NW359 360 DẠNG 48 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG tỉ số DIỆN TÍCH GV

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TỐN 48: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ( TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH ) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Tính diện tích hình phẳng  Dạng : Biết cận tích phân y = f (x), y = g(x) Cho miền D giới hạn đồ thị hai hàm hai đường thẳng b x = a, x = b,(a < b) S = ∫ f (x) − g(x) dx a Khi diện tích miền D là: b • TH 1: Nếu • TH 2: Nếu S= f (x) − g(x) = f (x) − g(x) = vơ nghiệm có nghiệm ∫ [ f (x) − g(x)] dx S= ( a;b ) a a < x1 < x < < x n < b x1 x2 b a x1 xn thì: ∫ [ f (x) − g(x)] dx + ∫ [ f (x) − g(x)] dx + + ∫ [ f (x) − g(x) ] dx b • Chú ý: Nếu g(x) = S = ∫ f (x) dx (trục Ox) TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA a Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ  Dạng 2: Chưa biết cận tích phân Cho miền D giới hạn đồ thị hai hàm + Giải phương trình S= f (x) − g(x) = y = f (x), y = g(x) tìm nghiệm x1 < x < < x n x2 x3 xn x1 x2 x n −1 ∫ [ f (x) − g(x)] dx + ∫ [ f (x) − g(x) ] dx + + ∫ [ f (x) − g(x) ] dx + Tình Chú ý: Nếu biết cận ta tìm cận cịn lại  Dạng 3: Miền cần tính giới hạn đồ thị + Tìm giao điểm cặp đồ thị + Vẽ đồ thị xác định miền D + Chia miền D để tính diện tích phần cộng lại DIỆN TÍCH CÁC HÌNH ĐẶC BIỆT: Hình elip Cho elip có phương trình diện tích elip là: x y2 + =1 a b2 S = πab , Hình parabol Diện tích parabol có chiều cao h bán kính S = r.h đáy r là: II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Câu hỏi lý thuyết ứng dụng hình học tích phân  Xây dựng cơng thức tính diện tích theo hình vẽ • Diện tích hình phẳng y = f ( x ) , Ox  Diện tích hình phẳng y = f ( x) , y = g ( x) y = f ( x) , y = g ( x) , y = h ( x)  Diện tích hình phẳng  Diện tích hình phẳng dựa vào đồ thị … BÀI TẬP MẪU TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Cho hàm số bậc ba trị hai điểm y = f ( x) x1 , x2 có đồ thị đường cong hình vẽ bên Biết hàm số thỏa mãn x2 = x1 + phẳng gạch hình bên Tỉ số A 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ S1 S2 f ( x1 ) + f ( x2 ) = Gọi S1 S2 f ( x) đạt cực diện tích hai hình 8 B C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong HƯỚNG GIẢI: B1: Từ đồ thị hàm số suy phương trình hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d B2: Dựa vào giả thiết tìm mối liên hệ hệ số hàm số: ⇒ f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c y = f ( x) = ax3 + bx + cx + d x2 = x1 + f ′ ( x1 ) = f ′ ( x2 ) = ⇒ f ′ ( x ) = 3a ( x − x1 ) ( x − x2 ) = 3a ( x − x1 ) ( x − x1 − ) ⇒ f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = a ( x − x1 ) − 3a ( x − x1 ) + C Suy C f ( x ) = ⇒ a ( x − x1 ) − ( x − x1 )   x = x1 + −  +  = ⇔  x = x1 +    x = x1 + + B3: Từ tính diện tích phần theo công thức Suy tỉ số diện tích Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn D Cách f ( x ) = ax3 + bx + cx + d a > ⇒ f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c Gọi , với TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ f ′ ( x1 ) = f ′ ( x2 ) = ⇒ f ′ ( x ) = 3a ( x − x1 ) ( x − x2 ) = 3a ( x − x1 ) ( x − x1 − ) Theo giả thiết ta có ⇒ f ′ ( x ) = 3a ( x − x1 ) − 6a ( x − x1 ) ⇒ f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = a ( x − x1 ) − 3a ( x − x1 ) + C f ( x1 ) + f ( x2 ) = ⇒ f ( x1 ) + f ( x1 + ) = ⇒ C + 8a − 12a + C = ⇒ C = 2a Ta có f ( x ) = a ( x − x1 ) − 3a ( x − x1 ) + 2a = a ( x − x1 ) − ( x − x1 ) +    Do f ( x ) = ⇒ a ( x − x1 ) − ( x − x1 )  S2 = Suy = x1 +1 ∫ x1 x1 +1 x1 +1 x1 x1 ∫ f ( x ) dx = ∫  x = x1 + −  +  = ⇔  x = x1 +    x = x1 + + a ( x − x1 ) − ( x − x1 ) +  dx   a ( x − x1 ) − ( x − x1 ) + 2 d ( x − x1 )   x1 +1  ( x − x1 )  = a − ( x − x1 ) + ( x − x1 )    x = 5a S1 + S = x1 +1 x1 +1 ∫ f ( x ) dx = f ( x ) ∫ x1 x1 dx = f ( x1 ) = 2a ⇒ S = 2a − S = 3a Mặt khác ta có S1 = S2 Vậy Cách Rõ ràng kết tốn khơng đổi ta tịnh tiến đồ thị sang trái cho điểm uốn trùng gốc tọa độ O Gọi b=d =0 f ( x ) = ax + bx + cx + d f ( x ) = ax + cx 3ax + c = hàm số dễ thấy có hai điểm cực trị tương ứng f ( x) −1,1 lẻ nên có nghiệm f ( x ) = k ( x3 − 3x ) , k > Từ dễ dàng có S1 + S = ( −1) f ( −1) = 2k Xét diện tích hình chữ nhật Ngồi ra, S = k ∫ x − x dx = k −1 S1 5k 3k = S1 = 2k − = S2 4 Vì TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Diện tích hình phẳng giới hạn parabol tơ đậm hình vẽ bên dưới) S= A 11 S= B 73 12 y = ( x − 2) , đường cong S= C Lời giải: 12 y = x3 trục hoành (phần S= D Chọn C Hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số S = ∫ x3dx + ∫ ( x − ) dx Vậy Câu Cho hàm số y = f ( x) ( A),( B) I =− A S= hay liên tục ¡ 12 y = ( x − 2) I =2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA x =1 có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích hình π cos x f ∫ I= y = x3 Tích tích phân B C Lời giải (5sin x − 1) dx D I = −2 Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn A Theo đề π ∫ Câu ∫ f ( x)dx = 3, −1 ∫ S1 = S2 f ( x )dx = −7 π ∫ (H) Cho hình thang cong để cos x f (5sin x − 1) dx = x = k (0 < k < ln 4) chia f (5sin x − 1)d (5sin x − 1) = f (t ) dt =  −1 5 ∫ ∫ −1 f ( x)dx + ∫ 4 f ( x) dx  = −  y = e x y = x = x = ln giới hạn đường , , , Đường thẳng (H) thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k y S2 S1 x O k k= ln A k = ln ln k = ln B k = ln C D Lời giải Chọn D Cách 1: k k S1 = ∫ e x dx = e x = e k − Ta có S2 = ln ∫ e x dx = e x Ta có Cách 2: Câu Cho (với ( H) Y ln biểu thức Y X giá trị bất kỳ, Y giá trị đáp án A, B, C, vô nhỏ đáp chọn đáp án đó, khơng thỏa mãn chọn hình phẳng giới hạn parabol 0≤ x≤2 X X ∫ e dx − ∫ e dx Bước : Dùng chức CALC, gán kết D = − ek S1 = S ⇔ e k − = ( − e k ) ⇔ k = ln Bước : NHẬP k k S1 − S2 ln y = 3x2 , cung trịn có phương trình ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA (H) y = − x2 Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ y 2 x O A 4π + 12 B 4π − C Lời giải 4π + − D − 2π Chọn B y = 3x2 Phương trình hồnh độ giao điểm parabol 0≤ x≤2 Cách 1: Diện tích (với ) − x2 = 3x2 ⇔ − x2 = 3x4 ⇔ x = S=∫ cung tròn y = − x2 x dx + ∫ ( H) 0≤ x≤2 (vì ) − x dx = 31 x +I = +I 3 với I =∫ − x dx  π π t ∈ − ;  x = 2sin t  2  ⇒ dx = 2cos t.dt Đặt: , x =1⇒ t = Đổi cận: π π x =2⇒t = , π π π 6 I = ∫ π2 − 4sin t 2cos t.dt = ∫ π2 cos t.dt = ∫ π2 ( + cos 2t ) dt = ( x + sin 2t ) S= Vậy 3 2π 4π − +I = + − = 3 Cách 2: Diện tích ( H) Tức ( Cho hai hàm số 2π − trừ diện tích hình ) − x − x dx f ( x ) = ax + bx + cx − Câu = diện tích phần tư hình trịn bán kính Oy phẳng giới hạn cung trịn, parabol trục S =π −∫ π π g ( x ) = dx + ex + với a , b, c , d , e ∈ R Biết y = f ( x) y = g ( x) −2; −1;1 đồ thị hàm số cắt ba điểm có hồnh độ (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị có diện tích bằng? TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A 37 Chọn A B 13 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ C Lời giải: D f ( x ) − g ( x ) = ⇔ ax + ( b − d ) x + ( c − e ) x − = Xét phương trình −2; −1;1 Áp dụng định lý Vi − et ∫ ( 2x −1 −2 Câu Cho hai hàm số ) y = f ( x) Suy + x − x − dx − ∫ f ( x ) = ax3 + bx + cx − thị hàm số (tham khảo hình vẽ) có nghiệm x1; x2 ; x3 cho phương trình bậc ta được: b−d   x1 + x2 + x3 = − a = −2  c −e  = −1  x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 =  a=2 a   ⇔ c − e = −2  x1 x2 x3 = = b−d =  a   Diện tích hình phẳng: 37 12 y = g ( x) −1 f ( x ) − g ( x ) = x3 + x − x − ( 2x ) + x − x − dx = g ( x ) = dx + ex + 37 ( a , b , c, d , e ∈ R ) Biết đồ cắt ba điểm có hồnh độ −3; −1; Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A 253 12 B 125 12 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 253 48 C Lời giải: D 125 48 Chọn C −3;1; Theo giả thiết hai đồ thị hàm số cắt điểm nên ta có:    −27 a + 9b − 3c − = 9d − 3e + −27 a + ( b − d ) − ( c − e ) − =  a =       ⇔ ⇒ − a + b − c − = d − e + − a + b − d − c − e − = ( ) ( )    b−d = 2        8a + 4b + 2c − = 4d + 2e +  8a + ( b − d ) + ( c − e ) − = c − e = − Vậy diện tích cần tính là: S= = 3  ∫ −3 ax + ( b − d ) x + ( c − e ) x −  dx + −1 ∫ −1 3   ax + ( b − d ) x + ( c − e ) x −  dx 1 26 15 3 63 253 ( −20 ) + − ( −4 ) − + + − − = + = 4 4 2 16 48 Cách f ( x ) − g ( x ) = ⇔ a ( x + 3) ( x − ) ( x + 1) = Ta có: ( ) ⇔ x + x + ( x − ) = ⇔ x3 + x − x − = ax3 + ( b − d ) x + ( c − e ) x − = Đồng hệ số với phương trình ⇒ f ( x ) − g ( x ) = ( x3 + x − 5x − ) S=∫ Do −3 253 ( x + 3) ( x + 1) ( x − ) dx = 48 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ta có: − a = ⇒a= −6 Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Cho đường thẳng y=x 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ y= va parabol x +a S1 , S2 a ( tham số thực dương) Gọi diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi khoảng đây?  2 − 3; ÷   A B  1  0; ÷   1 2  ; ÷ 3 5 C Lời giải: S1 = S2 a thuộc 2 3  ; ÷ 5 7 D Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số 1 x = x2 + a ⇔ x2 − x + a = ∆ = − 2a 2 (có ) 0  ⇔ 9 ( − 32a ) = ( 64a − ) Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ  a≥  64   a≥ 27  ⇔ ⇔  a = ⇔ a = 64 128 4096a − 864a =  27 a = 128  Ông An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m 16m độ dài trục bé 10m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như 1m 100.000 hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa đồng/ Hỏi ơng An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn.) 8m A 7.862.000 đồng B 7.653.000 7.128.000 đồng C Lời giải: đồng D 7.826.000 đồng Chọn B Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Giả sử elip có phương trình Từ giả thiết ta có x2 y2 + =1 a b2 2a = 16 ⇒ a = Vậy phương trình elip 2b = 10 ⇒ b = 5   y = 64 − x ( E1 ) x2 y   + =1⇒  64 25  y = − 64 − x ( E )  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 12 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Khi diện tích dải vườn giới hạn đường dải vườn S = 2∫ ( E1 ) ; ( E2 ) ; x = −4; x = diện tích 5 64 − x dx = ∫ 64 − x dx −4 S= x = 8sin t 40π + 20 3 Tính tích phân phép đổi biến , ta  40π  T = + 20 ÷.100000 = 7652891,82 ; 7.653.000   Khi số tiền (H ) y = −x + 4x Câu 10 Gọi hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hoành Hai đường (H ) y=m y=n thẳng chia thành phần có diện tích nhau( tham khảo hình vẽ) Giá trị biểu thức T= A 320 T = (4 − m)3 + (4 − n)3 T= B 512 15 T = 405 C Lời giải T= D 75 Chọn A *) Chứng minh cơng thức tính nhanh diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ax + bx + c (a ≠ 0) x1 , x2 x1 < x2 cắt trục hoành điểm trục hoành ( ) y = ax + bx + c (a ≠ 0) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hoành S= x2 ∫ ax + bx + c dx x1 Khơng tính tổng qt, sử a 2− 4+ m > ⇔ m < TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 19 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ  x = ± + + m = ±t   x = ± − + m = ±t  Khi ta có bốn nghiệm Theo tính đối xứng đồ thị hàm trùng phương, nên để thỏa yêu cầu toán ta cần có t2 ∫( x t1 ⇔ t2 t x x − 20 x − 15m ) = ( 15 ⇔ 3t14 − 20t12 − 15m = Mặt khác ta có Vậy Câu t1 − x − m ) dx = − ∫ ( x − x − m ) dx ⇔ ∫ ( x − x − m ) dx = t14 − 4t12 − m = T = a − b = 11 2t12 = −3m ⇔ + m = −4 − 3m ⇔ m = − Suy Cho hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng đồ thị hàm số A I = 66 y = x3 S= có diện tích B I = 60 a b , với a, b ∈ ¥ C Lời giải I = 59 a b tối giản Tính D 20 y = x, y = x I = a −b I = 67 Chọn C Đồ thị ba hàm số cho minh họa hình vẽ bên Trong góc phần tư thứ nhất, xét phương trình hồnh độ giao điểm: x =1 x3 = x ⇔ x = + x=2 + Hình phẳng cần tính diện tích phần gạch sọc, chia làm hai vùng Theo hình vẽ ta có x3 = x ⇔ x = S = ∫ ( x − x ) dx + Suy a = 63 b = , Vậy I = a − b = 59 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 2 ∫ ( x − x ) dx = 63 Trang 20 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu p > 1, q > 1, p, q Cho số 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ thỏa mãn điều kiện y = x p −1 ( x > ) có đồ thị ( C) Gọi S1 1 + =1 p q số dương diện tích hình phẳng giới hạn ( C) Xét hàm số , trục hoành, ( C) S2 x=a a, b đường thẳng Gọi diện tích hình phẳng giới hạn , trục tung, đường thẳng y=b S Gọi diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, trục tung hai đường thẳng x = a, y = b Khi so sánh S1 + S S ta nhận bất đẳng thức bất đẳng thức a p bq + ≤ ab p q A B a p −1 b q −1 + ≥ ab p −1 q −1 C Lời giải: a p +1 b q +1 + ≤ ab p +1 q +1 D a p bq + ≥ ab p q Chọn D S < S1 + S2 Ta có b a ( S1 = ∫ x p −1 Vì: p 1 +1 = = = =q p −1 p −1 1− 1 p q Vậy Câu Biết )   +1 p p p −1  ÷  y q  b bq   b x  a y p −1 ÷ = ÷ = dx =  ÷ = ; S = ∫  y ÷dy =   ÷ p  +1÷  q  q  p 0    p −1 ÷  0 a S1 a p bq + ≥ ab p q ( P ) : y = x2 24 ( E) : chia S2 ( S1 < S2 ) x2 y + =1 16 T= Gọi TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA S2 S1 thành hai hình ( H1 ) ( H2 ) có diện tích , khẳng định sau đúng? Trang 21 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A T ≤3 < T < 16 B 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 16 ≤ T < 1980 C Lời giải D T > 1980 Chọn A + x2 y E : ( ) + =1 16 ⇒ a = 16  a = ⇒  b = b = nên ta có Diện tích elip là: S = π ab = 4π ( P)  2  x = 12 x x  24 ÷ ⇔  + =1  x = − 12 16 ( E) + Phương trình hồnh độ giao điểm 12  12 x2 x2  1 12 S1 = ∫  − − ÷.dx = ∫ 16 − x dx − x =I−  16 24 ÷ 36   14 4 43 I + Ta có I= * Tính  Đặt 12 ∫ 16 − x dx  π x = 4sint , t ∈ 0;   3 ⇒ dx = 4cos t.dt x=0⇒t =0 x = 12 ⇒ t =  Đổi cận ⇒ I= 12 ∫ π π π π 0 16 − x dx = ∫ 16 − 16s in 2t cos tdt = ∫ 2cos 2tdt = ∫ ( + cos 2t ) dt TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 22 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ π π  4π + 3   =  t + sin 2t ÷ =  + 4π + ÷= ÷ ⇒ S1 = I − =  0 3  S2 = S − S1 = 4π − Câu 4π + 8π − ⇒ T = S = 8π − ; 1,64 ≤ = S1 4π + 3 + Ta có (H) ( C) y= x Ox Gọi hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục đường thẳng x=9 Cho điểm M thành hình phẳng giác OMA S =3 (H) S điểm quay quanh trục quay quanh trục Tính diện tích A thuộc đồ thị ( C) Ox Biết A ( 9;0 ) Ox V2 V1 = 2V2 , Gọi V1 thể tích khối trịn xoay tạo thể tích khối trịn xoay tạo thành tam ( C) OM phần hình phẳng giới hạn đồ thị đường thẳng 27 3 S= S= S= 16 B C D Lời giải Chọn B V1 = ∫ ( x) dx = 81π Theo ta có Ox OH = m 0