THÔNG TIN TÀI LIỆU
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TỐN 37: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CÓ TÂM VÀ ĐI QUA ĐIỂM CHO TRƯỚC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Phương trình mặt cầu : a Phương trình mặt cầu dạng tắc : I a ;b;c Cho mặt cầu có tâm , bán kính R S : x a Khi phương trình tắc mặt cầu y b z c R2 2 b Phương trình mặt cầu dạng khai triển : Phương trình mặt cầu dạng khai triển S : x y z 2ax 2by 2cz d R a b2 c d a b c d 0 I a ;b;c Khi mặt cầu có tâm , bán kính Vị trí tương đối điểm mặt cầu : S O; R Cho điểm A mặt cầu Ta có : Điểm A thuộc mặt cầu � OA R Điểm A nằm mặt cầu � OA R Điểm A nằm mặt cầu � OA R Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu : P mặt cầu S O; R Ta có : Cho mặt phẳng S O; R � d O; P R Mặt phẳng P không cắt mặt cầu Mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu Mặt phẳng P cắt mặt cầu S O; R r R d O, P � d O; P R S O; R � d O; P R theo giao tuyến đường tròn có bán kính P qua tâm O mặt cầu ta nói theo giao tuyến đường trịn lớn có tâm O bán kính R Khi TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA P cắt S O; R Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu : S O; R Cho đường thẳng mặt cầu Ta có : S O; R � d O; R Đường thẳng ko cắt mặt cầu S O; R � d O; R Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S O; R � d O; R Đường thẳng cắt mặt cầu hai điểm phân biệt A, B Khi ta có R2 AB d O; II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm tâm bán kính, ĐK xác định mặt cầu PTMC biết tâm, bán kính PTMC biết đầu mút đường kính PTMC ngoại tiếp tứ diện PTMC qua nhiều điểm, thỏa mãn điều kiện cho trước PTMC biết tâm, tiếp xúc với mặt phẳng PTMC biết tâm thuộc d, thỏa mãn điều kiện cho trước PTMC biết tâm thuộc mặt phẳng, thỏa mãn điều kiện cho trước PTMC biết tâm, thỏa mãn điều kiện khác Toán Max-Min liên quan đến mặt cầu Điểm thuộc mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước Toán thực tế, liên môn liên quan đến mặt cầu BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian mặt cầu có tâm gốc tọa độ qua điểm M 0; 0; có phương trình A x y z 2 x2 y z 2 C O 0; 0;0 2 B x y z x2 y z 2 2 D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn lập phương trình mặt cầu biết tâm HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định bán kính R mặt cầu TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ O 0; 0;0 B2: Lập phương trình mặt cầu có tâm bán kính R Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn C S O 0; 0;0 M 0; 0; Ta có mặt cầu có tâm qua có bán kính là: R IM Vậy S : x2 y2 z 2 4 Bài tập tương tự phát triển: Mức độ Câu 2 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x y z x y z Tọa độ tâm I mặt cầu I 1;2; 3 I 1; 2;3 I 1;2;3 I 1; 2; 3 A B C D Lời giải Chọn B 2 � x 1 y z 3 Ta có x y z x y z I 1; 2;3 Vậy mặt cầu có tâm 2 x 1 y 3 z Tọa độ tâm Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu có phương trình I mặt cầu I 1;3;0 I 1;3;0 I 1; 3;0 I 1; 3;0 A B C D Câu 2 Lời giải Chọn C Câu 2 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x + y + z - 2y + 4z + = Độ dài đường kính mặt cầu (S) A B C D Lời giải Chọn A Mặt cầu (S) có bán kính: R = + + - = Đường kính bằng: R S : x 1 y z Khối cầu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu Câu S tích A V 16 B V 36 C V 14 D V 36 Lời giải Chọn B S : x 1 Mặt cầu y 2 z TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA có tâm 1; 2;0 , bán kính R Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ V R 36 Thể tích khối cầu Trong khơng gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I (- 1;2;0), bán kính R = 2 A (x + 1) + (y - 2) + z = 2 B (x + 1) + (y - 2) + z = 16 2 C (x - 1) + (y + 2) + z = 16 2 D (x + 1) + (y - 2) + z = Lời giải: Chọn B Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (- 1;2;0), bán kính R = (x + 1)2 + (y - 2)2 + z2 = 16 Câu S 3x y 3z x 12 y 18z Tâm Trong không gian Oxyz , Cho mặt cầu (S) có tọa độ A I 3; 6;9 B I 1; 2; 3 C Lời giải I 1; 2;3 D I 3;6; 9 Chọn C 2 2 2 Ta có x y 3z x 12 y 18 z � x y z x y z Mặt cầu Câu S có tâm I 1; 2;3 x y z 3 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S S thuộc M 5;0;0 A P 0; 0; B N 0; 6;0 C Lời giải D .Điểm Q 0; 0;5 Chọn A Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng, ta thấy có tọa độ điểm M thỏa mãn Câu Câu S : x2 y2 z2 y Oxyz Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu Trong S ? điểm cho đây, điểm nằm mặt cầu M 1;1;1 N 0;1; P 1; 0;1 Q 1;1;0 A B C D Lời giải Chọn C S có tâm I 0;1; , bán kính R Mặt cầu Khoảng cách từ điểm tâm mặt cầu: MI R ; NI R , PI R , QI R Do điểm P nằm ngồi mặt cầu S : x y z x y z 16 có tâm Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu I a; b; c bán kính r Khi đó, giá trị biểu thức L a b c r A 24 B 26 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C D Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Lời giải: Chọn C S có tâm I 1; 2;2 bán kính r 16 Mặt cầu Vậy L a b c r I 1;1;0 ? Câu 10 Phương trình sau phương trình mặt cầu có tâm 2 2 2 A x y z x y B x y z x y x y x y z x xy x y D C xy z x Lời giải: Chọn B I 1;0; Câu 11 Trong không gian Oxyz , phương trình phương trình mặt cầu tâm , bán kính r ? x 1 A C x 1 y z 16 y z 2 B x 1 y z 16 x 1 y2 z 2 D Lời giải Chọn A Phương trình mặt cầu tâm I 1;0; x 1 y z 16 , bán kính r có dạng 2 S : x y 1 z có tâm I Câu 12 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu bán kính R A I 2; 1;0 , R I 2; 1;0 , R B C I 2;1;0 , R D I 2;1;0 , R Lời giải Chọn C Câu 13 Mặt cầu S có tâm I 1; 3; qua x 1 A y 3 z 24 x 1 y 3 z 24 C 2 A 5; 1; x 1 B y 3 z 24 x 1 y 3 z 24 có phương trình: D 2 Lời giải Chọn D I 1; 3; Tâm Bán kính R IA 16 24 2 S : x 1 y 3 z 24 Vậy phương trình mặt cầu Câu 14 Trong phương trình sau, phương trình khơng phải phương trình mặt cầu? 2 2 2 A x y z x y z 21 B x y z x y z 11 2 C x y z 2 D x y z x y z 11 Lời giải Chọn D 2 Phương trình x y z 2ax 2by 2cz d phương trình mặt cầu � a b2 c d TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ x y z x y z 11 Biến đổi � x2 y z 2x y 4z 11 0 2 Từ ta thấy phương trình x y z x y z 11 khơng phương trình mặt cầu a b c d 12 12 2 11 Câu 15 Cho mặt cầu có phương trình: x y z x y z Mặt cầu có tâm I bán kính R là: I 1; 2;3 I 1; 2;3 A R B R I 1; 2; 3 I 1; 2; 3 C R D R Lời giải: Chọn B 2 x y z x y z � x 1 y z 3 2 I 1; 2;3 Mặt cầu có tâm Câu 16 Trong khơng bán kính R Oxyz , tìm tất gian giá trị m x y z x y z m phương trình mặt cầu A m �6 B m C m 2 để phương trình D m �6 Lời giải: Chọn B 2 Ta có x y z x y z m phương trình mặt cầu � a b c d � ( 2) 12 ( 1) m � m I 1; 2;0 Câu 17 Mặt cầu tâm đường kính 10 có phương trình là: 2 2 2 A ( x 1) ( y 2) z 100 B ( x 1) ( y 2) z 25 2 2 2 C ( x 1) ( y 2) z 25 D ( x 1) ( y 2) z 100 Lời giải Chọn C Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu sau có tâm nằm mặt phẳng tọa độ Oxy ? S : A x2 y z x y S3 : x y z 2x 6z C 2 S : B x2 y2 z y 6z S4 : x y z x y z 2 D Lời giải Chọn A I 1;1;0 A 0,1, Câu 19 Phương trình sau phương trình mặt cầu có tâm qua điểm 2 2 2 A x y z x y B x y z x y x y x y z x xy C x y D Lời giải: xy z x Chọn B Vì mặt cầu tâm I qua điểm A nên bán kính R IA TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ x 1 y 1 z � x y z x y Do mặt cầu cần tìm có pt: S có tâm I 1;0; 1 qua điểm A 2; 2; 3 là: Câu 20 Phương trình mặt cầu x 1 A C x 1 y z 1 2 y z 1 B x 1 y z 1 x 1 y z 1 D Lời giải 2 Chọn D Ta có: R IA 1 Phương trình mặt cầu x 1 2 3 1 S có tâm I 1;0; 1 qua điểm A 2; 2; 3 là: y z 1 2 Mức độ Câu 2 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x + y + z - 2x + 4y - 4z - m = có bán kính R = Giá trị tham số m A - 16 B 16 C Lời giải D - Chọn B I ( 1;- 2;2) Mặt cầu (S) có tâm Ta có R = 1+ + + m = � m = 16 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu x y z 2m x 3my 6m z 2 S có phương trình S , giá trị nhỏ Gọi R bán kính của R bằng: A B 377 C 377 D 377 Lời giải: Chọn D S Mặt cầu 3m � � I� m 1; ;1 3m � � có tâm � Ta có � 3m � R (m 1) � � (1 3m) � � Vậy Câu Rmin 49m � 377 377 �7 8m � m � � � 49 �2 377 16 �m 49 Trong không gian Oxyz, phươngtrình mặt cầu (S) có tâm I (1;- 3;2) qua điểm A(5;- 1;4) 2 A (x - 1) + (y + 3) + (z - 2) = 24 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 2 B (x + 1) + (y - 3) + (z + 2) = 24 Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 2 C (x + 1) + (y - 3) + (z + 2) = 24 2 D (x - 1) + (y + 3) + (z - 2) = 24 Lời giải Chọn D 2 Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (1;- 3;2) bán kính R = IA = + + = (x - 1)2 + (y + 3)2 + (z - 2)2 = 24 Câu A 2;1;1 B 0;3; 1 Trong khơng gian Oxyz , mặt cầu (S) có đường kính AB với , có phương trình A x2 y 2 z C ( x 1) y z 1 , ( x 1) y z B 2 ( x 1) y z 2 D Lời Giải Chọn B I 1; 2; Tọa độ trung điểm AB R IA 12 1 12 Ta có Câu � m I 1; 2;0 �Taâ � ( x 1) y z R= � (S) Mặt cầu : có phương trình: S I 1; 2;3 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu có tâm tiếp xúc với trục hồnh có dạng x 1 A y z 3 13 x 1 y z 3 C 2 x 1 B y z 3 x 1 y z 3 25 D Lời Giải 2 Chọn A Ta có d I , Ox 22 32 13 R x 1 y z 3 13 có phương trình P : x y 2z Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng Phương trình mặt cầu tâm I 1; 2; 1 P tiếp xúc với mặt phẳng Mặt cầu Câu � m I 1; 2;3 �Taâ � ( S ) : �R = 13 x 1 A C x 1 y z 1 2 y z 1 B 2 x 1 y z 1 x 1 y z 1 D Lời Giải 2 2 Chọn C I 1; 2; 1 P Ta có mặt cầu (S) tâm tiếp xúc với mặt phẳng nên R d I, P 1 12 2 2 2 3 � Taâ m I 1; 2; 1 � 2 x 1 y z 1 R =3 � (S) : Mặt cầu có PT: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Cho mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ S diện tích 32 Phương trình x 1 A y z 3 16 x 1 B y z 16 x 1 y z 3 x 1 D y z 3 C 2 2 2 2 Lời giải Chọn C 2 Ta có: S 4 R � 4 R 32 � R � gTâm: I 1; 2;3 S :� � gBán kính: R � Khi � S : x 1 y z 3 Câu 2 Viết phương trình mặt cầu có tâm với mặt phẳng Oxy I 1; 2;3 qua giao điểm đường thẳng �x t � d : �y t �z t � 2 A ( x 1) ( y 2) ( z 3) 27 2 B ( x 1) ( y 2) ( z 3) 27 2 C ( x 1) ( y 2) ( z 3) 3 2 D ( x 1) ( y 2) ( z 3) 3 Lời giải Chọn B Mặt phẳng Oxy có phương trình : z Gọi A d �(Oxy ) � A(2;5;0) R IA (3) 32 (3) 3 Vì điểm A thuộc mặt cầu nên bán kính mặt cầu S tâm I 1; 2;3 bán kính R 3 Phương trình mặt cầu ( x 1) ( y 2) z 3 27 Câu Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt phẳng cầu S : x 1 phẳng A P y 1 z 1 2 tiếp xúc với mặt cầu B P : x y z m2 3m mặt Có giá trị thực tham số m để mặt S C Lời giải: D Chọn C Mặt cầu S : x 1 Mặt phẳng � P y 1 z 1 tiếp xúc với mặt cầu 2.1 1 m 3m 22 22 11 S có tâm bán kính I 1; 1;1 , R d I; P R �m 3m �m � m 3m � � �� m 5 m 3m 9 � � TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 10 Trong không Oxyz , gian 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ xét mặt S cầu có phương trình dạng x y z x y 2az 10a Tập hợp giá trị thực a để S có chu vi đường trịn lớn 8 A 1;10 B 1;11 2; 10 C Lời giải D 1; 11 Chọn C Đường trịn lớn có chu vi 8 Từ phương trình S S nên bán kính suy bán kính S 8 4 2 2 12 a 10a a 1 � 2 12 a 10a � � a 11 � Do đó: Câu 11 Phương trình mặt cầu S A x2 y 2 z C x 1 A 2;1;1 B 0;3; 1 có đường kính AB với , là: Chọn B Mặt cầu B y z 1 2 S đường kính x 1 y 2 z2 x 1 y 2 z D Lời giải 2 AB có tâm I trung điểm đoạn AB � I (1; 2;0) Bán kính R IA Phương trình mặt cầu x 1 S A 2;1;1 B 0;3; 1 có đường kính AB với , là: y 2 z Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình phương trình mặt cầu tâm I 1; 2; x 1 A C x 1 thể tích khối cầu tương ứng 36 ? y 2 z 4 y 2 z 4 x 1 B y 2 z 4 D x 1 y 2 z 4 2 2 Lời giải Chọn B V R 36 � R 3 Ta có I 1; 2; x 1 y z Phương trình mặt cầu tâm bán kính R là: S có tâm I 1; 2; 4 diện tích 36 Phương trình S là: Câu 13 Cho mặt cầu x 1 A y 2 z 4 x 1 y 2 z 4 C 2 x 1 B y 2 z 4 x 1 y 2 z 4 2 2 D Lời giải 2 2 Chọn A TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ S : x 1 y 3 z Gọi Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu Câu 2 N x0 ; y0 ; z0 Câu S cho khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng Oxz lớn điểm thuộc Giá trị biểu thức P x0 y0 z0 A B C D Lời giải: Chọn A I 1;3; S vng góc với Oxz Gọi d đường thẳng qua tâm mặt cầu �x � d : �y t , t �� �z � Phương trình tham số S suy ra: A 1;5; , B 1;1; Gọi A, B giao điểm d d A; Oxz d B; Oxz Ta có: � N 1;5; � x0 y0 z0 Theo đề N �A 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) :( x 1) ( y 2) ( z 1) hai điểm A(4;3;1) , B (3;1;3) ; M điểm thay đổi ( S ) Gọi m, n giá trị lớn 2 giá trị nhỏ biểu thức P MA MB Xác định m n A 64 B 68 C 60 D 48 Lời giải: Chọn C uur uur r Gọi I điểm thỏa mãn IA IB � I (2 xA xB ; y A yB ; z A zB ) � I (5;5; 1) Suy I điểm cố định u u u r u u r u u u r uur 2 P MA2 MB MI IA MI IB Ta có uuu r uu r uur 3MI MI IA IB IA2 IB 3MI IA2 IB Khi P đạt giá trị nhỏ MI đạt giá trị nhỏ nhất, P đạt giá trị lớn MI đạt giá trị lớn 2 Mặt cầu ( S ) :( x 1) ( y 2) ( z 1) có tâm J (1; 2; 1) bán kính R Suy IJ Mà M điểm thay đổi ( S ) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 29 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ MI IM1 JI R Do đó: MI IM JI R max 2 Vậy m n 60 Câu 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có phương trình x y z x y z Cho ba điểm A , M , B nằm mặt cầu S cho Diện tích tam giác AMB có giá trị lớn bằng? A B C 4 D Lời giải: Chọn D S : x 1 y 1 z � S I 1;1;3 có tâm bán kính R � S Theo A , M , B nằm mặt cầu AMB 90�� AB qua I � AB R Ta có 2 MA2 MB AB 4 MA.MB � 4 Ta có AB � MA MB 2 2 Dấu " " xảy AB Do diện tích tam giác AMB có giá trị lớn S AMB A 2; 2; 2 B 3; 3;3 Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm ; Điểm M MA không gian thỏa mãn MB Khi độ dài OM lớn A C Lời giải: B D 12 Chọn D M x; y; z Gọi MA 2 Ta có MB � 3MA MB � 9MA MB 2 2 2 � 9� 4� x 2 y 2 z 2 � x 3 y 3 z � � � � � � x y z 12 x 12 y 12 z � x y z 108 2 Như vậy, điểm M thuộc mặt cầu OI R Do OM lớn S tâm 6 Câu 12 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu I 6; 6; 6 bán kính R 108 62 6 12 S : x2 y2 z x y z 0 hai điểm uur uuur B 2; 6; 2 M a; b; c S thỏa mãn uMA MB có giá trị nhỏ , Điểm thuộc Tổng a b c A 1 B C D A 0; 2; TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 30 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Lời giải: Chọn B Ta có S : x2 y z x y z S Mặt cầu có tâm I 1; 2;1 , bán kính 2 � S : x 1 y z 1 2 R S Vì IA R IB 82 R nên hai điểm A , B nằm mặt cầu K 1; 2; 1 S Gọi K trung điểm đoạn thẳng AB K nằm ngồi mặt cầu uuuu r uuu r uuuu r uuur uuur uuur MK KA MK KB Ta có: MA.MB uuuu r uuu r uuur uuu r uuur MK MK KA KB KA.KB MK KA2 uuur uuur Suy MA.MB nhỏ MK nhỏ nhất, tức MK nhỏ Đánh giá: Ta có IM MK �IK � R MK �IK � MK �IK R Suy MK nhỏ IK R , xảy I , M , K thẳng hàng M nằm hai điểm I , K Như M giao điểm đoạn thẳng IK mặt cầu S uur 2 IK 2; 4; 2 IK 22 4 2 R IM Lại có , � a � � a 1 � �� b 1 � �� 4 b � � � c uur uuur 2 c 1 � � IK IM Suy Vậy a b c A 0; 1;3 B 2; 8; Câu 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm , , y z 3 14 M xM ; y M ; z M mặt cầu Gọi điểm uuur uuur uuuu r S cho biểu thức 3MA 2MB MC đạt giá trị nhỏ Tính P xM yM C 2; 1;1 A P S : x 1 B P 2 C P 14 D P 14 Lời giải: Chọn B uur uur uuu r r uuu r uuu r uuur uuur r Gọi J điểm thỏa mãn JA JB JC � JO 3OA 2OB OC uuu r uuu r uuur uuur � 2OJ 3OA 2OB OC � J (3; 6;9) uuur uuur uuuu r uuur uur uur uuu r uuur uuur uuuu r uuur 3MA 2MB MC 2MJ 3JA JB JC 3MA 2MB MC MJ Mà nên uuur uuur uuuu r uuur 3MA MB MC � 2MJ min Do S có tâm I 1; 2;3 , bán kính R 14 IJ 14 R � điểm J nằm Mặt khác: S hai điểm M1 , M mặt cầu nên IJ cắt mặt cầu TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 31 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ �x 2t IJ : � �y 4t , t �� �z 6t � Phương trình đường thẳng �x 2t �y 4t � �z 6t � 2 � x 1 y z 3 14 � Xét hệ phương trình: � t � �� � t 14 � 2t 4t 6t Từ hệ ta có phương trình: M 2; 4; , M 0;0;0 M J 14 ; M J 14 Suy , uuur uuur uuuu r uuur 3MA 2MB MC � MJ M M1 Khi P xM yM min Vậy 2 2 2 Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x y z x y hai uuuu r A (4; 2; 4), B (1; 4; 2) MN MN điểm dây cung mặt cầu thỏa mãn hướng với r u (0;1;1) MN Tính giá trị lớn AM BN A 41 B C Lời giải: D 17 Chọn B S Mặt cầu có tâm I (1; 2; 0) , bán kính R uu r uur IA (3;0; 4) � IA Ta có , IB (0; 2; 2) � IB 2 nên điểm A(4; 2; 4) nằm mặt cầu ( S ) điểm B(1; 4; 2) nằm mặt cầu ( S ) uuuu r uuuu r r MN 0; k ; k , k u (0;1;1) MN Do hướng với suy MN suy uuuu r MN 0; 4; uuur ( A) A� TuMN (4;6;8) Khi AMNA�là hình bình hành nên AM A� N Gọi , suy A� AM BN A� N BN �A� B , N , B thẳng hàng � N , dấu xảy A� B (Điểm N tồn tại) giao điểm mặt cầu với đường thẳng A� Ta có TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 32 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ uuur AM BN A� B7 B (3)2 (2) (6)2 A� B (3; 2; 6) suy A� Vậy S1 : x y z , Câu 15 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu �1 � B � ; 0; � C 1; 4;0 D 4; 4; S2 : x y z điểm A 4;0;0 , �4 � , , Gọi M 2 S S2 Giá trị nhỏ biểu thức điểm thay đổi , N điểm thay đổi Q MA ND 4MN BC A 265 B 265 C 265 Lời giải: D 265 Chọn A O 0;0;0 S1 : x y z S Ta có nên có tâm S2 : x y z2 nên bán kính R1 S2 có tâm I 0; 4;0 bán kính R2 �1 � B � ;0; � A 4;0;0 C 1; 4;0 D 4;4;0 O 0;0;0 I 0; 4;0 � Vậy điểm , �4 , , , thuộc Oxy Nhận thấy OB.OA OM suy OM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB Do MOB đồng dạng AOM � MA OA � MA 4MB MB OM ND DI � ND NC Hoàn tịan tương tự ta có: NC NI Q MA ND MN BC MB NC MN BC �4 BC BC 8BC 265 Dấu xảy bốn điểm B, M , N , C thẳng hàng Vậy MinQ 265 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 33 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ A 0; 1; 1 B 3; 0; 1 C 0; 21; 19 Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm , , mặt cầu S : x 1 y 1 z 1 M a; b; c S cho điểm thuộc mặt cầu 2 2 biểu thức T 3MA MB MC đạt giá trị nhỏ Tính tổng a b c 14 12 abc abc A B a b c C D a b c 12 Lời giải Chọn A I 1; 1; 1 có tâm uuu r uuur uuur r G x; y; z GA 2GB GC , Gọi điểm thỏa S : x 1 y 1 z 1 2 3 x x x � �x � � y y 21 y � �y � � �z 3 z 1 z 19 z � G 1; 4; 3 � � Lúc ta có: T 3MA2 2MB MC uuuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur 3MG 6MG.GA 3GA2 MG MG.GB 2GB MG 2MG.GC GC uuuu r uuu r uuur uuur MG MG 3GA 2GB GC 3GA2 2GB GC MG 3GA2 2GB GC 2 2 Vì 3GA 2GB GC có giá trị số thực không đổi nên T đạt giá trị nhỏ MG S nhỏ Kho M hai giao điểm đường thẳng IG mặt cầu �x � IG : �y 3t �z 4t � Phương trình đường thẳng M IG � S nên tọa độ M nghiệm hệ �x � �y 3t t � � �� �z 4t � � t 2 � � x 1 y 1 z 1 � � Khi đó: �8 1� M �M � 1; ; � M G M G 5� � Vì nên điểm Vậy a bc � �8 1� M1 � 1; ; � � 5� � � � �2 9� M2 � 1; ; � � � � 5� 14 Câu 17 Trong khơng gian, cho bốn mặt cầu có bán kính , , , (đơn vị độ dài) đơi tiếp xúc ngồi với Mặt cầu nhỏ tiếp xúc với bốn mặt cầu nói có bán kính A 11 B C 15 D Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 34 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn A Gọi A, B tâm mặt cầu bán kính ; C , D tâm mặt cầu bán kính ; I tâm mặt cầu bán kính x tiếp xúc với mặt cầu tâm A, B, C , D nói Dễ thấy A, B, C , D không đồng phẳng Gọi M , N trung điểm AB CD I tiếp xúc với mặt cầu tâm A, B, C , D nên IA IB x 2, IC ID x Mặt cầu P , Q mặt phẳng trung trực đoạn AB CD Gọi M � P N � Q Ta có ; �IA IB � I � P � � I � P � Q 1 � �IC ID � I � Q N � P Tứ diện ABCD có DA DB CA CB nên CAB DAB � NA NB hay M � Q Tương tự chứng minh MN P � Q suy MN đường vng góc chung AB CD (2) 1 suy I �MN Từ Tam giác IAM có IM IA2 AM IN IC CN Tam giác CIN có x 2 x 3 2 4 9 2 Tam giác ABN có NM NA AM 12 Suy x 3 9 x 2 12 � x x x x 12 � x x 12 x x � x x 12 x x x 12 x � x 12 x x �x �6 � �x �6 �x �6 � �� �� � �� x � 12 x 48 x 36 12 x x 11x 60 x 36 � � �� 11 � x 6 �� TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 35 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Vì bán kính khơng âm nên: x 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 11 A 5;1; 1 B 14; 3;3 Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm , đường thẳng r có vectơ phương u 1; 2; Gọi C , D hình chiếu A B lên Mặt cầu qua hai điểm C , D có diện tích nhỏ A 36π B 44π C 6π D 9π Lời giải Chọn D Từ A dựng đường thẳng d song song với Gọi E hình chiếu vng góc B d nên CD AE AE không đổi CD AE CD 2R R 2 Gọi R bán kính mặt cầu qua hai điểm C , D Ta có Sc 4πR �4π AE AE π Diện tích mặt cầu nhỏ Sc AE π � AE AB.cos với d , AB uuu r AB 9; 4; AB 92 42 42 113 , uuu rr uuu r r AB.u 3 cos cos AB, u r � AE 113 3 AB u 113 113 Diện tích nhỏ mặt cầu Sc 9π A 5;0;0 B 3; 4;0 Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm Với C điểm nằm trục Oz , gọi H trực tâm tam giác ABC Khi C di động trục Oz H ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn A 3 B C Lời giải D Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 36 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Ta có OA OB nên tam giác OAB cân O C 0;0; c Ta có E 4; 2; Gọi trung điểm AB �AB OC � OCE cố định vng góc với AB tam giác ABC cân Do �AB OE , suy mặt phẳng H � OCE C Khi Oxy nên Gọi K trực tâm tam giác OAB , A , B K nằm mặt phẳng K a; b;0 a3 uuur uuur � � � OK AB � a b � �� �3 � r �� �uuur uuu K 3; ; � b � � a 3 BK OA � � � � � Ta có Tìm � �HK AB �AB OEC �� � CA BHK KH CAB �HK CA ) Ta chứng minh (do � � Suy KHE 90� Suy H thuộc mặt cầu đường kính KE thuộc mặt phẳng OCE cố định Vậy H ln thuộc đường trịn cố định có bán kính R S : x 1 y z hai Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu điểm M 4; 4; , N 6;0;6 2 S cho EM EN đạt giá trị Gọi E điểm thuộc mặt cầu S E lớn Viết phương trình tiếp diện mặt cầu A x y z B x y z C x y z TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA D x y z Lời giải Trang 37 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn A S I 1; 2; bán kính R � K 5; 2; S Gọi K trung điểm MN K nằm mặt cầu uur uuuu r IK 4; 4; MN 2; 4; MN Do , , IM IN Mặt cầu Ta có tuyến) có tâm EM EN �2 EM EN EK MN (Cơng thức tính độ dài đường trung Bởi EM EN đạt giá trị lớn EM EN EK lớn P mặt phẳng trung trực MN Có EM EN suy E thuộc mặt phẳng E � S P mặt cầu S Mà nên E thuộc đường tròn giao tuyến mặt phẳng P Mặt khác IM IN , K trung điểm MN nên I , K thuộc S Do EK lớn E hai giao điểm đường thẳng IK mặt cầu �x 2t � IK : �y 2t uur �z t IK 4; 4; � Có phương trình đường thẳng �x 2t �y 2t � � 4t 4t t �z t � 2 � x 1 y z � E Tọa độ điểm nghiệm hệ E 3;0;3 � t 1 EK � � �� �� �� t 1 � EK E 1; 4;1 � � Do EK lớn suy uur E 1; 4;1 � IE 2; 2; 1 , nên phương trình tiếp diện mặt cầu S 2 x 1 y 1 z 1 E có phương trình: hay x y z A 2;1;3 B 6;5;5 Câu 21 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm Xét khối nón N N tích lớn có đỉnh A , đường trịn đáy nằm mặt cầu đường kính AB Khi TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 38 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ mặt phẳng chứa đường trịn đáy Giá trị b c d A 21 N có phương trình.dạng x by cz d C 18 Lời giải B 12 D 15 Chọn C S đường kính AB ; r , h tương ứng bán kính đường trịn đáy Gọi R bán kính mặt cầu chiều cao nón AB R 2 N ; h 2R 1 3 2 3 � r R IH R h R h 3 6h h 2 2 2 2 1 1 Vnón r h 6h h h h h.h 12 2h h.h 3 Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương: h, h,12 2h 1 �h h 12 2h � 32 Vnón 12 2h h.h � � � 6 � � Ta có: Dấu " " xảy h h 12 2h � h uuur uuu r AH h � AH AB Ta có: AB R uuur H x; y; z � AH x 2; y 1; z 3 Gọi uuu r r �8 � uuu AB 4; 4; � AB � ; ; � �3 3 � � � 14 �x �x � � 14 11 13 � � � 11 � �H� ; ; � �y � �y �3 3 � � � � � 13 �z �z � Suy ra: � TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 39 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 14 11 13 � � uuur H� ; ; � � P 3 �và nhận AB 4; 4; làm VTPT chứa đáy hình nón qua điểm � 14 � � 11 � � 13 � P : 4� �x � �y � �z � � 3� � 3� � 3� � x y z 42 � x y z 21 b2 � � �� c � b c d 18 � d 21 � A 1; 2;1 B 3; 1;1 C 1; 1;1 S Câu 22 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , Gọi mặt S S cầu có tâm A , bán kính ; hai mặt cầu có tâm B , C bán S S S kính Hỏi có mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu , , A B C D Lời giải Chọn B P tiếp xúc với ba mặt cầu cho có phương trình là: Gọi phương trình mặt phẳng ax by cz d ( đk: a b c ) �a 2b c d � 2 2 � a b c � �3a b c d 1 � d A; P � � 2 a b c � � � d B; P � a b c d � � � 1 2 d C; P � � a b c � Khi ta có hệ điều kiện sau: �a 2b c d a b c � � � �3a b c d a b c � a b c d a b c � � 3a b c d a b c d � �� 3a b c d a b c d 3a b c d a b c d � Khi ta có: a0 � �� a b c d � �b c d b c � � b c d b c � �� � 2 b c d b c � �2b c d b c d Với a ta có � � d 4b c � � d 4b c � � 1 � � 2 � � c b 2 � � b c d b c � � � �� � � d c � d c � � � � c0 � 2 � � � 2 � b c d b c � � � b �0 � � TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 40 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Hệ 1 có nghiệm, hệ 2 hợp có ba mặt phẳng 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ có nghiệm nghiệm không trùng Vậy trường P �3b a b c � � �3b �� � �2a a b c �2a Với a b c d ta có � Do trường hợp có mặt phẳng thỏa mãn tốn Vậy có mặt phẳng thỏa mãn tốn Câu 23 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm � b a � � �� 4a �c 11 a a b2 c � � A 1; 2;7 � 10 13 � B� ; ; � 7 � Gọi S , �7 M a; b; c S , giá mặt cầu tâm I qua hai điểm A , B cho OI nhỏ điểm thuộc trị lớn biểu thức T 2a b 2c A B 18 C Lời giải D 156 Chọn B S qua hai điểm A , B nằm mặt phẳng trung trực AB Phương Tâm I mặt cầu P : x y 3z 14 trình mặt phẳng trung trực AB OI nhỏ I hình chiếu vng góc O mặt phẳng P �x t � �y 2t P có phương trình � �z 3t Đường thẳng d qua O vng góc với mặt phẳng Tọa độ điểm I ứng với t nghiệm phương trình t 2.2t 3.3t 14 � t � I 1; 2;3 S R IA Bán kính mặt cầu Q : 2x y 2z T Từ T 2a b 2c � 2a b 2c T , suy M thuộc mặt phẳng Vì M thuộc mặt cầu nên: 2.1 2.3 T ۣ 2 2 1 d I ; Q �R � T �12 � 6 �T �18 Vậy max T 18 Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho Gọi S1 mặt cầu tâm A bán kính , nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm C , D A Vô số A 1; 2; 3 B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA �3 � B� ; ; � C 1;1; D 5;3;0 , �2 2 �, , S2 mặt cầu tâm S1 , S2 B bán kính Có bao đồng thời song song với đường thẳng qua C Lời giải D Trang 41 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn B AB 3 R1 R2 mà 2 nên hai mặt cầu cắt theo đường tròn giao Ta có tuyến I AB � mặt phẳng thỏa mãn toán Gọi với Hạ BH , AK vng góc với mặt phẳng R2 1 R1 � BH AK 2 Khi ta có I nằm ngồi AB B trung điểm AI I 2;1; Suy : a x b y 1 c z Gọi uuur //CD CD 4; 2; 4 Vì mà nên ta có 2a b 2c � b 2c 2a Khi d A; � a b 5c a b2 c2 3 � c a a 2c 2a c 2 a 2c � b 2c � � � � a c�b c 2 � 2a 5ac 2c � Ta có hai trường hợp : � : 2c x 2c y 1 c z � x y z 1) b 2c ; a 2c C � Kiểm tra thấy nên loại trường hợp 1 a c � : c x c y 1 c z � x y z 2 2) b c ; C , D � Kiểm tra thấy nên nhận trường hợp : x y 2z Vậy A 2;11; 5 Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm mặt phẳng P : 2mx m 1 y m 1 z 10 Biết tiếp xúc với mặt phẳng A 2 P m thay đổi, tồn hai mặt cầu cố định qua A Tìm tổng bán kính hai mặt cầu B C Lời giải D 12 Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 42 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Gọi I a; b; c , r 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ tâm bán kính mặt cầu S tiếp xúc với mặt phẳng P S tiếp xúc với P nên ta có qua A Do mặt cầu r d I, P 2ma m 1 b m 1 c 10 m 1 b c m2 2ma b c 10 m � b c m 2ma b c 10 r m 1 2 2ma b c r 10 1 P tiếp xúc với mặt phẳng nên phương trình 1 1 �b c r m 2ma b c r 10 �� �b c r m 2ma b c r 10 � b c r 2 m TH1: Vì với m tồn mặt cầu cố định 1 có nghiệm với m � � bcr b r 5 � � �� a0 �� a0 � � c 5 b c r 10 � � Suy Lại có TH2: I 0;5 r 2; 5 S : x y r A � S 11 r nên suy ra: b c r 2 m tiếp xúc với mặt phẳng z 5 r 2 � r2 r � r 12 2r 40 � � r 10 � 2ma b c r 10 P nên phương trình Vì với m tồn mặt cầu cố định có nghiệm với m a0 � � � � bcr b c r b 5 r � � � � �� 2a �� a0 �� a0 �� b 5r � � � � c 5 c 5 b c b c 10 b c r 10 � � � � Suy ra: I 0;5 r 2; 5 � S : x y r A 2;11; 5 � S Mà: � r 2 l �� � r 10 l � nên suy ra: 11 r z 5 r 2 5 r � r 12 2r 40 P qua A Vậy m thay đổi, tồn hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng có tổng bán kính là: 12 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 43 ... kiện cho trước PTMC biết tâm, thỏa mãn đi? ??u kiện khác Toán Max-Min liên quan đến mặt cầu Đi? ??m thuộc mặt cầu thỏa mãn đi? ??u kiện cho trước Tốn thực tế, liên mơn liên quan đến mặt cầu BÀI... tâm mặt cầu (S) tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ qua đi? ??m Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ qua đi? ??m M (2;1;1) có thành phần tọa độ dương nên a b c r 2 2 Phương trình mặt. .. thấy phương trình x y z x y z 11 không phương trình mặt cầu a b c d 12 12 2 11 Câu 15 Cho mặt cầu có phương trình: x y z x y z Mặt cầu có tâm
Ngày đăng: 24/06/2021, 16:48
Xem thêm: