Bài giảng Giải tích 12 – Tiết 60: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Tiết 60 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ?1 Nhắc lại định lí mối liên hệ diện tích hình thang cong tích phân? Định lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục, khơng âm đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, đường thẳng x =a, x= b là: b S = ∫ f ( x)dx a H1 Nhóm 1: Tính diện tích hình trịn bán kính R giới hạn đường trịn có phương trình : x2 + y2 = R2 Thực tập sau: Nhóm 2: + Tính diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = x2, trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = + Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 từ so sánh diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = - x trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = với kết trờn Nhóm 3: Tính diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 6, trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = Nhóm 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 – 2x + 1, trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = Lời giải Xét đường tròn có phương trình: x2 + y2 = R2 N1 Diện tích hình trịn bán kính R là: S = 4S’ S’ diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm y = Rsố − x2 hai đường thẳng x = x = R R Ta có:S' = ∫ R − x dx Đặt x = Rsint, dx = Rcostdt x = t = 0; x = R t = π/2  π R − x = R − R sin t = R cos t ( t ∈ 0;  )  2 R 2 2 S' = ∫ R − x dx π π π + cos t R sin t πR   = ∫ R cos t R cos tdt = R ∫ dt = t + 2 = 2  0 0 Vậy S = 4S’ = πR2 Quay lại… N2 Vậy diện tích hình thang cong giới hạn thị hàm y = f(x) + Diện tíchđồhình thangsốcong giớiliên hạn trụcOx Ox đồtục, thị âm hàm sốđoạn y = [a;b], x2, trục hai hai đường = 2a,là: x = b gì? đường thẳng thẳng x = 1, xx = y y = x2 x3 S1 = ∫ x dx = 1 = x + Căn vào hình vẽ nhận thấy: Diện tích hình thang cong Diện giới tích hạn hình bởithang đồ thịcong hàmgiới hạn sốbởi y =đồ - xthị , trục hàmOx sốvà y= hai f(x) liên tục, đường âm thẳng đoạn x =[a;b], 1, x =trục là: Ox hai đường thẳng x = a, x = b là: S2 = S1 = b S = ∫ − f ( x )dx a y = - x2 Tiếp tục… N3 Diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + , trục Ox hai đường thẳng x = 1, x = là: S = ∫ ( x − 3x + 6)dx  x4 3 =  − x + 6x   1  81  1  =  − 27 + 18  −  − +    4  =6 Quay lại… N4 Diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = x2 – 2x + , trục Ox hai đường thẳng x = 1, x = là: S = ∫ ( x − 2x + 1)dx  x3 3 =  − x + x   1  27  1  =  − +  −  − + 1   3  = Quay lại… Nhận xét: Từ kết nhóm Diện tích hình phẳng giới hạn nhóm 4, tính diện tích hình đồ thị hàm số: phẳng giới hạn đồ thị y = x3 – 3x2 hàm số: + , y = x23 - 2x 2+ hai y = x – 3x + , y = x - 2x + đường thẳng x = 1, x = là: hai đường thẳng x = 1, x 3? S = S= – S4 1 = ∫ ( x − x + 6)dx − ∫ ( x − x + 1)dx Vậy8diện 10tích hình phẳng =giới − hạn = đồ thị hàm3 số y = f(x), y = g(x) liên tục đoạn [a;b] hai đường thẳng x = a, x = b bằng? 2x + x 2y= x +6 y = x – 3x y Tiếp tục… Một số cơng thức cần nhớ a) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a;b], trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b là: b S = ∫ f ( x ) dx a b) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục đoạn [a;b] hai đường thẳng x = a, x = b b S = ∫ f ( x) − g( x) dx a Quay lại… Một số ví dụ Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 – 1, trục tung, trục hoành đường thẳng x = y Lời giải: y = x3 - Đặt f(x) = x3 – Ta có: f(x) ≤ [0;1] f(x) ≥ [1; 2] Diện tích hình phẳng cần tìm là: S = ∫ x − 1dx = ∫ (1 − x )dx + ∫ ( x 3 11 = + = 4 − 1)dx x Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: f1(x) = x3 – 3x f2(x) = x Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số f1(x) = x3 – 3x f2(x) = x là: y f1(x) =x – 3x  x = −2 x − 3x = x ⇔ x − 4x = ⇔  x =  x = Diện tích hình phẳng cần tìm là: S= ∫ x − 4x dx −2 x = ∫ ( x − x )dx + ∫ (4 x − x )dx −2  x4   2 x 2 =  − 2x  +  2x −  0  −2  = 4+4 =8 f2(x) =x Bài tập vận dụng Thực H1 H1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ hàm sách số: y = – H2thịtrong x2, đường thẳng x = 3, trục tung trục hoành.giáo khoa! H2 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y = x + Parabol y = x2 + x - H1: Giải: Đặt f(x) = – x2, f(x) ≥ [0; 2] f(x) ≤ [2; 3] nên: S=∫ 23 − x dx = ∫ ( − x )dx + ∫ ( x − 4)dx = 2 H2: Giải: PT hoành độ giao điểm: x2 + x - = x + x = -2; x = Vậy: 32 S = ∫ − x dx = −2 Chú ý: + Để khử dấu giá trị tuyệt đối công thức: b S = ∫ f ( x) − g ( x) dx a Ta thực sau: • Giải phương trình f(x) – g(x) = đoạn [a; b], giả sử pt có nghiệm c, d (a ≤ c < d ≤ b) • Trên đoạn [a;c], [c;d], [d;b] f(x) – g(x) khơng đổi dấu • Trên đoạn đó, chẳng hạn đoạn [c; d], ta có: d d c c S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ [f ( x ) − g ( x )]dx Củng cố: y= - Ghi nhớ cơng thức tính diện tích hình phẳng y - Bài tập đề nghị: y = x2 - 4x + Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y = x2 – 4x +3, y = - 2x + y = 2x – -2x − x + − ( −2 x + 2) dx [ ] + ∫ x − x + − ( x − 6) d x 2 = 2x ] y= S= -6 +2 ∫ [x x ... Nhận xét: Từ kết nhóm Diện tích hình phẳng giới hạn nhóm 4, tính diện tích hình đồ thị hàm số: phẳng giới hạn đồ thị y = x3 – 3x2 hàm số: + , y = x23 - 2x 2+ hai y = x – 3x + , y = x - 2x + đường... = Nhóm 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 – 2x + 1, trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = Lời giải Xét đường trịn có phương trình: x2 + y2 = R2 N1 Diện tích hình trịn... vận dụng Thực H1 H1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ hàm sách số: y = – H2thịtrong x2, đường thẳng x = 3, trục tung trục hoành.giáo khoa! H2 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng