hai đường tròn  (O1;5)  và  (O2 ; 3)  cắt nhau tại hai điểm  A  và  B  sao cho  AB  là  một đường kính của đường trịn  (O2 )  Gọi  (D )  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai  đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần gạch chéo như hình vẽ). Quay  (D )  quanh trục  O1O2 ,  ta được một khối trịn xoay. Tính thể tích V  của khối trịn xoay được tạo thành ?  19    A.  V  14   B.  V  68       40 C.  V        D V  36   Bài 38 Cho (H )  là hình phẳng giới hạn bởi   cung trịn có bán kính  R  2,  đường cong  y   x  và trục hồnh (miền tơ đậm như hình vẽ).    Tính thể tích  V  của khối tạo thành khi cho hình  (H )   quay quanh trục Ox   A.  V  77   B.  V  67   C.  V  53   66   D.  V          Bài 39 Trong chương trình nơng thơn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tơng  như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là  y các đường Parabol) A.   19m   B.   21m   C.   18m   x O D 40m Giải: Dùng hệ trục tọa độ như hình vẽ  Từ đó tìm được phương trình parabol  P1  : y  Khi đó thể tích của khối bê tơng là: V  40m       20    8 x  2, 361 P  : y  1 x    40 Các thông tin cần bảo mật (nếu có): Khơng  Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Với học sinh: Học sinh lớp 12 THPT Nguyễn Viết Xuân.  - Với giáo viên: Giáo viên cần nắm chắc đối tượng học sinh để có phương pháp dạy học  hữu hiệu nhất.  - Người giáo viên cần phải biết vận dụng sáng tạo các phương pháp, ln ln khơng  ngừng tìm tịi, tham khảo các tài liệu, tham khảo đồng nghiệp, xâu chuỗi chúng lại và  xây dựng thêm những bài tốn có nội dung thực tiễn phát triển năng lực thực tiễn cho  học sinh.  10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu - Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa rồi, tài liệu “Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng tính thể tích vật thể” đã giúp học sinh khắc phục được những “sai  lầm” và những khó khăn khi gặp bài tốn tính diện tích của hình phẳng cũng như tính thể  tích của vật thể trịn xoay ở chương trình giải tích 12.   - Sau một thời gian áp dụng đề tài này trong giảng dạy tơi thấy số lượng giỏi, khá, đã có  tăng lên mặc dù số lượng trung bình vẫn cịn. Nhưng đối với tơi, điều quan trọng hơn cả  là đã giúp các em thấy bớt khó khăn trong việc học tập bộ mơn tốn, tạo niềm vui và hưng  phấn mỗi khi bước vào tiết học.  - Bản thân giáo viên khi viết đề tài này cũng đã tự trau dồi cho mình về chun mơn và  cũng có được những kĩ năng phân tích tổng hợp tốt.  - Sáng kiến kinh nghiệm này là một tài liệu hữu ích cho học sinh học tập và cho những  giáo viên khác trau dồi thêm kinh nghiệm, làm tài liệu tham khảo.    11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu:    21    Số Tên tổ chức/cá TT  nhân  1  Tô Ngọc Dũng  Địa chỉ  Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến THPT Nguyễn Viết Xuân  Học sinh khối lớp 12.    ……….,ngày…tháng…năm…  Thủ trưởng đơn vị  Chính quyền địa phương  (Ký tên, đóng dấu)   ……….,ngày…tháng…năm…  CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG  KIẾN CẤP CƠ SỞ  (Ký tên, đóng dấu)        22    ……….,ngày…tháng…năm…  Tác giả sáng kiến                ...  (đồng)    Phần ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ Dạng 1: Tính thể tích vật thể   Cắt vật thể C hai mặt phẳng  P  Q  vng góc với trục Ox x  a, x  b a  b  Một mặt phẳng vng góc... diện tích hình phẳng tính thể tích vật thể? ?? đã giúp học sinh khắc phục được những “sai  lầm”? ?và? ?những khó khăn khi gặp bài tốn? ?tính? ?diện? ?tích? ?của? ?hình? ?phẳng? ?cũng như? ?tính? ?thể? ? tích? ?của? ?vật? ?thể? ?trịn xoay ở chương trình giải? ?tích? ?12.  ... - Để giúp các em học sinh hiểu rõ ý nghĩa? ?hình? ?học của? ?tích? ?phân. ? ?Ứng? ?dụng? ?tích? ?phân? ? trong các bài tốn thực tế về? ?diện? ?tích? ?hình? ?phẳng? ?và? ?thể? ?tích? ?vật? ?thể.   3    - Nêu các dạng tốn, các phương pháp giải cho từng dạng tốn, hướng dẫn cho học sinh